Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае

Используя метод наименьших квадратов, построена новая итерационная техника для нахождения решений автономной слабонелинейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае в виде разложения в обобщенный полином Фурье в окрестности порождающего решения....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Чуйко, С.М., Чуйко, Ан.С., Пирус, О.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124000
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае / С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 197-206. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124000
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1240002017-09-18T03:03:12Z Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае Чуйко, С.М. Чуйко, Ан.С. Пирус, О.Е. Используя метод наименьших квадратов, построена новая итерационная техника для нахождения решений автономной слабонелинейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае в виде разложения в обобщенный полином Фурье в окрестности порождающего решения. Використовуючи метод найменших квадратів, побудовано нову ітераційну техніку для знаходження розв'язків автономної слабко нелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку у вигляді розкладання в узагальнений поліном Фур'є в околі породжу вального розв'язку. We construct a new convergent iteration algorithm for the construction of solution of autonomous weakly nonlinear boundary value problem for a system of ordinary differential equations in critical case. Using the least squares method we expand solution of boundary value problem in the neighborhood of the generating solution in generalized Fourier polynomial. 2011 Article Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае / С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 197-206. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124000 517.9 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Используя метод наименьших квадратов, построена новая итерационная техника для нахождения решений автономной слабонелинейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае в виде разложения в обобщенный полином Фурье в окрестности порождающего решения.
format	Article
author	Чуйко, С.М. Чуйко, Ан.С. Пирус, О.Е.
spellingShingle	Чуйко, С.М. Чуйко, Ан.С. Пирус, О.Е. Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Чуйко, С.М. Чуйко, Ан.С. Пирус, О.Е.
author_sort	Чуйко, С.М.
title	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае
title_short	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае
title_full	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае
title_fullStr	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае
title_full_unstemmed	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае
title_sort	приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124000
