Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
Для сосредоточенных, распределенных и дискретных: фазовых систем с помощью второго метода Ляпунова и метода априорных интегральных оценок Попова установлены многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотики....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123965 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем / А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И Шепелявый // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 177-187. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123965 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239652017-09-16T03:03:42Z Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем Перкин, А.А. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И. Для сосредоточенных, распределенных и дискретных: фазовых систем с помощью второго метода Ляпунова и метода априорных интегральных оценок Попова установлены многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотики. Для зосереджених, розподілених і дискретних фазових систем за допомогою другого методу Ляпунова і методу апріорних інтегральних оцінок Попова встановлено багатопараметричні частотні критерії глобальної асимптотики. In the paper by means of Lyapunov functions and Popov functionals a number of multiparameter frequency-domain criteria for gradient-like behavior of lumped, distributed and discrete systems is obtained. 2010 Article Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем / А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И Шепелявый // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 177-187. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123965 681.511.42 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для сосредоточенных, распределенных и дискретных: фазовых систем с помощью второго метода Ляпунова и метода априорных интегральных оценок Попова установлены многопараметрические частотные критерии глобальной асимптотики. |
| format |
Article |
| author |
Перкин, А.А. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И. |
| spellingShingle |
Перкин, А.А. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И. Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Перкин, А.А. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И. |
| author_sort |
Перкин, А.А. |
| title |
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем |
| title_short |
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем |
| title_full |
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем |
| title_fullStr |
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем |
| title_full_unstemmed |
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем |
| title_sort |
прямой метод ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123965 |
| citation_txt |
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем / А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И Шепелявый // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 177-187. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT perkinaa prâmojmetodlâpunovavissledovaniiasimptotikifazovyhsistem AT smirnovavb prâmojmetodlâpunovavissledovaniiasimptotikifazovyhsistem AT šepelâvyjai prâmojmetodlâpunovavissledovaniiasimptotikifazovyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-09T00:37:05Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:37:05Z |
| _version_ |
1837127620624384000 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 681.511.42
c©2010. А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
Для сосредоточенных, распределенных и дискретных фазовых систем с помощью второго метода
Ляпунова и метода априорных интегральных оценок Попова установлены многопараметрические
частотные критерии глобальной асимптотики.
Ключевые слова: функции Ляпунова, функционалы Попова, фазовые системы.
1. Введение. Статья посвящена исследованию асимптотического поведения
фазовых систем управления, т.е систем непрямого управления с периодическими
нелинейностями. В статье рассматриваются сосредоточенные непрерывные фазо-
вые системы, описываемые системами обыкновенных дифференциальных уравне-
ний, распределенные непрерывные системы, описываемые интегродифференциаль-
ными уравнениями Вольтерра, а также дискретные фазовые системы, описываемые
системами разностных уравнений.
Рассматриваемые фазовые системы обладают счетным множеством состояний
равновесия, как устойчивых в малом по Ляпунову, так и неустойчивых. Основной
характеристикой асимптотического поведения фазовой системы является наличие
у нее глобальной асимптотики, т.е. стремление любого решения системы к какому-
либо состоянию равновесия при стремлении аргумента-времени к бесконечности.
Задаче глобальной асимптотики фазовых систем различной природы с различ-
ным математическим описанием посвящено много работ. Подробная библиография
приведена в статье [1].
Основным качественным методом исследования асимптотического поведения
многомерных систем управления является прямой метод Ляпунова. Однако специ-
фика фазовых систем потребовала развития в рамках идей прямого метода Ляпу-
нова новых методов.
Одним из них является метод нелокального сведения [2], суть которого заключа-
ется во введении в функцию Ляпунова для системы высокого порядка траекторий
системы низкого порядка (она называется системой сведения), обладающей нужным
асимптотическим свойством. Такая функция Ляпунова позволяет распространить
асимптотические свойства систем сведения на системы высокого порядка.
