О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа
В работе исследуются классы регулярных решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа на их комплексные характеристики. Приведены достаточные условия компактности таких классов....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123963 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 161-167. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123963 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239632017-09-16T03:03:37Z О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа Ломако, Т.В. В работе исследуются классы регулярных решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа на их комплексные характеристики. Приведены достаточные условия компактности таких классов. У роботі досліджуються класи регулярних розв'язків рівнянь Бельтрамі з обмеженнями теоретико-множинного типу на їх комплексні характеристики. Наведено достатні умови компактності таких класів. This paper is devoted to the study of the classes of solutions for Beltrami equations with restrictions of set-theoretic type on the complex characteristics. Sufficient conditions for compactness of such classes are obtained. 2010 Article О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 161-167. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123963 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе исследуются классы регулярных решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа на их комплексные характеристики. Приведены достаточные условия компактности таких классов. |
| format |
Article |
| author |
Ломако, Т.В. |
| spellingShingle |
Ломако, Т.В. О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ломако, Т.В. |
| author_sort |
Ломако, Т.В. |
| title |
О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_short |
О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_full |
О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_fullStr |
О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_full_unstemmed |
О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| title_sort |
о компактности классов решений уравнений бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123963 |
| citation_txt |
О компактности классов решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоретико-множественного типа / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 161-167. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT lomakotv okompaktnostiklassovrešenijuravnenijbelʹtramisograničeniâmiteoretikomnožestvennogotipa |
| first_indexed |
2025-07-09T00:36:52Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:36:52Z |
| _version_ |
1837127606493773824 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.5
c©2010. Т.В. Ломако
О КОМПАКТНОСТИ КЛАССОВ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
БЕЛЬТРАМИ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ТЕОРЕТИКО-
МНОЖЕСТВЕННОГО ТИПА
В работе исследуются классы регулярных решений уравнений Бельтрами с ограничениями теоре-
тико-множественного типа на их комплексные характеристики. Приведены достаточные условия
компактности таких классов.
Ключевые слова: уравнения Бельтрами, компактность, регулярное решение, классы Соболева.
1. Введение. Всюду далее D – область в C, C = C ∪ {∞}, B(z0, r) =
{z ∈ C : |z − z0| < r} , D = {z ∈ C : |z| < 1}, dist (E, F ) – евклидово расстояние
между множествами E и F в C. Обозначим через h сферическое (хордаль-
ное) расстояние между точками z1 и z2 в C: h(z1, ∞) = 1√
1+|z1|2
, h(z1, z2) =
|z1−z2|√
1+|z1|2
√
1+|z2|2
, z1, z2 6= ∞ . Сферическим диаметром множества E в C назы-
вается величина h(E) = sup
z1, z2∈E
h(z1, z2) . В дальнейшем dm(z) отвечает мере Лебега
в C, а через dS(z) =
(
1 + |z|2)−2
dm(z) обозначается элемент сферической пло-
щади в C, соответственно, через L1
s – класс всех функций Q : C→ R, интегрируемых
в C относительно сферической площади. Пусть E ,F ⊆ C− произвольные множе-
ства. Через ∆(E, F, D) обозначим семейство всех кривых γ : [a, b] → C , которые
соединяют E и F в D , т.е. γ(a) ∈ E , γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z) · fz , (1)
где µ(z) : D → C – измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., fz = ∂f = (fx + ify) /2,
fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+ iy, fx и fy – частные производные отображения f по
x и y, соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициентом и
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)| (2)
– максимальной дилатацией или просто дилатацией уравнения (1).
Напомним, что отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈
D, если f в этой точке имеет полный дифференциал и его якобиан Jf (z) = |fz|2 −
|fz|2 6= 0. Гомеоморфизм f класса W 1, 1
loc называется регулярным, если Jf (z) 6= 0
п.в. Наконец, регулярным решением уравнения Бельтрами (1) в области D будем
называть регулярный гомеоморфизм, который удовлетворяет (1) п.в. в D. Понятие
регулярного решения впервые введено в работе [1].
