Дімоноїди з ідемпотентною операцією

Дімоноїди з ідемпотентною операцією

У роботі доведено кілька структурних теорем для дімоноїдів з ідемпотентною операцією.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
1. Verfasser: Жучок, А.В.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Schriftenreihe:Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123988
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Дімоноїди з ідемпотентною операцією / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 99-107. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-123988
record_format dspace
spelling irk-123456789-1239882017-09-18T03:02:58Z Дімоноїди з ідемпотентною операцією Жучок, А.В. У роботі доведено кілька структурних теорем для дімоноїдів з ідемпотентною операцією. В работе доказано несколько структурных теорем для димоноидов с идемпотентной операцией. We prove the structure theorems for dimonoids with an idempotent operation. 2011 Article Дімоноїди з ідемпотентною операцією / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 99-107. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123988 512.579 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description У роботі доведено кілька структурних теорем для дімоноїдів з ідемпотентною операцією.
format Article
author Жучок, А.В.
spellingShingle Жучок, А.В.
Дімоноїди з ідемпотентною операцією
Труды Института прикладной математики и механики
author_facet Жучок, А.В.
author_sort Жучок, А.В.
title Дімоноїди з ідемпотентною операцією
title_short Дімоноїди з ідемпотентною операцією
title_full Дімоноїди з ідемпотентною операцією
title_fullStr Дімоноїди з ідемпотентною операцією
title_full_unstemmed Дімоноїди з ідемпотентною операцією
title_sort дімоноїди з ідемпотентною операцією
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123988
citation_txt Дімоноїди з ідемпотентною операцією / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 99-107. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv AT žučokav dímonoídizídempotentnoûoperacíêû
first_indexed 2025-07-09T00:39:55Z
last_indexed 2025-07-09T00:39:55Z
_version_ 1837127809356529664
fulltext ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22 УДК 512.579 c©2011. А.В. Жучок ДIМОНОЇДИ З IДЕМПОТЕНТНОЮ ОПЕРАЦIЄЮ У роботi доведено кiлька структурних теорем для дiмоноїдiв з iдемпотентною операцiєю. Ключовi слова: дiмоноїд з iдемпотентною операцiєю, напiвгрупа iдемпотентiв, конгруенцiя, дiсполука пiддiмоноїдiв. 1. Вступ. Вiдомо, що унiверсальна обгортуюча алгебра алгебри Лi має струк- туру асоцiативної алгебри. У 1993 роцi Ж.-Л. Лоде ввiв поняття алгебри Лейбниця [1], яке узагальнює поняття алгебри Лi, та показав, що зв’язок мiж алгебрами Лi та асоцiативними алгебрами є аналогiчним зв’язку мiж алгебрами Лейбниця та так званими дiалгебрами [2], якi узагальнюють асоцiативнi алгебри. Зокрема, Ж.-Л. Лоде встановив, що будь-яка дiалгебра стає алгеброю Лейбниця, якщо на нiй ввести дужки Лейбниця за правилом [x, y] = x ≺ y − y  x, та унiверсальна обгортуюча алгебра алгебри Лейбниця має структуру дiалгебри. З iншого боку, дiалгебра є лiнiйним аналогом поняття дiмоноїда [2], введеного Ж.