Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
В работе установлен ряд критериев существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях. Соответствующие критерии существования псевдорегулярных и многозначных решений задачи Дирихле сформулированы также для случая конечносвязных облас...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124055 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 120-129. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124055 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240552017-09-20T03:03:05Z Задача Дирихле для уравнений Бельтрами Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. В работе установлен ряд критериев существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях. Соответствующие критерии существования псевдорегулярных и многозначных решений задачи Дирихле сформулированы также для случая конечносвязных областей. У роботi встановлено ряд критерiїв iснування регулярних розв’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених рiвнянь Бельтрамi у довiльних жорданових областях. Вiдповiднi критерiї iснування псевдорегулярних та багатозначних розв’язкiв задачi Дiрiхле сформульовано також для випадку скiнченнозв’язних областей. In this paper it is established a series of criteria for the existence of regular solutions of the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations in arbitrary Jordan domains. It is also formulated the corresponding criteria for existence of pseudoregular and multi-valued solutions of the Dirichlet problem in the case of finitely connected domains. 2011 Article Задача Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 120-129. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124055 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе установлен ряд критериев существования регулярных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях. Соответствующие критерии существования псевдорегулярных и многозначных решений задачи Дирихле сформулированы также для случая конечносвязных областей. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| spellingShingle |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. Задача Дирихле для уравнений Бельтрами Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_short |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_full |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_fullStr |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_full_unstemmed |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами |
| title_sort |
задача дирихле для уравнений бельтрами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124055 |
| citation_txt |
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 120-129. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda zadačadirihledlâuravnenijbelʹtrami AT petkoviv zadačadirihledlâuravnenijbelʹtrami AT râzanovvi zadačadirihledlâuravnenijbelʹtrami |
| first_indexed |
2025-07-09T00:46:43Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:46:43Z |
| _version_ |
1837128225371717632 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23
УДК 517.5
c©2011. Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ
В работе установлен ряд критериев существования регулярных решений задачи Дирихле для вы-
рожденных уравнений Бельтрами в произвольных жордановых областях. Соответствующие крите-
рии существования псевдорегулярных и многозначных решений задачи Дирихле сформулированы
также для случая конечносвязных областей.
Ключевые слова: уравнение Бельтрами, задача Дирихле, регулярные решения, псевдорегулярные
решения, многозначные решения, теоремы существования.
1. Введение. Пусть D – область в комплексной плоскости C, µ : D → C –
измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. Уравнением Бельтрами называется уравнение
вида
fz̄ = µ(z) · fz, (1)
где fz̄ = ∂̄f = (fx + ify)/2, fz = ∂f = (fx − ify)/2, z = x + iy, fx и fy – част-
ные производные отображения f по x и y, соответственно. Функция µ называется
комплексным коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)| (2)
– дилатацией уравнения (1). Уравнение (1) называется вырожденным, если дила-
тация Kµ является существенно неограниченной, т.е. Kµ /∈ L∞(D).
Краевые задачи для уравнений Бельтрами впервые изучались в известной дис-
сертации Римана, который рассматривал частный случай аналитических функций,
когда µ(z) ≡ 0, и работах Гильберта (1904, 1924), который исследовал соответству-
ющую систему Коши–Римана для действительной и мнимой части аналитических
функций f = u + iv, а также работе Пуанкаре (1910) по приливам. Задача Дирихле
хорошо изучена для равномерно эллиптических систем уравнений, см., например,
[1] и [2].
Задача Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами в единичном круге изу-
чалась в работе [3]. Заметим, что критерии существования решений задачи Дирихле,
сформулированные в последней работе, не инвариантны относительно конформных
отображений Римана. Недавние результаты о существовании сильных кольцевых ре-
шений для вырожденных уравнений Бельтрами в [4] и [5], а также развитие теории
граничного поведения кольцевых гомеоморфизмов, см., например, [6], позволяют
получить дальнейшие продвижения в области существования регулярных решений
задачи Дирихле в более общих областях.
2. Определения и предварительные замечания. Пусть задано семейство
Γ кривых γ в комплексной плоскости C. Борелевскую функцию % : C → [0,∞]
120
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
называют допустимой для Γ, пишут % ∈ admΓ, если
∫
γ
%(z) |dz| > 1 ∀ γ ∈ Γ. (3)
Конформным модулем семейства Γ называется величина
M(Γ) = inf
%∈admΓ
∫
C
%2(z) dxdy. (4)
Пусть D – область в C, d0 = dist(z0, ∂D), и пусть Q : D → [0,∞] – измеримая по
Лебегу функция. Положим
A(z0, r1, r2) = {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2}
Si = S(z0, ri) = {z ∈ C : |z − z0| = ri}, i = 1, 2.
