3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка

Представлена трехмерная математическая модель нестационарного температурного поля непрерывнолитой заготовки и стенок кристаллизатора. Модель учитывает зависимости теплофизических параметров от температуры, наличие зазора между поверхностью слитка и стенкой кристаллизатора, характер водяного охлажден...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2011
Автор: Иванова, А.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Назва видання:Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124053
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка / А.А. Иванова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-124053
record_format dspace
spelling irk-123456789-1240532017-09-20T03:03:08Z 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка Иванова, А.А. Представлена трехмерная математическая модель нестационарного температурного поля непрерывнолитой заготовки и стенок кристаллизатора. Модель учитывает зависимости теплофизических параметров от температуры, наличие зазора между поверхностью слитка и стенкой кристаллизатора, характер водяного охлаждения кристаллизатора, зависимость граничных условий от конфигурации и режимов работы зоны вторичного охлаждения. Положение границы раздела фаз определяется из условий Стефана. Задача численно решена методом конечных разностей. Представлены и проанализированы результаты расчетов. Представлена тривимiрна математична модель нестацiонарного температурного поля безперервнолитої заготовки й стiнок кристалiзатора. Модель враховує залежнiсть теплофiзичних параметрiв вiд температури, наявнiсть зазору мiж поверхнiстю злитка й стiнкой кристалiзатора, характер водяного охолодження кристалiзатора, залежнiсть граничних умов вiд конфiгурацiї й режимiв роботи зони вторинного охолодження. Положення межi розподiлу фаз визначається умовами Стефана. Задачу чисельно розв’язано методом кiнцевих рiзниць. Представлено i проаналiзовано результати розрахункiв. The three-dimensional mathematical model of nonstationary temperature field of continuous ingot and mold walls is presented. Model takes into account dependence of thermophysical parameters on the temperature, the presence of the gap between the surface of the ingot and the mold wall, the mode of mold water-cooling, the dependence of the boundary conditions on the configuration and modes of the secondary cooling system. The position of the interface is determined from the Stefan condition. The numerical solution of the problem is performed by the finite-difference method. The results of numerical solution are presented and analysed. 2011 Article 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка / А.А. Иванова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124053 681.5:51-74 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Представлена трехмерная математическая модель нестационарного температурного поля непрерывнолитой заготовки и стенок кристаллизатора. Модель учитывает зависимости теплофизических параметров от температуры, наличие зазора между поверхностью слитка и стенкой кристаллизатора, характер водяного охлаждения кристаллизатора, зависимость граничных условий от конфигурации и режимов работы зоны вторичного охлаждения. Положение границы раздела фаз определяется из условий Стефана. Задача численно решена методом конечных разностей. Представлены и проанализированы результаты расчетов.
format Article
author Иванова, А.А.
spellingShingle Иванова, А.А.
3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка
Труды Института прикладной математики и механики
author_facet Иванова, А.А.
author_sort Иванова, А.А.
title 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка
title_short 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка
title_full 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка
title_fullStr 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка
title_full_unstemmed 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка
title_sort 3-d математическая модель температурного поля непрерывного слитка
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2011
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124053
citation_txt 3-D математическая модель температурного поля непрерывного слитка / А.А. Иванова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv AT ivanovaaa 3dmatematičeskaâmodelʹtemperaturnogopolânepreryvnogoslitka
first_indexed 2025-07-09T00:46:30Z
last_indexed 2025-07-09T00:46:30Z
_version_ 1837128213115961344
fulltext ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23 УДК 681.5:51-74 c©2011. А.А. Иванова 3-D МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО СЛИТКА Представлена трехмерная математическая модель нестационарного температурного поля непре- рывнолитой заготовки и стенок кристаллизатора. Модель учитывает зависимости теплофизиче- ских параметров от температуры, наличие зазора между поверхностью слитка и стенкой кристал- лизатора, характер водяного охлаждения кристаллизатора, зависимость граничных условий от конфигурации и режимов работы зоны вторичного охлаждения. Положение границы раздела фаз определяется из условий Стефана. Задача численно решена методом конечных разностей. Пред- ставлены и проанализированы результаты расчетов. Ключевые слова: непрерывная разливка, кристаллизатор, вторичное охлаждение, темпера- турное поле слитка, условия Стефана, конечно-разностная аппроксимация. 1. Введение. В настоящее время ведется интенсивная разработка систем авто- матического управления (САУ) машинами непрерывного литья заготовок (МНЛЗ). Одним из наиболее перспективных направлений является создание САУ МНЛЗ на основе достаточно нового метода управления – прогнозного управления (в иностран- ных источниках MBPC – model based predictive control или MPC – model predictive control, существует российский вариант перевода MPC – управление с прогнозиру- ющими моделями [1]). Прогнозное управление – основанный на математическом моделировании метод управления, при котором решается задача выбора значений управляющих парамет- ров, обеспечивающих прогноз состояния системы, максимально близкий к заданно- му. Этот подход начал развиваться в начале 60-х годов для управления процессами и оборудованием в нефтехимическом и энергетическом производстве [1]. В настоящее время сфера применения MPC-методов стремительно расширяется, охватывая раз- нообразные технологические процессы в химической и строительной индустрии, лег- кой и пищевой промышленности, в аэрокосмических исследованиях, в современных системах энергетики и т. д. Разработка математических моделей для моделирова- ния технологического процесса непрерывной разливки в режиме реального времени позволит внедрить прогресссивные технологии, использующие метод прогнозного управления в САУ металлургическими процессами, в том числе процессами непре- рывной разливки. Поскольку измерять температурное поле затруднительно, а данные измерений могут быть заменены расчетами по математической модели, математическое мо- делирование процесса кристаллизации непрерывного слитка является постоянным предметом внимания не только разработчиков САУ, но и многих других исследова- телей. Для определения температурного поля слитка разработано достаточно боль- шое число различных по уровню сложности математических моделей [2]. Суще- 100 3-D модель температурного поля непрерывного слитка ствуют одномерные [3], двумерные [4, 5, 6], трехмерные [7, 8], стационарные [2] и нестационарные [5], с учетом [5] или без учета [3] конвективного переноса теплоты, с определением или без определения положения границы фазового перехода [2] и т.