-Л. Лоде для вивчення властивостей алгебр Лейбниця. Одним з перших резуль- татiв про дiмоноїди є опис вiльного дiмоноїда на заданiй множинi [2]. За допомогою вiльних дiмоноїдiв Ж.-Л. Лоде дав опис вiльної дiалгебри [2]. Структуру комута- тивних дiмоноїдiв та iдемпотентних дiмоноїдiв було описано в термiнах дiсполук пiддiмоноїдiв у [3] та, вiдповiдно, [4]. Вiльнi комутативнi дiмоноїди було побудовано в [5]. У [6] автор описав будову довiльної дiсполуки пiддiмоноїдiв. У [7] доведено, що вiльний дiмоноїд є напiвструктурою s-простих пiддiмоноїдiв, кожен iз яких є прямокутною сполукою пiддiмоноїдiв. У цiй роботi продовжено вивчення структурних властивостей дiмоноїдiв за допо- могою дiсполук пiддiмоноїдiв, розпочате в [3] (див. також [4], [6], [7]). Для дiмоноїдiв з iдемпотентною операцiєю отримано кiлька структурних теорем. Основнi резуль- тати цiєї роботи узагальнюють деякi результати [8]. 2. Основнi поняття. Множина D з визначеними на нiй бiнарними операцiями ≺ i Â, якi задовольняють аксiоми: (x ≺ y) ≺ z = x ≺ (y ≺ z), (x ≺ y) ≺ z = x ≺ (y  z), (x  y) ≺ z = x  (y ≺ z), (x ≺ y)  z = x  (y  z), (x  y)  z = x  (y  z) 99 А.В. Жучок для всiх x, y, z ∈ D, називається дiмоноїдом. У випадку, коли операцiї дiмоноїда збiгаються, вiн перетворюється у напiвгрупу. Приклади дiмоноїдiв можна знайти в [2]–[7]. Вiдображення f дiмоноїда D1 у дiмоноїд D2 називається гомоморфiзмом, якщо (x ≺ y)f = xf ≺ yf, (x  y)f = xf  yf для всiх x, y ∈ D1. Якщо f : D1 → D2 – гомоморфiзм дiмоноїдiв, то через ∆f позначатимемо вiдповiдну конгруенцiю на дiмоноїдi D1. Дiмоноїд (D,≺,Â) називається дiмоноїдом iдемпотентiв або дiсполукою, якщо x ≺ x = x = x  x для всiх x ∈ D. Поняття дiсполуки пiддiмоноїдiв було введено в [3] та охарактеризовано в [6]. Нагадаємо його означення. Нехай S – довiльний дiмоноїд, J – деякий дiмоноїд iдемпотентiв. Якщо iснує гомоморфiзм α : S → J : x 7→ xα, то кожний клас конгруенцiї ∆α є пiддiмоноїдом дiмоноїда S, а сам дiмоноїд S є об’єднанням таких дiмоноїдiв Sξ, ξ ∈ J, що xα = ξ ⇔ x ∈ Sξ = {t ∈ S |(x; t) ∈ ∆α}, Sξ ≺ Sε ⊆ Sξ≺ ε, Sξ  Sε ⊆ SξÂε, ξ 6= ε ⇒ Sξ ⋂ Sε = ∅. У цьому випадку говоритимемо, що S розкладається в дiсполуку пiддiмоноїдiв (або S є дiсполукою J пiддiмоноїдiв Sξ, ξ ∈ J). Якщо ж J є напiвгрупою iдемпотен- тiв (=сполукою), то говоритимемо, що S є сполукою J пiддiмоноїдiв Sξ, ξ ∈ J . Нагадаємо (див. [8]), що напiвгрупа iдемпотентiв S називається (a) правою регулярною, якщо ab = bab для всiх a, b ∈ S; (b) лiвою регулярною, якщо ab = aba для всiх a, b ∈ S; (c) регулярною, якщо abca = abaca для всiх a, b, c ∈ S; (d) правою напiврегулярною, якщо axy = axyayxy для всiх a, x, y ∈ S; (e) лiвою напiврегулярною, якщо xya = xyxaxya для всiх x, y, a ∈ S; (f) правою нормальною, якщо yxa = xya для всiх y, x, a ∈ S; (g) лiвою нормальною, якщо axy = ayx для всiх a, x, y ∈ S; (h) нормальною, якщо abca = acba для всiх a, b, c ∈ S; (i) правою напiвнормальною, якщо axy = axyay для всiх a, x, y ∈ S; (j) лiвою напiвнормальною, якщо xya = xaxya для всiх x, y, a ∈ S; (k) правою квазiнормальною, якщо axy = axay для всiх a, x, y ∈ S; (l) лiвою квазiнормальною, якщо xya = xaya для всiх x, y, a ∈ S. 3. Допомiжнi леми. У цьому пунктi доведено необхiднi нам леми. 3.1. Напiвгрупу S будемо називати прямокутною, якщо xyz = xz для всiх x, y, z ∈ S. Прямокутними напiвгрупами є, наприклад, прямокутнi сполуки, напiвгрупи з нульовим множенням. 