Другим методом, развивающим идеи прямого метода Ляпунова, является ме-
тод периодических функций Ляпунова [3,2,4]. Периодические функции Ляпунова
конструируются в виде квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности, при-
чем нелинейная функция под знаком интеграла формируется на основе исходной
нелинейности. Она имеет тот же период, что и исходная нелинейность, те же ну-
ли. Однако в отличие от исходной нелинейности она обладает нулевым средним на
периоде.
И метод нелокального сведения, и метод периодических функций Ляпунова бы-
177
А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый
ли развиты для дискретных фазовых систем [5,6]. С помощью метода априорных
интегральных оценок В.М. Попова оба метода были распространены на бесконеч-
номерные фазовые системы [7], инструментом исследования для которых являются
функционалы Попова.
В настоящей статье исследование асимптотики фазовых систем ведется мето-
дом периодических функций Ляпунова. В статье предлагается обобщение извест-
ных периодических функций Ляпунова [3,4] и распространение этого обобщения на
дискретные функции Ляпунова и функционалы Попова.
Результатом исследования являются достаточные условия глобальной асимпто-
тики фазовых систем, сформулированные в виде многопараметрических частотных
неравенств. Полученные частотные критерии позволяют улучшать оценки областей
глобальной асимптотики в пространстве параметров для широкого класса фазовых
систем.
2. Сосредоточенные непрерывные системы. Рассмотрим автономную фа-
зовую систему, описываемую системой уравнений
ż = Az + bϕ(σ),
σ̇ = c∗z + ρϕ,
(1)
где A – m×m-матрица, b и c – m-векторы, ρ – число, ϕ(σ) – нелинейная функция,
а символом ∗ обозначено эрмитово сопряжение. Предполагается, что матрица A
гурвицева, пара (A, b) управляема, а пара (A, c) наблюдаема. Функция ϕ(σ) является
∆-периодической, непрерывно дифференцируемой. Она имеет на промежутке [0, ∆)
два нуля σ1 < σ2, причем
ϕ2(σi) +
(
ϕ′(σi)
)2 6= 0 (i = 1, 2).
Для определенности предположим также,что
∫ ∆
0
ϕ(σ)dσ < 0. (2)
Пусть числа α1, α2 таковы, что
α1 ≤ dϕ
dσ
≤ α2, ∀σ ∈ R. (3)
Заметим, что α1 < 0 < α2. Введем в рассмотрение величины
ν =
∫ ∆
0 ϕ(σ)dσ∫ ∆
0 |ϕ(σ)|dσ
, (4)
ν0 =
∫ ∆
0 ϕ(σ)dσ
∫ ∆
0 |ϕ(σ)|dσ
√
(1− α−1
2 ϕ′(σ))(1− α−1
1 ϕ′(σ))dσ
. (5)
Передаточная функция линейной части системы (1) от входа ϕ к выходу (−σ̇)
имеет вид
178
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
K(p) = −ρ + c∗(A− pEm)−1b (p ∈ C), (6)
где Em – единичная m×m-матрица.
Теорема 1. Пусть существуют такие числа æ 6= 0 и a ∈ [0, 1] и такие поло-
жительные числа ε, η, τ , что выполняются следующие условия:
1) для всех ω ≥ 0 справедливо неравенство
<e{æK(iω)−ε|K(iω)|2−τ(K(iω)+α−1
1 iω)∗(K(iω)+α−1
2 iω)}−η ≥ 0 (i2 = −1); (7)
2) матрица ∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
ε 1
2æaν 0
1
2æaν η 1
2æa0ν0
0 1
2æa0ν0 τ
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
, (8)
где a0 = 1− a, является положительно определенной
Тогда для любого решения системы (1) справедливы предельные соотношения
lim
t→+∞ z(t) = 0; lim
t→∞σ(t) = σ̂, где ϕ(σ̂) = 0.