161
Т.В. Ломако
Приведем элементы теории инвариантно-выпуклых множеств, см. приложение
А в [2].
Пусть G группа всех дробно-линейных отображений D на себя. Множество M из
D называется инвариантно-выпуклым, если все множества g(M), g ∈ G, являют-
ся выпуклыми. В частности, такие множества являются выпуклыми.
Инвариантно-выпуклой оболочкой inv co M множества M из D, M ⊆ D,
будем называть минимальное по включению замкнутое инвариантно-выпуклое мно-
жество, содержащее M . Согласно теореме А2 в [2]
inv co M =
⋂
|η|=1
KM (η), (3)
где через KM (η) обозначен опорный круг, касающийся ∂D в точке η. Здесь за-
мкнутый круг K из D, касающийся ∂D, называется опорным к множеству M , если
M ⊆ K и ∂K
⋂
∂M 6= 0.
Инвариантно-выпуклые множества являются строго выпуклыми множествами,
т.е. их границы не могут содержать отрезков прямых, см. предположение А1 в [2].
Таким образом, все граничные точки таких множеств являются крайними, т.е. не яв-
ляются внутренними точками никакого отрезка с концами, принадлежащими этому
множеству.
Граничную точку произвольного множества M, M ⊆ D, назовем инвариантно-
крайней, если на некоторой опорной окружности ∂KM (η), |η| = 1, она является
ближайшей из ∂M к η по или против часовой стрелки. Множество всех инвариантно-
крайних точек M в дальнейшем обозначается через inv ext M .
Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм f : D → C класса ACL, заданный
в некоторой области D комплексной плоскости C, будем называть Q(z)−квазикон-
формным (Q(z)−к.к.) отображением, если его дилатация
Kµf
(z) ≤ Q(z) п.в., (4)
где Q(z) : C→ I = [1,∞] – произвольная функция. Здесь µf = fz/fz, если fz 6= 0 и
µf = 0, если fz = 0.
Отметим, что понятие Q(z)−к.к. отображения, по-видимому, впервые было вве-
дено в статье Шиффера М. – Шобера Г. [3] для случая, когда Q(z) ∈ L∞, т.е.
фактически для Q−к.к. отображений, где Q = ||Q(z)||∞.
В работах Андриян-Казаку К., Волковыского Л.И., Иоффе М.С., Крушка-
ля С.Л., Кюнау Р., Летинена М., Ренельта Г., Тейхмюллера О., Шиффера М., Шобе-
ра Г. и других авторов исследовались классы Q(z)-к.к. отображений, для которых
µ(z) ∈ ∆q(z) п.в., (5)
где
∆q(z) = {ν ∈ C : |ν| ≤ q(z)}, z ∈ C, (6)
q(z) = (Q(z)− 1) / (Q(z) + 1) , (7)
162
Компактность классов решений уравнений Бельтрами
а также классы с дополнительными ограничениями вида:
F(µ(z), z) ≤ 0 п.в., (8)
где F(µ, z) : C × C → R. Наконец, последняя из постановок Шиффера М. –
Шобера Г. привела к рассмотрению классов с ограничениями общего теоретико-
множественного вида:
µ(z) ∈ M(z) ⊆ ∆q(z) п.в.. (9)
Однако все это развитие происходило, фактически, в рамках Q−к.к. отображений,
поскольку предполагалось, что
ess supQ(z) = Q < ∞. (10)
Теорема существования и единственности Давида [4] позволила продвинуться
много дальше в указанном направлении. Именно, обозначим MM класс всех изме-
римых функций, удовлетворяющих условию (9), но где, вообще говоря, не выполне-
но (10). Через HM (H̃M ) обозначим совокупность всех гомеоморфизмов плоскости
f : C→ C класса ACL (соответственно W 1,1
loc ) с комплексными характеристиками из
MM и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
В работе [2] была доказана компактность класса HM с Q(z), экспоненциально
ограниченной по мере. В настоящей статье ставится задача доказать компактность
класса регулярных гомеоморфизмов H̃M с более общими условиями на Q(z).
