Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании
Получены аналитические формулы для компонент напряжений и перемещений в трансверсально-изотропной полосе, лежащей на упругом перфорированном основании, в случае, когда на участке нижней границы приложена нормальная нагрузка....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123989 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании / А.В. Зенченков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 108-114. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123989 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239892017-09-18T03:03:09Z Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании Зенченков, А.В. Получены аналитические формулы для компонент напряжений и перемещений в трансверсально-изотропной полосе, лежащей на упругом перфорированном основании, в случае, когда на участке нижней границы приложена нормальная нагрузка. Отримано аналітичні формули для компонент напружень та переміщень у трансверсально-ізотропній смузі, що лежить на пружній перфорованій основі, у разі, коли на ділянці нижньої межі прикладене нормальне навантаження. Analytical formulas for the components of stresses and displacements in a transversely-isotropic band on an elastic perforated base, in the case where the lower boundary of the band applied normal load. 2011 Article Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании / А.В. Зенченков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 108-114. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123989 539.3 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получены аналитические формулы для компонент напряжений и перемещений в трансверсально-изотропной полосе, лежащей на упругом перфорированном основании, в случае, когда на участке нижней границы приложена нормальная нагрузка. |
| format |
Article |
| author |
Зенченков, А.В. |
| spellingShingle |
Зенченков, А.В. Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зенченков, А.В. |
| author_sort |
Зенченков, А.В. |
| title |
Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании |
| title_short |
Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании |
| title_full |
Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании |
| title_fullStr |
Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании |
| title_full_unstemmed |
Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании |
| title_sort |
аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123989 |
| citation_txt |
Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для трансверсально-изотропной полосы, лежащей на упругом перфорированном основании / А.В. Зенченков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 108-114. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zenčenkovav analitičeskoerešeniesmešannojzadačiteoriiuprugostidlâtransversalʹnoizotropnojpolosyležaŝejnauprugomperforirovannomosnovanii |
| first_indexed |
2025-07-09T00:40:00Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:40:00Z |
| _version_ |
1837127825182687232 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 539.3
c©2011. А.В. Зенченков
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ПОЛОСЫ,
ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ПЕРФОРИРОВАННОМ ОСНОВАНИИ
Получены аналитические формулы для компонент напряжений и перемещений в трансверсально-
изотропной полосе, лежащей на упругом перфорированном основании, в случае, когда на участке
нижней границы приложена нормальная нагрузка.
Ключевые слова: теория упругости, смешанная задача, упругая полоса, преобразование Фурье.
1. Введение. В работах [1, 2] решена задача о распределении напряжений в
упругой изотропной полуплоскости, лежащей на упругом перфорированном осно-
вании при действии на границе распределенной нагрузки. В работах [3, 4] реше-
ние было обобщено на случай трансверсально-изотропной полуплоскости. В насто-
ящей работе с помощью интегрального преобразования Фурье получено решение
для трансверсально-изотропной полосы с упруго закрепленной нижней границей и
свободной верхней. На участке нижней границы приложена нормальная нагрузка.
2. Постановка смешанной задачи. Основные уравнения и граничные
условия.
Рис. 1.
Рассмотрим следующую смешанную задачу теории упругости. Пусть ось x де-
картовой прямоугольной системы координат (x, y) проходит по границе полосы и
упругого основания (рис.1). На участке нижней границы полосы, в области V , дей-
ствует распределенная нормальная нагрузка σy = p(x). В остальных точках нижней
границы выполняется условие пропорциональности нормальных напряжений и сме-
щений. Касательные напряжения на оси x отсутствуют. На верхней границе полосы
нормальные и касательные напряжения равны нулю.
В случае плоской деформации при отсутствии массовых сил уравнения равнове-
108
Смешанная задача теории упругости для полосы
сия и совместности деформаций имеют вид
∂σx
∂x
+
∂τxy
∂y
= 0,
∂τxy
∂x
+
∂σy
∂y
= 0, (1)
∂2εx
∂y2
+
∂2εy
∂x2
− ∂2γxy
∂x∂y
= 0, (2)
где σx, σy, τxy, εx, εy, γxy – компоненты напряжений и упругих деформаций.
