Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей
Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый сегмент шара радиуса 1 с высотой из некоторого диапазона. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123995 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей / П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 153-161. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123995 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239952017-09-18T03:03:11Z Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей Машаров, П.А. Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый сегмент шара радиуса 1 с высотой из некоторого диапазона. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки. Отримано значення найменшого радіуса кулі, в якій дана множина є множиною Помпейю. В якості множини розглянуто кожен сегмент кулі радіуса 1, що має висоту з деякого діапазону. Отримане значення істотно уточнює відомі раніше оцінки. Exact value for the smallest radius of the ball, in which the given set is a Pompeiu set is obtained in the paper. The set is presented by the ball segment with the radius equal to 1 and the altitude is in the certain range. The value in this paper essentially improve the known results. 2011 Article Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей / П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 153-161. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123995 517.988.28 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый сегмент шара радиуса 1 с высотой из некоторого диапазона. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки. |
| format |
Article |
| author |
Машаров, П.А. |
| spellingShingle |
Машаров, П.А. Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Машаров, П.А. |
| author_sort |
Машаров, П.А. |
| title |
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей |
| title_short |
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей |
| title_full |
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей |
| title_fullStr |
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей |
| title_full_unstemmed |
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей |
| title_sort |
экстремальные задачи о множествах помпейю со сферической границей |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123995 |
| citation_txt |
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей / П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 153-161. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT mašarovpa ékstremalʹnyezadačiomnožestvahpompejûsosferičeskojgranicej |
| first_indexed |
2025-07-09T00:40:42Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:40:42Z |
| _version_ |
1837127854907719680 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 517.988.28
c©2011. П.А. Машаров
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИОМНОЖЕСТВАХПОМПЕЙЮСОСФЕ-
РИЧЕСКОЙ ГРАНИЦЕЙ
Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством
Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый сегмент шара радиуса 1 с высотой из
некоторого диапазона. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки.
Ключевые слова: экстремальный вариант проблемы Помпейю, радиус Помпейю, множество
Помпейю, шаровой сегмент.
Введение и формулировка основного результата. Пусть Rn – веществен-
ное евклидово пространство размерности n > 3 с евклидовой нормой | · |, M(n) –
группа движений Rn, Mot(A,B) = {λ ∈ M(n) : λA ⊂ B}, BR = {x ∈ Rn : |x| < R}.
Для непустого открытого множества B ⊂ Rn под Lloc(B) будем понимать класс
локально интегрируемых на B функций. Компактное множество A ⊂ Rn называ-
ется множеством Помпейю в B (будем обозначать это A ∈ Pomp(B)), если всякая
локально суммируемая функция f : B → C, для которой
∫
λA f(x) dx = 0 для всех
λ ∈ Mot(A,B), равна нулю почти всюду в B. Классическая проблема Помпейю об
описании класса Pomp(Rn) изучалась во многих работах, см. обзоры [1], [2] с об-
ширной библиографией. Из результата Вильямса ([3]) следует, что если граница
множества A липшицева, гомеоморфна сфере, но не вещественно аналитическая, то
A ∈ Pomp(Rn).
Если же некоторое множество A ∈ Pomp(Rn), то возникает вопрос, будет ли
A ∈ Pomp(BR) при достаточно большом R? В [4] В.В. Волчков доказал, что это так.
В связи с этим в [5] поставлена
Проблема. Для данного A найти P(A) = inf{R > 0: A ∈ Pomp(BR)}.
Ряд результатов, содержащих оценки сверху для величины P(A), получены
К.А. Беренстейном и Р. Гэем, см. [6]. В [4-5],[7-9] содержится достаточно полная
история данного вопроса и близких к нему.
В данной работе рассматривается Sh = {x ∈ Rn : |x| 6 1, xn > 1 − h} – сегмент
единичного шара высоты h. Основным результатом является следующее утвержде-
ние.
Теорема 1. Пусть h ∈ (√
5− 1; 2
)
. Тогда P(Sh) = h.
