Решение задачи стабилизации билинейной системы

В статье рассмотрена постановка задачи стабилизации билинейной системы. Приведен обзор методов построения стабилизирующих регуляторов для произвольных билинейных систем. Для реализации предложен метод, основанный на прямом методе Ляпунова, который рассматривает билинейную систему на ограниченном мно...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Красников, А.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124057
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Решение задачи стабилизации билинейной системы / А.Л. Красников // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 136-144. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124057
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1240572017-09-20T03:03:08Z Решение задачи стабилизации билинейной системы Красников, А.Л. В статье рассмотрена постановка задачи стабилизации билинейной системы. Приведен обзор методов построения стабилизирующих регуляторов для произвольных билинейных систем. Для реализации предложен метод, основанный на прямом методе Ляпунова, который рассматривает билинейную систему на ограниченном множестве состояний как линейную нестационарную систему. Предложенный метод использован для построения ПИ-регулятора билинейной системы. Приведен пример синтеза стабилизирующего регулятора для двигателя постоянного тока с внешним возбуждением. У статтi розглянуто постановку задачi стабiлiзацiї бiлiнiйної системи. Наведено огляд методiв побудови стабiлiзуючих регуляторiв для довiльних бiлiнiйних систем. Для реалiзацiї запропоновано метод, заснований на прямому методi Ляпунова, який розглядає бiлiнiйну систему на обмеженiй множинi станiв як лiнiйну нестацiонарну систему. Запропонований метод використано для побудови ПI-регулятора бiлiнiйної системи. Наведено приклад синтезу стабiлiзуючого регулятора для двигуна постiйного струму iз зовнiшнiм збудженням. The article considers the problem of stabilization of the bilinear system. An overview of methods for constructing stabilizing controllers for arbitrary bilinear systems was given. Method based on Lyapunov’s direct method, which considers the bilinear system on a limited set of states as a linear nonstationary system the proposed to implement. The proposed method used to construct PI controller of bilinear system. An example of the synthesis of a stabilizing controller for DC motor with an external excitation. 2011 Article Решение задачи стабилизации билинейной системы / А.Л. Красников // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 136-144. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124057 517.977.1 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье рассмотрена постановка задачи стабилизации билинейной системы. Приведен обзор методов построения стабилизирующих регуляторов для произвольных билинейных систем. Для реализации предложен метод, основанный на прямом методе Ляпунова, который рассматривает билинейную систему на ограниченном множестве состояний как линейную нестационарную систему. Предложенный метод использован для построения ПИ-регулятора билинейной системы. Приведен пример синтеза стабилизирующего регулятора для двигателя постоянного тока с внешним возбуждением.
format	Article
author	Красников, А.Л.
spellingShingle	Красников, А.Л. Решение задачи стабилизации билинейной системы Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Красников, А.Л.
author_sort	Красников, А.Л.
title	Решение задачи стабилизации билинейной системы
title_short	Решение задачи стабилизации билинейной системы
title_full	Решение задачи стабилизации билинейной системы
title_fullStr	Решение задачи стабилизации билинейной системы
title_full_unstemmed	Решение задачи стабилизации билинейной системы
title_sort	решение задачи стабилизации билинейной системы
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2011
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124057
citation_txt	Решение задачи стабилизации билинейной системы / А.Л. Красников // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 136-144. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT krasnikoval rešeniezadačistabilizaciibilinejnojsistemy
first_indexed	2025-07-09T00:46:54Z
last_indexed	2025-07-09T00:46:54Z
_version_	1837128239564193792
