Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости

В статье предложен алгоритм численного решения задач линейной вязкоупругости анизотропного тела, не требующий явного построения аналитического представления ядер ползучести и релаксации. Приближенное решение интегральных уравнений базируется на непосредственном использовании экспериментальных данных...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Нескородев, Р.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123996
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 531.376. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123996
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1239962017-09-18T03:02:57Z Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости Нескородев, Р.Н. В статье предложен алгоритм численного решения задач линейной вязкоупругости анизотропного тела, не требующий явного построения аналитического представления ядер ползучести и релаксации. Приближенное решение интегральных уравнений базируется на непосредственном использовании экспериментальных данных, предварительно сглаженных и восполненных более густой сеткой. Это приводит к значительному уменьшению вычислительной погрешности при решении конкретных задач. У статті запропоновано алгоритм чисельного розв'язку задач лінійної в'язкопружності анізотропного тіла, що не вимагає явної побудови аналітичного зображення ядер повзучості та релаксації. Наближений розв'язок інтегральних рівнянь базується на безпосередньому використанні експериментальних даних, попередньо згладжених і заповнених більш густою сіткою. Це призводить до значного зменшення обчислювальної похибки при розв'язанні конкретних задач. In article the algorithm of the numerical solution of problems linear viascoelasticity of the anisotropic body, not demanding obvious construction of analytical representation of kernels of creep and a relaxation is offered. The approached decision of the integrated equations is based on direct use of the experimental data preliminary smoothed and filled in richer grid. It results in significant reduction of a computing error at the decision of specific targets. 2011 Article Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 531.376. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123996 162-170 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье предложен алгоритм численного решения задач линейной вязкоупругости анизотропного тела, не требующий явного построения аналитического представления ядер ползучести и релаксации. Приближенное решение интегральных уравнений базируется на непосредственном использовании экспериментальных данных, предварительно сглаженных и восполненных более густой сеткой. Это приводит к значительному уменьшению вычислительной погрешности при решении конкретных задач.
format	Article
author	Нескородев, Р.Н.
spellingShingle	Нескородев, Р.Н. Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Нескородев, Р.Н.
author_sort	Нескородев, Р.Н.
title	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости
title_short	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости
title_full	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости
title_fullStr	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости
title_full_unstemmed	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости
title_sort	численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123996
citation_txt	Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 531.376. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT neskorodevrn čislennoeopredelenierezolʹventintegralʹnyhuravnenijlinejnojvâzkouprugosti
first_indexed	2025-07-09T00:40:52Z
last_indexed	2025-07-09T00:40:52Z
_version_	1837127861551497216
