Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
Рассмотрены условия существования прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата, характеризующихся равенством скоростей собственного вращения и прецессии гиростата. Найдены три новых: решения уравнений движения класса Кирхгофа-Пуассона с переменным гиростатическим моментом....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123994 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 145-152. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123994 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239942017-09-18T03:03:00Z Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Мазнев, А.В. Рассмотрены условия существования прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата, характеризующихся равенством скоростей собственного вращения и прецессии гиростата. Найдены три новых: решения уравнений движения класса Кирхгофа-Пуассона с переменным гиростатическим моментом. У статті розглянуто прецесію загального вигляду гіростата зі змінним гіростатичним моментом, яка характеризується постійністю добутку швидкостей прецесії та власного обертання. Отримано нові розв'язки рівнянь руху гіростата під дією сили тяжіння та рівнянь руху гіростата під дією потенційних і гіроскопічних сил. Variations are constructed for classes of regular solutions of the degenerate Beltrami equations with constraints of the set-theoretic type for the complex coefficient. A variational principle of maximum and other necessary extremum conditions are proved. 2011 Article Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 145-152. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123994 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены условия существования прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата, характеризующихся равенством скоростей собственного вращения и прецессии гиростата. Найдены три новых: решения уравнений движения класса Кирхгофа-Пуассона с переменным гиростатическим моментом. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Мазнев, А.В. Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123994 |
| citation_txt |
Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 145-152. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav odinklassprecessionnoizokoničeskihdviženijneavtonomnogogirostatapoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-09T00:40:29Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:40:29Z |
| _version_ |
1837127844226924544 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 531.38
c©2011. А.В. Мазнев
ОДИН КЛАСС ПРЕЦЕССИОННО-ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ
НЕАВТОНОМНОГО ГИРОСТАТА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Рассмотрены условия существования прецессионно-изоконических движений неавтономного гиро-
стата, характеризующихся равенством скоростей собственного вращения и прецессии гиростата.
Найдены три новых решения уравнений движения класса Кирхгофа-Пуассона с переменным гиро-
статическим моментом.
Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, прецессии, изоконические движения.
1. Введение. С помощью различных геометрических методов [1], в частности,
метода годографов [2], основанного на теореме Пуансо [3], накоплена обширная ин-
формация о свойствах движения твердого тела. Среди них можно отметить суще-
ствование движений, для которых подвижный и неподвижный годографы симмет-
ричны друг другу относительно касательной к ним плоскости. Такие движения на-
зывают изоконическими движениями [4].
Прецессионные движения имеют важное значение для приложений [5]. Эти дви-
жения характеризуются постоянством угла между двумя осями b1, b2 с общим на-
чалом в неподвижной точке O и которые неизменны соответственно в теле и в про-
странстве [6].
Если движения тела обладают и свойством изоконичности и свойством пре-
цессионности, то они называются прецессионно-изоконическими [6]. К настоящему
времени получено много результатов для случая, когда гиростатический момент
постоянен [7]. Поэтому задача исследования условий существования прецессионно-
изоконических движений неавтономного гиростата актуальна.
Отметим, что постановку задачи о движении гиростата с переменным гироста-
тическим моментом рассматривали Ж. Лиувилль [8], В. Вольтерра [9], Н. Е. Жу-
ковский [10], П. В. Харламов [11].
Условия существования простейших классов прецессионных движений неавто-
номного гиростата изучены в работах [12-14]. В работе [15] предложен общий метод
исследования прецессионных движений гиростата с переменным гиростатическим
моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Особенность под-
хода [15] состоит в том, что его применение позволяет получить замкнутую систему
трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно величины гироста-
тического момента и скоростей прецессии и собственного вращения. В данной ра-
боте исследован класс прецессионно-изоконических движений гиростата, который
характеризуется равенством скоростей прецессии и собственного вращения. Полу-
чены новые решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных
и гироскопических сил.