100 Дiмоноїди з iдемпотентною операцiєю Має мiсце така лема. Лема. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд. Якщо напiвгрупа (D,≺) є напiвгрупою лiвих нулiв, то напiвгрупа (D,Â) є прямокутною. Доведення. Для всiх a, b, c ∈ D маємо (a ≺ b)  c = a  c = a  b  c = a  (b  c) згiдно з аксiомами дiмоноїда. Лему доведено. Нехай (X,≺) – напiвгрупа лiвих нулiв, (X,Â) – прямокутна напiвгрупа. Дiмоноїд (X,≺,Â) назвемо (lz; rs)-дiмоноїдом. 3.2. Якщо ρ – така конгруенцiя на дiмоноїдi (D,≺,Â), що (D,≺,Â)/ρ є дiмоноїдом iдемпотентiв, то будемо говорити, що ρ – iдемпотентна конгруенцiя. Визначимо вiдношення Σ на дiмоноїдi (D,≺,Â) з iдемпотентною операцiєю ≺ за правилом: aΣ b тодi i тiльки тодi, коли a = a ≺ b, b = b ≺ a. У термiнах дiсполуки пiддiмоноїдiв (див. п.2) має мiсце лема. Лема. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд з iдемпотентною операцiєю ≺. Якщо вiдно- шення Σ є конгруенцiєю на напiвгрупi (D,≺), то Σ є iдемпотентною конгруенцiєю на дiмоноїдi (D,≺,Â) та операцiї фактор-дiмоноїда (D,≺,Â)/Σ збiгаються. У цьо- му випадку (D,≺,Â) є сполукою (lz; rs)-пiддiмоноїдiв. Доведення. Нехай Σ є конгруенцiєю на напiвгрупi (D,≺). Покажемо, що Σ є стабiльним вiдносно операцiї Â. Нехай aΣ b, a, b, c ∈ D. Тодi a ≺ cΣ b ≺ c. Це означає, що a ≺ c = (a ≺ c ) ≺ (b ≺ c), (1) b ≺ c = (b ≺ c ) ≺ (a ≺ c). (2) Домножимо обидвi частини рiвностi (1) на a  c та рiвностi (2) на b  c, тодi отримаємо: (a  c) ≺ (a ≺ c) = (a  c) ≺ (a  c) = = a  c = (a  c) ≺ ((a ≺ c ) ≺ (b ≺ c)) = = ((a  c) ≺ (a ≺ c )) ≺ (b ≺ c) = = (a  c) ≺ (b ≺ c) = (a  c) ≺ (b  c), (b  c) ≺ (b ≺ c) = (b  c) ≺ (b  c) = = b  c = (b  c) ≺ ((b ≺ c ) ≺ (a ≺ c)) = = ((b  c) ≺ (b ≺ c )) ≺ (a ≺ c) = = (b  c) ≺ (a ≺ c) = (b  c) ≺ (a  c) згiдно з аксiомами дiмоноїда та iдемпотентнiстю операцiї ≺. Отже, a  cΣb  c. Аналогiчно можна показати, що c  aΣc  b. Таким чином, Σ є конгруенцiєю на (D,≺,Â). 101 А.В. Жучок Оскiльки a ≺ b = (a ≺ b) ≺ (a ≺ b) = (a ≺ b) ≺ (a  b), a  b = (a  b) ≺ (a  b) = (a  b) ≺ (a ≺ b) для всiх a, b ∈ D згiдно з iдемпотентнiстю операцiї ≺ та аксiомами дiмоноїда, то a ≺ b Σ a  b. Звiдси випливає, що операцiї фактор-дiмоноїда (D,≺,Â)/Σ збiгаються. Тодi з iдемпотентностi операцiї ≺ випливає iдемпотентнiсть конгруенцiї Σ. Доведемо останнє твердження леми. Якщо Σ – конгруенцiя на напiвгрупi (D,≺), то Σ – iдемпотентна конгруенцiя на дiмоноїдi (D,≺,Â). Тодi (D,≺,Â) → (D,≺,Â)/Σ : x 7→ [x] є гомоморфiзмом ([x] – клас конгруенцiї Σ, який мiстить x). З означення Σ випли- ває, що кожний клас A конгруенцiї Σ є напiвгрупою лiвих нулiв вiдносно операцiї ≺. Звiдси згiдно з лемою п.3.1 A є прямокутною напiвгрупою вiдносно операцiї Â. Таким чином, A – (lz; rs)-пiддiмоноїд дiмоноїда (D,≺,Â). Лему доведено. 