Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок
Рассмотрена задача о действии на тонкую ортотропную пластину локальной динамической нагрузки, распределенной по произвольной области. Построено фундаментальное решения динамического уравнения ортотропной пластины. Решение получено в виде рядов по специальной функции гипергеометрического вида. Получе...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124001 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок / В.П. Шевченко, О.С. Ветров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 207-215 . — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240012017-09-18T03:02:54Z Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок Шевченко, В.П. Ветров, О.С. Рассмотрена задача о действии на тонкую ортотропную пластину локальной динамической нагрузки, распределенной по произвольной области. Построено фундаментальное решения динамического уравнения ортотропной пластины. Решение получено в виде рядов по специальной функции гипергеометрического вида. Получено аналитическое решение и численно исследовано поведение прогиба пластины при действии внезапно приложенной динамической нагрузки степенного вида, распределенной по круговой площадке. Розглянуто задачу про дію на тонку ортотропну пластину локального динамічного навантаження, розподіленого задовільною областю. Побудовано фундаментальний розв'язок динамічного рівняння ортотропної пластини. Розв'язок отриманий у вигляді рядів за спеціальною функцією гіпергеометричного виду. Отримано аналітичний розв'язок та чисельно досліджено поведінку прогину пластини під дією раптово прикладеного динамічного навантаження степеневого виду, розподіленого за круговою площиною. The problem of the local dynamic loads distributed over an arbitrary domain action into a thin plate is considered. The fundamental solution of the dynamic equation of an orthotropic plate is constructed.The solution is obtained in the form of series by the special hypergeometric function. The problem of the action on the plate suddenly applied dynamic load, distributed on a circular platform is analytically and numerically investigated. 2011 Article Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок / В.П. Шевченко, О.С. Ветров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 207-215 . — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124001 539.3 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о действии на тонкую ортотропную пластину локальной динамической нагрузки, распределенной по произвольной области. Построено фундаментальное решения динамического уравнения ортотропной пластины. Решение получено в виде рядов по специальной функции гипергеометрического вида. Получено аналитическое решение и численно исследовано поведение прогиба пластины при действии внезапно приложенной динамической нагрузки степенного вида, распределенной по круговой площадке. |
| format |
Article |
| author |
Шевченко, В.П. Ветров, О.С. |
| spellingShingle |
Шевченко, В.П. Ветров, О.С. Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Шевченко, В.П. Ветров, О.С. |
| author_sort |
Шевченко, В.П. |
| title |
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок |
| title_short |
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок |
| title_full |
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок |
| title_fullStr |
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок |
| title_full_unstemmed |
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок |
| title_sort |
динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124001 |
| citation_txt |
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок / В.П. Шевченко, О.С. Ветров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 207-215 . — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT ševčenkovp dinamikaortotropnojplastinypoddejstviemlokalʹnyhvnezapnopriložennyhnagruzok AT vetrovos dinamikaortotropnojplastinypoddejstviemlokalʹnyhvnezapnopriložennyhnagruzok |
| first_indexed |
2025-07-09T00:41:26Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:41:26Z |
| _version_ |
1837127893040234496 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 539.3
c©2011. В.П. Шевченко, О.С. Ветров
ДИНАМИКА ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ЛОКАЛЬНЫХ ВНЕЗАПНО ПРИЛОЖЕННЫХ НАГРУЗОК
Рассмотрена задача о действии на тонкую ортотропную пластину локальной динамической нагруз-
ки, распределенной по произвольной области. Построено фундаментальное решения динамическо-
го уравнения ортотропной пластины. Решение получено в виде рядов по специальной функции
гипергеометрического вида. Получено аналитическое решение и численно исследовано поведение
прогиба пластины при действии внезапно приложенной динамической нагрузки степенного вида,
распределенной по круговой площадке.
Ключевые слова: фундаментальное решение, локальные нагрузки, ортотропная пластина.
1. Введение. На практике являются актуальными задачи о действии динамиче-
ских нагрузок, распределенных локально по области срединной плоскости пласти-
ны. Такие конструкции часто изготавливаются из композитных материалов, имею-
щих сложную анизотропию упругих свойств. Анализу данной проблемы посвящен
ряд современных исследований [1, 2].