citation_txt	Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае / С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 197-206. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT čujkosm približennyerešeniâneterovyhkraevyhzadačvkritičeskomslučae AT čujkoans približennyerešeniâneterovyhkraevyhzadačvkritičeskomslučae AT pirusoe približennyerešeniâneterovyhkraevyhzadačvkritičeskomslučae
first_indexed	2025-07-09T00:41:18Z
last_indexed	2025-07-09T00:41:18Z
_version_	1837127886876704768
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22 УДК 517.9 c©2011. С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕТЕРОВЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ Используя метод наименьших квадратов, построена новая итерационная техника для нахождения решений автономной слабонелинейной краевой задачи для систем обыкновенных дифференциаль- ных уравнений в критическом случае в виде разложения в обобщеный полином Фурье в окрестности порождающего решения. Ключевые слова: метод наименьших квадратов, итерационная техника, дифференциальные уравнения. 1. Постановка задачи. Исследована задача о построении решений [1, 2, 3] z(t, ε) ∈ C1[a, b(ε)], C[0, ε0] краевой задачи для системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений dz/dt = Az + f + εZ(z, ε), `z(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε), b(ε) ∈ C[0, ε0], α ∈ Rm. (1) Решения нетеровой краевой (m 6= n) задачи (1) ищем в малой окрестности решения z0(t) ∈ C1[a, b∗], b∗ = b(0) порождающей задачи dz0/dt = Az0 + f, A ∈ Rn×n, f ∈ Rn, `z0(·) = α. Здесь Z(z, ε) – нелинейная вектор-функция, непрерывно-дифференцируемая по неиз- вестной z в малой окрестности решения порождающей задачи и непрерывно-диф- ференцируемая по малому параметру ε на отрезке [0, ε0]; `z(·, ε) – линейный и J(z(·, ε), ε) – нелинейный векторный функционалы `z(·, ε), J(z(·, ε), ε) : C[a, b(ε)] → Rm, причем второй функционал непрерывно-дифференцируем по неизвестной z и по малому параметру ε в малой окрестности решения порождающей задачи и на отрезке [0, ε0]. В критическом случае (PQ∗ 6= 0) при условии PQ∗d{α − `K[f ](·)} = 0 порождающая задача имеет семейство решений [1] z0(t, cr) = Xr(t)cr + G[f ; α](t), cr ∈ Rr. Здесь Q = `X(·)− (m × n) – матрица, rank Q = n1, n − n1 = r, PQ∗− (m × m) – матрица-ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗), X(t)− нормальная (X(a) = In) фундаментальная матрица однородной части дифференциальной системы; Xr(t) = X(t)PQr , PQr− (n×r) – матрица, составленная из r− линейно-независимых столбцов (n×n) – матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q); PQ∗d− (d×m)− мерная матрица Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных ис- следований. Номер государственной регистрации 0109U000381. 