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22 УДК 531.376 c©2011. Р.Н. Нескородев ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ В статье предложен алгоритм численного решения задач линейной вязкоупругости анизотропного тела, не требующий явного построения аналитического представления ядер ползучести и релак- сации. Приближенное решение интегральных уравнений базируется на непосредственном исполь- зовании экспериментальных данных, предварительно сглаженных и восполненных более густой сеткой. Это приводит к значительному уменьшению вычислительной погрешности при решении конкретных задач. Ключевые слова: линейный вязкоупругий материал, ползучесть, релаксация, восполнение экс- периментальных данных, алгебра операторов Вольтерра, резольвентный оператор. 1. Введение. При решении статических краевых задач линейной теории вязко- упругости основная роль принадлежит принципу Вольтерра, основанному на том, что решение таких задач получают из соответствующих упругих решений заменой упругих постоянных временными операторами [1]. Другой метод решения указан- ных задач основан на использовании преобразования Лапласа. После применения этого преобразования получаются уравнения классической теории упругости для изображений. Решив задачу в изображениях, нужно вернуться с помощью обрат- ного преобразования Лапласа к оригиналам, чтобы получить искомое решение [2]. При использовании принципа Вольтерра, а также метода преобразования Лапласа, большое значение имеет аналитическая форма задания ядер ползучести и релакса- ции. Значения этих ядер определяются из эксперимента и задаются таблицей чисел, которые соответствуют фиксированным значениям времени. По этим эксперимен- тальным данным различными методами строят аналитические аппроксимации ядер в специальной форме [3, 4]. Существует большое число аналитических выражений для ядер ползучести и релаксации. Детальный анализ структур ядер и способов определения их параметров приведен в работах [1, 5-7]. Наиболее распространенным и гибким при описании вязкоупругих свойств реальных материалов, представляется ядро в виде дробно-экспоненциальной функции Ю.Н. Работнова [1, 7]. Сравнитель- ный анализ определения параметров, входящих в эти функции дан в работе [8]. Тем не менее, такая аппроксимация часто является источником погрешностей, связан- ных с тем, что построение аналитического выражения ядра, хорошо описывающего данные эксперимента, осуществляется на большом временном интервале. В работах [9, 10] предложен новый подход к решению задач вязкоупругости анизотропного те- ла, который не требует построения аналитического представления ядер ползучести и релаксации. Он основан на численном решении интегральных уравнений состояния среды и предполагает работу с таблицами, определенными на достаточно густой сет- ке со сглаженными данными. В настоящей работе предлагается метод сглаживания и восполнения таблицы экспериментальных данных. На основе таких таблиц стро- 162 Численное определение резольвент интегральных уравнений ятся матрицы уравнений состояния, элементы которых имеют явную зависимость от времени. Найденные соотношения получены на основе обращения интегральных уравнений линейной вязкоупругости символическим методом и использования ал- гебры резольвентных операторов произвольной структуры. 2. Метод сглаживания и восполнения таблицы экспериментальных дан- ных. При проведении эксперимента определяются данные для построения кривых ползучести или релаксации. Таблица экспериментальных данных может содержать погрешности измерений, которые обусловлены классом точности измеряемых при- боров, их скрытым дефектам, изношенностью и отлаженностью. Кроме того, она может содержать данные замеров различных испытываемых образцов, которые мо- гут иметь различные внутренние дефекты. Поэтому данные таблицы должны подле- жать определенной математической обработке. Эта задача тесно связана с задачей сглаживания и восполнения, когда по заданным точкам измерения (tk, εk) необхо- димо провести гладкую кривую w (t) при минимальной погрешности. При этом в качестве функции w (t) необходимо выбирать выражение, которое будет описывать ожидаемое поведение изучаемого физического