Доказательство. Следуя [2], преобразуем систему (1) к виду
dy(t)
dt
= Qy(t) + Lξ(t),
dσ(t)
dt
= D∗y(t), (9)
где
Q =
∣∣∣∣
∣∣∣∣
A b
O∗ 0
∣∣∣∣
∣∣∣∣ , L =
∣∣∣∣
∣∣∣∣
O
1
∣∣∣∣
∣∣∣∣ , D =
∣∣∣∣
∣∣∣∣
c
ρ
∣∣∣∣
∣∣∣∣ ,
y =
∣∣∣∣
∣∣∣∣
z(t)
ϕ(σ(t))
∣∣∣∣
∣∣∣∣ , ξ(t) =
d
dt
ϕ(σ(t)), (10)
а через O обозначен нулевой m-вектор.
Рассмотрим квадратичную форму переменных y ∈ Rm+1, ξ ∈ R:
G(y, ξ) = 2y∗H(Qy+Lξ)+ε(y∗D)2+æy∗LD∗y+η(y∗L)2−τ(D∗y−α−1
1 ξ)(α−1
2 ξ−D∗y),
(11)
где H – (m + 1)× (m + 1)-симметричная матрица.
Условие 1) теоремы 1 гарантирует [2] существование такой симметричной мат-
рицы H, что справедливо неравенство
G(y, ξ) ≤ 0, ∀ y ∈ Rm+1, ξ ∈ R. (12)
Введем в рассмотрение периодические функции
F (σ) = ϕ(σ)− ν|ϕ(σ)|, (13)
179
А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый
Φ(σ) =
√
(1− α−1
1 ϕ′(σ))(1− α−1
2 ϕ′(σ)),
Ψ(σ) = ϕ(σ)− ν0Φ(σ)|ϕ(σ)|. (14)
Ясно, что ∫ ∆
0
F (σ)dσ = 0,
∫ ∆
0
Ψ(σ)dσ = 0. (15)
Построим функцию Ляпунова вида
v(t) = y∗(t)Hy(t) + æ
(
a
∫ σ(t)
σ(0)
F (σ)dσ + a0
∫ σ(t)
σ(0)
Ψ(σ)dσ
)
. (16)
Вычислим ее производную в силу системы (9):
dv(t)
dt
= 2y∗(t)H(Qy(t) + Lξ(t)) + æ (aF (σ(t)) + a0Ψ(σ(t))) σ̇(t). (17)
Из неравенства (12) следует, что
dv(t)
dt
≤ −εσ̇2(t)− æϕ(σ(t))σ̇(t)− ηϕ2(σ(t))−
−τ(Φ(σ(t))σ̇(t))2 + æ(aF (σ(t)) + a0Ψ(σ(t)))σ̇(t),
(18)
откуда в силу (13) и (14) получаем оценку
dv(t)
dt
≤ (−εσ̇2(t)− ηϕ2(σ(t))− τ(Φ(σ(t))σ̇(t))2 − æaνϕ(σ(t))σ̇(t)−
−æa0ν0Φ(σ(t))|ϕ(σ)|σ̇(t)) .