197 С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус PQ∗d составлена из d = m−n1 – линейно-независимых строк матрицы-ортопроектора PQ∗ , G[f ; α](t) = X(t)Q+{α− `K[f ](·)}+ K[f ](t) – обобщенный оператор Грина порождающей задачи, Q+ – псевдообратная матрица по Муру-Пенроузу [1], K[f ](t) = X(t) ∫ t a X−1(s)fds – оператор Грина задачи Коши порождающей дифференциальной системы, In− еди- ничная (n× n)− матрица. Совершая замену переменной [2, 3] t = a + (τ − a)(1 + εβ(ε)), b(ε) = b∗ + ε(b∗ − a)β(ε), β(ε) ∈ C[0, ε0], β(0) = β∗, приходим к задаче об отыскании решения z(τ, ε) ∈ C1[a, b∗], C[0, ε0] системы диф- ференциальных уравнений dz/dτ = Az + f + ε { β(ε)A(z(τ, ε) + f) + (1 + εβ(ε))Z(z(τ, ε), ε) } , удовлетворяющих краевому условию [3] `z(·, ε) = (1 + εβ(ε))(α + εJ̃(z(·, ε), ε)), `z(·, ε), J̃(z(·, ε), ε) : C[a, b∗] → Rm. Обозначая ϕ0(c∗) = αβ∗ + J(z0(·, c∗r), 0), f0(s, c∗) = β∗[Az0(t, c∗r) + f ] + Z(z0(t, c∗r), 0), аналогично [2], приходим к необходимому условию разрешимости задачи (1). Лемма. Если краевая задача (1) в критическом случае (PQ∗ 6= 0) имеет ре- шение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c∗r), то вектор c∗ = col (c∗r, β∗) ∈ Rr+1 удовлетворяет уравнению [2, 3] F (c∗) = PQ∗d{ϕ0(c∗)− `K[f0(s, c∗)](·)} = 0. (2) Фиксируя один из корней c∗ ∈ Rr+1 уравнения (2), приходим к задаче об отыска- нии решения задачи (1) z(τ, ε) = z0(τ, c∗r) + x(τ, ε). Обозначим матрицу B0 = F ′ c(c ∗). Пусть PB0 : Rr+1 → N(B0), PB∗0 матрицы-ортопроекторы Rr+1 → N(B∗ 0). Для каж- дого простого (PB∗0 = 0) корня уравнения F (c∗) = 0 задача (1) имеет по меньшей мере одно решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее z0(τ, c∗r). Для построе- ния этого решения предложена итерационная схема [2, 3], соответствующая методу простых итераций. Этот метод отличают простота и численная устойчивость, од- нако построение приближенных решений с применением метода простых итераций связано с быстро увеличивающейся от итерации к итерации сложностью вычисле- ний. 2. Периодическая задача для уравнения Льенара. На примере периоди- ческой задачи для уравнения Льенара продемонстрируем технику построения мо- дифицированной итерационной техники для нахождения приближенных решений с 198 Приближенные решения автономных нетеровых краевых задач в критическом случае использованием метода наименьших квадратов [4]. Исследуем задачу о нахождении решения y(t, ε) ∈ C2[0, T1(ε)], C[0, ε0] автономной периодической краевой задачи d2y dt2 + y = ε · Y (y, ε) · dy dt , y(0, ε)− y(T1(ε), ε) = 0, dy(0, ε) dt − dy(T1(ε), ε) dt = 0. (3) Решение задачи (3) ищем в малой окрестности решения порождающей задачи d2y0 dt2 + y0 = 0, y0(0)− y0(2π) = 0, dy0(0) dt − dy0(2π) dt = 0. Здесь Y (y, ε) – нелинейная скалярная функция, непрерывно-дифференцируемая по неизвестной y в малой окрестности решения порождающей задачи и непрерывно- дифференцируемая по малому параметру ε на отрезке [0, ε0]. Зафиксировав