процесса. Установлено, что функции ползучести должны быть монотонно возрастающими, а функции релаксации – монотонно убывающими функциями времени [2, 6]. Если уровень нагрузок меньше предела прочности материала, то развитие деформаций практически полностью прекращаются при достижении определенного времени [3]. В этом случае имеет место затухающий процесс, а представление для функции w (t) лучше выбирать в виде ряда по экспонентам [11]: w (t) = m∑ k=1 ak exp [− (k − 1) β tα] . (1) Если α и β - фиксированные постоянные, а величины ak подлежат определению, то процесс называется линейным экспоненциальным приближением. Если подлежат определению все величины α, β и ak, то процесс называется нелинейным экспонен- циальным приближением. Пусть на отрезке [0, t] задана дискретная сетка значений времени t: 0 = t0 < t1 < ... < tn = t. В узлах сетки известны экспериментально полученные значения функции ε (t): – ε (t0) = ε0, ε1, . . . , εn = ε (t). Необходимо осуществить вычисле- ние постоянных α, β и ak так, чтобы функция (1) сглаживала кривую, заданную таблицей и, используя эту функцию, провести восполнение данных. Алгоритм сглаживания таблицы исходных экспериментальных данных основан на использовании дискретного метода наименьших квадратов. Потребуем, чтобы искомая сглаживающая функция минимизировала функционал Φ (a, α, β) = n∑ p=0 [w (tp)− εp] 2 = n∑ p=0 [ m∑ k=1 ak ϕkp − εp ]2 → min, (2) здесь a = [a1 a2, ..., am], ϕkp = ϕkp (tp, α, β) = exp [− (k − 1) β tαp ] . 163 Р.Н. Нескородев Приравнивая производные по коэффициентам ak нулю, получим систему линей- ных алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов m∑ k=1 ak n∑ p=0 ϕrpϕkp = n∑ p=0 εpϕrp ( r = 1, m ) . (3) Отметим, что система уравнений (3) решается при варьировании постоянных α, β в целях достижении выполнения условия (2). После определения постоянных α, β и ak найденная функция (1) позволяет осу- ществить гладкое восполнение сеточных значений в любой точке отрезка [0, t]. В качестве примера проведем обработку данных эксперимента, приведенного в работе [3] для стеклопластика ТС8/3-250. Опыты выполнялись при постоянной на- грузке. Рассмотрим случай, когда уровень нагрузки выбирался равным 0.3 от преде- ла прочности материала σ для самого показательного направления θ = 450 к основе ткани. Испытания проводились до практически полного прекращения развития де- формаций. Для указанного случая в табл. 1 представлены данные эксперимента, отнесенные к величине ε0. Таблица 1 t, час 0 12 24 48 120 240 360 505 εk/ε0 1.000 1.200 1.271 1.336 1.432 1.542 1.632 1.684 t, час 624 744 864 1008 1128 1248 1320 1400 εk/ε0 1.736 1.755 1.774 1.826 1.832 1.838 1.839 1.839 Представление (1) запишем в форме w (t) = exp (− β tα) + m∑ k=1 ak [exp (− β tα)− exp [− (k + 1) β tα] ] . (4) Если m = 3, то функция наилучшего приближения (4) получается при следую- щих параметрах: α = 0.49, β = 0.029, a1 = 99.8375, a2 = −153.2572, a3 = 75.3933. (5) На рис.1 а) точки соответствуют данным табл. 1, а сплошная линия является графиком функции (4), построенной для найденных параметров (5). 3. Численное определение резольвент интегральных уравнений тео- рии вязкоупругости. Для определения напряжений и деформаций, возникающих в анизотропной среде при ее длительном нагружении, в работах [9, 10] использованы уравнения состояния в форме s (t) = R (0) e(t) + t∫ 0 d R (t− τ) d (t− τ) e (τ) dτ, (6) 164 Численное определение резольвент интегральных уравнений Рис. 1. Кривые ползучести а) и релаксации б) стеклопластика ТС8/3-250 e (t) = P (0) s(t) + t∫ 0 d P (t− τ) d (t− τ) s (τ) dτ. (7) Здесь s (t) = si = [s1, s2, s3, s4, s5, s6], e (t) = ek = [e1, e2, e3, e4, e5, e6] – векторы напряжений и деформаций; R = { Rij} и P = {Pij} ( i, j = 1, 6 ) – регулярные части матриц функций релаксации и ползучести. В момент приложения внешних усилий или деформаций (время t = 0) упругие постоянные материала среды характеризуются матрицей a – коэффициентов де- формации, или A – модулей упругости, а