Обозначим через u и v перемещения вдоль осей x и y. Граничные условия сме-
шанной задачи запишем в виде
σy(x, 0) = p(x), x ∈ V ;
σy(x, 0) = k · v(x, 0), x 6∈ V ;
τxy(x, 0) = 0, x ∈ (−∞,+∞);
σy(x,H) = 0, x ∈ (−∞,+∞);
τxy(x,H) = 0, x ∈ (−∞,+∞).
(3)
В упругой трансверсально-изотропной полуплоскости перемещения с компонентами
напряжений связаны обобщенным законом Гука:
εx = β11σx + β12σy,
εy = β12σx + β22σy,
γxy = β66τxy.
(4)
Коэффициенты деформации βij выражаются формулами
β11 =
1− ν2
1
E1
, β22 =
1
E2
− ν2
2
E1
, β12 =
ν2(1 + ν1)
E1
, β66 =
1
G
. (5)
Cистема дифференциальных уравнений (1), (2), (4) сводится к уравнению [5]:
β22
∂4Φ
∂x4
+ (2β12 + β66)
∂4Φ
∂x2∂y2
+ β11
∂4Φ
∂y4
= 0, (6)
причем компоненты напряжения выражаются через функцию Φ следующим обра-
зом:
σx =
∂2Φ
∂y2
, σy =
∂2Φ
∂x2
, τxy = − ∂2Φ
∂x∂y
. (7)
3. Определение напряжений и перемещений в полосе. Будем решать
уравнение (6) с помощью интегрального преобразования Фурье [7]. Умножим обе
части уравнения на eiξx и проинтегрируем по переменной x от −∞ до ∞. Получим
β11
d4Q
dy4
− (2β12 + β66)ξ2 d2Q
dy2
+ β22ξ
4Q = 0, (8)
109
А.В. Зенченков
где
Q(ξ, y) = F{Φ(x, y)} =
∞∫
−∞
Φ(x, y)eiξxdx,
Φ(x, y) = F−1{Q(ξ, y)} =
1
2π
∞∫
−∞
Q(ξ, y)e−iξxdξ.
(9)
Корни характеристического уравнения равны ±r1|ξ|,±r2|ξ|,
r1, r2 =
√
(2β12 + β66)±
√
(2β12 + β66)2 − 4β11β22
2β11
. (10)
Общее решение дифференциального уравнения (8) запишем в виде
Q(y, ξ) =
4∑
n=1
An(ξ)ern|ξ|y. (11)
Здесь r3 = −r1, r4 = −r2. Учитывая формулы (7), для изображений компонент
напряжений получим
σ̄x = F{∂2F
∂y2
} =
∂2Q
∂y2
= ξ2
4∑
n=1
Anr2
nern|ξ|y,
σ̄y = F{∂2F
∂x2
} = −ξ2Q = −ξ2
4∑
n=1
Anern|ξ|y,
τ̄xy = F{ ∂2F
∂x∂y
} = iξ
∂Q
∂y
= iξ|ξ|
4∑
n=1
Anrnern|ξ|y.
(12)
Применяя к первому уравнению закона Гука (4) интегральное преобразование Фу-
рье, получим
ε̄x =
∂u
∂x
= β11σ̄x + β12σ̄y = ξ2
4∑
n=1
An(β11r
2
n − β12)ern|ξ|y.
Отсюда
ū =
1
−iξ
∂u
∂x
= iξ
4∑
n=1
An(β11r
2
n − β12)ern|ξ|y. (13)
Из второго уравнения закона Гука (4), получим
ε̄y =
∂v
∂y
= β12σ̄x + β22σ̄y = ξ2
4∑
n=1
An(β12r
2
n − β22)ern|ξ|y.
