О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций
Рассматривается последовательность интегральных функционалов, определенных на переменных весовых пространствах Соболева. Значения функционалов не зависят от градиентов функций из областей определения этих функционалов. Устанавливается теорема о выборе из рассматриваемой последовательности функционал...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123966 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций / О.А. Рудакова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 188-193. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123966 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239662017-09-16T03:03:53Z О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций Рудакова, О.А. Рассматривается последовательность интегральных функционалов, определенных на переменных весовых пространствах Соболева. Значения функционалов не зависят от градиентов функций из областей определения этих функционалов. Устанавливается теорема о выборе из рассматриваемой последовательности функционалов подпоследовательности, Г-сходящейся к некоторому интегральному функционалу, определенному на "предельном" весовом соболевском пространстве. Розглядається послідовність інтегральних функціоналів, які визначені на змінник вагових просторах Соболева. Значення функціоналів не залежать від градієнтів функцій із областей визначення цих функціоналів. Встановлюється теорема про вибір із розглядуваної послідовності функціоналів підпослідовності, що Г-збігається до деякого інтегрального функціоналу, визначеного на "граничному" ваговому соболєвському просторі. We consider a sequence of integral functionals defined on variable weighted Sobolev spaces. Values of the functionals do not depend on the gradients of functions belonging to the domains of definition of these functionals. We prove the theorem on the selection from the given sequence of functionals of a subsequence which ¡-converges to an integral functional defined on a "limit" weighted Sobolev space. 2010 Article О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций / О.А. Рудакова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 188-193. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123966 517.9 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается последовательность интегральных функционалов, определенных на переменных весовых пространствах Соболева. Значения функционалов не зависят от градиентов функций из областей определения этих функционалов. Устанавливается теорема о выборе из рассматриваемой последовательности функционалов подпоследовательности, Г-сходящейся к некоторому интегральному функционалу, определенному на "предельном" весовом соболевском пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Рудакова, О.А. |
| spellingShingle |
Рудакова, О.А. О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Рудакова, О.А. |
| author_sort |
Рудакова, О.А. |
| title |
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций |
| title_short |
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций |
| title_full |
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций |
| title_fullStr |
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций |
| title_full_unstemmed |
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций |
| title_sort |
о г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123966 |
| citation_txt |
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов со значениями, не зависящими от градиентов функций / О.А. Рудакова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 188-193. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT rudakovaoa ogkompaktnostiposledovatelʹnostiintegralʹnyhfunkcionalovsoznačeniâminezavisâŝimiotgradientovfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-09T00:37:11Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:37:11Z |
| _version_ |
1837127795107430400 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.9
c©2010. О.А. Рудакова
О Г-КОМПАКТНОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИНТЕГРАЛЬ-
НЫХФУНКЦИОНАЛОВ СО ЗНАЧЕНИЯМИ, НЕ ЗАВИСЯЩИМИ ОТ
ГРАДИЕНТОВ ФУНКЦИЙ
Рассматривается последовательность интегральных функционалов, определенных на переменных
весовых пространствах Соболева. Значения функционалов не зависят от градиентов функций из
областей определения этих функционалов. Устанавливается теорема о выборе из рассматриваемой
последовательности функционалов подпоследовательности, Г-сходящейся к некоторому интеграль-
ному функционалу, определенному на "предельном" весовом соболевском пространстве.
Ключевые слова: интегральные функционалы, вырождение, Г-сходимость, Г-компактность.
Введение. Вопрос о Г-компактности последовательностей интегральных функ-
ционалов, определенных на переменных весовых пространствах Соболева, в случае,
когда значения функционалов зависят от градиентов функций из областей опреде-
ления функционалов и не зависят от самих функций, изучен в [1]–[3].
В настоящей заметке устанавливается теорема о Г-компактности последователь-
ности интегральных функционалов, определенных на тех же переменных весовых
пространствах Соболева, что рассмотрены в работах [1]–[3]. Однако изучается слу-
чай, когда значения функционалов не зависят от градиентов функций из областей
определения этих функционалов. Этот случай существенно проще случая, рассмот-
ренного в вышеуказанных работах. Вместе с тем результаты настоящей статьи пред-
ставляют и самостоятельный интерес, и интерес в связи с получением теорем, соче-
тающих результаты работы и теоремы о Г-компактности последовательностей функ-
ционалов и сходимости их точек минимума, установленные в [1]–[4].