3.3. Має мiсце така лема. Лема.Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд. Якщо напiвгрупа (D,Â) є напiвгрупою правих нулiв, то напiвгрупа (D,≺) є прямокутною. Доведення. Для всiх a, b, c ∈ D маємо a ≺ (b  c) = a ≺ c = a ≺ b ≺ c = (a ≺ b) ≺ c згiдно з аксiомами дiмоноїда. Лему доведено. Нехай (X,≺) – прямокутна напiвгрупа, (X,Â) – напiвгрупа правих нулiв. Дiмо- ноїд (X,≺,Â) назвемо (rs; rz)-дiмоноїдом. 3.4. Визначимо вiдношення Ω на дiмоноїдi (D,≺,Â) з iдемпотентною операцiєю  за правилом: aΩb тодi i тiльки тодi, коли a = b  a, b = a  b. У термiнах дiсполуки пiддiмоноїдiв (див. п.2) має мiсце лема. Лема. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд з iдемпотентною операцiєю Â. Якщо вiдно- шення Ω є конгруенцiєю на напiвгрупi (D,Â), то Ω є iдемпотентною конгруенцiєю на дiмоноїдi (D,≺,Â) та операцiї фактор-дiмоноїда (D,≺,Â)/Ω збiгаються. У цьо- му випадку (D,≺,Â) є сполукою (rs; rz)-пiддiмоноїдiв. Доведення. Нехай Ω є конгруенцiєю на напiвгрупi (D,Â). Покажемо, що Ω є стабiльним вiдносно операцiї ≺. Нехай aΩb, a, b, c ∈ D. Тодi a  cΩ b  c. Це означає, що a  c = (b  c )  (a  c), (3) b  c = (a  c )  (b  c). (4) 102 Дiмоноїди з iдемпотентною операцiєю Домножимо обидвi частини рiвностi (3) на a ≺ c та рiвностi (4) на b ≺ c, тодi отримаємо: (a  c)  (a ≺ c) = (a ≺ c)  (a ≺ c) = = a ≺ c = ((b  c )  (a  c))  (a ≺ c) = = (b  c)  ((a  c )  (a ≺ c)) = = (b  c)  (a ≺ c) = (b ≺ c)  (a ≺ c), (b  c)  (b ≺ c) = (b ≺ c)  (b ≺ c) = = b ≺ c = ((a  c )  (b  c))  (b ≺ c) = = (a  c)  ((b  c )  (b ≺ c)) = = (a  c)  (b ≺ c) = (a ≺ c)  (b ≺ c) згiдно з аксiомами дiмоноїда та iдемпотентнiстю операцiї Â. Отже, a ≺ cΩb ≺ c. Аналогiчно можна показати, що c ≺ aΩc ≺ b. Таким чином, Ω є конгруенцiєю на (D,≺,Â). Оскiльки a  b = (a  b)  (a  b) = (a ≺ b)  (a  b), a ≺ b = (a ≺ b)  (a ≺ b) = (a  b)  (a ≺ b) для всiх a, b ∈ D згiдно з iдемпотентнiстю операцiї  та аксiомами дiмоноїда, то a  b Ωa ≺ b. Звiдси випливає, що операцiї фактор-дiмоноїда (D,≺,Â)/Ω збiгаються. Тодi з iдемпотентностi операцiї  випливає iдемпотентнiсть конгруенцiї Ω. Доведемо останнє твердження леми. Якщо Ω – конгруенцiя на напiвгрупi (D,Â), то Ω – iдемпотентна конгруенцiя на дiмоноїдi (D,≺,Â). Тодi (D,≺,Â) → (D,≺,Â)/Ω : x 7→ [x) є гомоморфiзмом ([x) – клас конгруенцiї Ω, який мiстить x). З означення Ω випли- ває, що кожний клас A конгруенцiї Ω є напiвгрупою правих нулiв вiдносно операцiї Â. Звiдси згiдно з лемою п.3.3 A є прямокутною напiвгрупою вiдносно операцiї ≺. Таким чином, A – (rs; rz)-пiддiмоноїд дiмоноїда (D,≺,Â). Лему доведено. 3.5. Має мiсце така лема. Лема. Нехай (D,≺,Â) – довiльний дiмоноїд, x, ai ∈ D, 1 ≤ i ≤ n, n ∈ N , n > 1. Тодi (i) (an ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ a1)  x = an  ...  ai  ...  a1  x; (ii) x ≺ (a1  ...  ai  ...  an) = x ≺ a1 ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ an. Доведення. Доведемо (i), використовуючи iндукцiю за n. Для n = 2 маємо (a2 ≺ a1)  x = a2  a1  x згiдно з аксiомами дiмоноїда. Нехай (ak ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ a1)  x = ak  ...  ai  ...  