Далее, как обычно, ∆(E, F ; D) обозначает семейство всех кривых γ : [a, b] → C,
которые соединяют E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при a < t < b.
Следующее понятие мотивировано кольцевым определением квазиконформно-
сти по Герингу, см., напр., [7], и тесно связано с решением вырожденных уравнений
типа Бельтрами на плоскости. Следуя работе [8], см. также [9], говорим, что гомео-
морфизм f из D в C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке z0 ∈ D, если
соотношение
M (∆ (fS1, fS2; fD)) 6
∫
A
Q(z) · η2(|z − z0|) dxdy (5)
выполнено для любого кольца A = A(z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0 и для любой
измеримой (по Лебегу) функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1. (6)
Говорят, что гомеоморфизм f из D в C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
D, если условие (5) выполнено для всех точек z0 ∈ D.
В работах [4] и [5] впервые рассматривались кольцевые Q-гомеоморфизмы в
граничных точках области D. Гомеоморфизм f из D в C называется кольцевым
Q-гомеоморфизмом в граничной точке z0 области D, если
M (∆ (fC1, fC2; fD)) 6
∫
A∩D
Q(z) · η2(|z − z0|) dxdy (7)
для любого кольца A = A(z0, r1, r2) и произвольных континуумов C1 и C2 в D, кото-
рые принадлежат различным компонентам дополнения кольца A в C, содержащим
121
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
z0 и∞, соответственно, и для любой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞], удовле-
творяющей условию (6). Говорим, что гомеоморфизм f из D в C является кольцевым
Q-гомеоморфизмом в D, если условие (7) выполнено для всех точек z0 ∈ D.
Напомним также следующие топологические понятия. Область D ⊂ C назовем
локально связной в точке z0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки z0, суще-
ствует окрестность V ⊆ U точки z0 такая, что V ∩D связно. Заметим, что каждая
жорданова область D в C является локально связной в любой точке ∂D, см., напри-
мер, [10], стр. 66.
Будем говорить, что ∂D слабо плоская в точке z0 ∈ ∂D, если для любой окрест-
ности U точки z0 и любого числа P > 0, существует окрестность V ⊂ U точки z0
такие, что
M(∆(E, F ; D)) > P
для всех континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Назовем границу ∂D
слабо плоской, если она слабо плоская в каждой точке из ∂D.
Замечание 1. Известно, что многие регулярные области, такие как: выпуклые,
квазивыпуклые, гладкие, липшицевы, равномерные, области квазиэкстремальной
длины по Герингу-Мартио – имеют слабо плоские границы, см., например, [11].
Напомним, что функция ψ : D → R, ψ ∈ L1
loc(D), называется функцией ограни-
ченного среднего колебания по Джону-Ниренбергу, сокр. ψ ∈ BMO, если
‖ψ‖∗ = sup
B⊂D
1
|B|
∫
B
|ψ(z)− ψB| dxdy < ∞, (8)
где точная верхняя грань берётся по всем кругам B ⊂ D, а ψB – среднее значение
функции ψ в круге B. Пишем ψ ∈ BMO(D), если ψ ∈ BMO(G), где G – область в
C, содержащая D.
Следуя работе [12], говорим, что функция ψ : D → R имеет конечное среднее
колебание в точке z0 ∈ D, пишем ψ ∈ FMO(z0), если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ψ(z)− ψ̃ε| dxdy < ∞, (9)
где B(z0, ε) = {z ∈ C : |z− z0| < ε}, а ψ̃ε – среднее значение ψ в B(z0, ε). Пишем ψ ∈
FMO(D), если (9) выполнено для каждой точки z0 ∈ D. Также пишем ψ ∈ FMO(D),
если ψ задана в некоторой области G в C, содержащей D, и ψ ∈ FMO(z0) для всех
z0 ∈ D.
Как известно, L∞(D) ⊂ BMO(D) ⊂ Lp
loc(D) для всех p ∈ [1,∞). Однако, FMO(D)
не является подклассом Lp
loc(D) ни для какого p > 1, хотя, FMO(D) ⊂ L1
loc(D), см.,
например, [9], с. 211. Таким образом, FMO существенно шире BMOloc.
