Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце
Рассмотрена спектральная задача, связанная с описанием малых поперечных колебаний упругого стержня с сосредоточенной массой на конце под действием вязкого трения. Левый конец стержня закреплен жестко без трения. Правый конец несет сосредоточенную массу. Описано расположение спектра такой задачи и по...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124048 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце / И.В. Горохова, Н.А. Роженко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 48-54. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124048 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240482017-09-20T03:02:49Z Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце Горохова, И.В. Роженко, Н.А. Рассмотрена спектральная задача, связанная с описанием малых поперечных колебаний упругого стержня с сосредоточенной массой на конце под действием вязкого трения. Левый конец стержня закреплен жестко без трения. Правый конец несет сосредоточенную массу. Описано расположение спектра такой задачи и получена асимптотическая формула для собственных значений. Розглянуто спектральну задачу, пов язану з описом малих поперечних коливань пружного стержня з зосередженою масою на кiнцi пiд дiєю в'язкого тертя. Лiвий кiнець стержня закрiплений жорстко без тертя. Правий кiнець несе зосереджену масу. Описано розташування спектра такої задачi та отримано асимптотичну формулу на власнi значення. A spectral problem describing small transversal vibrations of an elastic rod with a concentrated mass (bead) at the right end under viscous friction is considered. The left end is hinge joined. Location of the spectrum of such a problem is described and asymptotic formula of the eigenvalues is provided. 2011 Article Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце / И.В. Горохова, Н.А. Роженко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 48-54. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124048 517 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена спектральная задача, связанная с описанием малых поперечных колебаний упругого стержня с сосредоточенной массой на конце под действием вязкого трения. Левый конец стержня закреплен жестко без трения. Правый конец несет сосредоточенную массу. Описано расположение спектра такой задачи и получена асимптотическая формула для собственных значений. |
| format |
Article |
| author |
Горохова, И.В. Роженко, Н.А. |
| spellingShingle |
Горохова, И.В. Роженко, Н.А. Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Горохова, И.В. Роженко, Н.А. |
| author_sort |
Горохова, И.В. |
| title |
Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце |
| title_short |
Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце |
| title_full |
Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце |
| title_fullStr |
Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце |
| title_full_unstemmed |
Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце |
| title_sort |
действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124048 |
| citation_txt |
Действие вязкого трения на малые поперечные колебания упругого стержня с сосредоточенной массой на конце / И.В. Горохова, Н.А. Роженко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 48-54. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT gorohovaiv dejstvievâzkogotreniânamalyepoperečnyekolebaniâuprugogosteržnâssosredotočennojmassojnakonce AT roženkona dejstvievâzkogotreniânamalyepoperečnyekolebaniâuprugogosteržnâssosredotočennojmassojnakonce |
| first_indexed |
2025-07-09T00:45:59Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:45:59Z |
| _version_ |
1837128179203964928 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23
УДК 517
c©2011. И.В. Горохова, Н.А. Роженко
ДЕЙСТВИЕ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ НА МАЛЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ НА КОНЦЕ
Рассмотрена спектральная задача, связанная с описанием малых поперечных колебаний упругого
стержня с сосредоточенной массой на конце под действием вязкого трения. Левый конец стержня
закреплен жестко без трения. Правый конец несет сосредоточенную массу. Описано расположение
спектра такой задачи и получена асимптотическая формула для собственных значений.
Ключевые слова: собственные значения, операторный пучок, краевые условия.
1. Введение. Одной из наиболее ранних, досконально исследованных задач на
собственные значения является рассмотренная Леонардом Эйлером в 1744 году про-
блема определения критической нагрузки для гибкого стержня, работающего на
сжатие и подверженного опасности потери устойчивости. В XIX веке при построе-
нии классической математической физики возникли многочисленные задачи на соб-
ственные значения для колебаний (см.например, [1], [2], [3]). В 70-80 г.г. прошлого
века появляется необходимость в рассмотрении новых начально-краевых спектраль-
ных задач, содержащих спектральный параметр не только в уравнениях, но и в гра-
ничных условиях. Кроме того, особый интерес представляет влияние вязкого трения
на различные изучаемые физические объекты ([4], [5]).