110
Смешанная задача теории упругости для полосы
Решив дифференциальное уравнение, найдем
v̄ = |ξ|
4∑
n=1
An
1
rn
(β12r
2
n − β22)ern|ξ|y + C(ξ). (14)
Неизвестную функцию C(ξ) найдем из выражения γxy = ∂u
∂y + ∂v
∂x . Применив к нему
интегральное преобразование Фурье и подставив формулы для ū, v̄, τ̄xy, получим,
что C(ξ) ≡ 0.
Введём вспомогательную функцию
β(x) =
{
p(x)− k · v(x, 0), x ∈ V ;
0, x 6∈ V.
(15)
Тогда граничное условие для нормальных напряжений можно записать в виде
σy(x, 0) = k · v(x, 0) + β(x), x ∈ (−∞, +∞). (16)
Применив интегральное преобразование Фурье, получим
σ̄y(x, 0) = k · v̄(ξ, 0) + β̄(x). (17)
Таким образом, для нахождения четырех коэффициентов An(ξ) имеем систему
из четырех линейных уравнений:
σ̄y(ξ, H) = 0,
τ̄xy(ξ, H) = 0,
τ̄xy(ξ, 0) = 0,
σ̄y(ξ, 0)− k · v̄(ξ, 0) = β̄.
4∑
n=1
Anern|ξ|H = 0,
4∑
n=1
Anrnern|ξ|H = 0,
4∑
n=1
Anrn = 0,
4∑
n=1
An(−ξ2 − k |ξ|rn
(β12r
2
n − β22)) = β̄.
(18)
Система линейных уравнений совместна при ξ 6= 0, и имеет единственное решение,
которое можно найти, например, по формулам Крамера:
An(ξ) = β̄(ξ)
detAn
det A
.
Здесь detA – определитель матрицы системы линейных уравнений, а det An – опре-
делитель матрицы, полученной заменой столбца n на (0, 0, 0, 1).
Запишем Q(ξ, y) в следующем виде, для удобства расчетов выделив β̄(ξ)
Q(ξ, y) = β̄(ξ)
4∑
n=1
An(ξ)ern|ξ|y, An(ξ) =
detAn
det A
. (19)
111
А.В. Зенченков
Найдем выражения для компонент напряжений и перемещений:
σx = F−1{σ̄x} = F−1{ξ2β̄
4∑
n=1
Anr2
nern|ξ|y},
σy = F−1{σ̄y} = F−1{−ξ2β̄
4∑
n=1
Anern|ξ|y},
τxy = F−1{τ̄xy} = F−1{iξ|ξ|β̄
4∑
n=1
Anrnern|ξ|y},
u = F−1{ū} = F−1{iξβ̄
4∑
n=1
An(β11r
2
n − β12)ern|ξ|y},
v = F−1{v̄} = F−1{|ξ|β̄
4∑
n=1
An
1
rn
(β12r
2
n − β22)ern|ξ|y}.
(20)
Выполнив преобразования, получим
σx(x, y) =
∫
V
β(η)Gx(x− η, y)dη, σy(x, y) =
∫
V
β(η)Gy(x− η, y)dη,
τxy(x, y) =
∫
V
β(η)Gxy(x− η, y)dη,
u(x, y) =
∫
V
β(η)Gu(x− η, y)dη, v(x, y) =
∫
V
β(η)Gv(x− η, y)dη,
(21)
где
Gx(x, y) =
1
2π
∞∫
−∞
(ξ2
4∑
n=1
Anr2
nern|ξ|y)e−iξxdξ,
Gy(x, y) =
1
2π
∞∫
−∞
(−ξ2
4∑
n=1
Anern|ξ|y)e−iξxdξ,
Gxy(x, y) =
1
2π
∞∫
−∞
(iξ|ξ|
4∑
n=1
Anrnern|ξ|y)e−iξxdξ,
Gu(x, y) =
1
2π
∞∫
−∞
(iξ
4∑
n=1
An(β11r
2
n − β12)ern|ξ|y)e−iξxdξ,
Gv(x, y) =
1
2π
∞∫
−∞
(|ξ|
4∑
n=1
An
1
rn
(β12r
2
n − β22)ern|ξ|y)e−iξxdξ.