д. В [8] представлена трехмерная нестационарная модель для слитка квадратного сечения, где теплоперенос вместе с движущейся средой учтен с помощью наличия в уравнении дополнительного слагаемого – условного источника тепла. В [9] разрабо- тана нестационарная математическая модель процесса конвективно-кондуктивного переноса теплоты в непрерывном слитке, рассматривающая двумерное температур- ное поле и границу раздела фаз непрерывного слитка криволинейной МНЛЗ в про- дольном сечении широкого сляба, которое параллельно узким граням и проходит через средину широких граней. Вычислительные возможности, появившиеся в последнее время, позволяют раз- рабатывать сложные математические модели, учитывающие всё большее число фак- торов, которые могут существенным образом влиять на процесс и создавать более универсальные модели. В данной работе разработана математическая модель нестационарного теплового процесса в непрерывном слитке. Модель включает в себя уравнения теплопередачи внутри стенок кристаллизатора. Модель учитывает зависимость теплофизических параметров от температуры металла, характер теплоотдачи от слитка через стенки кристаллизатора к охлаждающей воде, расположение опорно-приводных роликов в зоне вторичного охлаждения (ЗВО), расположение форсунок, подающих водо- воздушную смесь, а также зависимость теплоотдачи от режимов работы ЗВО. 2. Математическая модель температурного поля кристаллизатора.Про- цесс рассматривается в системе координат, привязанной к конструкции МНЛЗ (рис. 1). Конвективно-кондуктивный перенос теплоты в непрерывном слитке описывается нелинейным нестационарным уравнением в частных производных: ∂T (τ, x, y, z) ∂τ + v(τ) ∂T (τ, x, y, z) ∂z = = 1 c(T )ρ(T ) { ∂ ∂x [ λ(T ) ∂T ∂x ] + ∂ ∂y [ λ(T ) ∂T ∂y ] + ∂ ∂z [ λ(T ) ∂T ∂z ]} , 0 < x < l, 0 < y < w, 0 < z < Z, (1) где T (τ, x, y, z) – температура металла, v(τ) – скорость вытягивания слитка, 2l – толщина слитка, 2w – ширина слитка, Z – высота слитка в кристаллизаторе, c(T ) – удельная теплоёмкость металла, ρ(T ) – плотность металла, λ(T ) – коэффициент теплопроводности. Положение границы между жидкой и твердой фазами металла (границы раздела фаз) задаётся следующими условиями: – условие равенства температур: T |x=ξ− = T |x=ξ+ = Tkr, (2) 101 А.А. Иванова x y z Z 0 l w d} 1 2 3 4 5 Рис. 1. Система координат относительно рассматриваемой области. 1 – направление движения слитка, 2 – широкая стенка кристаллизатора, 3 – узкая стенка кристаллизатора, 4 – форсунки, подающие водо-воздушную смесь, 5 – опорно-приводные ролики. – условие Стефана: λ(T ) ∂T ∂n̄ ∣∣∣∣ ξ− − λ(T ) ∂T ∂n̄ ∣∣∣∣ ξ+ = µρkr ( v(τ) · ∂ξ ∂z + ∂ξ ∂τ ) , (3) где ξ – граница раздела фаз, µ – скрытая теплота кристаллизации, Tkr – темпера- тура кристаллизации (средняя из интервала ликвидус – солидус), n̄ – нормаль к поверхности раздела фаз. Задаются начальное положение границы раздела фаз: ξ(0, y, z) = ξ0(y, z) (4) и «граничное» условие для функции ξ: ξ(τ, y, z)|(z=0) = ξ(y). (5) Предполагается, что охлаждение симметрично. Следовательно, можно записать для осевых продольных сечений слитка граничные условия, означающие равенство нулю тепловых потоков: λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=0 = 0, λ(T ) ∂T ∂y ∣∣∣∣ y=0 = 0. (6) При разливке под шлаком тепловой поток от зеркала расплава считается равным нулю: 102 3-D модель температурного поля непрерывного слитка λ(T ) ∂T ∂z ∣∣∣∣ z=0 = 0. (7) Граничные условия на поверхности слитка внутри кристаллизатора формулиру- ются с учетом наличия зазора между слитком и стенками кристаллизатора. Зазор образуется за счет шероховатостей поверхности слитка и внутренней поверхности кристаллизатора. Частично он заполнен шлаковым гарнисажем, частично – газо- выми включениями. Поскольку представить величину и содержимое зазора в виде распределенных параметров не представляется возможным, вводятся так называе- мые эффективные (осреднённые) величина зазора и коэффициент теплопроводно- сти. Граничные условия на поверхности слитка вдоль широкой грани имеют вид: λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=l = λg δ ( T |x=l+δ − T |x=l ) + σn [( T |x=l+δ 100 )4 − ( T |x=l 100 )4 ] , (8) где δ – эффективная толщина зазора между поверхностью слитка и стенкой кри- сталлизатора, λg – коэффициент теплопроводности смеси шлакового гарнисажа и воздуха в зазоре, T |x=l – температура поверхности слитка, T |x=l+δ – температура