Далее будет представлена задача о поперечных колебаниях стержня, который
находится под действием вязкого трения. Стержни являются наиболее часто при-
меняемыми расчетными схематизациями при рассмотрении поперечных колебаний
судовых конструкций. Ими моделируются балки судового набора, валы, мачты, пил-
лерсы, кронштейны и целый ряд других конструкций. Основными целями расчетов
поперечных колебаний стержней являются: определение спектра собственных ча-
стот и соответствующих им форм колебаний и определение параметров вынужден-
ных колебаний под действием заданной системы возмущающих сил.
Малые поперечные колебания упругого однородного стержня плотности ρ = 1,
растянутого распределённой силой, пропорциональной g(x) > 0, g ∈ C1[0, l], нахо-
дящегося под действием однородного вязкого трения, коэффициент которого k > 0,
описываются уравнением
∂4u
∂x4
+
∂2u
∂t2
+ k
∂u
∂t
− ∂
∂x
(
g(x)
∂u
∂x
)
= 0. (1)
Здесь x – координата, измеряемая от левого конца стержня, t – время, u(x, t) – по-
перечное смещение точки стержня, находящейся на расстоянии x от левого конца в
момент времени t. Левый конец стержня закреплен жестко без трения. На правом
конце находится массивное кольцо массы m > 0, которое может двигаться по верти-
48
Демпфированные колебания стержня
кали с вязким трением в направлении, перпендикулярном равновесному положению
стержня. Жесткое закрепление левого конца описывается краевыми условиями (2)-
(3)
u(0, t) = 0, (2)
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0. (3)
Краевые условия на правом конце имеют следующий вид
∂2u
∂x2
∣∣∣∣
x=l
= 0, (4)
− ∂3u
∂x3
∣∣∣∣
x=l
+ m
∂2u
∂t2
∣∣∣∣
x=l
+ g(x)
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=l
+ β
∂u
∂t
∣∣∣∣
x=l
= 0, (5)
где l > 0 – длина стержня, β > 0 – коэффициент вязкого трения (демпфирования)
кольца. Условие (4) означает, что стержень соединен с кольцом шарнирно, а условие
(5) означает, что кольцо движется вдоль вертикали с вязким трением. Различные
виды краевых условий в отсутствие демпфирования рассмотрены в [6]. Условие (5)
является физически наиболее оправданным (см.например, [6], [7], [8], [9]). Отметим,
что результаты, близкие к полученным в настоящей статье, для другого краевого
условия на правом конце имеются в работе [10], на левом – в [11]. После стандартного
преобразования u(x, t) = eiλty(λ, x) получаем спектральную задачу
y(4) − λ2y − (gy′)′ + ikλy = 0, (6)
y(λ, 0) = 0, (7)
y(1)(λ, 0) = 0, (8)
y(2)(λ, l) = 0, (9)
−y(3)(l)−mλ2y(l) + g(l)y′(l) + iλβy(l) = 0. (10)
2. Теоретико-операторная трактовка задачи. В данной работе мы исполь-
зуем следующие определения.
Определение 1. Множество значений λ, для которых обратный оператор L(λ)−1
существует как ограниченный замкнутый, называется резольвентным множеством,
а дополнение к нему – спектром пучка L(λ).
Определение 2. Число λ0 ∈ C называется собственным значением ([12], с. 61)
пучка L(λ), если существует вектор y0 ∈ D(A) (называемый собственным векто-
ром) такой, что y0 6= 0 и L(λ0)y0 = 0. Векторы y1, ..., yp−1 называются цепочкой
присоединенных к y0 векторов, если
k∑
s=0
1
s!
dsL(λ)
dλs
∣∣∣
λ=λ0
yk−s = 0, k = 1, p− 1.
49
И.В. Горохова, Н.А. Роженко
Число p называется длиной цепочки из собственного и присоединенных векторов.
Геометрической кратностью собственного значения называется число соответствую-
щих линейно независимых собственных векторов. Алгебраической кратностью соб-
ственного значения называется максимальное значение суммы длин цепочек, соот-
ветствующих линейно независимым собственным векторам. Собственное значение
называется изолированным, если некоторая его выколотая окрестность принадле-
жит резольвентному множеству. Изолированное собственное значение λ0 конечной
алгебраической кратности называется нормальным, если образ ImL(λ0) замкнут.