1. Описание группы SO(n). Вращениями евклидова пространства Rn назы-
вают линейные преобразования g этого пространства, не меняющие его ориентации
и оставляющие инвариантным расстояние точек от начала координат: |gx| = |x|.
Вращения n-мерного пространства Rn образуют группу, которая обозначается че-
153
П.А. Машаров
рез SO(n). Инвариантная нормированная мера на группе SO(n) имеет вид
dτ = An
n−1∏
k=1
k∏
j=1
sinj−1 θk
j dθk
j , где An =
n∏
k=1
Γ(k/2)
2πk/2
, (1)
а θk
j , 1 6 k 6 n− 1, 1 6 i 6 k – углы Эйлера вращения g (см. [10, с. 434]).
Пусть далее T (g) – квазирегулярное представление группы SO(n),
то есть (T (g)f)(σ) = f(g−1σ) для любых f ∈ L2(S), σ ∈ S, g ∈ SO(n) (см. [10,
с. 442]). Обозначим T k(τ) – сужение квазирегулярного представления на простран-
ство Hk однородных гармонических полиномов степени k, рассматриваемое как под-
пространство L2(S) (см. [10, с. 446]).
Пусть {Y (k)
l }, 1 6 l 6 dk – фиксированный ортонормированный базис в про-
странстве Hk, {tklp} – матрица представления T k(τ), то есть
(
T k(τ)Y (k)
l
)
(σ) = Y
(k)
l (τ−1σ) =
dk∑
p=1
tklp(τ)Y (k)
p (σ), σ ∈ S. (2)
При k = 0 имеем dk = 1, Y
(k)
1 (σ) = 1, tk11(τ) = 1 для всех σ ∈ S, τ ∈ SO(n). При
n = 2 и k > 1 всюду в дальнейшем будем использовать следующий базис в Hk:
Y
(k)
1 (σ) = (σ1 + iσ2)k, Y
(k)
2 (σ) = (σ1 − iσ2)k. Если τ – вращение на угол θ в R2, то
для этого базиса tk11(τ) = e−ikθ, tk22(τ) = e−ikθ, tk12(τ) = tk21(τ) = 0.
Всякой функции f ∈ Lloc(BR) соответствует ряд Фурье
f(x) =
∞∑
k=0
dk∑
l=1
fkl(ρ)Y (k)
l (σ), ρ ∈ (0, R), (3)
где
fkl(ρ) =
∫
S
f(ρσ)Y (k)
l (σ)dω(σ) (4)
(здесь и далее dω – нормированная поверхностная мера на S).
При n = 2 из последнего равенства имеем
fkl(ρ)Y (k)
l (σ) =
∫
SO(2)
f(τ−1x)tkll(τ) dτ. (5)
В [11, с. 30] получена аналогичная формула для n > 3:
Лемма (1.1.1 из [11]). Пусть n > 3, f ∈ Lloc(BR). Тогда
fkl(ρ)Y (k)
p (σ) = dk
∫
SO(n)
f(τ−1x)tklp(τ) dτ. (6)
154
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей
Отметим также следующие интегральные формулы (см. [5, Глава 1, § 2.1]). Пусть
0 6 r < R 6 ∞. Тогда для любой f ∈ L(Br,R) выполняется следующее равенство
∫
Br,R
f(x) dx =
∫ R
r
ρn−1 dρ
∫
S
f(ρσ) dω(σ). (7)
Кроме этого, для любой функции f ∈ L(S) верно
1
ωn−1
∫
S
f(σ) dω(σ) =
∫
SO(n)
f(τe1) dτ, (8)
где ωn−1 =
nπn/2
(n/2)! если n четное,
2nπ(n−1)/2
(
(n−1)/2
)
!
(n−1)! если n нечетное
– площадь единичной сферы S в
Rn, e1 = (1, 0, . . . , 0).
2. Геометрические конструкции. Для множества A из Rn рассмотрим вели-
чину r∗(A) = inf{R > 0 : Mot(A,BR) 6= ∅}. Отметим, что
r∗(Sh) =
{√
1− h2, h ∈ (0, 1);
1, h > 1.