решение является упругим. Дальнейшее поддерживание усилий или деформаций (время t > 0) приводит к тому, что мате- риал, из которого изготовлено тело, продолжает деформироваться. Для описания этого процесса, используем модели (6) и (7), учитывающие свойство материала де- формироваться во времени. Мгновенные значения функций ползучести P (0) = a, релаксации R (0) = A, напряжений s (0) = σ и деформаций e (0) = ε являются начальными условиями для искомых функций времени. Соотношения между модулями упругости и коэффициентами деформации в тео- рии упругости имеют вид A−1 = a. Соответствующие соотношения между функци- 165 Р.Н. Нескородев ями ползучести и релаксации неверны. Однако имеют место соотношения P (0) = [R (0)]−1 , P (∞) = [R (∞)]−1 (8) для мгновенных и длительных модулей упругости и коэффициентов деформации. Численные соотношения между функциями ползучести и релаксации найдены в работах [9, 10]. Они имеют вид Rk = ( I− k∑ i=1 Rk−i (Pi −Pi−1) ) A (k = 0, 1, ..., N) , (9) Pk = ( I− k∑ i=1 Pk−i (Ri −Ri−1) ) a (k = 0, 1, ..., N) , (10) где I – единичная матрица, Pi = P (ti), Ri = R (ti), Pk−i = P (tk − ti), Rk−i = R (tk − ti) – значения функций в точке t = ti. Из соотношений (9), по экспериментально найденным значениям функции пол- зучести в точках сетки находятся функции релаксации, а из (10) – наоборот. При вычислении функций релаксации или ползучести по формулам (9) или (10), для увеличения точности вычислений, необходимо осуществить сглаживание соот- ветствующей кривой и увеличить число точек N разбиения отрезка [0, t]. Отметим, что качество вычислений контролируется взаимным перерасчетом. Так, точность расчета функции релаксаций по формуле (9) проверяется перерас- четом функции ползучести по формулам (10) и сравнением полученной функции с исходной. Если результат сравнения не удовлетворителен, необходимо уменьшить шаг сетки. На рис. 1 б) приведена кривая релаксации, соответствующая кривой ползучести рис. 1 а) и вычисленная по формулам (9). Точность вычислений контролировалась обратным перерасчетом по формулам (10). Вычисленные значения сравнивалась с исходными Pn поточечно. В результате, максимальная по абсолютному значению погрешность мала и составляет величину порядка 10−15. Кроме того, с большой точностью выполняются условия (8). Рассмотрим символический метод решения интегрального уравнения состояния (7). Для этого запишем его в следующей форме: e (t) = a  I s(t) + A t∫ 0 dP (t− τ) d (t− τ) s (τ) dτ   . (11) Следуя Ю.Н. Работнову [1], введем символическую запись интегрального опера- тора Вольтерра следующим образом: A t∫ 0 dP (t− τ) d (t− τ) s (τ) dτ = λ P∗s (t) , (12) 166 Численное определение резольвент интегральных уравнений где λ – регулярная точка оператора P∗. Тогда уравнение (11) можно переписать в форме e (t) = a (I + λP∗) s(t). (13) Решим последнее уравнение относительно функции s(t) формально, поступая с операторами так же, как с постоянными числами. Получим следующую запись: s (t) = (I + λP∗)−1 a−1e(t) = [I− λR∗ (−λ)]Ae(t). (14) Оператор (I + λP∗)−1 называется обратным или резольвентой, а операторR∗ (−λ) – резольвентным для P∗ [12]. В работе [1] для решения граничных задач линейной вязкоупругости была по- строена алгебра операторов Вольтерра для специального класса операторов с дробно- экспоненциальными ядрами. Для описания вязкоупругих свойств реальных мате- риалов приходится строить операторы с ядрами более сложной природы. В статье [12] показано, что построение алгебры операторов Вольтерра не связано с каким- либо специальным видом ядра и может быть осуществлено для любых резоль- вентных операторов. Таким образом, интегральные операторы с произвольными ядрами обладают теми же свойствами, которыми обладают операторы с дробно- экспоненциальными ядрами. Приведем эти свойства [12]. Свойство 1. Для любых двух регулярных точек λ и µ имеют место равенства: R∗ (λ)R∗ (µ) = [R∗ (λ)−R∗ (µ)]/ (λ− µ) (λ 6= µ) , (15) R∗ (λ)R∗ (λ) = ∂R∗ (λ) /∂λ. Свойство 2. Для любого резольвентного оператора R∗ (λ) имеет место формула обращения [I− δR∗ (λ)]−1 = I + δR∗ (λ + δ) . (16) Свойство 3. Возведение в степень резольвентного оператора равносильно диф- ференцированию по параметру [R∗ (λ)]n = 1 (n− 1)! ∂n−1R∗ (λ) /∂λn−1. Кроме этих свойств, формулы М.