3. О задаче Дирихле в односвязных областях. Задача Дирихле для урав-
нений Бельтрами (1) в ограниченной области D комплексной плоскости C состоит
в нахождении непрерывной функции f : D → C, имеющей частные производные
122
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
первого порядка п.в. и удовлетворяющей уравнению (1) п.в., а также граничному
условию
lim
z→ζ
Re f(z) = ϕ(ζ) ∀ ζ ∈ ∂D (10)
для предписанной непрерывной функции ϕ : ∂D → R. При ϕ (ζ) 6≡ const регулярное
решение такой задачи есть непрерывное в C, дискретное и открытое отображение
f : D → C класса Соболева W 1,1
loc с якобианом Jf (z) = |fz|2 − |fz̄|2 6= 0 п.в., удо-
влетворяющее условию (10) и п.в. (1). Напомним, что отображение f : D → C
дискретно, если прообраз f−1 (y) каждой точки y ∈ C состоит из изолированных
точек и открыто, если образ любого открытого множества U ⊆ D является откры-
тым множеством в C. В случае ϕ(ζ) ≡ c, ζ ∈ ∂D, под регулярным решением задачи
Дирихле (10) для уравнения Бельтрами (1) будем понимать функцию f(z) = c+ ic′,
c′ ∈ R.
Лемма 1. Пусть D – жорданова область в C, µ : D → C – измеримая функция
c |µ(z)| < 1 п.в. и Kµ ∈ L1(D). Предположим, что для каждого z0 ∈ D суще-
ствует ε0 < dist(z0, ∂D) и однопараметрическое семейство измеримых функций
ψz0,ε : (0,∞) → (0,∞), ε ∈ (0, ε0), таких, что
0 < Iz0(ε) :=
ε0∫
ε
ψz0,ε(t) dt < ∞ (11)
и при ε → 0 ∫
ε<|z−z0|<ε0
Kµ(z) · ψ2
z0,ε(|z − z0|) dxdy = o
(
I2
z0
(ε)
)
. (12)
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение f задачи Дирихле (10)
для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R.
В условии (12) мы предполагаем, что Kµ продолжена нулем вне области D.
Доказательство. Пусть F – регулярное гомеоморфное решение уравнения Бель-
трами (1) класса W 1,1
loc , которое является кольцевым Q-гомеоморфизмом в D c Q =
Kµ и которое существует по лемме 4.1 из [4] в силу условия (12). Заметим, что
C \ D∗, где D∗ = F (D), не может состоять из единственной точки ∞, т.к. в про-
тивном случае граница D∗ являлась бы слабо плоской и по лемме 1 и теореме 3 из
работы [6] F должно было иметь гомеоморфное продолжение в D, что невозможно,
поскольку граница D состоит более чем из одной точки. Кроме того, область D∗
односвязна, см., например, лемму 5.3 в [12] или лемму 6.5 в [9]. Таким образом, по
теореме Римана, см., например, II.2.1 в [13], D∗ можно отобразить на единичный
круг D = {z ∈ C : |z| < 1} с помощью конформного отображения R. Ввиду ин-
вариантности модуля при конформных отображениях, g := R ◦ F вновь является
регулярным гомеоморфным решением уравнения Бельтрами (1), которое является
кольцевым Q-гомеоморфизмом в D c Q = Kµ и отображает D на D. Более того, по
лемме 1 и теореме 3 в [6], g допускает продолжение до гомеоморфизма g∗ : D → D,
123
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
поскольку D имеет слабо плоскую границу, а жорданова область D локально связна
на границе.
Будем искать решение исходной задачи Дирихле (10) в виде f = h ◦ g, где h –
аналитическая функция в D, с граничным условием
lim
z→ζ
Re h(z) = ϕ(g−1
∗ (ζ)) ∀ ζ ∈ ∂D.
Как известно, аналитическая функция h восстанавливается в D с помощью фор-
мулы Шварца, см., например, § 8, Гл. III, часть 3 в [14], по её действительной части
на границе с точностью до чисто мнимой аддитивной постоянной
h(z) =
1
2πi
∫
|ζ|=1
ϕ ◦ g−1
∗ (ζ) · ζ + z
ζ − z
· dζ
ζ
.