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23 УДК 517.977.1 c©2011. А.Л. Красников РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАБИЛИЗАЦИИ БИЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ В статье рассмотрена постановка задачи стабилизации билинейной системы. Приведен обзор ме- тодов построения стабилизирующих регуляторов для произвольных билинейных систем. Для ре- ализации предложен метод, основанный на прямом методе Ляпунова, который рассматривает би- линейную систему на ограниченном множестве состояний как линейную нестационарную систему. Предложенный метод использован для построения ПИ-регулятора билинейной системы. Приведен пример синтеза стабилизирующего регулятора для двигателя постоянного тока с внешним возбуж- дением. Ключевые слова: стабилизация, билинейная система, прямой метод Ляпунова, ПИ-регулятор. 1. Введение. Билинейные системы представляют собой частный случай нели- нейных систем и нашли широкое применение в задачах моделирования систем в таких областях, как теплоэнергетика, биология и экология, экономика и социоло- гия. Тем не менее, задача синтеза управления остается открытой, так как зачастую рассматриваются некоторые частные случаи и практически отсутствует общая ме- тодика синтеза. 2. Постановка задачи синтеза управления для билинейной системы. Билинейные системы являются простейшим частным случаем нелинейных систем и могут быть представлены в виде: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + N(x)u(t), (1) где N(x) = (xT N1, x T N2, ..., x T Nn)T . К представлению вида (1) в окрестности неко- торой точки сводится класс систем с мультипликативным управлением вида ẋ = f(x) + g(x)u(t), (2) частным случаем которого и является билинейная система. Так же во многих источ- никах отмечается связь представления билинейной системы с рядами Вольтерра. Задача управления системой вида (1) поставлена в конце 60-х годов ХХ века, как задача стабилизации системы в положении устойчивости x = 0. В литературе приводятся решения задачи стабилизации в некоторых частных случаях и предло- жены процедуры синтеза управления вида u = f(x) (в том числе и нелинейного), основанные на использовании прямого метода Ляпунова. 3. Задача точной линеаризации нелинейной системы для скалярного случая. Одним из методов управления для нелинейных систем вида (2) является метод линеаризации, при котором синтез управления происходит в виде u = U(x) + L(x)ũ, такого, что при подстановке в (2) система преобразуется к виду ẋ = A0x+b0ũ, а новое управляющее воздействие ũ выбирается для полученной линейной системы 136 Решение задачи стабилизации билинейной системы [1]. В скалярном случае, когда система описывается уравнением вида ẋ = ax+nxu+ bu, задача стабилизации решается регулятором вида [2]: u = (−a + k)x nx + b , k < 0, (3) который фактически линеаризует исходную систему подобно приведенному выше регулятору с параметрами U(x) = − ax nx+b , L(x) = 1 nx+b , ũ = kx. Хотя такое управ- ление и обеспечивает асимптотическую устойчивость, но оно не применимо в век- торном случае, т.к. вектор N(x) + b в общем случае необратим и, соответственно, нельзя получить точную линеаризацию на всем пространстве состояний системы. 4. Точная линеаризация билинейной системы. Тем не менее для систем ви- да (2) с произвольной размерностью задача точной линеаризации билинейной систе- мы успешно решается с помощью аппарата алгебры Ли для [3]. При этом выполняет- ся переход к новой системе координат z и введение управления u = U(z)+L(z) ˜u(z), которое приводит систему к виду: ż =   0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... . . . ... 0 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0   z +   0 0 . . . 0 1   ũ. (4) При этом решение задачи стабилизации системы (4) выполняется любым из доступ- ных методов управления линейными системами. Решение задачи точной линеариза- ции требует введения нескольких дополнительных величин. Производная Ли от скалярной функции φ(x) по векторному полю f(x) опреде- ляется как Lfφ(x) = ∂φ ∂xf(x). Так же можно задать сложные производные и про- изводные нулевого порядка: L0 fφ = φ,LgLfφ = Lg(Lfφ), Lk fφ = Lk−1 f (Lfφ). Для билинейной системы, как частного случая системы (2), производные Ли имеют вид: Lk fyi(x) = ciA kx, LgL k fyi(x) = ciA k(N(x) + B)x. Относительная степень системы по i-му выходу ρi задается как наибольшая сте- пень такая, что для k < ρ− 1, LgL k fyi(x) = 0, для k = ρ− 1, LgL k fyi(x) 6= 0. Непосредственно в задаче точной линеаризации для замены переменных вы- полняется преобразование: zi j = Lj fyi(x), j = 0 . . . ρi. Соответствующие матрицы U(z), L(z) в управлении определяются через вспомогательные матрицы: A(x) =   LgL ρ1−1 f y1(x) LgL ρ2−1 f y2(x) . . . LgL ρp−1 f yp(x)   , b(x) =   Lρ1 f y1(x) Lρ2 f y2(x) . . . L ρp f yp(x)   U(z) = −A−1(x)b(x), L(z) = A−1(x). (5) 137 А.