145
А.В. Мазнев
2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата с перемен-
ным гиростатическим моментом [11] под действием потенциальных и гироскопиче-
ских сил [16]
Aω̇ = (Aω + λα−Bν)× ω − Lα + ν × (Cν − s) , (1)
ν̇ = ν × ω, λ̇ = L, (2)
где введены обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) — вектор угловой скорости тела-носителя;
ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей; α = (α1, α2, α3)
– единичный вектор, характеризующий гиростатический момент гиростата λ(t) =
λ(t)α; L – проекция момента сил, действующих на носимое тело, относительно его
оси вращения; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором обобщенного
центра масс гиростата; A – тензор инерции гиростата; B и C – постоянные симмет-
ричные матрицы третьего порядка; точка над переменными ν, ω, λ(t) обозначает
производную по времени.
Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла
ν · ν = 1, (Aω + λα) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k, (3)
где k – произвольная постоянная.
Пусть гиростат совершает прецессию относительно вектора ν, то есть имеют
место соотношения [7]
a · ν = a0, (a0 = cos θ0), ω = ϕ̇(t)a + ψ̇(t)ν, (4)
где θ0 – постоянный угол между вектором a, неизменно связанный с телом-носителем,
и вектором вертикали ν. Если систему координат связать с вектором a так, чтобы
a = (0, 0, 1), то уравнению ν̇ = ϕ̇(ν × a), полученному из (2), (3), первому соотно-
шению из системы (3) и первому соотношению из (4) удовлетворим функциями
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (a′0 = sin θ0). (5)
Кроме выше изложенных предположений положим, что гиростат совершает изо-
коническое движение, то есть подвижный и неподвижный годографы конгруэнт-
ны [4]. Тогда имеет место инвариантное соотношение
ω · (ν − c) = 0. (6)
Здесь c – единичный вектор, неизменно связанный с гиростатом. Если внести выра-
жение для ω из системы (4) в равенство (6), то в случае c = a получим ψ = ϕ. То
есть рассматриваемый в данной статье класс прецессионно-изоконических движений
можно охарактеризовать соотношениями (5) и векторным равенством
ω = ϕ̇(t)(a + ν). (7)
Поскольку уравнение Пуассона из (2) при наличии соотношений (4), (5) обраща-
ется в тождество, то обратимся к уравнению (1). Подставив в него выражение (7),
146
Один класс прецессионно-изоконических движений