Из определений r∗(A) и Mot(A,BR) следует, что для произвольного компакта A
множество Mot(A,BR) 6= ∅ тогда и только тогда, когда R > r∗(A).
Рассмотрим граничные положения рассматриваемого шарового сегмента Sh в
шаре BR и определим диапазон расстояний от центра шара BR до единичной сферы
и нижнего основания, а также соотношения между ними для разных h.
Максимальное расстояние до единичной сферы равно радиусу шара R, а мини-
мальное такое, при котором сфера помещается в шар – (2−R).
Рассмотрим h > 1. Расстояние от центра шара, частью которого является рас-
сматриваемый сегмент, до основания Sh равно h−1, поэтому радиус основания равен√
1− (h− 1)2 =
√
2h− h2. Минимальное расстояние от центра шара BR до этого ос-
нования равно max{0;R−h}. А максимальное такое расстояние равно
√
R2 − (2h− h2) =√
R2 + h2 − 2h.
В дальнейшем необходимо будет воспользоваться решением неравенства, левой
и правой частями которого будут некоторые, только что найденные, выражения.
Итак, решая уравнение
√
R2 + h2 − 2h = 2−R, получаем решение R0 = 1− 1
4h2+ 1
2h.
Таким образом, если R > R0, то 2−R >
√
R2 + h2 − 2h. Рассмотрев R0 = h, имеем
h2 + 2h− 4 = 0; h1,2 = −1±√5. Так как отрицательное h нам не подходит, то h0 =√
5− 1 ≈ 1,236067977. Таким образом, если R > h0, то самое маленькое расстояние
до сферы будет меньше, чем самое большое расстояние до основания.
3. Некоторые классы функций и их свойства. В работе будут использо-
ваться следующие стандартные обозначения. Для m ∈ N под Cm(B) будем пони-
мать класс функций, все частные производные порядка до m включительно кото-
рых (включая смешанные) непрерывны, C(B) – класс непрерывных на B функций,
C∞(B) =
∞⋂
m=1
Cm(B).
155
П.А. Машаров
Для открытого множества B рассмотрим класс функций P(A,B), состоящий из
таких функций f ∈ Lloc(B), для которых равенство
∫
λA
f(x) dx = 0 (9)
верно для всех λ ∈ Mot(A,B). Добавляя гладкость, получим классы функций
Pm(A,B) = P(A,B) ∩ Cm(B), m ∈ N, P∞(A,B) = P(A,B) ∩ C∞(B) и P0(A,B) =
P(A,B) ∩ C(B).
Сначала отметим одно простое свойство указанных классов функций. Для лю-
бых двух функций f, g ∈ Pm(A,B), где m = {0, 1, . . . ,∞} или f, g ∈ P(A,B) и для
произвольных двух чисел α, β ∈ C функция αf +βg ∈ Pm(A,B), или, соответствен-
но, принадлежит P(A,B). Это утверждение следует из линейности пространств
гладких и интегрируемых функций Cm(B), Lloc(B) и из линейности интеграла.
Непосредственно из определения классов P(A,BR) и Pm(A,BR) следует
Лемма 1. Если f(x) принадлежит одному из P(A,BR) или Pm(A,BR), то для
любого движения λ ∈ M(n) такого, что |λ~0| < δ (~0 = (0, . . . , 0) – начало отсчета),
функция f(λx) принадлежат, соответственно, P(A,BR−δ) или Pm(A,BR−δ).
Кроме того, классы P(A,B) и Pm(A,B) можно рассматривать как множества
решений уравнений свертки f ∗χA = 0 из классов Lloc(B) и Cm(B), соответственно.
Лемма 2. Пусть f ∈ Pm(A,B), m > 1. Тогда все частные производные функции
f принадлежат Pm−1(A,B).
Доказательство. Зафиксируем λ ∈ Mot(A,B) и рассмотрим функцию ψ(x) =∫
Rn f(y)χx−λA(x − y) dy =
∫
λA f(y) dy ≡ 0, так как f ∈ Pm(A,B). С другой сторо-
ны, сделав в интеграле замену t = x − y, получаем ψ(x) =
∫
Rn f(x + t)χx−λA(t) dt.