Л. Красников Такое преобразование существует в случае, если существует вектор относитель- ных степеней системы ρ1, . . . , ρp и ρ1 + . . .+ρp = n. [3] Так же следует отметить, что при достаточно высокой относительной степени системы могут возникнуть опреде- ленные вычислительные сложности при расчете производных Ли высоких порядков. К сожалению, приведенные условия ограничивают область применения данного ме- тода. 5. Задача стабилизации билинейной системы с линейной обратной свя- зью. Аналогично линейным системам, одним из наиболее распространенных реше- ний задачи стабилизации было построение управления вида u(t) = Kx(t), (6) в котором выбор коэффициентов вектора обратной связи K выполняется на осно- вании прямого метода Ляпунова. При этом производится поиск функции Ляпунова вида V (x) = xT Px, (7) где P > 0 – положительно определенная симметричная матрица. Тогда, согласно теореме Ляпунова, состояние системы x = 0 будет асимптотически устойчиво, если V̇ (x) < 0, ∀x 6= 0. При подстановке (6) в (1) получим ẋ(t) = (A + BK)x(t) + N(x)Kx(t). А функция Ляпунова будет иметь вид: V̇ (x) = xT ((A + BK)T P + P (A + BK))x + xT (N(x)T KT P + PKN(x))x. (8) Отсюда явно видно, что невозможно построить матрицу P , которая позволяет достичь выполнения условия асимптотической устойчивости для всех x. Однако [4], процедура синтеза регулятора (6) линейной системы ẋ = Ax + Bu, который удовле- творяет xT ((A + BK)T P + P (A + BK))x < 0, позволит достичь асимптотической устойчивости для множества x ∈ {x \| xT (N(x)T KT P + PKN(x))x = 0}. 6. Стабилизация системы с нелинейным регулятором. Один из вариантов дальнейшего развития такого подхода к синтезу заключается в использовании бо- лее сложного регулятора, который позволит получить отрицательно определенную производную функции Ляпунова. Так, в [5] предлагается контроллер вида u(t) = −α(N(x) + b)T Px, α > 0, (9) который после подстановки в (1) и вычисления производной функции Ляпунова (7) даст: V̇ (x) = xT (AT P + PA)x− 2αxT [(N(x) + b)T (N(x) + b) ∗ P ]x. (10) Дальнейшая процедура синтеза заключается в выборе матрицы P [6] и для случая, когда линейная часть системы (1) асимптотически устойчива, достаточно решения уравнения Ляпунова AT P + PA = −E, так как второе слагаемое (10) отрицательно 138 Решение задачи стабилизации билинейной системы определено для всех P . Тем не менее процедура поиска матрицы P для случая неустойчивой матрицы A достаточно сложна. Так же к недостаткам метода следует отнести отсутствие критерия выбора коэффициента α. 7. Стабилизация системы на ограниченном множестве. Другой вариант развития метода синтеза линейной обратной связи заключается в решении зада- чи синтеза стабилизирующего регулятора для ограниченного множества точек, ко- торое, например, соответствует множеству состояний системы в нормативном ре- жиме работы. Таким образом, задача синтеза обратной связи нелинейной систе- мы рассматривается как задача синтеза линейной системы с переменными пара- метрами. В [7] предлагается постановка задачи синтеза линейной обратной связи (6) для системы (1) такой, что на множестве точек, описанном политопом χ = conv{x(1), ..., x(p)} = {x \| aT k ≤ 1, k = 1, 2, ..., q} с вершинами x(i), система будет асимптотически устойчива. Данная задача сведена к задаче решения линейных мат- ричных неравенств (LMI) или к общей задаче на собственные значения (GEVP) в виде: 0 < γ ≤ 1, P > 0,( 1 γaT k P Pakγ P ) , k = 1, . . . , q, ( 1 xT (i) x(i) P ) , i = 1, . . . , p, γ(AP + PAT ) + γ(BW + W T BT ) + N(x(i))W + W T N(x(i))T < 0, i = 1, . . . , p. (11) В данной задаче второе и пятое неравенства являются требованиями теоремы Ля- пунова и гарантируют, что выполняется V (x) > 0, V̇ (x) < 0 в вершинах политопа 1 γ χ (а следовательно, и для всех точек x ∈ χ ⊂ 1 γ χ). Третье и четвертое неравен- ства являются аналогом нормы \|\|x\|\|P−1 ≤ 1 [8] и неравенств, задающих политоп, и определяют, что траектория системы ограничена и принадлежит политопу 1 γ χ. Зафиксировав γ = 1 и решив задачу LMI, можно получить матрицы W и P , которые определяют матрицу коэффициентов обратной связи: K = WP−1. (12) Решение задачи GEVP и отыскание наименьшего γ помимо этого даст наибольший политоп, для которого будет выполняться условие асимптотической устойчивости. Хотя такой регулятор вполне работоспособен, в системе не компенсируются возму- щения, что является типичным недостатком П-регулятора в целом. 