соотношения (5), рассмотрим три уравнения, которые являются результатом про-
ектирования преобразованного уравнения (1) на независимые векторы a, ν, a × ν.
Подвижную систему координат выберем так, чтобы α = (α1, 0, α3). Учитывая то
обстоятельство, что второе уравнение интегрируется и, принимая во внимание обо-
значения произвольной постоянной в интеграле моментов из (3), получим
α3λ̇(t)− a′0α1λ(t)ϕ̇(t) cosϕ(t) +
(
β1 cosϕ(t) + β′1 sinϕ(t) + β0
)
ϕ̈(t)+
+f2 (ϕ(t)) ϕ̇2 + g2 (ϕ(t)) ϕ̇(t) + h2 (ϕ(t)) = 0, (8)
λ(t)
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
= k + G2 (ϕ(t))− F2 (ϕ(t)) ϕ̇(t), (9)
a′0α1λ̇(t) cosϕ(t) + a′0λ(t)ϕ̇(t)
[
a′0α3 − α1(1 + a0) sinϕ(t)
]
+
+L2 (ϕ(t)) ϕ̈(t)−M2 (ϕ(t)) ϕ̇2 + H2 (ϕ(t)) ϕ̇(t) + N2 (ϕ(t)) = 0, (10)
где
f2 (ϕ(t)) = A2 sin 2ϕ(t)−A′2 cos 2ϕ(t) + a0β1 sinϕ(t)− a′0β
′
1 cosϕ(t),
g2 (ϕ(t)) = B′
2 cos 2ϕ(t)−B2 sin 2ϕ(t) + a0γ
′
1 cosϕ(t)− a0γ1 sinϕ(t),
h2 (ϕ(t)) = C ′
2 cos 2ϕ(t)− C2 sin 2ϕ(t) + κ′1 cosϕ(t)− κ1 sinϕ(t),
F2 (ϕ(t)) = A2 cos 2ϕ(t) + A′2 sin 2ϕ(t) + (2a0 + 1)β1 cosϕ(t)+
+(2a0 + 1)β′1 sinϕ(t) + A0,
G2 (ϕ(t)) =
1
2
(
B2 cos 2ϕ(t) + B′
2 sin 2ϕ(t) + 2a0γ1 cosϕ(t) + 2a0γ
′
1 sinϕ(t) + B0
)
,
L2 (ϕ(t)) = A′2 cos 2ϕ(t)−A2 sin 2ϕ(t) + (a0 + 1)β′1 cosϕ(t)− (a0 + 1)β1 sinϕ(t),
M2 (ϕ(t)) = (a0 + 2)A2 cos 2ϕ(t) + (a0 + 2)A′2 sin 2ϕ(t)+
+2a0(a0 + 1)β1 cosϕ(t) + 2a0(a0 + 1)β′1 sinϕ(t) + A(0), (11)
H2 (ϕ(t)) = (a0 + 1)B2 cos 2ϕ(t) + (a0 + 1)B′
2 sin 2ϕ(t) + (2a2
0 + a0 − 1)γ1 cosϕ(t)+
+(2a2
0 + a0 − 1)γ′1 sinϕ(t) + B(0),
N2 (ϕ(t)) = a0C2 cos 2ϕ(t) + a0C
′
2 sin 2ϕ(t) +
[
(2a2
0 − 1)ε1 − a0a
′
0s2
]
cosϕ(t)+
+
[
(2a2
0 − 1)ε′1 − a0a
′
0s1
]
sinϕ(t) +
a′ 20
2
[a0(C11 + C22 − 2C33) + s3] .
В формулах (11) введены обозначения
A2 =
a′ 20
2
(A22 −A11) , A′2 = a′ 20 A12, β1 = a′0A23, β′1 = a′0A13,
β0 = (a0 + 1)A33, A0 =
(a0 + 1)
2
[(1− a0) (A22 + A11) + 2a0A33] ,
B2 =
a′ 20
2
(B22 −B11) , B′
2 = a′ 20 B12, γ1 = a′0B23, γ′1 = a′0B13,
147
А.В. Мазнев
B0 =
1
2
[
a′ 20 (B22 + B11) + 2a2
0B33
]
, (12)
A(0) =
a′ 20
2
[a0 (A22 + A11)− 2(a0 + 1)A33] ,
B(0) =
a′ 20
2
[(a0 + 1) (B22 + B11)− 2a0B33] ,
C2 =
a′ 20
2
(C22 − C11) , C ′
2 = a′ 20 C12,
ε1 = a′0C23, ε′1 = a′0C13, κ1 = a0ε1 − a′0s2, κ′1 = a0ε
′
1 − a′0s1.
Основной задачей данной статьи является интегрирование уравнений (8)-(10),
то есть нахождение функций λ(t), ϕ(t).