Дифференцируя последнее равенство по j-той переменной xj , получаем ∂ψ(x)
∂xj
=
∫
Rn
∂f(x+t)
∂xj
χx−λA(t) dt =
∫
Rn
∂f(y)
∂xj
χx−λA(x − y) dy =
∫
λA
∂f(y)
∂xj
dy ≡ 0. Последнее ра-
венство как раз и означает ∂f
∂xj
∈ Pm−1(A,B), j ∈ 1, n. ¤
Лемма 3. Пусть R > r∗(Sh), функция f ∈ P(Sh,BR) (f ∈ Pm(Sh,BR)). Тогда
каждое слагаемое ряда (3), доопределенное в точке x = 0 по непрерывности, то
есть при всех k > 0; 1 6 l, p 6 dk функции fkl(ρ)Y (k)
p (σ) ∈ P(Sh,BR) (соответ-
ственно fkl(ρ)Y (k)
p (σ) ∈ Pm(Sh,BR)).
Доказательство. Путем непосредственных вычислений, используя (6) и инвари-
антность P(Sh,BR) относительно вращений, получаем, что для любого λ ∈ Mot(Sh,BR)
верно
∫
λSh
fkl(ρ)Y (k)
p (σ) dx =
∫
λSh
[
dk
∫
SO(n) f(τ−1x)tklp(τ) dτ
]
dx =
= dk
∫
SO(n)
[ ∫
λSh
f(τ−1x) dx
]
tklp(τ) dτ = 0, что в данном случае означает принадлеж-
ность классу P(Sh,BR). Для доказательства принадлежности Pm(Sh,BR) заметим,
что произведение непрерывно дифференцируемых функций является непрерывно
дифференцируемой функцией. ¤
156
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей
4. Вспомогательные утверждения. Для получения основного результата ра-
боты необходимо будет воспользоваться общим решением некоторого функциональ-
ного уравнения, впервые рассмотренного в работе [12].
Теорема (3.4.4 в [11]). Пусть 0 < δ < 1, f ∈ C(B1−δ,1+δ) и при всех u, v ∈ S,
w ∈ Bδ имеет место равенство
f(w + u) + f(w − u) = f(w + v) + f(w − v). (10)
Тогда
f(x) = C1|x|2 + C2xy + C3, (11)
где y ∈ S. Обратно, всякая функция вида (11) удовлетворяет равенству (10).
Лемма 4. Пусть R > r∗(Sh), функция f ∈ P∞(Sh,BR). Тогда f удовлетворя-
ет (10) при всех u, v ∈ S и w ∈ BR−1.
Доказательство. Достаточно получить (10) при w = 0, так как общий случай
получается из этого сдвигом.
Пусть S′h = {x ∈ Rn : |x| = 1, xn > 1 − h} – боковая поверхность шарового
сегмента Sh, S′′h = {x ∈ Rn : |x| 6 1, xn = 1 − h} – основание Sh. Таким образом,
граница ∂Sh = S′h ∪ S′′h.
Для интегрируемой вектор-функции ~f = (f1, . . . , fn) : Rn → Rn поверхностный
интеграл второго рода связан с поверхностным интегралом первого рода формулой
(см., например, [13, §15.8])
∫
∂Sh
(
f1(x) dx2 ∧ . . . ∧ dxn + . . . + fn dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1
)
=∫
∂Sh
(
f1(x)σ1 + . . . + fn(x)σn
)
dω(σ).