Случай действия на ортотропную пластину статической локальной нагрузки хо-
рошо известен [3]. Подобная задача для случая динамического нагружения исследо-
вана недостаточно. Полученные результаты [1, 4, 5] касаются лишь частных случаев,
когда нагрузка, действующая на пластину, представляется в заданной форме, и ис-
комое решение аппроксимируется под ее конкретный вид. Общее решение в случае
локальной динамической нагрузки, распределенной по произвольной области, от-
сутствует. Это связано главным образом с тем, что на данный момент отсутствует
фундаментальное решение динамики ортотропных тонких пластин, приемлемое для
использования в подобных задачах.
Переходные динамические процессы в пластинах подробно проанализированы
лишь для изотропных случаев [6-8]. Наиболее эффективный метод построения фун-
даментальных решений динамики изотропных оболочек был реализован в [9]. Была
разработана оригинальная методика, основанная на введении новой специальной
функции гипергеометрического типа, что позволило решить ряд практически важ-
ных задач [9, 10]. Усовершенствование данного метода и расширение его на случай
ортотропии материала представляется наиболее целесообразным.
Целью исследования является нахождение фундаментального решения динами-
ческого уравнения изгиба тонкой ортотропной пластинки и решение на его осно-
вании задачи о действии на пластину локальных внезапно приложенных нагрузок.
Данная работа является продолжением исследований, начатых авторами в [11, 12].
2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную тонкую ортотропную пла-
стину с постоянной толщиной h. Оси координат (x′, y′) совместим с главными осями
ортотропии. Исследуем процесс распространения упругих волн в направлении, нор-
207
В.П. Шевченко, О.С. Ветров
мальном к срединной плоскости пластины. Инерционные нагрузки, отвечающие пе-
ремещениям u и v в срединной плоскости, учитывать не будем. Начальные условия
считаем нулевыми.
Тогда динамическое уравнение изгиба тонкой ортотропной пластины в класси-
ческих предположениях будет иметь вид
D1
∂4w
∂x′4
+ 2D3
∂4w
∂x′2∂y′2
+ D2
∂4w
∂y′4
+ ρh
∂2w
∂τ2
= q(x′, y′, τ), (1)
D1 = κ2D, D2 = κ−2D, D3 = D(1− µ + νµ),
κ4 = E1/E2 = ν2/ν1, ν =
√
ν1ν2, E =
√
E1E2,
µ =
E − 2G12(1 + ν)
E
, D =
Eh3
12(1− ν2)
,
где w – прогиб пластины; τ – координата времени; G12 – модуль сдвига; E1, E2 –
модули Юнга; ν1, ν2 – коэффициенты Пуассона в главных направлениях ортотро-
пии; ρh – масса единицы поверхности; q(x′, y′, τ) – интенсивность распределенной
динамической нагрузки, нормальной к срединной плоскости пластинки.
Для упрощения рассуждений в дальнейшем перейдем к безразмерной систе-
ме координат (x, y, t), которая определяется соотношениями x′ = κhx, y′ = hy,
τ = κt
√
ρh5D−1.
Физические соотношения теории упругости, связанные с динамическим проги-
бом, в новых координатах запишутся:
M1 = −Dh−2
[
∂2w
∂x2
+ ν
∂2w
∂y2
]
,
M2 = −Dh−2
κ2
[
∂2w
∂y2
+ ν
∂2w
∂x2
]
,
H = −Dh−2 (1− ν)(1− µ)
κ
∂2w
∂x∂y
, (2)
Q1 = −aDh−3
κ
∂
∂x
[∇2w + µ̄∇2
1w
]
,
Q2 = −aDh−3
κ2
∂
∂y
[∇2w − µ̄∇2
1w
]
,
где ∇2 = ∂2
/
∂x2+∂2
/
∂y2; ∇2
1 = ∂2
/
∂x2−∂2
/
∂y2; 2a = 2−µ+µν, µ̄ = µ(1−ν)(2a)−1;
M1, M2, H – изгибные и крутящий моменты; Q1, Q2 – перерезывающие силы.
Определение напряженно-деформированного состояния ортотропной пластинки
для малых моментов времени под действием внезапно приложенной силы сводится
к использованию формулы свертки фундаментального решения уравнения изгиба
пластины с внешней нагрузкой. Формула представления решения нормального про-
гиба пластины w будет иметь вид
w(x, y, t) =
∫∫
S
E(x− x1, y − y1, t)F (x1, y1)dx1dy1,
208
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок
где E(x − x1, y − y1, t) – фундаментальное решение уравнения изгиба пластины,
F (x1, y1) – произвольная внешняя нагрузка, нормальная к срединной плоскости
пластины, распределенная по некоторой области S. Предполагается, что границы
пластинки значительно удалены от зоны приложения нагрузки.