начало отсчета независимой переменной таким образом, чтобы решение порождающей зада- чи стало однопараметричным, например, y0(t) = ĉ·cos t, ĉ ∈ R1. Замена независимой переменной в случае периодической задачи принимает вид [5] T1(ε) = 2π(1 + εβ(ε)), t = τ(1 + εβ(ε)). Таким образом, приходим к задаче о нахождении 2π-периодических решений урав- нения d2y(τ, ε) dτ2 + (1 + εβ(ε))2 · y(τ, ε) = ε · (1 + εβ(ε)) · Y (y(τ, ε), ε) · dy dt . (4) Искомое периодическое решение уравнения (4) ищем в виде y(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗) + x(τ, ε). Отклонение от порождающего решения x(τ, ε) определяет 2π-периодическая задача для уравнения d2x(τ, ε) dτ2 + (1 + εβ(ε))2 · x(τ, ε) = ε(1 + εβ(ε)) · Y (y0(τ, ĉ∗) + x(τ, ε), ε)× (5) × [ dy0(τ, ĉ∗) dτ + dx(τ, ε) dτ ] − { d2y0(τ, ĉ∗) dτ2 + (1 + εβ(ε))2 · y0(τ, ĉ∗) } . Обозначая f0(τ, c∗) = Y (y0(τ, ĉ∗), 0)·y′0(τ, ĉ∗)−2β∗y0(τ, ĉ∗), приходим к необходимому условию разрешимости периодической задачи (3). Следствие. Если периодическая задача (3) для уравнения Льенара имеет ре- шение, при ε = 0 обращающееся в порождающее y(t, 0) = y0(t, ĉ∗), то вектор c∗ = col (ĉ∗, β∗) ∈ R2 удовлетворяет уравнению F (c∗) = ∫ 2π 0 ( cos s sin s ) f0(s, c∗) ds = 0. (6) Предположим, что уравнение (6) имеет действительные решения. Фиксируя один из простых корней c∗ ∈ R2 уравнения (6), приходим к задаче об отыскании ре- шения периодической задачи (3) в окрестности порождающего решения y0(t, ĉ∗). 199 С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус Положим Y ′ ε (y0(τ, ĉ∗), 0) ≡ 0. Используя непрерывную дифференцируемость по пер- вому аргументу функции Y (y, ε) в окрестности порождающего решения y0(τ, ĉ∗) и непрерывную дифференцируемость по второму аргументу в малой положительной окрестности нуля, разлагаем эту функцию в окрестности точек x = 0 и ε = 0 : Y (y0(τ, ĉ∗) + x(τ, ε), ε) = Y (y0(τ, ĉ∗), 0) +A1(y0(τ, ĉ∗))x(τ, ε) +R(y0(τ, ĉ∗) + x(τ, ε), ε), где A1(y0(τ, ĉ∗)) = Y ′ y(y0(τ, ĉ∗), 0). Последовательность приближений [6] {βj(ε)}∞j=0 −→ β(ε), β0(ε) := β∗ определяет последовательность независимых переменных {tj(βj(ε))}∞j=0 −→ t ∈ [0, 2π(1 + εβ(ε))], t0 ∈ [0, 2π(1 + εβ∗)]. Первое приближение к решению 2π− периодической задачи для уравнения (4) y1(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗) + x1(τ, ε), t0 := τ(1 + εβ∗), τ ∈ [0, 2π] определяет 2π− периодическое решение уравнения d2x1(τ, ε) dτ2 + x1(τ, ε) = ε ( 1 + εβ∗ ){ Y (y0(τ, ĉ∗), 0) · [ dy0(τ, ĉ∗) dτ + dx1(τ, ε) dτ ] + +A1 ( y0(τ, ĉ∗) ) dy0(τ, ĉ∗) dτ x1(τ, ε) } − [ d2y0(τ, ĉ∗) dτ2 + ( 1 + εβ∗ )2 · y0(τ, ĉ∗) ] . (7) Пусть ϕ1(τ), ϕ2(τ), ... , ϕµ(τ), ...