Рассмотрим теоретико-операторную трактовку этой задачи. Для этого введём
операторы, действующие в гильбертовом пространстве L2(0, l) ⊕ C согласно следу-
ющим формулам:
D(A) =
{(
y(x)
c
)
:
y(x) ∈ W 4
2 (0, l),
c = y(l), y(0) = y(1)(0) = 0, y(2)(l) = 0
}
,
A
(
y(x)
c
)
=
(
y(4)
−y(3)(l)
)
, G
(
y
c
)
=
( −(gy′)′
g(l)y′(l)
)
,
M =
(
I 0
0 m
)
, K =
(
k 0
0 β
)
.
Рассмотрим операторный пучок
L(λ) = (A− λ2M + G + iλK)
с областью определения D(L) = D(A). Эта область определения не зависит от спек-
трального параметра λ по определению. Естественно считать, что спектр пучка L(λ)
является спектром нашей задачи, поскольку, расписав уравнение L(λ)Y = 0 поком-
понентно, получим (6) и (10), а условия (7)-(8) входят в описание D(A). Коэффи-
циенты этой задачи являются целыми функциями спектрального параметра λ. По-
этому (см. [12], c. 27) спектр этой краевой задачи и пучка L состоит из нормальных
собственных значений, которые сгущаются только к бесконечности.
Лемма 1. Оператор A самосопряженный и неотрицательный.
Доказательство. Пусть Y =
(
y(x)
y(l)
)
∈ D(A), а Z =
(
z(x)
z(l)
)
, где z(x) ∈
W 4
2 (0, l), тогда, учитывая, что y(0) = 0, y(1)(0) = 0, и интегрируя по частям дважды,
получаем
(AY, Z) =
l∫
0
y(4)(x)z(x) dx− y(3)(l)z(l) = (11)
= −y(3)(0)z(0) + y′(l)z(2)(l) + y(2)(0)z(1)(0)− y(l)z(3)(l) +
l∫
0
yz(4) dx.
50
Демпфированные колебания стержня
Отсюда видно, что, если мы положим
z(0) = z(1)(0) = z(2)(l) = 0, (12)
то (AY, Z) = (Y, AZ) и D(A∗) = D(A). Покажем, что оператор A неотрицателен.
Для этого рассмотрим скалярное произведение (AY, Y ). Полагая в (11) Z = Y и
учитывая условия (12), получим
(AY, Y ) =
l∫
0
|y(2)|2 dx > 0.
Откуда видно, что оператор A является неотрицательным. ¤
Лемма 2. Оператор G симметричный и неотрицательный.
Доказательство. Пусть Y ∈ D(A) = D(G), Z ∈ D(A) = D(G). Рассмотрим
скалярное произведение
(GY,Z) = −
l∫
0
(g(x)y′)′z(x) dx + g(l)z(l)y′(l) =
=
l∫
0
gy′z′ dx = g(l)z′(l)y(l)−
l∫
0
(gz′)′y dx = (Y, GZ). (13)
Таким образом, оператор G симметричный. Покажем, что на области D(G) = D(A)
оператор G неотрицательный. Для этого рассмотрим скалярное произведение (GY, Y ).
Из формулы (13) следует, что
(GY, Y ) =
l∫
0
g(x)|y′|2 dx > 0.
¤
Предложение. Спектр пучка L(λ) лежит в замкнутой верхней полуплоскости.
Этот результат следует из [13] для пучка ограниченных операторов, но доказа-
тельство остается справедливым и для случая пучка неограниченных операторов
(см., например, [14]).