С другой стороны, по формуле Гаусса-Остроградского, имеем
∫
∂Sh
(
f1(x) dx2∧ . . .∧dxn + . . .+fn dx1∧ . . .∧dxn−1
)
=
∫
Sh
(
∂f1
∂x1
+ . . .+
∂fn
∂xn
)
dx. (12)
Таким образом, для любого j 6= n и f ∈ P∞(Sh,BR) имеем
∫
S′h
f(g−1σ)σj dω(σ) +
∫
S′′h
f(g−1σ)σj dω(σ) =
∫
Sh
∂
∂xj
f(g−1x) dx = 0
для всех g ∈ SO(n). Но так как на S′′h все σj = 0, j = 1, 2, . . . , n− 1, то
∫
S′h
f(g−1σ)σj dω(σ) = 0. (13)
Умножая обе части равенства (13) на tklp(g) и интегрируя на SO(n), из (5) и (6)
получаем fkl(1)
∫
S′h
σjY (σ) dω(σ) = 0 при Y = Y
(k)
p , 1 6 p 6 dk, а значит и при всех
Y ∈ Hk. Если k четно, последний интеграл не равен нулю при Y (σ) = (σn−1 + iσn)k,
откуда fkl(1) = 0. Тогда все слагаемые ряда (3) для функции f(x)+f(−x) при k > 1
равны нулю, откуда следует утверждение леммы 4. ¤
157
П.А. Машаров
Лемма 5. Пусть R > 1 и f ∈ P∞(Sh,BR) : f = C при |x| > 2−R. Тогда
∫
B̃
(
f(x1, . . . , xn−1, 0)− C
)
dx1 . . . dxn−1 = 0, (14)
где B̃ = B ∩ {xn = 1 − h} = {x ∈ Rn−1 : x2
1 + . . . + x2
n−1 6 2h − h2, xn = 1 − h} –
основание рассматриваемого шарового сегмента Sh.
Доказательство. Для таких δ > 0, что cos δ > h− 1 рассмотрим множества
S1 =
{
x ∈ Rn : |x| 6 1,−x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn 6 x1 tg δ − h− 1
cos δ
}
,
S2 =
{
x ∈ Rn : |x| 6 1, x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn 6 −x1 tg δ − h− 1
cos δ
}
,
S3 =
{
x ∈ Rn : |x| 6 1,−x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn, x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn
}
.
(15)
Отметим, что существует вращение gδ ∈ SO(n) такое, что gδSh = S1 ∪ S3, и g−δSh =
g−1
δ Sh = S2 ∪ S3. Так как f ∈ P∞(Sh,BR), то
∫
gδSh
f(x) dx = 0 и
∫
g−1
δ Sh
f(x) dx = 0.
Вычитая последние два равенства, получаем
∫
S1
f(x) dx =
∫
S2
f(x) dx. (16)
А так как вместе с f классу P∞(Sh,BR) принадлежит и любая производная от f ,
то, подставляя в (16) вместо f функцию ∂(f−C)
∂x1
= ∂f
∂x1
и переходя к пределу в этом
равенстве при δ → +0, по теореме о среднем, получаем
∫
B̃
x1
∂(f − C)
∂x1
(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 . . . dxn−1 = 0. (17)
Используя формулу интегрирования по частям и условие, что f = C в |x| > 2− R,
получаем (14). ¤
Зададим гиперплоскости в Rn через единичный вектор нормали и расстояние до
начала координат: ξσ,d = {x ∈ Rn : (σ, x) = d}, где d ∈ R+ и σ ∈ S. Пусть f ∈ L1(Rn).
Тогда преобразование Радона Rf может быть рассмотрено как функция на S× R+
и определено по формуле
Rf(σ, d) =
∫
ξσ,d
f(x) dmn−1(x), (18)
где dmn−1 – (n− 1)-мерная мера. По теореме Фубини видно, что преобразование R
определено для всех σ ∈ S и почти всех d ∈ R+.
Лемма (Следствие 1.8.4 в [5]). Пусть r > 0 и f ∈ L1(Rn) такая, что
Rf(σ, d) = 0 для всех σ ∈ S и почти всех d ∈ (0, +∞). Если существует множе-
ство Ω ⊂ (r,+∞) положительной меры такое, что f(x) = 0 в {x ∈ Rn : |x| ∈ Ω},
тогда f = 0 в Br,+∞.
158
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей
5. Доказательство основного результата. Перед тем, как перейти к доказа-
тельству основного результата работы, рассмотрим функции (см. [5, Глава 1, § 3.3])
v(x) =
{
Ce1/(|x|2−1), |x| < 1;
0, |x| > 1,
где C =
(∫
B
e1/(|x|2−1) dx
)−1. Для любого ε > 0 поло-
жим
ϕε(x) = ε−nv(x/ε). (19)
Отметим, что радиальная функция ϕε ∈ C∞(Rn) обладает свойствами: ϕε > 0,
supϕε = Bε, и
∫
Rn
ϕε(x) dx = 1.