− система линейно-независимых дважды непрерывно- дифференцируемых скалярных 2π-периодических функций. Приближение к реше- нию 2π− периодической задачи для уравнения (7) ищем в виде x1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) = ϕ(τ)c1(ε), ϕ(τ) = [ϕ1(τ) ϕ2(τ) ... ϕµ(τ)]; здесь ϕ(τ)− (1× µ)− матрица. Обозначим F1(τ, ε) = ( 1 + εβ∗ ) · [( 1 + εβ∗ ) − εA1 ( y0(τ, ĉ∗) ) y′0(τ, ĉ ∗) ] ϕ(τ)− −ε ( 1 + εβ∗ ) Y (y0(τ, ĉ∗), 0)ϕ′(τ) + ϕ′′(τ). Вектор c1(ε) ∈ Rµ определяет уравнение Γ ( F1(·, ε) ) c1(ε) = ∫ 2π 0 F∗1 (τ, ε) { ε ( 1 + εβ∗ ) Y (y0(τ, ĉ∗), 0) · y′0(τ, ĉ∗)− 200 Приближенные решения автономных нетеровых краевых задач в критическом случае − [ d2y0(τ, ĉ∗) dτ2 + ( 1 + εβ∗ )2 · y0(τ, ĉ∗) ]} dτ, однозначно разрешимое при условии невырожденности матрицы Грама Γ ( F1(·, ε) ) = ∫ 2π 0 F∗1 (τ, ε) · F1(τ, ε) dτ. Таким образом, при условии det [ Γ ( F1(·, ε) )] 6= 0 находим вектор c1(ε) = −ε · [ Γ ( F1(·, ε) )]−1 · ∫ 2π 0 F∗1 (τ, ε) { ε ( 1 + εβ∗ ) Y (y0(τ, ĉ∗), 0) · y′0(τ, ĉ∗)− − [ d2y0(τ, ĉ∗) dτ2 + ( 1 + εβ∗ )2 · y0(τ, ĉ∗) ]} dτ, определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение ξ1(τ, ε) к решению 2π-периодической задачи для уравнения (7). Первое приближение к функ- ции β(ε) определим, как β1(ε) := β∗ + β̄1(ε), (1 + εβ1(ε)) := (1 + εβ∗) · (1 + εγ1(ε)), γ1(ε) = Ψ(ε) · q1, q1 ∈ Rλ. Обозначим вектор-столбцы Ω1(ε) = ∫ 2π 0 ( cos τ sin τ )[ ε2 · ( 1 + εβ∗ ) Y (y1(τ, ε), ε) · y′1(τ, ε)− −2εy1(τ, ε)− 2ε2β∗ · ( 2 + εβ∗ ) y1(τ, ε) ] dτ, ω1(ε) = ∫ 2π 0 ( cos τ sin τ )[ εβ∗ ( 2 + εβ∗ ) y1(τ, ε)− ε · ( 1 + εβ∗ ) Y (y1(τ, ε), ε) · y′1(τ, ε) ] dτ. Из условия разрешимости 2π-периодической задачи для уравнения y′′1(τ, ε)+(1+ εβ∗)2(1+2εγ1(ε)) ·y1(τ, ε) = ε · (1+ εβ∗)(1+ εγ1(ε))Y (y1(τ, ε), ε) ·y′1(τ, ε) получаем систему Ω1(ε) ·γ1(ε) = ω1(ε) для нахождения поправки γ1(ε), разрешимую при условии PΩ∗1(ε) · ω1(ε) = 0. Если последнее условие выполнено, находим наи- лучшую (в смысле наименьших квадратов) поправку γ1(ε) = Ω+ 1 (ε) · ω1(ε), которая определяет первое приближение β1(ε) к функции β(ε). Последующие приближения к решению 2π− периодической задачи для уравнения (4) ищем, как yk+1(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗) + xk+1(τ, ε), xk+1(τ, ε) = ξ1(τ, ε) + ... + ξk+1(τ, ε), 201 С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус ξk+1(τ, ε) = ϕ(τ)ck+1(ε), ck+1(ε) ∈ Rµ. Предположим, что найденное приближение yk(τ, ε) ≈ y0(τ, ĉ∗) + xk(τ, ε) принадле- жит области определения функции Y (y, ε). Используя непрерывную дифференциру- емость по y(τ, ε) функции Y (y(τ, ε), ε) в окрестности первого приближения yk(τ, ε), разлагаем эту функцию в окрестности точек ξk+1(τ, ε) = 0 и ε = 0 : Y (yk+1(τ, ε), ε) = Y (yk(τ, ε), 0) +A1 ( yk(τ, ε) ) ξk+1(τ, ε) +R(yk(τ, ε) + ξk+1(τ, ε), ε), где A1 ( yk(τ, ε) ) = ∂Y (y(τ, ε), ε) ∂y ∣∣∣∣∣∣∣∣ y = yk(τ, ε), ε = 0 . Приближение yk+1(τ, ε) к решению 2π− периодической задачи для уравнения (5) определяет периодическое решение уравнения d2ξk+1(τ, ε) dτ2 + ξk+1(τ, ε) = ε ( 1 + εβk(ε) ){ Y (yk(τ, ε), ε) · [ dyk(τ, ε) dτ + dξk+1(τ, ε) dτ ] + +A1 ( yk(τ, ε) ) dyk(τ, ε) dτ ξk+1(τ, ε) } − [ d2yk(τ, ε) dτ2 + ( 1 + εβk(ε) )2 · yk(τ, ε) ] . (8) Обозначим (1× µ)− матрицу Fk+1(τ, ε) = ( 1 + εβk(ε) ) · [( 1 + εβk(ε) ) − εA1 ( yk(τ, ε) ) y′k(τ, ε) ] ϕ(τ)− −ε ( 1 + εβk(ε) ) Y (yk(τ, ε), 0)ϕ′(τ) + ϕ′′(τ). Необходимое условие минимизации невязки приводит к уравнению Γ ( Fk+1(·, ε) ) · ck+1(ε) = ∫ 2π 0 F∗k+1(τ, ε) { ε ( 1 + εβk(ε) ) · Y (yk(τ, ε), 0) · y′k(τ, ε)− − ( 1 + εβk(ε) )2 · yk(τ, ε)− d2yk(τ, ε) dτ2 } dτ. При условии невырожденности (µ× µ)− матрицы Грама Γ ( Fk+1(·, ε) ) = ∫ 2π 0 F∗k+1(τ, ε) · Fk+1(τ, ε) dτ 202 Приближенные решения автономных нетеровых краевых задач в критическом случае находим вектор ck+1(ε) = − [ Γ ( Fk+1(·, ε) )]−1 · ∫ 2π 0 F∗k+1(τ, ε) { ε ( 1+εβk(ε) ) ·Y (yk(τ, ε), 0) ·y′k(τ, ε)− − ( 1 + εβk(ε) )2 · yk(τ, ε)− d2yk(τ, ε) dτ2 } dτ. Обозначим вектор-столбцы: Ωk+1(ε) = ∫ 2π 0 ( cos τ sin τ )[ ε2 · ( 1 + εβk ) Y (yk+1(τ, ε), ε) · y′k+1(τ, ε)− −2εyk+1(τ, ε)− 2ε2βk · ( 2 + εβk ) yk+1(τ, ε) ] dτ, ωk+1(ε) = ∫ 2π 0 ( cos τ sin τ ) [ εβk(2 + εβk)yk+1(τ, ε)− −ε · (1 + εβk)Y (yk+1(τ, ε), ε) · y′k+1(τ, ε) ] dτ. Второе и последующие приближения βk+1(ε) к функции β(ε) определим, как ( 1 + εβk+1(ε) ) := ( 1 + εβk(ε) ) · ( 1 + εγk+1(ε) ) . Из условия разрешимости 2π− периодической задачи для уравнения y′′k+1(τ, ε) + (1 + εβk)2(1 + 2εγk+1(ε)) · yk+1(τ, ε) = = ε · (1 + εβk)(1 + εγk+1(ε))Y (yk+1(τ, ε), ε) · y′k+1(τ, ε) получаем систему Ωk+1(ε) · γk+1(ε) = ωk+1(ε) для нахождения поправки γk+1(ε), разрешимую при условии PΩ∗k+1(ε) · ωk+1(ε) = 0. Если последнее условие выполнено, находим поправку γk+1(ε) = Ω+ k+1(ε) · ωk+1(ε). Продолжая рассуждения, приходим к следующей итерационной схеме: y1(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗) + x1(τ, ε), β1(ε) = β∗ + γ1(ε) · ( 1 + εβ∗ ) , γ1(ε) = Ω+ 1 (ε) · ω1(ε), x1(τ, ε) ≈ ξ1(τ, ε) = ϕ(τ)c1(ε), c1(ε) = −ε · [ Γ ( F1(·, ε) )]−1 ∫ 2π 0 F∗1 (τ, ε)× × { ε ( 1 + εβ∗ ) Y (y0(τ, ĉ∗), 0) · y′0(τ, ĉ∗)− [ d2y0(τ, ĉ∗) dτ2 + ( 1 + εβ∗ )2 · y0(τ, ĉ∗) ]} dτ, ... 203 С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус yk+1(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗) + xk+1(τ, ε), xk+1(τ, ε) = ξ1(τ, ε) + ... + ξk+1(τ, ε), (9) ξk+1(τ, ε) = ϕ(τ)ck+1(ε), ck+1(ε) = − [ Γ ( Fk(·, ε) )]−1 ∫ 2π 0 F∗k (τ, ε)× × { ε ( 1 + εβ1(ε) ) · Y (yk(τ, ε), 0) · y′k(τ, ε)− ( 1 + εβk(ε) )2 · yk(τ, ε)− d2yk(τ, ε) dτ2 } dτ, βk+1(ε) = βk(ε) + γk+1(ε) · ( 1 + εβk(ε) ) , γk+1(ε) = Ω+ k+1(ε) · ωk+1(ε), ... k ∈ N. Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема. Для каждого простого detB0 6= 0, B0 := F ′ c(c ∗) корня c∗ ∈ R2 урав- нения для порождающих амплитуд (6) периодическая задача (3) для уравнения Льенара имеет единственное решение, при ε = 0 обращающееся в порождающее y(t, 0) = y0(t, ĉ∗). При условии det [ Γ ( Fk+1(·, ε) )] 6= 0, PΩ∗k(ε) · ωk(ε) = 0, k ∈ N для нахождения решения периодической задачи (3) для уравнения Льенара