3. Асимптотика собственных значений. Найдем асимптотику собственных
значений задачи (6)-(10). Положим, что g = const > 0. Прямое вычисление показы-
вает, что:
y3(λ, x) =
ch(z2x)
(z2
1 − z2
2)
− ch(z1x)
z2(z2
1 − z2
2)
, (14)
y4(λ, x) =
sh(z2x)
z2(z2
1 − z2
2)
− sh(z1x)
z1(z2
1 − z2
2)
, (15)
51
И.В. Горохова, Н.А. Роженко
где
z1 =
√
λ(1 +
g
4λ
− ik
4λ
) + o(
1
λ
), (16)
z2 = i
√
λ(1− g
4λ
− ik
4λ
) + o(
1
λ
). (17)
Решение уравнения (6), которое удовлетворяет условиям (7), (8), (9), имеет вид
y = y
(2)
3 (λ, l) · y4(λ, x)− y
(2)
4 (λ, l) · y3(λ, x).
Подставляя его в краевое условие (10), получаем уравнение
y
(2)
3 (λ, l) · (−y
(3)
4 (λ, l)−mλ2y4(λ, l) + gy
(1)
4 (λ, l) + iλβy4(λ, l))−
−y
(2)
4 (λ, l) · (−y
(3)
3 (λ, l)−mλ2y3(λ, l) + gy
(1)
3 (λ, l) + iλβy3(λ, l)) = 0,
или с учетом (14), (15), (16) и (17)
gz2 2 (ch (z2 l))2
(z2 2 − z1 2)2
+
gz1 2 (ch (z1 l))2
(z2 2 − z1 2)2
+
mλ2z2 2 ch (z2 l) sh (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2 z1
+
+
mλ2z1 2 ch (z1 l) sh (z2 l)
(z2 2 − z1 2)2 z2
− iλ β z2 2 ch (z2 l) sh (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2 z1
+
z2 4 (sh (z2 l))2
(z2 2 − z1 2)2
+
+
iλ β z2 sh (z2 l) ch (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2
+ 2
z2 2 ch (z2 l) z1 2 ch (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2
− z1 4 (ch (z1 l))2
(z2 2 − z1 2)2
−
−z2 4 (ch (z2 l))2
(z2 2 − z1 2)2
− gz2 2 ch (z2 l) ch (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2
− gz1 2 ch (z1 l) ch (z2 l)
(z2 2 − z1 2)2
− (18)
−z2 sh (z2 l) z1 3 sh (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2
+
z1 4 (sh (z1 l))2
(z2 2 − z1 2)2
− z1 sh (z1 l) z2 3 sh (z2 l)
(z2 2 − z1 2)2
−
−mλ2z2 sh (z2 l) ch (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2
− mλ2z1 sh (z1 l) ch (z2 l)
(z2 2 − z1 2)2
−
−gz2 2 (sh (z2 l))2
(z2 2 − z1 2)2
− gz1 2 (sh (z1 l))2
(z2 2 − z1 2)2
+
iλ β z1 sh (z1 l) ch (z2 l)
(z2 2 − z1 2)2
−
− iλ β z1 2 ch (z1 l) sh (z2 l)
(z2 2 − z1 2)2 z2
+ 2
gz2 sh (z2 l) z1 sh (z1 l)
(z2 2 − z1 2)2
= 0.
Найдем асимптотику корней уравнения (18). Для этого подставим в него:
√
λ =
πn
l
+ A +
B
n
+
C
n2
+
D
n3
+ O(
1
n4
). (19)
Тогда, приравнивая нулю коэффициенты перед степенями 1/n в (19), получим:
52
Демпфированные колебания стержня
λn =
π2n2
l2
+
π2n
2l2
+
π2
16l2
+
ik
2
+
g
2
+
1
lm
− 1
2πnm2
−
− g
2πn
+
1
8πn2m2
+
g
8πn2
− 1
4π2m2n2
+
lg
2π2mn2
− l2g2
8π2n2
− l2k2
8π2n2
+ (20)
+
l
6π2m3n2
− il
π2n2
(
lkg
4
+
β
m2
+
k
m
) + O
(
1
n3
)
.
4. Выводы. В представленной работе исследована задача, которая описывает
малые поперечные колебания упругого стержня с грузом на конце, находящегося
под влиянием вязкого трения. Описана теоретико-операторная трактовка этой за-
дачи. Доказано, что оператор A самосопряженный, неотрицательный и оператор G
симметричен. Показано, что спектр пучка L(λ) лежит в замкнутой верхней полу-
плоскости. Из формулы (20) видно, что по спектру задачи последовательно можно
найти параметры задачи l, k, g, m, β, т.е. решить обратную задачу для g = const.