касающейся слитка поверхности стенки кристаллизатора, σn – приведённый коэф- фициент излучения. Аналогично формулируются условия для узкой грани слитка. Уравнение теплопроводности в стенке кристаллизатора: ∂T (τ, x, z) ∂τ = 1 cm(T )ρm(T ) { ∂ ∂x [ λm(T ) ∂T ∂x ] + ∂ ∂z [ λm(T ) ∂T ∂z ]} , z0 < z < Z, l + δ < x < d. (9) Граничные условия для стенки кристаллизатора задаются следующим образом: – на поверхности кристаллизатора, обращенной к воде: λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=d = α1 (Tv(τ)− T |x=d) , z0 ≤ z ≤ Z, (10) – на верхней и нижней поверхностях: λ(T ) ∂T ∂z ∣∣∣∣ z=Z = α2 (Tos.2 − T |z=Z) , l + δ ≤ x ≤ d, z = Z, (11) − λ(T ) ∂T ∂z ∣∣∣∣ z=z0 = α3 ( Tos.3 − T |z=z0 ) , l + δ ≤ x ≤ d, z = z0, (12) – теплопередача между поверхностью слитка и внутренней поверхностью стенки кристаллизатора: 103 А.А. Иванова λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=l+δ = λgz δ ( T |x=l+δ − T |x=l ) + σn [( T |x=l+δ 100 )4 − ( T |x=l 100 )4 ] , 0 ≤ z ≤ Z, x = l + δ, (13) – на внутренней поверхности стенки кристаллизатора над уровнем расплава: −λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=l+δ = α4 (Tos.1 − T |x=d) + Cn [( Tos.1 100 )4 − ( T |x=d 100 )4 ] , z0 ≤ z ≤ 0, x = l + δ, (14) где d − (l + δ) – толщина стенки кристаллизатора, z0 – высота стенки кристалли- затора над уровнем расплава, α1 – коэффициент теплоотдачи от стенки кристал- лизатора к охлаждающей воде, Tv(τ, z) – температура охлаждающей воды в канале кристаллизатора, α2,3,4 – коэффициент теплоотдачи от стенки кристаллизатора в окружающую среду, Tos.2,3,4 – температура окружающей среды, Cn – приведенный коэффициент излучения. Балансовое уравнение описывает распределение температуры охлаждающей во- ды в канале кристаллизатора: c · S · vv ∂Tv(τ, z) ∂z = PIα1 (Tv(τ, z)− T |x=d)− PEαE (Tv(τ, z)− TE) , (15) где c – объемная теплоемкость воды, S – площадь сечения канала кристаллизатора, vv – скорость движения воды в канале, PI – периметр внутренней стенки канала, PE – периметр внешней стенки канала, αE – коэффициент теплопередачи между охлаждающей водой и внешней стенкой кристаллизатора, TE – температура внешней стенки кристаллизатора. Известно значение температуры на входе в канал кристаллизатора в любой мо- мент времени: Tv(0, Z) = Tv1(τ) (16) и распределение температуры в канале кристаллизатора в начальный момент вре- мени: Tv(0, z) = Tv0(z). (17) Из кристаллизатора затвердевшая по периметру заготовка вытягивается в зо- ну вторичного охлаждения (ЗВО), где продолжается интенсивный отбор тепла до окончательного затвердевания. В ЗВО слиток поддерживается опорно-приводными роликами, которые изнутри охлаждаются водой, и в местах контакта с поверхностью слитка отбирают на себя часть тепла: 104 3-D модель температурного поля непрерывного слитка λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=l = αr(z) (T |r − T |x=l) + Cr ( T 4 r − (T |x=l) 4 ) , (18) где αr(z) – коэффициент конвективной теплоотдачи от поверхности слитка к ролику, To.c. – температура поверхности ролика, Cr – приведённый коэффициент лучиcтого теплообмена между поверхностью слитка и роликом. В промежутках между роликами установлены форсунки, распыляющие на по- верхность слитка водо-воздушную смесь. Форсуночное охлаждение является основ- ным инструментом отбора тепла от непрерывного слитка, а его режимы существен- ным образом влияют на качество производимого металла. Теплоотдача по широкой грани под воздействием принудительного охлаждения водо-воздушной смесью формулируется в виде граничных условий третьего рода: λ(T ) ∂T ∂x ∣∣∣∣ x=l = α(~t,~k, ~G, ~p) · (To.c. − T |x=l) + Cn ( T 4 o.c. − (T |x=l) 4 ) , (19) где α – коэффициент конвективной теплоотдачи, ~t – вектор, определяющий типы форсунок, ~k – координаты форсунок, ~G – расходы охлаждающей воды, ~p – давле- ние воздуха, To.c. – температура окружающей среды, l – полутолщина слитка, Cn – приведённый коэффициент излучения. Аналогично задаются граничные условия для узкой грани. Форсунки вдоль узкой грани (рис. 1) устанавливаются на уров- нях, близких к кристаллизатору. На участках, не накрываемых факелом форсунки, коэффициент конвективной теплоотдачи считается равным константе. Аналогично записываются условия теплооотдачи по узкой грани слитка. 