Таким образом, необходимо построить фундаментальное решение уравнения ди-
намического изгиба ортотропной пластины. Рассмотрим случай, когда к пластинке
приложен мгновенный импульс единичной интенсивности. Для ее описания исполь-
зуется обобщенная дельта-функция Дирака.
Тогда исходное уравнение (1) перепишется
∇2∇2w − 4(1− a)
∂4w
∂x2∂y2
+
∂2w
∂t2
=
κ2h4
D
δ(κhx, hy, κ
√
ρh5D−1t). (3)
Используя метод интегральных преобразований Фурье-Лапласа, в [9] были по-
строены фундаментальные решения динамики пологих изотропных оболочек, по-
лученые в форме рядов по новой функции гипергеометрического типа. Расширим
данную методику на случай тонкой ортотропной пластинки.
3. Аналитическое решение. В задачах динамики пластин и оболочек наиболее
эффективным методом построения фундаментальных решений является метод ин-
тегральных преобразований [6, 7, 9]. Применим к уравнению (3) сначала двумерное
интегральное преобразование Фурье по геометрическим координатам, затем преоб-
разование Лапласа по времени. В результате, получим выражение трансформанты
прогиба тонкой пластинки в виде
w̄(ξ, η, s) =
1
2π
√
ρhD
1
(ξ2 + η2)2 − 4(1− a)ξ2η2 + s2
. (4)
Наиболее сложным этапом при использовании метода интегральных преобразо-
ваний является обращение оригиналов. Для получения функции прогиба применим
к выражению (4) формулы обращения преобразований Фурье и Лапласа
w(x, y, t) =
1
2πi
γ+i∞∫
γ−i∞
2
π
∞∫
0
∞∫
0
w̄(ξ, η, s) cos(xξ) cos(yη) dξdη
estds.
В подынтегральном выражении перейдем к полярным координатам в простран-
стве трансформант ξ = R cos θ, η = R sin θ и в пространстве оригиналов x = r cosφ,
y = r sinφ. Далее с целью разделения переменных воспользуемся разложением, ос-
нованным на формуле Якоби-Ангера [13]
cos(Rr cos θ cosφ) cos(Rr sin θ sinφ) = J0(Rr) + 2
∞∑
n=1
(−1)nJ2n(rR) cos 2nθ cos 2nφ,
где Jn() – функция Бесселя 1-го рода.
209
В.П. Шевченко, О.С. Ветров
После выполнения обратного преобразования Лапласа, оригинал прогиба пере-
пишется следующим образом:
w(r, φ, t) =
1
π2
√
ρhD
∞∑
n=0
(−1)nεn cos 2nφ
π/2∫
0
cos 2nθ
N(θ)
dθ
∞∫
0
sin(tR2N(θ))J2n(rR)
R
dR,
N(θ) =
√
1− (1− a) sin2 2θ, εn =
{
1, n = 0
2, n = 1, 2...
Для большинства анизотропных материалов коэффициент µ неотрицательный.
Тогда справедливо |N (θ)| ≤ 1. Воспользовавшись известным разложением в ряд
Неймана [13]
sin(z sin θ) = 2
∞∑
m=1
J2m−1(z) sin(2m− 1)θ,
выражение для прогиба срединной плоскости запишем
w(r, φ, t) =
2
π2
√
ρhD
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−1)nεnWm
n cos 2nφ
∞∫
0
J2m−1(tp2)J2n(rp)
p
dp, (5)
Wm
n =
π/2∫
0
cos 2nθ sin((2m− 1) arcsinN(θ))N−1(θ)dθ. (6)
Введем в рассмотрение специальную функцию Gγ
α,β(z) [10]. Используя ее инте-
гральное представление, окончательно выражение для прогиба пластинки запишем
в виде
w(r, φ, t) =
1
2π2
√
ρhD
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−1)nεnWm
n G1−2m
2m−1,2n
(
r4
64t2
)
cos 2nφ, (7)
где функция Gγ
α,β(z) имеет вид
Gγ
α,β(z) = 2β (
√
z)−α−γ+β/2 Γ
[ −γ
2 + β
4
2α+γ
2 − β
4 + 1 β + 1
]
×
× 2F3
[(
−2α+γ
2 + β
4 , −2γ+β
4
)
,
(
1
2 , β+1
2 , β
2 + 1
)
, −z
]
−
−2β+2 (
√
z)−α−γ+β/2+1 Γ
[ −γ+1
2 + β
4
2α+γ+1
2 − β
4 β + 2
]
×
× 2F3
[(
1−2α−γ
2 + β
4 , −γ+1
2 + β
4
)
,
(
3
2 , β
2 + 1, β+3
2
)
, −z
]
.