(19)
Правая часть неравенства (19) является квадратичной формой величин σ̇(t), |ϕ(σ)|,
Φ(σ(t))σ̇(t). Согласно условию 2) теоремы 1 она является отрицательно определен-
ной. Так что
dv(t)
dt
≤ −µσ̇2(t)− δϕ2(σ(t)), (20)
где µ > 0, δ > 0. Тогда
v(t)− v(0) ≤ −δ
∫ t
0
ϕ2(σ(t))dt− µ
∫ t
0
σ̇2(t)dt. (21)
Из (15) и гурвицевости матрицы A следует ограниченность функции v(t). Таким
образом, из (21) следует, что
σ̇(t), ϕ(σ(t)) ∈ L2[0, +∞). (22)
Функции z(t), ż(t) и σ̇(t) ограничены на полуоси [0,+∞). Следовательно, ϕ(σ(t))
и σ̇(t) равномерно непрерывны на [0, +∞). Тогда из (22) по лемме Барбалата следует,
что
180
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
σ̇(t) → 0 и ϕ(σ(t)) → 0 при t → +∞, (23)
откуда в силу леммы 2.5.1 [7] получим, что
σ(t) → σ̂ при t → +∞, (24)
где ϕ(σ̂) = 0. Запишем первое уравнение системы (1) в виде
z(t) = eAtz(0) +
∫ t
0
eA(t−τ)bϕ(σ(τ))dτ. (25)
Так как свертка двух функций из L2[0,+∞) стремится к 0 при t → +∞, установим,
что
z(t) → 0 при t → +∞. (26)
Теорема 1 доказана. ¤
Теорема 1 применялась к автономной системе фазовой автоподстройки часто-
ты (ФАПЧ) с пропорционально интегрирующим фильтром (ПИФ), передаточная
функция которой имеет вид
K(p) = T
1 + βTp
1 + Tp
,
где T > 0, β ∈ (0, 1). В случае β = 0, 2 и ϕ(σ) = sinσ − γ, где γ ∈ (0, 1), были
построены оценки областей глобальной асимптотики (полос захвата) на плоскости
{T−1, γ}. Теорема 1 позволила сократить разрыв между истинной границей области
глобальной асимптотики (полученной численным интегрированием [8]) и оценкой
границы, полученной в [7], где применена функция Ляпунова (16) в частном случае
a = 1, в среднем на 15%.
3. Распределенные непрерывные системы. Рассмотрим систему фазовой
синхронизации, описываемую интегродифференциальным уравнением Вольтерра
σ̇(t) = α(t) + ρϕ(σ(t− h))−
∫ t
0
γ(t− τ)ϕ(σ(t))dt (t ≥ 0;h ≥ 0). (27)
Для уравнения (27) определено начальное условие
σ|t∈[−h,0](t) = σ0(t). (28)
Предполагается, что функции α(t) и γ(t) обладают следующими свойствами:
1. α(t) ∈ C[0,+∞), γ(t) измерима.
2. Существует такое положительное число c, что справедливы неравенства
|α(t)| ≤ M1e
−ct, |γ(t)| ≤ M2e
−ct (M1,M2 > 0).
Начальная функция σ0(t) предполагается непрерывной на [−h, 0]. Относительно
функции ϕ(σ) остаются в силе все предположения и обозначения раздела 2.
Передаточная функция линейной части (27) от входа ϕ к выходу (−σ̇).
181
А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый
K(p) = −ρe−ph +
∫ ∞
0
γ(t)e−ptdt (p ∈ C). (29)
Исследование асимптотического поведения уравнения (27) проводится в этом па-
раграфе методом априорных интегральных оценок В.М. Попова. Именно с помощью
этого метода удается распространить частотный критерий глобальной асимптотики,
полученный в разделе 1, на интегродифференциальное уравнение (27)
Теорема 2. Пусть для передаточной функции (29) выполнены все условия тео-
ремы 1. Тогда для любого решения уравнения (27) справедливы предельные соотно-
шения
σ̇ → 0 при t → +∞,
σ → σ̂ при t → +∞,
(30)
где ϕ(σ̂) = 0.
Доказательство. Пусть σ(t) – произвольное решение уравнения (27).
Пусть T > 1. Введем в рассмотрение функции
µ(t) =
0 при t < 0,
t при t ∈ [0, 1],
1 при t > 1
,
r(t) = ϕ(σ(t));
rT (t) =
{
r(t) t ≤ T,
r(T )eλ(T−t) t > T > 1 (λ > 0).
}
,
σT = ρrT (t− h)−
∫ t
0
γ(t− τ)rT (τ)dτ,
σ0(t) = α(t) + (1− µ(t− h)ρrT (t− h))
−
∫ t
0
(1− µ(t− h))γ(t− τ)rT (τ)dτ.