1. Предварительные сведения. Введем используемые в работе функциональ-
ные пространства.
Пусть n ∈ N, n > 2, Ω — ограниченная область в Rn и p ∈ (1, n). Пусть ν —
неотрицательная функция на Ω, причем ν > 0 почти всюду в Ω,
ν ∈ L1
loc(Ω),
(
1
ν
)1/(p−1)
∈ L1
loc(Ω).
Через Lp(ν,Ω) обозначим множество всех измеримых функций u : Ω → R таких, что
функция ν|u|p суммируема на Ω. Lp(ν, Ω) есть банахово пространство с нормой
‖u‖Lp(ν,Ω) =
(∫
Ω
ν|u|p dx
)1/p
.
Через W 1,p(ν,Ω) обозначим множество всех функций u ∈ Lp(ν,Ω) таких, что для
любого i ∈ {1, . . . , n} существует обобщенная производная Diu, Diu ∈ Lp(ν,Ω).
188
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов
W 1,p(ν, Ω) есть рефлексивное банахово пространство с нормой
‖u‖1,p,ν =
(∫
Ω
ν|u|p dx +
n∑
i=1
∫
Ω
ν|Diu|p dx
)1/p
.
Через
◦
W 1,p(ν, Ω) обозначим замыкание множества функций C∞
0 (Ω) в W 1,p(ν,Ω).
◦
W 1,p(ν, Ω) есть рефлексивное банахово пространство с индуцированной
нормой пространства W 1,p(ν, Ω).
Далее, пусть {Ωs} — последовательность областей в Rn, содержащихся в Ω.
Аналогично пространствам, введенным выше, определим функциональные про-
странства, соответствующие областям Ωs.
Пусть s ∈ N. Через Lp(ν,Ωs) обозначим множество всех измеримых функций
u : Ωs → R таких, что функция ν|u|p суммируема на Ωs. Lp(ν, Ωs) есть банахово
пространство с нормой
‖u‖Lp(ν,Ωs) =
(∫
Ωs
ν|u|p dx
)1/p
.
Через W 1,p(ν, Ωs) обозначим множество всех функций u ∈ Lp(ν, Ωs) таких, что для
любого i ∈ {1, . . . , n} существует обобщенная производная Diu, Diu ∈ Lp(ν, Ωs).
W 1,p(ν, Ωs) есть банахово пространство с нормой
‖u‖1,p,ν,s =
(∫
Ωs
ν|u|p dx +
n∑
i=1
∫
Ωs
ν|Diu|p dx
)1/p
.
Через C̃∞
0 (Ωs) обозначим множество всех сужений на Ωs функций из C∞
0 (Ω). Через
W̃ 1,p
0 (ν, Ωs) обозначим замыкание множества C̃∞
0 (Ωs) в W 1,p(ν, Ωs).
Заметим, что если u ∈
◦
W 1,p(ν,Ω) и s ∈ N, то u|Ωs ∈ W̃ 1,p
0 (ν, Ωs).
Введем обозначение: если s ∈ N, то qs — отображение
◦
W 1,p(ν, Ω) в W̃ 1,p
0 (ν,Ωs)
такое, что для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν, Ω) qsu = u|Ωs .
Определение 1. Пусть для любого s ∈ N Is — функционал на W̃ 1,p
0 (ν, Ωs), I —
функционал на
◦
W 1,p(ν,Ω). Будем говорить, что последовательность {Is} Γ-сходится
к функционалу I, если выполняются условия:
1) для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν, Ω) существует последовательность ws ∈
W̃ 1,p
0 (ν, Ωs) такая, что lim
s→∞ ‖ws − qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0, lim
s→∞ Is(ws) = I(u);
2) для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν, Ω) и любой последовательности us ∈
W̃ 1,p
0 (ν, Ωs) такой, что lim
s→∞ ‖us − qsu‖Lp(ν,Ωs) = 0, имеем lim inf
s→∞ Is(us) > I(u).
Это определение введено в работе [1]. Оно является одной из реализаций обще-
го определения Г-сходимости функционалов с переменной областью определения,
данного в [5].