3. Преобразование уравнений (8)-(10). Будем предполагать, что выполня-
ются условия α1 6= 0, a0 6= 0. Тогда из уравнения (9) определим
λ(t) =
1
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
[k + G2 (ϕ(t))− F2 (ϕ(t)) ϕ̇(t)] . (13)
Подставим выражение (13) в уравнения (8), (10)
Q3 (ϕ(t)) ϕ̈(t) + R4 (ϕ(t)) ϕ̇2(t) + M4 (ϕ(t)) ϕ̇(t) + Q4 (ϕ(t)) = 0,
L4 (ϕ(t)) ϕ̈(t) + N4 (ϕ(t)) ϕ̇2(t) + P4 (ϕ(t)) ϕ̇(t) + K4 (ϕ(t)) = 0,
(14)
где
Q3 (ϕ(t)) =
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
[
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
(β1 cosϕ(t)+
+β′1 sinϕ(t) + β0)− α3F2 (ϕ(t))],
R4 (ϕ(t)) =
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
[a′0α1 cosϕ(t)F2 (ϕ(t))− α3F
′
2 (ϕ(t)) +
+f2 (ϕ(t))
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
] + a′0α1α3F2 (ϕ(t)) cosϕ(t),
M4 (ϕ(t)) =
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
[α3G
′
2 (ϕ(t))−
−a′0α1 (k + G2 (ϕ(t))) cosϕ(t) + g2 (ϕ(t))
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
]−
−a′0α1α3 (k + G2 (ϕ(t))) cosϕ(t),
Q4 (ϕ(t)) = h2 (ϕ(t))
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)2
, (15)
L4 (ϕ(t)) =
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
[L2 (ϕ(t))
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)−
−a′0α1F2 (ϕ(t)) cosϕ(t)],
N4 (ϕ(t)) = a′ 20 α2
1F2 (ϕ(t)) cos2 ϕ(t)− (
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)×
×[a′0α1F
′
2 (ϕ(t)) cosϕ(t) + a′0F2 (ϕ(t))
(
a′0α3 − α1(a0 + 1) sinϕ(t)
)
],
P4 (ϕ(t)) =
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)
[a′0α1G2 (ϕ(t)) cosϕ(t)+
+a′0 (k + G2 (ϕ(t))) (a′0α3 − α1(a0 + 1) sinϕ(t))+
148
Один класс прецессионно-изоконических движений
+H2 (ϕ(t)) (a′0α1 sinϕ(t) + a0α3)]− a′ 20 α2
1G2 (ϕ(t)) cos2 ϕ(t),
K4 (ϕ(t)) = N2 (ϕ(t))
(
a′0α1 sinϕ(t) + a0α3
)2
.
В равенствах (15) в выражениях F ′
2(ϕ(t)), G′
2(ϕ(t)) штрих обозначает дифференци-
рование по переменной ϕ.
4. Первый пример решения системы (13), (14). Вид соотношения (13)
указывает на то, что весьма интересен случай, когда B = 0, k = 0. То есть в
уравнении (1) отсутствует матрица B, а постоянная интеграла момента количества
движения из (3) равна нулю. На основании уравнений (13), (14) можно показать
существование у них следующего решения:
ϕ̇(ϕ) =
√
c0 + c1 sinϕ, λ(ϕ) = (p + q sinϕ)
√
c0 + c1 sinϕ. (16)
При этом параметры задачи (1), (2) и решение (16) удовлетворяют равенствам:
C12 = C23 = 0, C22 = C11, s2 = 0, C13 = a0s1,
α1 =
(A22 −A11)
σ0
, α2 = 0, α3 = −A13
σ0
, σ0 =
√
A2
13 + (A22 −A11)
2, (17)
a0 =
A22 (A11 −A22)
A2
13 + (A22 −A11) (A33 −A22)
,
c1 = −2a0a
′
0s1
A22
, c0 =
a0
A22
[a0 (C22 − C33) + s3] , (18)
p = −(a0 + 1)
a0α3
[a0 (A33 −A22) + A22] , q =
a′0
α1
(A22 −A11) .
Примечательными свойствами условий (17) являются: они не содержат условий на
моменты инерции Aij ; угол θ0 и величины αi зависят только от моментов инерции.
Действительность угла θ0 может быть обоснована на примере: A11 = 1, 5κ0, A22 =
κ0, A33 = 2, 4κ0, A13 = 1, 5κ0, где κ0 – параметр.
Соотношения (16) показывают, что в общем случае ϕ(t) и λ(t) – эллиптические
функции времени. Если сделать предположения c0 > 0, c1 > 0, c0 > c1, то из
уравнений (16) получим
ϕ(t) = arcsin
(
2cn
µ0
2
t− 1
)
, ϕ̇ = µ0dn
µ0
2
t,
λ(t) = µ0dn
µ0
2
t
[
(p− q) + 2qcn
µ0
2
t
]
,
(
µ0 =
√
c0 + c1
)
,
(19)
где cn
µ0
2
t, dn
µ0
2
t – эллиптические функции времени с модулем k2 =
2c1
c0 + c1
.
Отметим, что функция λ(ϕ) является линейной функцией относительно sinϕ с
коэффициентами p и q из системы (18).