Здесь Γ
[
a
b c
]
= Γ(a)Γ−1(b)Γ−1(c), Γ() – гамма-функция; 2F3 ((a), (b),−z) – обоб-
щенная гипергеометрическая функция.
210
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок
Интеграл (6) вычисляется аналитически и имеет вид
Wm
n (a) =
2m− 1
2
π
m−1∑
k=0
(−1)k
(
m + k − 1
2k
)
4ka
k
2
2k + 1
Γ (k + 1)
Γ (k + l + 1)
P l
k
(
1 + a
2
√
a
)
, (8)
где n = 2l, P l
k () – присоединенные функции Лежандра I рода.
Полученые аналитические формулы (7) и (8) выражают фундаментальное ре-
шение уравнения динамического прогиба тонкой ортотропной пластины.
Подставив выражения (7) и (8) в формулы (2), получим соотношения:
для изгибных моментов
Mj =
8r−2κ2
π2h2κ2j
√
D
ρh
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−1)nεnMm
jnG−2m
2m−1,2n
(
r4
64t2
)
cos 2nφ, (9)
{
Mm
1n
Mm
2n
}
=
π/2∫
0
cos 2nθ sin((2m− 1) arcsinN(θ))
N(θ)
{
cos2 θ + ν sin2 θ
sin2 θ + ν cos2 θ
}
dθ;
для крутящего момента
H =
8r−2(1− ν)(1− µ)
π2h2κ
√
D
ρh
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−1)nHm
n G−2m
2m−1,2n
(
r4
64t2
)
sin 2nφ, (10)
Hm
n =
π/2∫
0
sin 2nθ sin 2θ sin ((2m− 1) arcsinN(θ))N−1(θ)dθ;
для перерезывающих сил
Qj = −64ar−3
π2h3κj
√
D
ρh
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−1)nQm
jnG
−2m−1/2
2m−1,2n+1
(
r4
64t2
) {
cos(2n + 1)φ
sin(2n + 1)φ
}
, (11)
{
Qm
1n
Qm
2n
}
=
π/2∫
0
(1± µ̄ cos 2θ) sin((2m− 1) arcsinN(θ))
N(θ)
{
cos(2n + 1)θ cos θ
sin(2n + 1)θ sin θ
}
dθ,
где j = 1, 2.
Для проверки полученных результатов перейдем к предельному случаю изотро-
пии материала. Для этого необходимо в формулах (7)-(11) положить значения упру-
гих параметров равными κ = 1, µ = 0. Выражение (7) в данном случае совпадают
с известным результатом для изотропной пластины [6]. Таким образом, можно сде-
лать вывод о корректности полученных формул фундаментального решения для
ортотропной пластины.
211
В.П. Шевченко, О.С. Ветров
4. Локальные динамические нагрузки. Рассмотрим случай, когда на пла-
стину действует внезапно приложенная внешняя нагрузка, нормальная к срединной
плоскости и распределенная по круговой площадке радиуса R0 по закону
F (x, y, t) =
{
−1+α
πR2
0
(
1− x2+y2
R2
0
)α
δ(t), x2 + y2 ≤ R2
0
0, x2 + y2 > R2
0.
Для упрощения записи в дальнейшем будем пользоваться выражениямиw∗(x, y, t)
и Fα(x, y), что будем определять по формулам
w(x, y, t) =
1
π2
√
ρhD
w∗(x, y, t), F (x, y, t) = Fα(x, y)δ(t).
Нормальный прогиб пластины при локальном воздействии по формуле свертки
имеет вид
w(x, y, t) =
∫∫
S
w∗(x− x1, y − y1, t)Fα(x1, y1)dx1dy1, (12)
где область S – круг радиусом R0.