Доказательство теоремы 1. Докажем сначала, что если R > h, то Sh ∈ Pomp(BR).
Для этого достаточно показать, что P(Sh,BR) = {0}, то есть из того, что f ∈
P(Sh,BR) следует, что f = 0.
Рассмотрим произвольную f ∈ P(Sh,BR) и ε ∈ (0, R−h). Тогда для ϕε, заданной
формулой (19), функция ψ = f ∗ϕε ∈ P∞(Sh,BR−ε). Определенная таким образом ψ
удовлетворяет лемме 4, и по теореме 3.4.4 из [11] функция ψ является многочленом
в B2−R+ε,R−ε. Подберем такой дифференциальный оператор D с постоянными коэф-
фициентами, чтобы ψD = Dψ = C в B2−R+ε,R−ε. Кроме этого, ψD ∈ P∞(BR−ε), то
есть эта функция удовлетворяет условиям леммы 5. Доопределим ее нулем вне BR−ε.
Тогда, учитывая лемму 1, получаем, что интегралы от функции h = ψD−C по всем
гиперплоскостям равны нулю. Тогда по следствию 1.8.4 из [5] h = 0 в BR−ε, то есть
ψD = C. Но так как ψD ∈ P∞(BR−ε), то C = 0. Таким образом, получим, что все
коэффициенты многочлена ψ равны нулю, то есть ψ = 0. Используя стандартный
метод сглаживания (см, например, §1.3.3 в [5]), получаем f = 0 в BR.
Пусть теперь R ∈ (r∗(Sh), h). Тогда существует ε = h−R такое, что для любого
λ ∈M(n) Bε ⊂ λSh. Рассмотрим теперь функции
v2(x) =
{
Ce1/(|x|4−1), |x| < 1;
0, |x| > 1,
где C−1 =
∫
B
e1/(|x|4−1) dx (20)
и
ψε(x) = ε−nv2(x/ε). (21)
Если ϕε – функция, определенная формулой (19), тогда f =
(
ψε(x) − ϕε(x)
) · χBε –
не равная нулю функция, принадлежащая P∞(Sh,BR).
При R 6 r∗(Sh) множество Mot(Sh,BR) = ∅, поэтому, очевидно, любая функция
f ∈ C∞(BR) принадлежит P∞(Sh,BR). ¤
Отметим, что значение P(S1) найдено в [5], основной результат работы в слу-
чае n = 2 был ранее получен в [14]. Кроме того, из известных ранее результа-
тов С.Беренстейна и Р.Гэя (см., например, [6]) для h > 1 следовала лишь оценка
P(Sh) < 2.
6. Некоторые применения. Теорема 1 позволяет получить достаточное усло-
вие замкнутости в пространстве Lp(BR) (1 6 p < ∞) системы функций
{χSh
(λ−1x) : λ ∈ M(Sh,BR)}. (22)
159
П.А. Машаров
Теорема 2. Пусть h ∈ (√
5−1; 2
)
, R > h. Тогда система функций (22) замкну-
та в пространстве Lp(BR) при любом 1 6 p < ∞.
Доказательство. Пусть ϕ – линейный непрерывный функционал на простран-
стве Lp(BR) такой, что ϕ
(
χSh
(λ−1x)
)
= 0 при всех λ ∈ M(Sh,BR). По теореме Рисса
существует функция f ∈ Lq(BR), q = p/(p− 1), такая, что ϕ(g) =
∫
BR
f(x)g(x) dx для
любой g ∈ Lp(BR). Подставляя вместо g функции из (22), получаем
∫
λSh
f(x) dx = 0
для всех λ ∈ M(Sh,BR), что означает f ∈ Pomp(Sh,BR). Отсюда, учитывая R > h,
по теореме 1 получаем f = 0, значит ϕ – нулевой функционал. Отсюда следует
замкнутость системы (22) в Lp(BR). ¤
Отметим, что утверждение теоремы 2 теряет силу при p = ∞, так как ненулевые
тождественные константы не могут быть аппроксимированы указанным в теореме 2
способом.