189
О.А. Рудакова
2. Основные результаты. Пусть c > 0, ψ ∈ L1(Ω), ψ > 0 в Ω, и пусть g —
функция на Ω×R, удовлетворяющая условиям Каратеодори и такая, что для почти
всех x ∈ Ω и любого η ∈ R
|g(x, η)| 6 cν(x)|η|p + ψ(x). (1)
Пусть для любого s ∈ N Gs — функционал на W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такой, что для любой
функции u ∈ W̃ 1,p
0 (ν, Ωs)
Gs(u) =
∫
Ωs
g(x, u) dx.
Предложение 1. Пусть v ∈
◦
W 1,p(ν,Ω), и пусть имеем последовательность
функций vs ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такую, что
lim
s→∞ ‖vs − qsv‖Lp(ν,Ωs) = 0. (2)
Тогда
Gs(vs)−Gs(qsv) → 0. (3)
Доказательство. Предположим, что утверждение (3) не верно. Тогда существу-
ют ε > 0 и возрастающая последовательность {sk} ⊂ N такие, что
∀ k ∈ N |Gsk
(vsk
)−Gsk
(qsk
v)| > ε. (4)
В силу суммируемости функций ψ, ν|v|p и g(x, v) на Ω существует δ > 0 такое, что
для любого измеримого множества E ⊂ Ω, measE 6 δ, имеем
∫
E
(ψ + ν|v|p + |g(x, v)|) dx 6 ε
2p+1(c + 1)
.
Для любого s ∈ N определим функцию ṽs : Ω → R следующим образом:
ṽs(x) =
{
vs(x), если x ∈ Ωs,
v(x), если x ∈ Ω \ Ωs.
Очевидно, что {ṽs} ⊂ Lp(ν, Ω) и в силу (2)
‖ṽs − v‖Lp(ν,Ω) → 0. (5)
Отсюда следует, что существует возрастающая последовательность {mj} ⊂
{sk} такая, что ṽmj → v почти всюду в Ω. Следовательно, g(x, ṽmj ) → g(x, v) почти
всюду в Ω. Тогда в силу теоремы Егорова (см., например, [6, с. 269]) существует
измеримое множество Ω′ ⊂ Ω такое, что meas (Ω \ Ω′) 6 δ и
g(x, ṽmj ) → g(x, v) равномерно в Ω′. (6)
190
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов
Ясно, что ∫
Ω\Ω′
(ψ + ν|v|p + |g(x, v)|) dx 6 ε
2p+1(c + 1)
. (7)
Ввиду (5) и (6) существует j′ ∈ N такое, что для любого j ∈ N, j > j′,
2p−1c
∫
Ω
ν|ṽmj − v|p dx 6 ε
4
, (8)
∫
Ω′
|g(x, ṽmj )− g(x, v)| dx 6 ε
4
. (9)
Зафиксируем j ∈ N, j > j′, и положим s = mj . Заметим, что вследствие включе-
ния ṽs ∈ Lp(ν, Ω) и (1) функция g(x, ṽs) суммируема на Ω. Учитывая определения
функции ṽs и функционала Gs, получаем
|Gs(vs)−Gs(qsv)| 6
∫
Ω
|g(x, ṽs)− g(x, v)| dx 6
∫
Ω′
|g(x, ṽs)− g(x, v)| dx
+
∫
Ω\Ω′
|g(x, ṽs)| dx +
∫
Ω\Ω′
|g(x, v)| dx. (10)
Кроме того, в силу (1) имеем
∫
Ω\Ω′
|g(x, ṽs)| dx 6 2p−1c
∫
Ω
ν|ṽs − v|p dx + 2p−1(c + 1)
∫
Ω\Ω′
(ν|v|p + ψ) dx. (11)
Используя (7)–(9) и (11), из (10) выводим, что
|Gs(vs)−Gs(qsv)| 6 3ε
4
.
Последнее неравенство противоречит (4). Полученное противоречие доказывает, что
утверждение (3) справедливо. Предложение доказано. ¤
Далее, введем обозначение: если σ ∈ L∞(Ω), то Gσ — функционал на
◦
W 1,p(ν, Ω)
такой, что для любой функции u ∈
◦
W 1,p(ν, Ω)
Gσ(u) =
∫
Ω
σg(x, u) dx.
Предложение 2. Пусть {rm} ⊂ N — возрастающая последовательность.