В подынтегральном выражении перейдем к полярным координатам. Формула
(12) позволяет вычислять динамический прогиб в любой точке срединной плоско-
сти пластинки. Однако наибольший интерес представляет значение нормального
прогиба в центре площадки нагружения. В этом случае выражение (12) запишется
w(0, t) = −Γ(α + 2)
2α+2
∞∑
m=1
Wm
0 (a)G3/2−2m+α/2
2m−1,α+1
(
R4
0
64t2
)
. (13)
Изменение параметра α позволяет моделировать многочисленные нагружения сте-
пенного вида.
При расчете пластин на прочность, необходимо вычислить местные изгибные
напряжения σu
1,2, которые определяются по формуле
σu
1,2 = ∓6M1,2
h2
= ∓fu
1,2
P
h2
,
где P – главный вектор сил, распределенных по области.
Тогда для приведенных коэффициентов fu
1,2 из (9) получим следующее выраже-
ние
fu
1,2 = −Γ(α + 2)
2αR2
0
∞∑
m=1
Mm
j0(a)G1/2−2m+α/2
2m−1,α+1
(
R4
0
64t2
)
, (14)
где j = 1, 2.
5. Анализ численных данных. Численно исследуем поведение нормально-
го прогиба (13) для трех случаев нагружения: равномерно распределенная по кругу
(α = 0) и нагрузки, распеделенные по кругу при α = ±1/2. Также исследуем поведе-
ние коэффициента fu
1 (14) в зависимости от типа нагружения и влияния ортотропии
материала.
212
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок
Выделим два случая материалов – с "слабым" и "сильным" показателями ани-
зотропии: I – E1 = 2. МПа, E2 = 1.42 МПа, G12 = 0.72 МПа, ν = 0.15, µ = 0.05, II
– E1 = 2.1 МПа, E2 = 1.6 МПа, G12 = 0.41 МПа, ν = 0.07, µ = 0.52. Предполагаем
R0 = 2. Будем изучать поведение прогиба пластинки в моменты времени, близкие
к начальному.
Рис. 1. Рис. 2.
Рис. 3. Рис. 4.
На рис. 1 представлено поведение нормального прогиба в случае материала I.
Кривой 1 соответствует рассматриваемый случай α = −1/2, кривым 2 и 3 – случаи
α = 0 и α = 1/2, соответственно. Из анализа полученных данных можно сделать
вывод, что с ростом параметра α значение динамического прогиба увеличивается,
причем существенно. Также видно, что тип нагружения качественно влияет на по-
ведение прогиба.
Результаты, представленные на рис. 2, соответствуют случаю материала с "силь-
ной"анизотропией (считая по параметру µ). Как видим, при значительном увели-
чении µ вид зависимости прогиба от выбора значения α остается тем же. Следует
также отметить, что при сравнении полученных данных для одинаковых α, но раз-
личных материалов, видно существенное влияние ортотропии материала, из кото-
рого изготовлена пластина, на величину прогиба в случае α = −1/2. При значении
параметров α = 0 и α = 1/2 указанное влияние не столь велико.
213
В.П. Шевченко, О.С. Ветров
Далее исследуем поведение коэффициента fu
1 в зависимости от анизотропных
свойств материала. Полученные данные представлены на рис. 3 (α = −1/2) и рис. 4
(α = 1/2). Кривая 1 соответствует материалу I, кривая 2 – материалу с "сильной"
анизотропией II. Как видно из анализа данных, влияние ортотропии более суще-
ственно, чем в случае нормального прогиба.
6. Заключение. В работе было построено фундаментальное решение динами-
ческого уравнений теории ортотропных пластин. Найдены соответствующие компо-
ненты тензора Грина. Полученные выражения представляют собой основу решения
многих начально-краевых задач динамической теории упругости.
Используя формулу свертки фундаментального решения и внешней нагрузки
методом граничных интегральных уравнений может быть решена задача об опреде-
лении нормального прогиба тонкой ортотропной пластины при действии внезапно
приложенных локальных нагрузок, распределенных по произвольным областям и
любому закону.
Подробно рассмотрен случай действия на ортотропную пластинку внезапно при-
ложенной динамической нагрузки степенного вида, распределенной по круговой
площадке. Проведено численное исследование поведения нормального прогиба для
этого случая в зависимости от степенного параметра и изменения значений упругих
параметров пластины.