2. Вспомогательные утверждения.Для формулировки некоторых утвержде-
ний нам потребуется понятие кольцевого Q-гомеоморфизма, которое мотивировано
кольцевым определением квазиконформности по Герингу и тесно связано с решени-
ем вырожденных уравнений Бельтрами на плоскости, см., напр., работу [5].
Напомним, что борелева функция ρ : C → [0,∞] называется допустимой для
семейства кривых Γ в C, пишут ρ ∈ adm Γ, если
∫
γ
ρ(z) |dz| ≥ 1
для всех γ ∈ Γ. Модуль семейства кривых Γ определяется равенством
M(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
D
ρ2(z) dxdy .
Пусть Q : D → [0, ∞] – измеримая по Лебегу функция. Говорят, что гомеомор-
физм f : D → C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке z0 ∈ D, если
соотношение
M(∆(fS1, fS2, fD)) ≤
∫
A
Q(z) η2(|z − z0|) dxdy
163
Т.В. Ломако
выполнено для любого кольца A = {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2}, 0 < r1 < r2 <
dist(z0, ∂D), окружностей Si = {z ∈ C : |z − z0| = ri}, i = 1, 2 и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2) → [0, ∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr = 1 .
Следующее утверждение можно найти используя лемму 20.9.1 в [6] через теорему
2.1 в [7], ср. следствие 3.1 в [8]:
Предложение 1. Любой регулярный гомеоморфизм f : D → C является коль-
цевым Q–гомеоморфизмом с Q(z) = Kµ(z), µ = µf во всех точках области D.
Пусть Q : D → [0, ∞] – измеримая функция. Обозначим через RQ,∆(D) класс
всех кольцевых Q−гомеоморфизмов f в области D ⊆ C, таких что h
(
C\f(D)
) ≥
∆ > 0. Напомним лемму 3.2 из статьи [7]:
Предложение 2. Если для некоторых 0 < ε0 < dist(z0, ∂D) и p < 2
∫
ε<|z−z0|<ε0
Q(z) · ψ2(|z − z0|)dm(z) ≤ c · Ip(ε) ∀ ε ∈ (0, ε0) , (11)
где ψ(t) – неотрицательная измеримая функция на (0, ∞), 0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt < ∞
∀ ε ∈ (0, ε0), то
h(f(z), f(z0)) ≤ 32
∆
exp
{
−
(
2π
c
)
I2−p(|z − z0|)
}
для любых f ∈ RQ,∆(D) и z ∈ B(z0, ε0).
Приведем также формулировку предложения 3.1 из работы [9]:
Предложение 3. Пусть D – область в C и пусть fn : D → C, n = 1, 2, ... –
последовательность гомеоморфизмов таких, что fn → f равномерно на компактах
в D относительно сферической метрики. Если предельное отображение f является
дискретным, то f – гомеоморфизм.
Кроме того, отметим следующий важный факт, см. теорему 1.3 в [10]:
Предложение 4. Если f – регулярный гомеоморфизм с Kµ ∈ L1
loc, то f−1 ∈ W 1,2
loc
и f−1
w = 0 п.в., где Jf−1(w) = 0.
Наконец, нам будет полезна следующая теорема, см. теорему 3 в [2], а также
замечание 3.1 в [9]:
Предложение 5. Пусть fm : D → C – последовательность сохраняющих ори-
ентацию гомеоморфизмов класса W 1,1
loc , сходящаяся локально равномерно к f в D,
такая что Kµfm
≤ Q(z) ∈ L1
loc. Если f – гомеоморфизм в D, то f ∈ W 1,1
loc , Kµf
≤ Q(z)
и (fn)z → fz, (fn)z → fz при n →∞ слабо L1
loc. Кроме того, для почти всех z ∈ E′
µ(z) ∈ inv co M(z) (12)
и µn(z) → µ(z) по мере на E0 = {z ∈ E′ : µ(z) ∈ inv ext M(z)}, где E′– множество
всех регулярных точек отображения f и M(z) = Limn→∞{µn(z)}.