Как легко видеть, функция f = h ◦ g дает искомое регулярное решение задачи
Дирихле (10) для уравнения Бельтрами (1). ¤
По лемме 1 с выбором ψz0,ε(t) ≡ 1/t log 1
t , см. следствие 2.3 в [12], получаем:
Теорема 1. Пусть µ : D → C – измеримая в жордановой области D функция
такая, что |µ(z)| < 1 п.в. и
Kµ(z) 6 Q(z) ∈ FMO(D). (13)
Тогда для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R уравнение Бельтрами (1) имеет
регулярное решение задачи Дирихле (10).
Как и в лемме 1, здесь и далее подразумевается, что Kµ продолжена нулем вне
области D.
Следствие 1. В частности, заключение теоремы 1 остается в силе, если
Kµ(z) 6 Q(z) ∈ BMO(D).
По следствию 2.1 в [12] из теоремы 1 также имеем:
Следствие 2. Заключение теоремы 1 также имеет место, если
lim sup
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
Kµ(z) dxdy < ∞ ∀ z0 ∈ D.
Теорема 2. Пусть µ : D → C – измеримая в жордановой области D функция
с |µ(z)| < 1 п.в. такая, что Kµ ∈ L1(D) и
δ(z0)∫
0
dr
||Kµ||1(z0, r)
= ∞ ∀ z0 ∈ D, (14)
где ||Kµ||1(z0, r) =
∫
γr
Kµ(z)|dz| – нормы в L1 функции Kµ на окружностях S(z0, r) =
{z ∈ C : |z−z0| = r}, 0 < r < δ(z0) < d(z0), d(z0) = sup
z∈D
|z−z0|. Тогда уравнение Бель-
трами (1) имеет регулярное решение задачи Дирихле (10) для любой непрерывной
функции ϕ : ∂D → R.
124
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
Доказательство. Теорема 2 следует из леммы 1 при специальном выборе
ψz0,ε(t) ≡ ψz0(t) =
{
1/ [tkz0(t)] , t ∈ (0, ε0),
0, t ∈ [ε0,∞),
где ε0 = ε(z0) и kz0(t) – среднее значение Kµ(z) на окружности S(z0, t). ¤
Следствие 3. В частности, заключение теоремы 2 имеет место, если
kz0(ε) = O
(
log
1
ε
)
∀ z0 ∈ D
при ε → 0, где kz0(ε) – среднее значение функции Kµ на окружности S(z0, ε).
Из теоремы 2, привлекая также теорему 3.1 из работы [15], имеем следующий
результат.
Теорема 3. Пусть µ : D → C – измеримая в жордановой области D функция
с |µ(z)| < 1 п.в. такая, что
∫
D
Φ(Kµ(z)) dxdy < ∞, (15)
где Φ : R+ → R+ – неубывающая выпуклая функция, с условием
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞ (16)
для некоторого δ > Φ(0). Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет регулярное решение
задачи Дирихле (10) для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R.
Замечание 2. По теореме Стоилова о факторизации, см., например, [16], любое
регулярное решение f задачи Дирихле для уравнения Бельтрами (1) c Kµ ∈ L1
loc(D)
может быть представлено в виде композиции f = h ◦ F , где h – аналитическая
функция, а F – гомеоморфное регулярное решение класса W 1,1
loc . Таким образом, по
теореме 5.1 из [17], условие (16) является не только достаточным, но и необходимым
для того, чтобы любое уравнение Бельтрами (1) с интегральными ограничениями
на дилатацию вида (15) имело регулярные решения задачи Дирихле (10) для любой
непостоянной непрерывной функции ϕ : ∂D → R.
Полагая H(t) = log Φ(t), заметим, что по теореме 2.1 в [15] условие (16) эквива-
лентно любому из следующих условий:
∞∫
∆
H ′(t)
dt
t
= ∞, (17)
или ∞∫
∆
dH(t)
t
= ∞, (18)
125
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
или
∞∫
∆
H(t)
dt
t2
= ∞ (19)
для некоторого ∆ > 0, а также каждому из равенств:
δ∫
0
H
(
1
t
)
dt = ∞ (20)
для некоторого δ > 0,
∞∫
∆∗
dη
H−1(η)
= ∞ (21)
для некоторого ∆∗ > H(+0).
Здесь, интеграл в (18) понимается как интеграл Лебега-Стилтьеса, а интегралы
в (17) и (19)-(21) как обычные интегралы Лебега.