Заметим, что при t ∈ [0, T ] справедливо равенство
σ̇(t) = σ0(t) + σT (t) (31)
Свойства функций α(t), γ(t) и специальный вид функции rT (t) гарантируют для
каждого T > 0 справедливость включений
σT , rT , ṙT ∈ L2[0, +∞) . (32)
Рассмотрим семейство функционалов
ρT =
∫ ∞
0
{
æσT (t)rT (t) + ηr2
T (t) + εσ2
T (t)+
182
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
+τ
(
σT (t)− α−1
1 ṙT (t)
) (
σT (t)− α−1
2 ṙT (t)
)}
dt.
Обозначим через σ̃T , r̃T , ˜̇rT – преобразования Фурье от функций σT , rT , ṙT ,
соответственно, и воспользуемся равенством Парсеваля. Тогда
ρT =
1
2π
∫ +∞
−∞
{
æσ̃∗T (iω)r̃T (iω) + η̃|r̃T (iω)|2 + ε|σ̃T (iω)|2+
+τ
(
σ̃T (iω)− α−1
1
˜̇rT (iω)
)∗ (
σ̃T (iω)− α−1
2
˜̇rT (iω)
)}
dω.
Используя равенства
σ̃T (iω) = −K(iω)r̃T (iω), (33)
˜̇rT (iω) = iωη̃T (iω),
преобразуем функционал ρT к виду
ρT = − 1
2π
∫ +∞
−∞
{
æReK(iω)− η − ε|K(iω)|2−
−τRe
(
(K(iω) + α−1
1 iω)∗(K(iω) + α−1
2 iω)
)} |r̃T (iω)|2dω.
Из частотного условия (7) следует, что
ρT < 0. (34)
Используя равенство (30), представим функционал ρT как сумму двух функци-
оналов
ρT = IT + ρ0T ,
где
IT =
∫ T
0
{
æσ̇(t)r(t) + ηr2(t) + εσ̇2(t)+
+τ
(
σ̇(t)− α−1
1 ṙ(t)
) (
σ̇(t)− α−1
2 ṙ(t)
)}
dt.
Свойства функций α(t), γ(t) и специальный вид функций µ(t), rT (t) позволяют по-
казать [7], что для всех T > 1 справедлива оценка
|ρ0T | < C, (35)
где C – постоянная, не зависящая от T .
Из (34) и (35) следует, что для любого T > 1
IT < C. (36)
183
А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый
Воспользуемся теперь функциями F (σ), Ψ(σ), определенными формулами (13),
(14), и представим IT в виде
IT =
∫ T
0
{æaν|ϕ(σ)|σ̇(t) + æa0ν0|ϕ(σ)|Φ(σ)σ̇(t)+
+εσ̇2(t) + ηϕ2(σ(t)) + τΦ2(σ(t))σ̇2(t)
}
dt +
∫ T
0
æaF (σ(t))σ̇(t)dt +
∫ T
0
æa0ν0Ψ(σ(t))σ̇(t)dt.
В силу формул (15)
∫ σ(t)
σ(0) F (σ)dσ и
∫ σ(t)
σ(0) Ψ(σ)dσ ограничены постоянными, не зави-
сящими от T . Тогда
∫ T
0
{
æaν|r|σ̇ + æa0ν0|r|(fσ̇) + εσ̇2 + ηr2 + τ(fσ̇)2
}
dt, (37)
где f(t) = Φ(σ(t))σ̇(t), также ограничен постоянной, не зависящей от T . Под зна-
ком интеграла (37) стоит квадратичная форма переменных |r|, σ̇, fσ̇. Она является
положительно определенной в силу условий теоремы 2.