(22)
112
Смешанная задача теории упругости для полосы
Неизвестную функцию β найдем из интегрального уравнения, которое получа-
ется из первого граничного условия (3)
∫
V
β(η)Gy(x− η, 0)dη = p(x), x ∈ V, (23)
где
Gy(x, 0) =
1
2π
∞∫
−∞
(−ξ2
4∑
n=1
An(ξ))e−iξxdξ. (24)
Также функцию β можно найти из уравнения (16)
β(x) = p(x)− k ·
∫
V
β(η)Gv(x− η, 0)dη, x ∈ V, (25)
здесь
Gv(x, 0) =
1
2π
∞∫
−∞
(|ξ|
4∑
n=1
An
1
rn
(β12r
2
n − β22))e−iξxdξ. (26)
Функции Gx, Gy, Gxy, Gu, Gv зависят от упругих постоянных β11, β12, β22, коэф-
фициента пропорциональности k и толщины полосы H. Таким образом, будучи вы-
числены и запомнены один раз, они могут быть использованы для любой области
V .
При k = 0 задача (1)-(4) вырождается в первую основную задачу. Из формулы
(25) получаем β(x) = p(x).
Решение (21)-(24) имеет практическое приложение в механике горных пород. В
частности, оно может быть использовано при исследовании задач, связанных с под-
земной разработкой угольных пластов лавами. При этом упругая полоса моделирует
массив горных пород, а перфорированное основание – разрабатываемый пласт по-
лезного ископаемого с очистной выработкой.
1. Зенченков А.В. Распределение напряжений в полуплоскости, лежащей на упругом основании,
при действии на границе сосредоточенной силы // Труды ИПММ НАН Украины. – 2002. – Т.
7. – С. 70-75.
2. Хапилова Н.С., Зенченков А.В. Смешанная задача теории упругости для изотропной полуплос-
кости, лежащей на упругом основании, при действии на границе распределенной нагрузки //
Ростов-на-Дону–Азов. Труды III Всеросийской конференции по теории упругости с междуна-
родным участием. – 2004. – С. 177-179.
3. Хапилова Н.С., Зенченков А.В. Смешанная задача теории упругости для трансверсально-
изотропной полуплоскости на упругом основании // Актуальные проблемы механики дефор-
мируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции. – Донецк:
Юго-Восток, 2006. – С. 139-141.
4. Зенченков А.В. Смешанная задача для трансверсально-изотропной полуплоскости, лежащей
на упругом перфорированном основании с пластическими зонами, при действии на участке
границы линейной нормальной нагрузки // Труды ИПММ НАН Украины. – 2008. – Т. 16. – С.
88-92.
5. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 c.
113
А.В. Зенченков
6. Кавлакан М.В.,Михайлов А.М. О распределении давления на пласт при горизонтальной выра-
ботке // Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. – 1977. – №. 5. – С. 48-53.
7. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. – М.: Наука, 1967. –
402 c.
A.V. Zenchenkov
Analitical solution of the mixed problem of elasticity for transversely-isotropic band on an
elastic perforated base.
Analytical formulas for the components of stresses and displacements in a transversely-isotropic band
on an elastic perforated base, in the case where the lower boundary of the band applied normal load.
Keywords: elasticity theory, mixed problem, elastic band, Fourier transform.
А.В. Зенченков
Аналiтичний розв’язок змiшаної задачi теорiї пружностi для трансверсально-iзотропної
смуги на пружнiй перфорованiй основi.
Отримано аналiтичнi формули для компонент напружень та перемiщень у трансверсально-iзотропнiй
смузi, що лежить на пружнiй перфорованiй основi, у разi, коли на дiлянцi нижньої межi прикла-
дене нормальне навантаження.
Ключовi слова: теорiя пружностi, змiшана задача, пружна смуга, перетворення Фур’є.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
azenchenkov@mail.ru
Получено 12.05.11
114
|