В силу свойства прецессионно-изоконичности движения зависимость ψ(t) совпа-
дает с зависимостью ϕ(t) из системы (19).
149
А.В. Мазнев
5. Второй пример. Случай α = (0, 0, 1). При указанном предположении век-
тор гиростатического момента λ(t)α коллинеарен вектору a собственного вращения
гиростата. Будем предполагать, что функции λ(t) и ϕ̇(t) линейно зависимы. Тогда
можно показать, что система уравнений (8)–(10) имеет решение, которое характе-
ризуется тем, что функция ϕ(t) находится путем обращения интеграла
ϕ∫
ϕ0
dϕ√
d1 cosϕ + d2 sinϕ + d0
= t− t0, (20)
где
d1 =
2a0a
′
0C23
(a0 + 2)A11
, d2 =
2a0a
′
0C13
(a0 + 2)A11
,
d0 =
a0a
′
0(a0 − 2)
(a0 + 2)A11
[a0(C11 − C33) + s3] ,
(21)
а функция λ(t) имеет вид
λ(t) = ε0 + ε1ϕ̇(t). (22)
Здесь
ε0 = a0 (B33 −B11)−B11, ε1 = −(a0 + 1)
a0
[a0 (A33 −A11) + A11] . (23)
Решение (20), (22), в котором приняты обозначения (21), (23), имеет место при
выполнении равенств
Aij = 0 (∀ i 6= j) , A22 = A11, Bij = 0 (∀ i 6= j) , B22 = B11,
C12 = 0, C22 = C11, s1 = ξ0C13, s2 = ξ0C23,
ξ0 =
1 + 2a0 − 2a2
0
2− a0
, k =
1
2
[
a2
0B33 − (a0 + 1)2B11
]
.
(24)
Из условий (24) следует, что ось собственного вращения с единичным вектором
a ортогональна круговым сечениям трех эллипсоидов: A11(x2 + y2) + A33z
2 = c2
1,
B11(x2 +y2)+B33z
2 = c2
2, C11(x2 +y2)+C33z
2 +2C13xz+2C23yz = c2
3. Конец вектора
s занимает положение, которое не совпадает с точками оси собственного вращения
и с точками, лежащими в ортогональной к этой оси плоскости.
Из формул (20), (22) вытекает, что в общем случае функции ϕ(t) и λ(t) – эл-
липтические функции времени. Их получение достаточно тривиально. В частном
случае эти функции могут быть и элементарными функциями времени. На основа-
нии постановки задачи считаем, что величина ε1 из системы (23) отлична от нуля.
6. Третье решение. Случай α = (1, 0, 0). Представляет большой интерес при-
мер, когда векторы α и a ортогональны. Положим в уравнениях (8)–(10) α1 =
1, α3 = 0. Будем считать, что параметры задачи (1), (2) удовлетворяют услови-
ям, при выполнении которых в системе (14) M4(ϕ) ≡ 0, P4(ϕ) ≡ 0. Тогда система
150
Один класс прецессионно-изоконических движений
уравнений (13), (14) допускает решение
ϕ̇(ϕ) =
√
l0 + l1 sinϕ,
λ(ϕ) = a′0(A22 −A11) sinϕ ·
√
l0 + l1 sinϕ,
(25)
где
l0 =
a0 (C22 − C33) + s3
A22 −A33
, l1 =
2a′0 (s1 − a0C13)
(a0 + 1)A33
. (26)
Решение (25) с обозначениями (26) существует при следующих условиях:
Aij = 0 (∀ i 6= j) , Bij = 0 (∀ i 6= j) , B22 = B11,
C22 = C11, C12 = C23 = 0, s1 = ξ0C13, s2 = 0,
ξ0 =
1 + 2a0 − 2a2
0
a0 − 2
, B11 (2A22 −A33) = A22B33,
a0 =
A22
A22 −A33
, k = −a′ 20 B11 + a2
0B33
2
.