164
Компактность классов решений уравнений Бельтрами
Здесь, как обычно, через Lim{µn(z)} обозначен верхний топологический предел
одноточечных множеств Mn(z) = {µn(z)}, т.е. множество всех точек накопления
последовательности µn(z), n = 1, 2, . . . , при каждом фиксированном z (см. [11], с.
334).
Замечание 1. В дальнейшем мы также воспользуемся равенством, которое лег-
ко проверить непосредственным вычислением,
|∂f |2 + |∂f |2 =
1
2
(|∇u|2 + |∇v|2) (13)
где как и выше f = u + iv.
3. Основные результаты.
Лемма 1. Пусть fn : C → C – последовательность регулярных гомеомор-
физмов, fn(0) = 0, fn(1) = 1, fn(∞) = ∞, сходящаяся локально равномерно
в C относительно сферической метрики к некоторому отображению f, причем
Kµfn
(z) ≤ Q(z) ∈ L1
S . Тогда f – регулярный гомеоморфизм на C с нормировками
f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Доказательство леммы. Полагая gn = f−1
n и un = Re gn, vn = Im gn, имеем,
ввиду равенства (13), что
I :=
∫
C
|∇un|2 + |∇vn|2
(1 + |un|2 + |vn|2)2 dm(ζ) = 2
∫
C
|∂gn|2 + |∂gn|2
(1 + |gn|2)2 dm(ζ) ≤
≤ 4
∫
C
|∂gn|2 dm(ζ)
(1 + |gn|2)2 = 4
∫
C
1
1− |νn(ζ)|2 Jn(ζ)
dm(ζ)
(1 + |gn|2)2 ,
(14)
где Jn обозначает якобиан отображения gn, а νn – его комплексную дилатацию.
По предложению 4 имеем, что gn ∈ W 1,2
loc . Следовательно, gn локально абсолютно
непрерывны и после замены переменных получаем, что
I ≤ 4
∫
C
1
1− |µ(z)|2
dm(z)
(1 + |z|2)2 ≤ 4
∫
C
Q(z) dS(z) < ∞ , (15)
см. леммы III.2.1 и III.3.2, а также теоремы III.3.1 и III.6.1 в [12] и I.C(3) в [13]. По-
следняя оценка позволяет нам установить, что предельное отображение f является
локально гомеоморфным, а потому и просто гомеоморфизмом C на себя.
Действительно, по теореме I.13.3 в [11] f – непрерывное отображение как рав-
номерный предел непрерывных отображений и, таким образом, последовательность
fn образует равностепенно непрерывное семейство отображений, см., напр., предло-
жение 7.1 в [14]. Пусть
ϕ(t) =
1
2
arcsin
(
2√
3
sin t
)
.
Тогда согласно теореме 9 в [15], с. 62, найдется δ > 0 такое, что
h (fn(z1), fn(z2)) > ϕ−1
(
exp
{
− 4πI
h2(z1, z2)
})
165
Т.В. Ломако
как только h(z1, z2) < δ. Таким образом, при n →∞ получаем, что
h (f(z1), f(z2)) > ϕ−1
(
exp
{
− 4πI
h2(z1, z2)
})
> 0 (16)
как только h(z1, z2) < δ.
Условие (16) влечет, что отображение является дискретным, поскольку расши-
ренная комплексная плоскость – компактное пространство. Поэтому f является го-
меоморфизмом по предложению 3.
Покажем, что f – регулярный гомеоморфизм в D ⊂ C. Заметим, что из локально
равномерной сходимости fn → f последовательности fn следует, что f−1
n → f−1
локально равномерно (см., напр., лемму 3.3 в [16]). Таким образом, по теореме 1 в
[15], см. (15), получаем, что f−1 ∈ W 1,2
loc (D). Условие f−1 ∈ W 1,2
loc (D) влечет (N−1)–
свойство f , см., напр., теорему III.6.1 в [12] и, следовательно, Jf (z) 6= 0 п.в. по
теореме 1 в [17]. Наконец, f ∈ W 1,1
loc (D) и Kµf
(z) ≤ Q(z) п.в. по предложению 5.