Рассмотрим также применение теоремы 1 в теории отображений, сохраняющих
меру. Здесь под measE понимается мера Лебега множества E.
Теорема 3. Пусть h ∈ (√
5 − 1; 2
)
, R > h и f – C1-диффеоморфизм BR на об-
ласть Ω ⊂ Rn. Тогда, если meas f(λSh) = measλSh ∀λ ∈ M(Sh,BR), то meas f(E) =
measE для любого измеримого множества E ⊂ BR.
Доказательство. Пусть Jf – якобиан отображения f . По условию
∫
λSh
dx =
∫
f(λSh)
dx =
∫
λSh
|Jf | dx для всех λ ∈ M(Sh,BR). Отсюда
∫
λSh
(|Jf | − 1) dx = 0 ∀λ ∈
M(Sh,BR). По теореме 1, |Jf | = 1 в BR, откуда
∫
E
dx =
∫
E
|Jf | dx =
∫
f(E)
dx для любо-
го измеримого множества E ⊂ BR, что и требовалось. ¤
1. Zalcman L. A bibliographic survey of Pompeiu problem // Approximation dy solutions of partial
differential equations / ed. B. Fuglede et al., 1992. P. 185-194.
2. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’. In:
Radon Transforms and Tomography. Contemp. Math., 2001. № 278. P. 69-74.
3. Williams S.A. A partial solution of the Pompeiu problem // Math. Ann. 1976. V. 223. P. 183-190.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric
Spaces and the Heisenberg Group. Springer. 2009, 671 p.
5. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Kluwer Academic Publishers. 2003,
454 p.
6. Berenstein C.A., Gay R. Le probleme de Pompeiu locale // J. Anal. Math. 1989. V. 52. P. 133-166.
7. Волчков В.В., Волчков Вит.В. Экстремальные задачи интегральной геометрии // Математика
сегодня № 1. – Вып. 12. – Киев, 2001, С. 51-79.
8. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // До-
повiдi НАН України. – 2001. – № 7. – С. 25-29.
9. Л.В. Елец, П.А. Машаров Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю // УМЖ,
том 61. – 2009. – С. 61-72.
10. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. 2-е изд. – М.: Наука –
1991. – 576 с.
11. Волчков В.В. Преобразование Помпейю. Донецк: ДонГУ. – 1999. – 210 с.
12. Szabo G. On functions having the same integral on congruent semidisks // Ann. Univ. sci. Budapest.
– 1982. – V. 3. – P. 3-9.
160
Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей
13. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении. – Киев,
"Факт". – 2004. – 560 с.
14. Машаров П.А. Про цилiндри з локальною властивiстю Помпейю // Вiстник Донецьконо на-
цiонального унiверситету. Серiя А. Природничi науки. – 2000. – № 1. – С. 21-25.
P.A. Masharov
The extremal problems about Pompeiu sets with a spherical boundary.
Exact value for the smallest radius of the ball, in which the given set is a Pompeiu set is obtained in
the paper. The set is presented by the ball segment with the radius equal to 1 and the altitude is in the
certain range. The value in this paper essentially improve the known results.
Keywords: extremal version of the Pompeiu problem, Pompeiu radius, Pompeiu set, ball segment.
П.А. Машаров
Екстремальнi задачi про множини Помпейю зi сферичною межею.
Отримано значення найменшого радiуса кулi, в якiй дана множина є множиною Помпейю. В якостi
множини розглянуто кожен сегмент кулi радiуса 1, що має висоту з деякого дiапазону. Отримане
значення iстотно уточнює вiдомi ранiше оцiнки.
Ключовi слова: екстремальний варiант проблеми Помпейю, радiус Помпейю, множина Пом-
пейю, кульовий сегмент.
Донецкий национальный ун-т
pavelmasharov@gmail.com
Получено 07.04.11
161
|