3. Конечно-разностная аппроксимация поставленной задачи. Конечно- разностная аппроксимация и алгоритм нахождения неизвестной границы аналогич- ны представленным в [9, 10] для двумерной модели. Отличие состоит в том, что уравнение (1) трехмерной модели содержит дополнительное слагаемое и в недивер- гентной форме имеет вид ∂T (τ, x, y, z) ∂τ + v(τ) ∂T (τ, x, y, z) ∂z = 1 c(T )ρ(T ) { λ(T ) ∂2T ∂x2 + + ∂λ ∂x · ∂T ∂x + λ(T ) ∂2T ∂y2 + ∂λ ∂y · ∂T ∂y + λ(T ) ∂2T ∂z2 + ∂λ ∂z · ∂T ∂z } . (20) Этому уравнению соответствует конечно-разностный аналог: 105 А.А. Иванова Tk+1,i,j,p − Tk,i,j,p ∆τ + vk Tk,i,j,p − Tk,i,j,p−1 ∆z = 1 c(Tk,i,j,p)ρ(Tk,i,j,p) × × { λ(Tk,i,j,p) Tk,i−1,j,p − 2Tk,i,j,p + Tk,i+1,j,p (∆x)2 + Tk,i,j,p − Tk,i−1,j,p (∆x)2 + +λ(Tk,i,j,p) Tk,i,j−1,p − 2Tk,i,j,p + Tk,i,j+1,p (∆y)2 + Tk,i,j,p − Tk,i,j−1,p (∆y)2 + +λ(Tk,i,j,p) Tk,i,j,p−1 − 2Tk,i,j,p + Tk,i,j,p+1 (∆z)2 + Tk,i,j,p − Tk,i,j,p−1 (∆z)2 } , (21) где i, j, p – номера точек разностной сетки по пространственным координатам x, y, z (соответственно), k – номера точек разностной схемы по времени. Отсюда следует условие устойчивости для выбранной явной схемы: ∆τ ≤ (∆x)2(∆y)2(∆z)2 · cmin · ρmin vmax · cmax · ρmax · (∆x)2(∆y)2∆z + 2λmax ·B , где ∆x,∆y, ∆z – шаги разностной сетки по пространственным координатам x, y, z (соответственно), vmax, cmax(cmin), ρmax(ρmin), λmax – максимальные (или минималь- ные) из заданых в условиях задачи значения скорости вытягивания непрерывно- литой заготовки, теплоёмкости, плотности и теплопроводности разливаемой марки стали, B = (∆y)2(∆z)2 + (∆x)2(∆z)2 + (∆x)2(∆y)2. 4. Результаты расчетов. Для расчетов было разработано программное обес- печение, которое позволяет производить оценку температурного состояния слитка. Результаты дают представление о распределении температур и толщине твердой ко- рочки в различных сечениях заготовки. Температура и положение границы раздела фаз отображаются в виде цветовых диаграмм (рис. 2) и различных графиков. Рис. 2. Температура слитка и стенок кристаллизатора и положение границы раздела фаз в попе- речном сечении. На рис. 3 представлена температура поверхности слитка внутри кристаллизато- ра. Результаты моделирования показывают, что при заданной конструкции кристал- 106 3-D модель температурного поля непрерывного слитка лизатора температура в углах слитка снижается существенно быстрее, чем на всей остальной поверхности слитка, что полностью соответствует данным, полученным в промышленных условиях. Таким образом, данная математическая модель может быть использована для проектирования кристаллизаторов и ЗВО. Рис. 3. Температура поверхности широкой грани слитка внутри кристаллизатора. График распределения температуры поверхности слитка по широкой грани в зоне вторичного охлаждения (ЗВО) представлен на рис. 4. Температура в месте кон- такта слитка с опорно-приводными роликами снижается практически равномерно вдоль всей линии касания ролика. В зоне подбоя (первые два уровня форсунок) про- изводится наиболее интенсивное охлаждение с целью недопущения разрыва твёрдой корочки слитка. Поэтому здесь можно видеть снижение температуры и в углах слитка, где, вообще говоря, это нежелательно. Третий уровень форсунок допускает возможность их оптимальной расстановки по ширине. Таким образом, в этой зоне возможно избежать дополнительно чрезмерного охлаждения углов слитка, что и показано на рис. 4. 5. Выводы. Представленная трехмерная математическая модель нестационар- ного температурного поля непрерывнолитой заготовки и стенок кристаллизатора позволяет производить оценку температурного состояния слитка в различные мо- менты времени для заданных конструкции кристаллизатора и ЗВО, марки разли- ваемой стали, скоростей вытягивания слитка и режимов охлаждения. Модель и со- ответствующее разработанное программное обеспечение могут быть использованы для проектирования кострукций машин непрерывного литья заготовок (МНЛЗ), для имитационного моделирования на этапе синтеза систем автоматического управления 107 А.