В случае z0 = ∞ применяем отображение ψ(z) = 1
z . ¤
Применяя предложения 1, 2 и 5, а также теорему Арцела-Асколи, см., напр., [18],
с. 68, в качестве следствия леммы 1 получаем следующий результат:
Теорема 1. Пусть M(z), z ∈ C, – семейство замкнутых инвариантно-вы-
пуклых множеств в D, измеримое по параметру, такое что
QM (z) :=
1 + qM (z)
1− qM (z)
∈ L1
S , (18)
где
qM (z) = max
ν∈M(z)
|ν| . (19)
Предположим, что Q(z) = QM (z) удовлетворяет одному из условий вида (11).
Тогда класс H̃M компактен.
Следствие 1. Пусть M(z), z ∈ C, – семейство замкнутых инвариантно-вы-
пуклых множеств в D, измеримое по параметру, такое что выполняется (18). Пред-
положим, что Q(z) = QM (z) ∈ FMO, тогда класс H̃M компактен.
1. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics //
Complex Variables and Elliptic Equations. – 2009. – 54, no.10. – P.935–950.
2. Рязанов В.И. Топологические аспекты теории квазиконформных отображений. Диссертация
на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. – Донецк, 1993. – 281c.
3. Schiffer M., Schober G. Representation of fundamental solutions for generalized Cauchy-Riemann
equations by quasiconformal mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A. 1. – 1976. – 2. – P.501–531.
4. David G. Solutions de l’equation de Beltrami avec ‖µ‖∞ = 1 // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
Math. – 1988. – 13. – P.25–70.
5. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Ukrainian
Math. Bull. – 2007. – 4, № 1. – P.79–115.
6. Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Map-
pings in the Plane. – Princeton University Press, 2009. – 677p.
7. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q–гомеомор-
физмов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, №6. – С.1361–1376.
166
Компактность классов решений уравнений Бельтрами
8. Salimov R. On regular homeomorphisms in the plane // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. – 2010. – 35.
– P.285–289.
9. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations // Ukr. Math.
Bull. – 5, no.4. – 2008. – P.524–535.
10. Hencl S., Koskela P. Regularity of the inverse of a planar Sobolev homeomorphism // Arch. Rat.
Mech. Anal. – 180, no.1. – 2006. – P.75–95.
11. Куратовский К. Топология. – М.: Мир, 1966. Т.1. – 594с.
12. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane, New York etc.: Springer, 1973. –
258p.
13. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969. – 132с.
14. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory, New York:
Springer, 2009.
15. Суворов Г.Д. Семейство плоских топологических отображений. – Новосибирск: Наука, 1965. –
264с.
16. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the Beltrami equations//
Ukr. Math. Bull. – 2010. – 7, no.4. – P.467–515.
17. Пономарев С.П. N−1–свойство отображений и условие (N) Лузина // Мат. заметки. – 1995. –
58, №3. – С.411–418.
18. Vaisala J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math. 299, Berlin
etc., Springer–Verl., 1971. – 144p.
T.V. Lomako
Compactness of the classes of solutions for Beltrami equations with restrictions of set-
theoretic type.
This paper is devoted to the study of the classes of solutions for Beltrami equations with restrictions of
set-theoretic type on the complex characteristics. Sufficient conditions for compactness of such classes
are obtained.
Keywords: Beltrami equations, compactness, regular solution, Sobolev classes.
Т.В. Ломако
Про компактнiсть класiв розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями теоретико-
множинного типу.
У роботi дослiджуються класи регулярних розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями теоретико-
множинного типу на їх комплекснi характеристики. Наведено достатнi умови компактностi таких
класiв.
Ключовi слова: рiвняння Бельтрамi, компактнiсть, регулярний розв’язок, класи Соболева.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
tlomako@yandex.ru, tlomako@rambler.ru
Получено 10.12.10
167
|