4. О псевдорегулярных решениях задачи Дирихле в многосвязных об-
ластях. Как впервые заметил Боярский, см., например, § 6 главы 4 в [2], в случае
многосвязных областей задача Дирихле для уравнений Бельтрами, вообще говоря,
не имеет решений в классе непрерывных (однозначных) в C функций. Поэтому есте-
ственно возникает вопрос: нельзя ли в этом случае существование решения задачи
Дирихле получить в более широком классе? Оказывается можно, если решение за-
дачи будем искать в классе функций, имеющих некоторое количество заранее фик-
сированных изолированных полюсов внутри области D. Точнее, при ϕ (ζ) 6≡ const,
псевдорегулярное решение такой задачи есть непрерывное в C, дискретное и от-
крытое отображение f : D → C класса Соболева W 1,1
loc вне полюсов с якобианом
Jf (z) = |fz|2 − |fz̄|2 6= 0 п.в., удовлетворяющее условию (10) и п.в. (1).
Рассуждая аналогично случаю односвязных областей и применяя теорему V.6.2
из [13] об отображениях конечносвязных областей на круговые области, а также
теорему 4.14 в [2], получаем следующие результаты.
Теорема 4. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит
из n > 2 попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C –
измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. такая, что
Kµ(z) 6 Q(z) ∈ FMO(D). (22)
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет псевдорегулярное решение задачи Дирихле
(10) для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R, ϕ (ζ) 6≡ const, с полюсами в n
предписанных внутренних точках D.
Следствие 4. В частности, заключение теоремы 4 остается в силе, если
Kµ(z) 6 Q(z) ∈ BMO(D).
126
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
Следствие 5. Заключение теоремы 4 также имеет место, если
lim sup
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
Kµ(z) dxdy < ∞ ∀ z0 ∈ D.
Теорема 5. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит
из n > 2 попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C –
измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. такая, что Kµ ∈ L1(D) и
δ(z0)∫
0
dr
||Kµ||1(z0, r)
= ∞ ∀ z0 ∈ D, (23)
где ||Kµ||1(z0, r) =
∫
γr
Kµ(z)|dz| – нормы в L1 функции Kµ на окружностях S(z0, r) =
{z ∈ C : |z − z0| = r}, 0 < r < δ(z0) < d(z0), d(z0) = sup
z∈D
|z − z0|. Тогда уравнение
Бельтрами (1) имеет псевдорегулярное решение задачи Дирихле (10) для любой
непрерывной функции ϕ : ∂D → R, ϕ (ζ) 6≡ const, с полюсами в n предписанных
внутренних точках D.
Следствие 6. В частности, заключения теоремы 5 имеют место, если
kz0(ε) = O
(
log
1
ε
)
∀ z0 ∈ D
при ε → 0, где kz0(ε) – среднее значение функции Kµ на окружности S(z0, ε).
Теорема 6. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит
из n > 2 попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C –
измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. такая, что
∫
D
Φ(Kµ(z)) dxdy < ∞, (24)
где Φ : R+ → R+ – неубывающая выпуклая функция с условием
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞ (25)
для некоторого δ > Φ(0). Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет псевдорегулярное
решение задачи Дирихле (10) для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R, ϕ (ζ) 6≡
const, с полюсами в n предписанных внутренних точках D.
5. О существовании многозначных решений в многосвязных областях.
В многосвязных областях D в C, помимо псевдорегулярных решений, задача Дири-
хле (10) для уравнений Бельтрами (1) допускает многозначные решения в духе тео-
рии многозначных аналитических функций. Говорим, что непрерывное, дискретное
127
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
и открытое отображение f : B(z0, ε0) → C, где B(z0, ε0) ⊂ D, является локальным
регулярным решением уравнения (1), если f ∈ W 1,1
loc , Jf 6= 0 и f удовлетворяет (1)
п.в. Два локальных регулярных решения f0 : B(z0, ε0) → C и f∗ : B(z∗, ε∗) → C
уравнения (1) будем называть продолжением друг друга, если существует конечная
цепь таких решений fi : B(zi, εi) → C, i = 1,m, что f1 = f0, fm = f∗ и fi(z) ≡ fi+1(z)
для z ∈ Ei := B(zi, εi) ∩ B(zi+1, εi+1) 6= ∅, i = 1,m− 1. Совокупность локальных
регулярных решений fj : B(zj , εj) → C, j ∈ J , будем называть многозначным ре-
шением уравнения (1) в D, если круги B(zj , εj) накрывают всю область D и fj
попарно являются продолжениями друг друга в этой совокупности. Многозначное
решение (1) будем называть многозначным решением задачи Дирихле (10), если
u(z) = Re f(z) = Re fj(z), z ∈ B(zj , εj), j ∈ J , является однозначной функцией в D,
которая удовлетворяет условию (10).