(27)
Из условий (27) можно сделать следующие выводы: вектор a направлен по главной
оси эллипсоида инерции; вектор s лежит в главной плоскости этого эллипсоида; угол
θ0 в силу значения a0 зависит от моментов инерции гиростата (пример действитель-
ности его можно показать с помощью равенств A11 = 1, 5κ0, A22 = 0, 5κ0, A33 =
1, 6κ0, κ0 – параметр); вектор α принадлежит главной оси, ортогональной вектору
a.
В силу первой формулы из системы (25) сведение задачи к квадратурам можно
получить по аналогии с методом нахождения функции (19). В общем случае реше-
ние ϕ(t), λ(t), определяемое системой (25), приводит к эллиптическим функциям
времени.
7. Заключение. Таким образом, в статье получено три решения уравнений
прецессионно-изоконических движений неавтономного гиростата, записанных в си-
стеме (8)-(10). При этом в общем случае функции ϕ(t), λ(t) являются эллиптиче-
скими функциями времени, а решение уравнений (1), (2) имеет вид (5) и (7). При-
мечательным кинематическим свойством движения гиростата служит совпадение
скоростей прецессии и собственного вращения. Аналогов полученных решений для
уравнений движения тяжелого неавтономного гиростата нет.
1. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. –
Київ: Наук. думка, 1978. – 296 с.
2. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподвижную точку //
Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 703-707.
3. Poinsot L. Thèorie nounelle de la rotation des corps // J. math. pures et appl. – 1851. – 16. –
P. 9-130; P. 289-336.
4. Горр Г.В., Илюхин А.А., Ковалев А.М., Савченко А.Я. Нелинейный анализ поведения механи-
ческих систем. – Киев: Наук. думка, 1984. – 285 с.
5. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. – М.: Наука, 1976. – 670 с.
6. Горр Г.В. Прецессионные движения в динамике твердого тела и динамике систем связанных
твердых тел // Прикл. математика и механика. – 2003. – 67, вып. 4. – С. 573-587.
151
А.В. Мазнев
7. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела
и в динамике систем связных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222 с.
8. Liouville J. Dèveloppements sur un chapitre de la Mècanique de Poisson // J. math. pures et appl. –
1858. – 3. – P. 1-25.
9. Volterra V. Sur la théorie des variations des latitudes // Acta. Math. – 1899. – 22. – P. 201-358.
10. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной ка-
пельной жидкостью // Собр. соч: – М.; Л.: Гостехиздат. – 1949. – 2. – С. 152-309.
11. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. –
1972, вып. 4. – С. 52-73.
12. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик //
Механика твердого тела. – 2008, вып. 38. – С. 80-86.
13. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Труды
Ин-та прикладной математики и механики. – 2009. – 19. – С. 30-35.
14. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным ги-
ростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – вып. 39. – С. 42-49.
15. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под
действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2010, вып. 40. –
С. 91-104.
16. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The
equations of motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. – 5, № 5. – P. 747-
754.
A.V. Maznev
Precession-izoconic movements class of nonautonomic gyrostat under the action of poten-
tial and gyroscopic forces.
General view precession of gyrostat with a variable gyrostatic moment which characterized by the
constancy of increases speeds precession and own rotation is examined in this article. The new decisions
of gyrostat motion equalizations under the action of gravity and gyrostat motion equalizations under
the action of potential and gyroscopic forces are got.
Keywords: gyrostat, gyrostatic moment, precessions, izoconic movements.
О.В. Мазнєв
Один клас прецесiйно-iзоконiчних рухiв неавтономного гiростата пiд дiєю потенцiй-
них i гiроскопiчних сил.
У статтi розглянуто прецесiю загального вигляду гiростата зi змiнним гiростатичним моментом,
яка характеризується постiйнiстю добутку швидкостей прецесiї та власного обертання. Отримано
новi розв’язки рiвнянь руху гiростата пiд дiєю сили тяжiння та рiвнянь руху гiростата пiд дiєю
потенцiйних i гiроскопiчних сил.
Ключовi слова: гiростат, гiростатичний момент, прецесiї, iзоконiчнi рухи.
Донецький нацiональний ун-т
maznev_av@rambler.ru
Получено 30.03.11
152
|