a1  x для n = k. Тодi для n = k + 1 одержуємо 103 А.В. Жучок (ak+1 ≺ ak ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ a1)  x = = (ak+1 ≺ (ak ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ a1))  x = = ak+1  ((ak ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ a1)  x) = = ak+1  ak  ...  ai  ...  a1  x згiдно з аксiомами дiмоноїда та iз урахуванням зробленого припущення. Таким чи- ном, (an ≺ ... ≺ ai ≺ ... ≺ a1)  x = an  ...  ai  ...  a1  x для всiх n > 1. Аналогiчно можна довести рiвнiсть (ii). Лему доведено. 3.6. Вiдомо (див. [8]), що напiвгрупа iдемпотентiв є регулярною тодi i тiльки тодi, коли вона є напiврегулярною i злiва, i справа, та напiвгрупа iдемпотентiв є нормальною тодi i тiльки тодi, коли вона є квазiнормальною i злiва, i справа. Дiмоноїд iдемпотентiв (D,≺,Â) назвемо регулярним, якщо напiвгрупи (D,≺) та (D,Â) є регулярними напiвгрупами iдемпотентiв. Критерiй регулярностi дiмоноїда iдемпотентiв дає така лема. Лема. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд iдемпотентiв. Тодi (D,≺,Â) є регулярним тодi i тiльки тодi, коли (D,≺) є правою напiврегулярною напiвгрупою iдемпотен- тiв та (D,Â) є лiвою напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв. Доведення. Нехай (D,≺,Â) – регулярний дiмоноїд iдемпотентiв. Тодi з означення регулярного дiмоноїда та з критерiю регулярностi напiвгрупи iдемпотентiв випли- ває, що (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв. Навпаки, нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд з правою напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв (D,≺) та з лiвою напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв (D,Â). Оскiльки (D,≺) – права напiврегулярна напiвгрупа iдемпотентiв, то a ≺ x ≺ y = a ≺ x ≺ y ≺ a ≺ y ≺ x ≺ y для всiх a, x, y ∈ D. Домножимо обидвi частини останньої рiвностi на y вiдносно операцiї Â, тодi отримаємо: (a ≺ x ≺ y)  y = a  x  y  y = a  x  y, (a ≺ x ≺ y ≺ a ≺ y ≺ x ≺ y)  y = = a  x  y  a  y  x  y  y = = a  x  y  a  y  x  y згiдно з лемою п.3.5 та iдемпотентнiстю операцiї Â. Отже, (D,Â) – права напiвре- гулярна напiвгрупа iдемпотентiв. Таким чином, напiвгрупа iдемпотентiв (D,Â) є напiврегулярною i злiва, i справа. Звiдси за критерiєм регулярностi напiвгрупи iдем- потентiв (D,Â) є регулярною напiвгрупою iдемпотентiв. Оскiльки (D,Â) – лiва напiврегулярна напiвгрупа iдемпотентiв, то x  y  a = x  y  x  a  x  y  a 104 Дiмоноїди з iдемпотентною операцiєю для всiх x, y, a ∈ D. Домножимо обидвi частини останньої рiвностi на x вiдносно операцiї ≺, тодi отримаємо: x ≺ (x  y  a) = x ≺ x ≺ y ≺ a = x ≺ y ≺ a, x ≺ (x  y  x  a  x  y  a) = = x ≺ x ≺ y ≺ x ≺ a ≺ x ≺ y ≺ a = = x ≺ y ≺ x ≺ a ≺ x ≺ y ≺ a згiдно з лемою п.3.5 та iдемпотентнiстю операцiї ≺. Отже, (D,≺) є лiвою напiвре- гулярною напiвгрупою iдемпотентiв. Таким чином, напiвгрупа iдемпотентiв (D,≺) є напiврегулярною i справа, i злiва. Звiдси за критерiєм регулярностi напiвгрупи iдемпотентiв (D,≺) є регулярною напiвгрупою iдемпотентiв. Таким чином, за означенням (D,≺,Â) – регулярний дiмоноїд iдемпотентiв. Лему доведено. 4. Основнi результати. У цьому пунктi наведено основнi результати роботи. 