А. Иванова Рис. 4. Температура поверхности широкой грани слитка в ЗВО. (САУ), а также в процессе функционирования САУ МНЛЗ. 1. Веремей Е.И., Еремеев В.В. Введение в задачи управления на основе предсказаний. – [Элек- тронный ресурс] http://matlab.exponenta.ru/modelpredict/book1/0.php. 2. Авдонин Н.А. Математическое описание процессов кристаллизации. – Рига : Зинатне, 1980. – 224 с. 3. Bakhanovich S.V., Borukhov V.T., Timoshpol’skii V.I. et al. Computational analysis of the regimes of solidification and cooling of a continuous casting with a circular cross section // J. of Engineering Physics and Thermalphysics. – 2007. – Vol. 80, No. 2. – P. 213–219. 4. Лисиенко В.Г., Лобанов В.И., Китаев Б.И. Теплофизика металлургических процессов. – М. : Металлургия, 1982. – 239 с. 5. Hardin R.A., Liu K., Kapoor A., Beckermann C. A Transient Simulation and Dynamic Spray Cooling Control Model for Continuous Steel Casting // Metallurgical and Materials Trans. B, 2003. – Vol. 34, Nо 3. – P. 297–306. 6. Hongming W., Li G., Lei Y. et al.Mathematical Heat Transfer Model Research for the Improvement of Continuous Casting Slab Temperature // ISIJ Int. 2005. – Vol. 45, No. 9. – P. 1291–1296. 7. Nowak I., Smolka J., Nowak A.J. A reproduction of boundary conditions in three-dimensional continuous casting problem. World Academy of Science, Engineering and Technology 43 2008. – P. 243-248. 8. Janik M., Dyja H. Modelling of three-dimensional temperature field inside the mould during continuous casting of steel / Journal of Materials Processing Technology 157–158 (2004) 177–182. 9. Ткаченко В.Н., Иванова А.А. Моделирование и анализ теплового поля непрерывного слитка криволинейной машины непрерывного литья заготовок // Электронное моделирование. – 2008. 108 3-D модель температурного поля непрерывного слитка – Т. 30, № 3. – С. 87–103. 10. Иванова А.А. Математическая модель процесса затвердевания непрерывного слитка в зоне вторичного охлаждения // Труды ИПММ НАН Украины. – Вып. 12. – Донецк. – 2006. – С. 76-84. Ganna Ivanova 3-D mathematical model of temperature field of continuous ingot. The three-dimensional mathematical model of nonstationary temperature field of continuous ingot and mold walls is presented. Model takes into account dependence of thermophysical parameters on the temperature, the presence of the gap between the surface of the ingot and the mold wall, the mode of mold water-cooling, the dependence of the boundary conditions on the configuration and modes of the secondary cooling system. The position of the interface is determined from the Stefan condition. The numerical solution of the problem is performed by the finite-difference method. The results of numerical solution are presented and analysed. Keywords: continuous casting, mold, secondary cooling, temperature field of ingot, Stefan condition, finite-difference approximation. Г.О. Iванова 3-D математична модель температурного поля безперервного злитка. Представлена тривимiрна математична модель нестацiонарного температурного поля безперервно- литої заготовки й стiнок кристалiзатора. Модель враховує залежнiсть теплофiзичних параметрiв вiд температури, наявнiсть зазору мiж поверхнiстю злитка й стiнкой кристалiзатора, характер во- дяного охолодження кристалiзатора, залежнiсть граничних умов вiд конфiгурацiї й режимiв робо- ти зони вторинного охолодження. Положення межi розподiлу фаз визначається умовами Стефана. Задачу чисельно розв’язано методом кiнцевих рiзниць. Представлено i проаналiзовано результати розрахункiв. Ключовi слова: безперервне розливання, кристалiзатор, вторинне охолодження, темпера- турне поле злитка, умови Стефана, скiнченно-рiзницева апроксимацiя. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк anna.ivanova@ukr.net Получено 21.11.11 109