применима итерационная схема (9). Пример. Исследуем задачу о построении периодического решения уравнения Ван- дер-Поля [2, 5, 7]y′′ + y = ε · ( 1 − y2 ) · y′, наиболее известного частного случая уравнения Льенара. Периодическая задача для уравнения Ван-дер-Поля имеет единственное решение в малой окрестности порождающего решения y0(t, ĉ∗) = 2 cos t, при этом известна величина β∗ = 0. Положим к примеру ϕ(τ) = [sin τ sin 3τ sin 5τ sin 7τ cos τ cos 5τ cos 7τ ]. Матрица Грама, соответствующая порождающему решению y0(t, ĉ∗) = 2 cos t det[Γ (F1(·, ε) ) ] ≈ 4 057 816 381 784 064π7ε4 + 2 143 386 517 635 072π7ε6 + ... 6= 0 невырождена. Предложенная итерационная процедура определяет функции: ξ1(τ, ε) = ε · sin τ − sin 3τ 4 + ε2 · ( − 3 cos τ 128 − 5 96 cos 5τ ) + +ε3 · −397 sin τ + 297 sin 3τ + 100 sin 5τ + 70 sin 7τ 9 216 + +ε4 · 4 293 cos τ + 9 196 cos 5τ + 2 380 cos 7τ 884 736 + +ε5 · 197 173 sin τ − 138 573 sin 3τ − 58 600 sin 5τ − 46 366 sin 7τ 21 233 664 + +ε6 · −5 867 397 cos τ − 4 460 092 cos 5τ − 1 576 804 cos 7τ 2 038 431 744 + 204 +ε7 · −147 152 989 sin τ + 116 416 989 sin 3τ + 30 736 000 sin 5τ + 25 022 662 sin 7τ 48 922 361 856 и ξ2(τ, ε) = ε2 · 3 cos τ 128 + ε3 · ( 41 sin τ 1 024 − 21 sin 3τ 1 024 − 5 sin 5τ 768 + 7 sin 7τ 1 536 ) + +ε4 · ( − 3 787 cos τ 589 824 − 473 cos 5τ 73 728 − 7 cos 7τ 8 192 ) + ε5 · ( − 65 663 sin τ 4 718 592 + + 15 181 sin 3τ 1 572 864 + 395 sin 5τ 147 456 + 487 sin 7τ 1 179 648 ) + ε6 · ( − 13 786 913 cos τ 243 024 443 + + 5 399 155 cos 5τ 1 138 742 666 + 1 938 002 cos 7τ 2 560 428 281 ) + ε7 · ( − 9 009 047 sin τ 249 230 597 + 84 430 978 sin 3τ 3 627 550 289 − −181 844 sin 5τ 2 810 321 573 − 1 854 818 sin 7τ 1 720 405 007 ) + ε8 · ( 17 284 649 cos τ 496 497 510 + 11 564 805 cos 5τ 1 549 162 486 − −572 747 cos 7τ 5 213 617 729 ) + ε9 · ( 14 502 929 sin τ 522 989 888 − 14 718 563 sin 3τ 669 621 228 − 1 438 656 sin 5τ 1 577 943 161 − −4 842 238 sin 7τ 1 980 404 069 ) + ε10 · ( − 9 692 105 cos τ 797 934 848 − 6 818 500 cos 5τ 865 183 731 − 12 590 253 cos 7τ 29 454 573 767 ) , а также первое β1(ε) = 1 16 · ε− 17 3 072 · ε3 + 40 781 28 311 552 · ε5 − 13 979 20 897 579 · ε7 и второе приближение β2(ε) = 1 16 · ε− 5 3 072 · ε3 − 23 431 28 311 552 · ε5 − 280 007 32 802 415 · ε7 к функции β(ε). Таким образом, найдены первое y1(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗)+x1(τ, ε), x1(τ, ε) = ξ1(τ, ε) и второе приближение к решению периодической задачи для уравнения Ван- дер-Поля y2(τ, ε) = y0(τ, ĉ∗) + x2(τ, ε), x2(τ, ε) = ξ1(τ, ε) + ξ2(τ, ε). Для оценки точ- ности найденного второго приближения определим невязки: ∆2(ε) := \|\|y′′2(τ, ε)+(1+εβ2(ε))2 ·y2(τ, ε)−ε · (1+εβ2(ε)) · (1−y2 2(τ, ε)) ·y′2(τ, ε)\|\|C[0;2π], ∆a(ε) := \|\|y′′a(τ, ε)+(1+εβa(ε))2 ·ya(τ, ε)−ε · (1+εβa(ε)) · (1−y2 a(τ, ε)) ·y′a(τ, ε)\|\|C[0;2π]. Заметим, что точность найденого нами второго приближения ∆2(0, 1) ≈ 0, 0 000 252 158, ∆2(0, 01) ≈ 3, 14 846 · 10−9 выше точности приближений ya(τ, ε), βa(ε) к периодическому решению уравнения Ван-дер-Поля ∆a(0, 1) ≈ 0, 000 202, ∆a(0, 01) ≈ 2, 01 398·10−8, полученного в статьях [8, 9]. С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Е. Пирус 1. BoichukA.A., SamoilenkoA.