4.1. В умовах та позначеннях пунктiв 3.1–3.4 має мiсце теорема. Теорема. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд. Вiдношення Σ (вiдповiдно Ω) є iдемпо- тентною конгруенцiєю на (D,≺,Â) з iдемпотентною операцiєю ≺ (вiдповiдно Â) тодi i тiльки тодi, коли (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв. У цьому випадку (D,≺,Â) з правою (вiдповiдно лiвою) напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) регулярною сполукою (lz; rs)-пiддiмоноїдiв (вiд- повiдно (rs; rz)-пiддiмоноїдiв). Доведення. Нехай Σ – iдемпотентна конгруенцiя на дiмоноїдi (D,≺,Â) з iдемпо- тентною операцiєю ≺. Тодi за теоремою 1 роботи [8] (D,≺) є правою напiврегуляр- ною напiвгрупою iдемпотентiв. Навпаки, нехай (D,≺) є правою напiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв. Тодi за теоремою 1 роботи [8] Σ є конгруенцiєю на напiв- групi iдемпотентiв (D,≺). Звiдси згiдно з лемою п.3.2 Σ – iдемпотентна конгруенцiя на дiмоноїдi (D,≺,Â) з iдемпотентною операцiєю ≺. Нехай тепер Σ – iдемпотентна конгруенцiя на дiмоноїдi (D,≺,Â) з правою на- пiврегулярною напiвгрупою iдемпотентiв (D,≺). Згiдно з лемою п.3.2 операцiї фактор- дiмоноїда (D,≺,Â)/Σ збiгаються та (D,≺,Â) є сполукою (D,≺)/Σ (lz; rs)-пiддiмоноїдiв. Але в цьому випадку за теоремою 1 роботи [8] (D,≺)/Σ – права регулярна напiвгрупа iдемпотентiв. Отже, (D,≺,Â) є правою регулярною сполукою (lz; rs)-пiддiмоноїдiв. Аналогiчно, використовуючи теорему 1 роботи [8] та лему п.3.4, можна довести двоїстий випадок. Теорему доведено. Ця теорема узагальнює теорему 1 роботи [8]. 4.2. З теореми п.4.1, з леми п.3.6 та з критерiю регулярностi напiвгрупи iдемпо- тентiв (п.3.6) отримуємо наслiдок. Наслiдок. Вiдношення Σ та Ω є конгруенцiями на дiмоноїдi iдемпотентiв (D,≺,Â) тодi i тiльки тодi, коли (D,≺,Â) – регулярний дiмоноїд iдемпотентiв. Цей наслiдок узагальнює першу частину наслiдку теореми 1 роботи [8]. 105 А.В. Жучок 4.3. З теореми п.4.1 та з критерiю регулярностi напiвгрупи iдемпотентiв отри- муємо наслiдок. Наслiдок. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд. Тодi (D,≺,Â) з регулярною напiвгрупою iдемпотентiв (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) регулярною сполукою (lz; rs)-пiддiмоноїдiв (вiдповiдно (rs; rz)-пiддiмоноїдiв). 4.4. В умовах та позначеннях пунктiв 3.1–3.4 має мiсце теорема. Теорема. (D,≺,Â) – дiмоноїд. Вiдношення Σ (вiдповiдно Ω) є iдемпотентною конгруенцiєю на (D,≺,Â) з iдемпотентною операцiєю ≺ (вiдповiдно Â) i (D,≺, ) з iдемпотентною операцiєю ≺ (вiдповiдно Â) є правою (вiдповiдно лiвою) нор- мальною сполукою (D,≺)/Σ (вiдповiдно (D,Â)/Ω) (lz; rs)-пiддiмоноїдiв (вiдповiдно (rs; rz)-пiддiмоноїдiв) тодi i тiльки тодi, коли (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) напiвнормальною напiвгрупою iдемпотентiв. Доведення. Нехай Σ є iдемпотентною конгруенцiєю на дiмоноїдi (D,≺,Â) з iдем- потентною операцiєю ≺ i (D,≺,Â) є правою нормальною сполукою (D,≺)/Σ (lz; rs)- пiддiмоноїдiв. Тодi за теоремою 2 роботи [8] (D,≺) є правою напiвнормальною напiв- групою iдемпотентiв. Навпаки, нехай (D,≺) є правою напiвнормальною напiвгрупою iдемпотентiв. Тодi за теоремою 2 роботи [8] Σ є конгруенцiєю на напiвгрупi iдемпо- тентiв (D,≺) i (D,≺) є правою нормальною сполукою (D,≺)/Σ напiвгруп лiвих нулiв. Звiдси згiдно з лемою п.3.2 Σ є iдемпотентною конгруенцiєю на дiмоноїдi (D,≺,Â) з iдемпотентною операцiєю ≺ i (D,≺,Â) є правою нормальною сполукою (D,≺)/Σ (lz; rs)-пiддiмоноїдiв. Аналогiчно, використовуючи теорему 2 роботи [8] та лему п.3.4, можна довести двоїстий випадок. Теорему доведено. Ця теорема узагальнює теорему 2 роботи [8]. 4.5. Має мiсце така теорема. Теорема. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд. Toдi (D,≺,Â) з правою (вiдповiдно лiвою) квазiнормальною напiвгрупою iдемпотентiв (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) нормальною сполукою (lz; rs)-пiддiмоноїдiв (вiдповiдно (rs; rz)- пiддiмоноїдiв). Доведення. Згiдно з теоремою 3 роботи [8] Σ – конгруенцiя на правiй квазiнор- мальнiй напiвгрупi iдемпотентiв (D,≺) та (D,≺)/Σ – права нормальна напiвгрупа iдемпотентiв (див. п.3.2). Тодi згiдно з лемою п.3.2 (D,≺,Â) є правою нормальною сполукою (D,≺)/Σ (lz; rs)-пiддiмоноїдiв. Аналогiчно, використовуючи теорему 3 роботи [8] та лему п.3.4, можна довести двоїстий випадок. Теорему доведено. 4.6. З теореми п.4.5 та з критерiю нормальностi напiвгрупи iдемпотентiв (п.3.6) отримуємо наслiдок. Наслiдок. Нехай (D,≺,Â) – дiмоноїд. Тодi (D,≺,Â) з нормальною напiвгрупою iдемпотентiв (D,≺) (вiдповiдно (D,Â)) є правою (вiдповiдно лiвою) нормальною сполукою (lz; rs)-пiддiмоноїдiв (вiдповiдно (rs; rz)-пiддiмоноїдiв). 106 Дiмоноїди з iдемпотентною операцiєю 1. Loday J.-L. Une version non commutative des algèbres de Lie: les algèbres de Leibniz // Enseign. Math. – 1993. – 39. – P. 269-293. 2. Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and related operads: Lect. Notes Math. – Springer, Berlin. – 2001. – 1763. – P. 7-66. 3. Zhuchok A.V. Commutative dimonoids // Algebra and Discrete Math. – 2009. – N 2. – P. 116-127. 4. Zhuchok A.V. Semilattices of subdimonoids // Asian-European Journal of Math. – 2011. – To appear. 5. Zhuchok A.V. Free commutative dimonoids // Algebra and Discrete Math. – 2010. – 9, N 1. – P. 109-119. 6. Zhuchok A.V. Dibands of subdimonoids // Mat. Stud. – 2010. – 33. – P. 120-124. 7. Жучок А.В. Вiльнi дiмоноїди // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 2. – С. 165-175. 8. Kimura N. Note on Idempotent Semigroups. III // Proc. Japan Academy. – 1958. – 34, N 2. – P. 113-114. A.V. Zhuchok Dimonoids with an idempotent operation. We prove the structure theorems for dimonoids with an idempotent operation. Keywords: dimonoid with an idempotent operation, idempotent semigroup, congruence, diband of subdimonoids. А.В. Жучок Димоноиды с идемпотентной операцией. В работе доказано несколько структурных теорем для димоноидов с идемпотентной операцией. Ключовi слова: димоноид с идемпотентной операцией, полугруппа идемпотентов, конгруэн- ция, дисвязка поддимоноидов. Київський нацiональний ун-т iменi Тараса Шевченка zhuchok_a@mail.ru Получено 30.03.11 107

Ähnliche Einträge