1. Горшков А.Г., Старовойтов А.Г., Яровая А.В. Механика слоистых вязкоупругопластических
элементов конструкций. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 576 с.
2. Khov H., Li W.L., Gibson R.F. An accurate solution method for the static and dynamic deflections
of orthotropic plates with general boundary conditions // Composite Structures. – 2009. – V. 90,
№ 4. – P. 474-481.
3. Артюхин Ю.П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластинку // Исслед. по теор.
пластин и оболочек. – 1966. – № 4. – С. 110-114.
4. Грищак В.З., Ганилова О.А. К решению проблемы динамического деформирования пьезоэлек-
трических многослойных пластин на основе гибридного ВКБ-Галеркин метода // Доп. НАН
України. – 2008. – № 5. – С. 13-20.
5. Грищак В.З., Ганiлова О.А., Грищак Д.В. Поведiнка тришарової пластини зi змiнними за ча-
сом масою та коефiцiєнтом демпфування при динамiчному навантаженнi // Проблеми обчисл.
мех. i мiцн. конструкцiй. – 2010. – Вип. 14. – С. 116-122.
6. Жигалко Ю.П., Садыкова М.М. Динамика тонкой круглой пластинки при нестационарном
локальном нагружении // Исслед. по теор. пластин и оболочек. – 1990. – № 20. – С. 184–191.
7. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Л.: Судостроение, 1972. – 373 с.
8. Шувалова Ю.С. Численное исследование сходимости метода дискретных особенностей в зада-
чах динамики тонких упругих пластин // Вiсник Харк. нац. ун-ту. Серiя "Математичне моде-
лювання. Iнформацiйнi технологiї. Автоматизованi системи управлiння". – 2009. – № 847. – С.
345-349.
9. Нагорная Р.М., Цванг В.А., Шевченко В.П. Фундаментальные решения динамических урав-
нений теории пологих оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. – 1994. – № 3. – С. 173–180.
10. Нагорная Р.М., Цванг В.А. Действие внезапно приложенных загрузок, распределенных по
малым круговым площадкам, на тонкие оболочки // Труди вузiвської конференцiї проф.-
викладацького складу за пiдсумками науково-дослiдницької роботи: математика, фiзика, еко-
логiя. – Донецьк: ДонДУ. – 1997. – С. 86-88.
11. Шевченко В.П., Ветров О.С. Динамика тонкой ортотропной пластинки при импульсном на-
гружении // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела: Материалы VI
214
Динамика ортотропной пластины под действием локальных внезапно приложенных нагрузок
международной научной конференции. – Донецк : Юго-Восток, 2010. – С. 215-219.
12. Ветров О.С. Фундаментальное решение уравнения динамического изгиба тонкой ортотропной
пластинки // XXIII Международная научная конференция. Математические методы в технике
и технологиях: Сборник трудов. – 2010. – Т. 5. – С. 25-26.
13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. –
М.: Наука, 1983. – 750 с.
V.P. Shevchenko, O.S. Vetrov
The dynamics of an orthotropic plate under the action of local suddenly applied loads.
The problem of the local dynamic loads distributed over an arbitrary domain action into a thin plate is
considered. The fundamental solution of the dynamic equation of an orthotropic plate is constructed.The
solution is obtained in the form of series by the special hypergeometric function. The problem of the
action on the plate suddenly applied dynamic load, distributed on a circular platform is analytically and
numerically investigated.
Keywords: fundamental solution, local loads, orthotropic plate.
В.П. Шевченко, О.С. Вєтров
Динамiка ортотропної пластини пiд дiєю локальних раптово прикладених
навантажень.
Розглянуто задачу про дiю на тонку ортотропну пластину локального динамiчного навантаження,
розподiленого за довiльною областю. Побудовано фундаментальний розв’язок динамiчного рiвнян-
ня ортотропної пластини. Розв’язок отриманий у виглядi рядiв за спецiальною функцiєю гiпер-
геометричного виду. Отримано аналiтичний розв’язок та чисельно дослiджено поведiнку прогину
пластини пiд дiєю раптово прикладеного динамiчного навантаження степеневого виду, розподiле-
ного за круговою площиною.
Ключовi слова: фундаментальний розв’язок, локальнi навантаження, ортотропна пластина.
Донецкий национальный ун-т
o.s.vetrov@gmail.com
Получено 16.05.11
215
|