Таким образом,
δ0
∫ +∞
0
ϕ2(σ(t))dt + µ0
∫ +∞
0
σ̇2
j (t)dt < C1 (µ0, δ0 > 0), (38)
откуда следует справедливость для произвольного решения уравнения (27) предель-
ных соотношений (23) и (24). Теорема 2 доказана. ¤
Теорема 2 применялась к системе ФАПЧ с ПИФ и запаздыванием в петле обрат-
ной связи, передаточная функция которой имеет вид
K(p) = T
1 + βTp
1 + Tp
e−ph (T > 0, h > 0, β ∈ (0, 1)). (39)
Для ϕ(σ) = sinσ − γ (γ ∈ (0, 1)); β = 0, 2; h = 0, 01; 0, 1; 1 были построены обла-
сти глобальной асимптотики на плоскости
{
T 2, γ
}
. Было установлено, что области
устойчивости, доставляемые теоремой 2, имеют ту же структуру, что области устой-
чивости, полученные в [9] качественно-численными методами. При T 2 < h−1 обла-
сти, доставляемые теоремой 2, отличаются от областей, полученных [9] в среднем на
15-25%. Различие областей тем существеннее, чем больше запаздывание h. Однако
уже при h = 1 полосы захвата, полученные в [9], для T > 1 равны нулю.
Теорема 2 применялась также к исследованию задачи о самосинхронизации двух
дебалансных механических вибровозбудителей, находящихся на общей колеблющей-
ся платформе[10]. В итоге ряда предположений[10] и преобразований получена си-
стема уравнений относительно медленно меняющихся составляющих фаз вращения
роторов Θs(t) (s = 1, 2)
{
I1Θ̈1 + K1Θ̇1 + A sin(Θ1 −Θ2)− β = 0,
I2Θ̈2 + K2Θ̇2 −A sin(Θ1 −Θ2) + β = 0,
}
, (40)
184
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
где I1, I2, K1, K2, β – положительные параметры. Задача самосинхронизации ро-
торов сводится к получению условий на параметры системы (40), при которых раз-
ность σ = Θ1 −Θ2 стремится к одному из нулей функции ϕ(σ) = sinσ − β/A.
Система (40) может быть сведена [11] к уравнению (27) с ρ = 0 и передаточной
функцией
K(p) = A
(
1
I1p + K1
+
1
I2p + K2
)
. (41)
В монографии [11] приведен ряд утверждений относительно коэффициентов си-
стемы (40), которые гарантируют справедливость предельных соотношений (30).
При этом удовлетворяются условия теоремы 2 для a = 1. Варьирование параметра
a позволяет ослабить условия на коэффициенты системы (40).
Предположим, что
A >
√
K1K2
(
K2
1I2
2 + K2
2I2
1
)
2 (K1 + K2)
(
K2
1I2
2 + K2
2I2
1
) · I1K2 + I2K1
I1 · I2
. (42)
Результаты, доставляемые теоремой 2, сравнивались с результатами монографии
[11] в случае A = 2β. Сравнение велось по параметру
y =
K1K2(K1I2 + K2I1)
AI1I2(K1 + K2)
.
Установлено, что теорема 2 обеспечивает менее жесткие условия синхронизации,
чем теоремы [11] (y > 0, 97 и y > 1.13, соответственно).
4. Дискретные системы. Рассмотрим фазовую систему, описываемую разност-
ными уравнениями
z(n + 1) = Az(n) + bϕ(σ(n)),
σ(n + 1) = σ(n) + c∗z(n) + ρϕ(σ(n)) (n = 0, 1, 2, ...),
(43)
где A, b, c, ρ описаны в параграфе 2. Пара (A, b) предполагается управляемой, пара
(A, c) – наблюдаемой. Предполагается также, что все собственные значения матрицы
A лежат на комплексной плоскости внутри единичного круга. Все свойства функции
ϕ(σ), приведенные в разделе 2, остаются в силе. Нам понадобятся далее числа k1 =
2α1−α2, k2 = 2α2−α1. Передаточная функция линейной части системы (43) имеет
вид (6).