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value prob- lems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 pp. 2. БойчукА.А., ЧуйкоС.М. Автономные слабонелинейные краевые задачи // Дифференц. урав- нения. 1992. – 28, № 10. – С. 1668-1674. 3. ЧуйкоС.М., БойчукИ.А. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелiнiй- нi коливання. – 2009. – 12. – № 3. 4. ЧуйкоС.М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов // Нелiнiйнi коливання. – 2008. – 11. – № 4. – C. 554-573. 5. МалкинИ.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М. Гостехиздат. 1956. 491 с. 6. ЧуйкоС.М., Чуйко Ан.С. Периодическая задача для уравнения типа Хилла // Вiсник Сло- в’янського державного педагогiчного унiверситету. – Вип. 2(4). – 2010. – С. 140-181. 7. Van der Pol B. The nonlinear theory of electric oscillations // Proceedings of the Institute of Radio Engineers. – 1934. – № 22. – P. 1051-1086. 8. Andersen C.M., Geer J.F. Power expansion for the Frequency and period of limit cycle of the Van der Pol equation // SIAM Journ. Applied Math. – 1982. – 42. – P. 678-693. 9. Geer J.F., Andersen C.M. Resonant frequency calculations using a hybrid perturbation - Galerkin technique // NASA Contractor Report 187 632. – ICASE Report № 91-68. – 1991. – 30 p. S.M. Chuiko, An. S. Chuiko, O. E. Pirus Approximate solutions of Noetherian boundary value problems in the critical case. We construct a new convergent iteration algorithm for the construction of solution of autonomous weakly nonlinear boundary value problem for a system of ordinary differential equations in critical case. Using the least squares method we expand solution of boundary value problem in the neighborhood of the generating solution in generalized Fourier polynomial. Keywords: the least squares method, iteration algorithm, differential equations. С.М. Чуйко, Ан.С. Чуйко, О.Є. Пiрус Наближенi розв’язки нетерових крайових задач у критичному випадку. Використовуючи метод найменших квадратiв, побудовано нову iтерацiйну технiку для знаходжен- ня розв’язкiв автономної слабконелiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у критичному випадку у виглядi розкладання в узагальнений полiном Фур’є в околi по- роджувального розв’язку. Ключовi слова: метод найменших квадратiв, iтерацiйна технiка, диференцiальнi рiвняння. Славянский государственный педагогический ун-т chujko-slav@inbox.ru Получено 19.04.11 206

Приближенные решения нетеровых краевых задач в критическом случае

Institution

Ähnliche Einträge