И. Розовского [13] для дробно экспоненциаль- ных операторов полностью переносятся на произвольные резольвентные операторы. Покажем, что решение граничных задач вязкоупругости, может быть осуществ- лено без каких-либо конкретных аналитических заданий исходных операторов. Бу- дем рассматривать установившуюся ползучесть. В этом случае деформация ползу- чести осуществляется при постоянных во времени напряжениях. Если нагрузки по- стоянны, то при решении конкретных задач напряжения s (τ) в (12) можно считать 167 Р.Н. Нескородев зависимыми от верхнего предела. Оператор (12) представляется в виде произведе- ния оператора λP∗ • 1 = A t∫ 0 dP(t−τ) d(t−τ) dτ на напряжение s (t). Таким образом, (λP∗ • 1) s (t) = [−I + AP (t)] s (t) . Уравнение (13) в этом случае примет вид e (t) = a (I + λP∗) s(t) = P (t) s(t). (17) Рассматривая решение уравнения (6) при постоянной деформации придем к уравнению, аналогичному (17) s (t) = R (t) e(t), (18) где функция релаксации определяется формулами (9). Следует отметить, что уравнениями состояния (17) следует пользоваться, когда на границе тела заданы нагрузки, а уравнениями (18) – когда заданы перемещения или деформации. Из соотношений (17), а также (18) и (14), находим λP∗ = AP (t)− I, λR∗ (−λ) = I−R (t)a. (19) Соотношения (19) связывают интегральные операторы P∗ и R∗ (−λ) с функция- ми ползучести и релаксации P (t) и R (t), заданными таблично. Это обстоятельство позволяет, используя свойства интегральных операторов (15) и (16), производить соответствующие действия с функциями ползучести и релаксации, заданными таб- лично. Рассмотрим пример определения значений интегральных операторов, входящих в уравнения состояния для случая обобщенного плоского напряженного состояния изотропной пластинки. Матрица a формируется с помощью упругих постоянных ν, E и G, которые в процессе длительного нагружения пластинки заменяются времен- ными интегральными операторами ν = ν (1 + P ∗ ν ) , E = E (1−R∗ E) , G = G (1−R∗ G) . (20) Из операторов (20) строится матрица ползучести P (t) с элементами P (t) =   a11 a12 0 a21 a22 0 0 0 a66   =   1/E −ν/E 0 −ν/E 1/E 0 0 0 1/G   . (21) Предположим, что из опыта известна функция ползучести для коэффициента Пуассона ν = ν pν (t). Здесь pν (t) – таблично заданная кривая ползучести для коэффициента ν. В соответствии с (20), можно записать ν = ν (1 + P ∗ ν ) = ν pν (t) . 168 Численное определение резольвент интегральных уравнений Из последнего соотношения значения интегрального оператора определяются фор- мулой P ∗ ν = pν (t)− 1. Аналогичным образом определяются интегральные операторы R∗ E и R∗ G по за- данным кривым релаксации rE (t) и rG (t). Напомним, что по заданным функциям pν (t), rE (t) и rG (t) соответствующие функции релаксации и ползучести rν (t), pE (t) и pG (t) определяются соотношениями (9) и (10). Если значение величины E не определялось, то оно может быть найдено в пред- положении, что оператор объемного сжатия есть величина постоянная [1]. Это зна- чит, что 1− 2ν E = 1− 2ν E . Отсюда найдем E = E 1− 2ν 1− 2ν = E 1− 2ν pν (t) 1− 2ν = E rE (t) , (22) 1 E = 1 E 1− 2ν 1− 2ν = 1 E 1 1− δP ∗ ν = 1 E [1 + δP ∗ ν (δ)] = 1 E pE (t) , δ = 2ν/ (1− 2ν) . (23) Из (22) находится функция rE (t), по формулам (10) вычисляется pE (t), а из соотношений (23) имеем P ∗ ν (δ) = [pE (t)− 1] /δ. (24) Найдем операторы − ν E = − ν E (1 + P ∗ ν ) [1 + δP ∗ ν (δ)] = − ν E [1 + (1 + δ) P ∗ ν (δ)] , (25) 1 G = 2 (1 + ν) E = 2 (1 + ν) E (1 + δ1P ∗ ν ) [1 + δP ∗ ν (δ)] = = 1 G [1 + (δ1 + δ) P ∗ ν (δ)] , δ1 = ν/ (1 + ν) . Таким образом, для компонент матрицы (21) получаются соотношения (23) и (25), в которых интегральный оператор P ∗ ν (δ) вычисляется по формуле (24). Как видно, в предложенной методике нет необходимости заранее строить конкретный вид ядер ползучести или релаксации для материалов, обладающих свойствами пол- зучести. Это снимает вопрос об определении набора реологических параметров, необходимых для представления ядра, аппроксимирующего экспериментальную кри- вую. 4. Заключение. На основе свойств резольвентных операторов для ядер ин- тегральных уравнений произвольного вида предложен метод построения решения задач вязкоупругости путем прямого использования экспериментальных данных, заданных таблично. Для получения более густой сетки при помощи метода наимень- ших квадратов построена аппроксимирующая функция в виде ряда по экспонентам. 169 Р.Н. Нескородев 1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 c. 2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. – М: На- ука, 1970. – 280 с. 3. Работнов Ю.Н., Паперник Л.Х., Степанычев Е.И. Нелинейная ползучесть стеклопластика ТС8/3-250 // Механика полимеров. – 1971. – № 3. – С. 391-397. 4. Елсуфьев С.А. Исследование деформирования фторопласта-4 при линейном и плоском напря- женном состояниях // Механика полимеров. – 1968. – № 4. – С. 742-746. 5. Каминский А.А., Гаврилов Г.В. Механика разрушения полимеров. – К.: Наук. думка, 1988. – 224 с. 6. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости – М.: Мир, 1974. – 338 с. 7. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с. 8. Golub V.P., Fernati P.V., Lyashenko Ya.G. To the problem of determination of parameters of the fractional-exponentional heredity kernels of lineary viscoelastic materials // Int. App. Mech. – 2008. – Vol. 40, № 9. – P. 963-974. 9. Шевченко В.П., Нескородев Р.Н. Новый метод решения задач вязкоупругости анизотропных сред // Доповiдi НАН України. – 2010. – № 11. – С. 51-58. 10. Нескородев Р.Н. О новом численно-аналитическом методе решения задач теории вязкоупруго- сти анизотропных сред // Bicник Донецького нацioнального унiверситету. – Сер.А: Природн. науки. – 2010. – Вып. 2. – С. 84-89. 11. Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения. – М.: Наука, 1978. – 272 с. 12. Громов В.Г. Алгебра операторов Вольтерра и ее применение в задачах вязкоупругости // Доклады АН СССР. – 1968. – Т. 182, № 1. – С. 56-59. 13. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. – Киев: Наук. думка, 1968. – 887 с. R.N. Neskorodev Numerical calculation of the resolvents of integral equations of linear viscoelastic. In article the algorithm of the numerical solution of problems linear viascoelasticity of the anisotropic body, not demanding obvious construction of analytical representation of kernels of creep and a relaxation is offered. The approached decision of the integrated equations is based on direct use of the experimental data preliminary smoothed and filled in richer grid. It results in significant reduction of a computing error at the decision of specific targets. Keywords: a linear viscoelastic material, a creep, a relaxation, fulfilment of experimental data, algebra of operators Volterra, resolvent operator. Р.М. Нескородєв Чисельне визначення резольвент iнтегральних рiвнянь лiнiйної в’язкопружностi. У статтi запропоновано алгоритм чисельного розв’язку задач лiнiйної в’язкопружностi анiзотроп- ного тiла, що не вимагає явної побудови аналiтичного зображення ядер повзучостi та релаксацiї. Наближений розв’язок iнтегральних рiвнянь базується на безпосередньому використаннi експери- ментальних даних, попередньо згладжених i заповнених бiльш густою сiткою. Це призводить до значного зменшення обчислювальної похибки при розв’язаннi конкретних задач. Ключовi слова: лiнiйний в’язкопружний матерiал, повзучiсть, релаксацiя, заповнення експе- риментальних даних, алгебра операторiв Вольтерра, резольвентний оператор. Донецкий национальный ун-т pavelmasharov@gmail.com Получено 20.04.11 170

Численное определение резольвент интегральных уравнений линейной вязкоупругости

Institution

Ähnliche Einträge