Тогда существуют возрастающая последовательность {sj} ⊂ {rm} и функция
σ : Ω → R такие, что 0 6 σ 6 1 в Ω и для любых v ∈
◦
W 1,p(ν, Ω) и последо-
вательности vs ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs), удовлетворяющих условию ‖vs − qsv‖Lp(ν,Ωs) → 0,
имеем Gsj (vsj ) → Gσ(v).
Доказательство. Пусть для любого s ∈ N χs : Ω → R — характеристическая
функция множества Ωs. Очевидно, что {χs} ⊂ L2(Ω) и последовательность {χs}
191
О.А. Рудакова
ограничена в L2(Ω). Отсюда, учитывая рефлексивность пространства L2(Ω) и то,
что 0 6 χs 6 1 для любого s ∈ N, выводим, что существуют возрастающая последо-
вательность {sj} ⊂ {rm} и функция σ : Ω → R такие, что 0 6 σ 6 1 в Ω и χsj → σ
слабо в L2(Ω). Отсюда, в свою очередь, получаем, что
∀ϕ ∈ L1(Ω) lim
j→∞
∫
Ω
χsjϕdx =
∫
Ω
σϕdx. (12)
Пусть теперь v ∈
◦
W 1,p(ν, Ω) и имеем последовательность vs ∈ W̃ 1,p
0 (ν,Ωs) такую,
что ‖vs − qsv‖Lp(ν,Ωs) → 0. Так как g(x, v) ∈ L1(Ω), то в силу (12) имеем Gsj (qsjv) →
Gσ(v). Отсюда и из предложения 1 вытекает, что Gsj (vsj ) → Gσ(v). Предложение
доказано. ¤
Из предложения 2 вытекает такой результат.
Теорема 1. Существуют возрастающая последовательность {sj} ⊂ N и функ-
ция σ : Ω → R такие, что 0 6 σ 6 1 в Ω и последовательность {Gsj} Г-сходится
к функционалу Gσ.
Автор выражает благодарность А.А. Ковалевскому за полезные рекомендации.
1. Ковалевский А.А., Рудакова О.А. О Γ-компактности интегральных функционалов с вырож-
денными интегрантами // Нелинейные граничные задачи. – 2005. – Вып. 15. – С. 149–153.
2. Рудакова О.А. О коэрцитивности интегранта Г-предельного функционала последовательности
интегральных функционалов, определенных на различных весовых пространствах Соболева
// Труды ИПММ НАН Украины. – 2007. – 15. – С. 171–180.
3. Рудакова О.А. О Г-сходимости интегральных функционалов, определенных на различных ве-
совых пространствах Соболева // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 99–115.
4. Kovalevsky A., Rudakova O. Variational problems with pointwise constraints and degeneration in
variable domains // Differ. Equ. Appl. – 2009. – 1, № 4. – P. 517–559.
5. Ковалевский А.А. Усреднение переменных вариационных задач // Докл. АН УССР. Сер. А. –
1988. – № 8. – С. 6–9.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1972. – 490 с.
O.A. Rudakova
On Γ-compactness of a sequence of integral functionals whose values do not depend on
gradients of functions.
We consider a sequence of integral functionals defined on variable weighted Sobolev spaces. Values of
the functionals do not depend on the gradients of functions belonging to the domains of definition of
these functionals. We prove the theorem on the selection from the given sequence of functionals of a
subsequence which Γ-converges to an integral functional defined on a "limit" weighted Sobolev space.
Keywords: integral functionals, degeneration, Γ-convergence, Γ-compactness.
О.А. Рудакова
Про Г-компактнiсть послiдовностi iнтегральних функцiоналiв зi значеннями, що не
залежать вiд градiєнтiв функцiй.
192
О Г-компактности последовательности интегральных функционалов
Розглядається послiдовнiсть iнтегральних функцiоналiв, якi визначенi на змiнних вагових просто-
рах Соболєва. Значення функцiоналiв не залежать вiд градiєнтiв функцiй iз областей визначення
цих функцiоналiв. Встановлюється теорема про вибiр iз розглядуваної послiдовностi функцiоналiв
пiдпослiдовностi, що Г-збiгається до деякого iнтегрального функцiоналу, визначеного на "гранич-
ному" ваговому соболєвському просторi.
Ключовi слова: iнтегральнi функцiонали, виродження, Г-збiжнiсть, Г-компактнiсть.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
rudakova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 20.11.2010
193
|