1. Треффц Е. Математическая теория упругости. – [2-е изд.]. – М.-Л.: ОНТИ ГТТИ, вып. 1. –
1934. – 172 с.
2. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. – М.-Л.: ОГИЗ, 1946. – 532 с.
3. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – М.: Физматгиз,
1961. – 340 c.
4. Griniv R.O., Shkalikov A.A. On Operator Pencils Arising in the Problem of Beam Oscillations
with Internal Damping // Matematicheskie Zametki. – 1994. – V. 56, № 2. – P. 114-131.
5. Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д., Орлова Л.Д. Эволюционные и спектральные задачи, порож-
денные проблемой малых движений вязкоупругой жидкости // Труды СПб матем. общества.
– 1998. – С. 3-33.
6. Коллатц Л. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. – М.: Наука,
ГРФМЛ, 1968. – 503 c.
7. Amara J.B. Fourth Order Spectral Problem with Eigenvalue in the Boundary Conditions //
Functional Analysis and its Applications V.Kadets and W.Zelazko. North-Holland Mathematics
Studies. – 2004. – 197. – P. 49-58.
8. Takemura Kazuo, Kametaka Yochinori, Nagai Atsushi, N.D. Kopachevsky Pozitivity and hierarchical
structure of Green functions for bending of a beam: boundary value problems with boundary
conditions of not simple type // Far East J.Math. Sci. – 2007. – V. 25 , № 12. – P. 201-230.
9. Яковлев А.В. Малые поперечные колебания вязкоупругого стержня с грузом на конце //
Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского.– 2006. –
Т. 2, № 15 (54). – C. 105-114.
10. Möller M., Pivovarchik V. Spectral Properties of a Fourth Order Differential Equation // Zeitschrift
f ur Analysis und ihre Anwendungen Journal for Analysis and its Applications. European Mathemati-
cal Society. V. – 2006. – 25. – P. 341-366.
11. Gorokhova I.V. Small transversal vibrations of elastic rod with point mass at one end subject to
viscous friction // Журн.матем.физ.,анал.,геом. – 2009. – 5:4. – P. 375-385.
12. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 512 c.
13. Krein M.G., Langer H. On sone mathematical principles in the linear theory of damped oscillations
of continua I, II // Integral Equations Operator Theory. – 1978. – V. 3. – P. 364-399, P. 539-566.
14. V.N. Pivovarchik On spectra of a certain class of quadratic operator pencils with onedimensional
linear part // Укр. матем. ж. – 2007. – Т. 59. – C. 702-715.
53
И.В. Горохова, Н.А. Роженко
I. V. Gorokhova, N.A. Rozhenko
Action of the viscous friction on small transversal vibrations of the rod with one loaded
end.
A spectral problem describing small transversal vibrations of an elastic rod with a concentrated mass
(bead) at the right end under viscous friction is considered. The left end is hinge joined. Location of the
spectrum of such a problem is described and asymptotic formula of the eigenvalues is provided.
Keywords: eigenvalues, operator pencil, boundary conditions.
I. В. Горохова, Н.О. Роженко
Дiя в’язкого тертя на малi поперечнi коливання пружного стержня з зосередженною
масою на кiнцi.
Розглянуто спектральну задачу, пов’язану з описом малих поперечних коливань пружного стержня
з зосередженою масою на кiнцi пiд дiєю в’язкого тертя. Лiвий кiнець стержня закрiплений жорстко
без тертя. Правий кiнець несе зосереджену масу. Описано розташування спектра такої задачi та
отримано асимптотичну формулу на власнi значення.
Ключовi слова: власнi значення, операторний пучок, крайовi умови.
Южноукраинский национальный педагогический
ун-т им. К.Д. Ушинского, Одесса
Одесский национальный ун-т им. И.И. Мечникова
e-mail-i.gorochova@rambler.ru
e-mail-mainatasha@mail.ru
Получено 20.09.11
54
|