Теорема 3. Пусть существуют такие числа æ 6= 0 и a ∈ [0, 1] и такие поло-
жительные числа ε, η, τ , что выполняются следующие условия:
1) для всех p ∈ C, |p| = 1, справедливо неравенство
Re
{
æK(p)− τ(K(p) + (p− 1)k−1
1 )∗(K(p) + (p− 1)k−1
2 )
}− ε|K(p)|2 − η ≥ 0;
185
А.А. Перкин, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый
2) матрица
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
ε− 0.5æα0(a(1 + |ν|)+
+a0(1 + α2−α1√
|α1|α2
|ν0|))
1
2æaν 0
1
2æaν η 1
2æka0kν0k
0 1
2æa0ν0 τ α1α2
k1k2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
,
где a0 = 1−a, α0 = α2, если æ > 0 или α0 = α1, если æ < 0, является положительно
определенной.
Тогда при n →∞ выполнены предельные соотношения
ϕ(σ(n)) → 0, z(n) → 0, (σ(n + 1)− σ(n)) → 0, σ(n) → σ̂,
где ϕ(σ̂) = 0.
Теорема 3 является обобщением теоремы 1 [12].
1. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика.
2006. N 10. С. 47–85.
2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным
состоянием равновесия. М., Наука, 1978. 400 с.
3. Бакаев Ю.И., Гуж А.А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в условиях эф-
фекта Допплера // Радиотехника и электроника. 1965. Т. 10, N 1. С. 175–196.
4. Brokett . On the asymptotic properties of solutions of differential equations with multiple equilibria
// J.Diff.Equations. 1982. Vol.44. P. 249-262.
5. Корякин Ю.А., Леонов Г.А. Определение полос захвата в системе импульсно-фазовой авто-
подстройки частоты.// Радиотехника. 1977. N 6. С. 65–72.
6. Леонов Г.А., Шепелявый А.И. Частотный критерий неустойчивости дискретных фазовых си-
стем. Деп. в ВИНИТИ, N 4502-84 от 2 июля 1984 г.
7. G.A. Leonov, D.V. Ponomarenko and V.B. Smirnova Frequency-Domain Metods for Nonlinear
Analysis. Theory and Applications, World Scientific, Syngapore–New Jersey–London–Hong Kong;
1996. 498 p.
8. Первачев С.В. Исследование режима захвата следящего автоселектора // Радиотехника. 1962.
Т. 17. N 2. С. 51–55.
9. Белюстина Л.Н., Киняпина М.С., Фишман Л.З. Динамика систем фазовой синхронизации с
запаздыванием // Теоретическая электротехника. 1990. Львов.
10. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М., Наука, 1981. 350 с
11. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. С.-
Пб., Наука, 2000. 400 с.
12. V.B. Smirnova and A.I Shepeljavyi A modified frequency-domain criterion for gradient-like behavior
of discrete phase systems // Proceedings of Third IFAC Workshop "Periodic Control Systems".
St.Petersburg, Russia. 2007, http://lib.physcon.ru/getfile.html?item1427.
A.A. Perkin, V.B. Smirnova, A.I. Shepeljavyi
Lyapunov direct method for asymptotics analisys of phase systems.
In the paper by means of Lyapunov functions and Popov functionals a number of multiparameter
frequency-domain criteria for gradient-like behavior of lumped, distributed and discrete systems is
186
Прямой метод Ляпунова в исследовании асимптотики фазовых систем
obtained.
Keywords: Lyapunov functions, Popov functionals, phase systems..
А.А. Перкiн, В.Б. Смiрнова, А.I. Шепелявий
Прямий метод Ляпунова в дослiдженнi асимптотики фазових систем.
Для зосереджених, розподiлених i дискретних фазових систем за допомогою другого методу Ля-
пунова i методу апрiорних iнтегральних оцiнок Попова встановлено багатопараметричнi частотнi
критерiї глобальної асимптотики.
Ключовi слова: функцiї Ляпунова, функцiонали Попова, фазовi системи..
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-
строительный университет, Санкт-Петербург
Санкт-Петербургский государственный университет
as@as1020.spb.edu
Получено 09.12.10
187
|