Аналогично предыдущим секциям, доказательство существования многознач-
ных решений задачи Дирихле для уравнений Бельтрами (1) в многосвязных об-
ластях редуцируются к задаче Дирихле для гармонических функций в круговых
областях, см., например, § 3 главы VI в [13].
Теорема 7. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит из
конечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C
– измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., удовлетворяющая посылкам теорем 4-6 или
следствий 4-6. Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет многозначное решение задачи
Дирихле (10) для любой непрерывной функции ϕ : ∂D → R.
Замечание 3. Можно показать, что имеет место аналог известной теоремы о мо-
нодромии для аналитических функций, состоящий в том, что любое многозначное
решение уравнения Бельтрами (1) в односвязной области D является его регуляр-
ным однозначным решением.
1. Боярский Б.В. Обобщённые решения системы дифференциальных уравнений первого порядка
эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем. сб. – 1957. – Т. 43 (85). –
С. 451-503.
2. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. – Москва: Физматгиз, 1959.
3. Dybov Yu. On regular solutions of the Dirichlet problem for the Beltrami equations // Complex
Var. Elliptic Equ. – 2010. – V. 55, no. 12. – P. 1099-1116.
4. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On strong solutions of the Beltrami equations // Complex
Var. Elliptic Equ. – 2010. – V. 55, no. 1-3. – P. 219-236.
5. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. To strong ring solutions of the Beltrami equations // Uzbek.
Math. J. – 2009. – № 1. – P. 127-137.
6. Ломако Т.В. О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на
границу // Укр. мат. журн. – 2009. – Т. 61, № 10. – С. 1329–1337.
7. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. –
V. 103. – P. 353–393.
8. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. Anal. Math.
– 2005. – V. 96. – P. 117-150.
9. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New
York: Springer Monographs in Mathematics, 2009. – 367 p.
10. Wilder R.L. Topology of Manifolds. – AMS, New York, 1949.
11. Афанасьева Е.С., Рязанов В.И. Регулярные области в теории отображений на римановых мно-
гообразиях // Труды ИПММ НАН Украины. – 2011. – Т. 22. – C. 23-32.
128
Задача Дирихле для уравнений Бельтрами
12. Игнатьев А.А., Рязанов В.И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат.
вестник. – 2005. – Т. 2, № 3. – C. 395-417.
13. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука,
1966.
14. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. – Москва: Наука, 1968.
15. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Integral conditions in the mapping theory // Укр. мат.
вестник. – 2010. – Т. 7, № 1. – С. 524-535.
16. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. – Москва:
Наука, 1964.
17. Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Integral conditions in the theory of the Beltrami equations
// Complex Var. Elliptic Equ. – 2011. – DOI: 10.1080/17476933.2010.534790.
D.A. Kovtonyuk, I. V. Petkov, V. I. Ryazanov
The Dirichlet problem for the Beltrami equations.
In this paper it is established a series of criteria for the existence of regular solutions of the Dirichlet
problem for degenerate Beltrami equations in arbitrary Jordan domains. It is also formulated the
corresponding criteria for existence of pseudoregular and multi-valued solutions of the Dirichlet problem
in the case of finitely connected domains.
Keywords: Beltrami equations, Dirichlet problem, regular solutions, pseudoregular solutions, multi-
valued solutions, existence theorems.
Д.О. Ковтонюк, I. В. Пєтков, В. I. Рязанов
Задача Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi.
У роботi встановлено ряд критерiїв iснування регулярних розв’язкiв задачi Дiрiхле для виродже-
них рiвнянь Бельтрамi у довiльних жорданових областях. Вiдповiднi критерiї iснування псевдоре-
гулярних та багатозначних розв’язкiв задачi Дiрiхле сформульовано також для випадку скiнчен-
нозв’язних областей.
Ключовi слова: рiвняння Бельтрамi, задача Дiрiхле, регулярнi розв’язки, псевдорегулярнi розв’язки,
багатозначнi розв’язки, теореми iснування.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
denis kovtonyuk@bk.ru
igorpetkov@i.ua
vlryazanov1@rambler.ru
vl.ryazanov1@gmail.com
Получено 23.11.11
129
|