8. Приближенная линеаризация билинейной системы. Комбинируя ли- нейный регулятор (6) с ранее описанным регулятором, обеспечивающим линеариза- цию системы в скалярном случае (2), можно ввести нелинейное управление, которое обеспечивает приближенную линеаризацию системы. Попробуем свести систему (1) к виду ẋ = Ax + ũ = Ax + Kx. Тут возможны два варианта: если размерность век- тора управления не меньше размерности вектора состояния, то введя управление 139 А.Л. Красников u = (N(x) + b)T {(N(x) + b)(N(x) + b)T }−1Kx, получим точную линеаризацию (при условии существования обратной матрицы {(N(x) + b)(N(x) + b)T }−1), в противном случае такая линеаризация невозможна. Тем не менее, можно построить наиболее близкий в смысле наименьших квадратов к Kx = (N(x) + b)u регулятор вида u = {(N(x) + b)T (N(x) + b)}−1(N(x) + b)T Kx, (13) который дает точную линеаризацию возле положения устойчивости x = 0. При подстановке (13) в (1) получим ẋ = Ax + (N(x) + b){(N(x) + b)T (N(x) + b)}−1(N(x) + b)T Kx = Ax + F (x)Kx. (14) Для выбора матрицы K регулятора, который обеспечивает устойчивость системы на ограниченном множестве χ, можно поставить задачу LMI аналогично (11) в виде: P > 0, AP + PAT + KT F (x)T (i)P + PF (x)(i)K < 0, i = 1, . . . , p. (15) Домножив второе неравенство слева и справа на P−1, получим конечную запись: Q > 0, QA + AT Q + W T F (x)T (i) + F (x)(i)W < 0, i = 1, . . . , p. (16) Решая задачу LMI в виде (14), найдем матрицы W и Q. Соответственно управление будет иметь вид (13), где K = W ∗Q−1. (17) Основные недостатки такого алгоритма: необходимость определения диапазона зна- чений F (x), что является отдельной задачей обращения интервальной матрицы, а так же невозможность расчета управления, если отсутствует обратная матрица( (N(x) + b)T (N(x) + b) )−1. 9. Синтез ПИ-регулятора. Как отмечено выше, простейший П-регулятор мо- жет не обеспечивать заданных показателей точности при наличии возмущающих воздействий. Так же следует отметить, что такой регулятор не решает задачи ста- билизации выхода системы в произвольном положении y = ỹ, которая формали- зуется, как задача компенсации внешнего воздействия при управлении ошибкой. В этом случае ставится задача стабилизации ошибки e = 0, а возмущение дополняется заданным положением системы ỹ. Анализируя методы управления возмущенными линейными системами, можно выделить два основных подхода: введение в структуру регулятора компенсатора [10], как прямой связи по возмущению, или построение ПИ/ПИД-регулятора [11], в котором интегральная составляющая полностью компенсирует внешнее возмуще- ние. Решая задачу стабилизации билинейной системы, остановимся именно на ПИ- регуляторе, т.к. компенсатор, являясь управлением по прямой связи, требует точ- ного знания параметров системы и возмущающих воздействий, а так же в процессе 140 Решение задачи стабилизации билинейной системы синтеза требует расчета установившегося значения ошибки, что для нелинейных систем связано с определенными трудностями. Для синтеза ПИ-регулятора билинейной системы воспользуемся комбинацией методов синтеза ПИ-регулятора линейной системы [11] и П-регулятора билинейной системы на ограниченном множестве состояний [7]. Такой подход позволит получить достаточно простую для реализации структуру управляющей системы, по сравне- нию с линеаризирующими регуляторами. Для ПИ-регулятора закон регулирования дополняется интегральной частью по выходу системы: u(t) = Kpx(t) + Ki ∫ t 0 y(τ)dτ. (18) В данном случае интегральная составляющая закона управления выделяется как отдельная переменная z(t) = ∫ t 0 y(τ)dτ такая, что ż(t) = Cx(t), и система (1) с уравнением выхода y(t) = Cx(t) расширяется до z‘ ˙( x(t) z(t) ) = ( A 0n×p C 0n×p )( x(t) z(t) ) + ( B + N(x) 0m×p ) u(t) + ( D(t)w(t) 0p×1 ) , y(t) = ( C 0p×p ) ( x(t) z(t) ) . (19) Соответствующий П-регулятор системы (12) вида u(t) = K ( x(t) z(t) ) является ПИ- регулятором системы (1), т.е. K = ( Kp Ki ) . 10. Пример синтеза. Для примера возьмем модель двигателя постоянного тока с внешним возбуждением: [9]   i θ ω   =   −Ra La 0 0 0 0 1 0 0 −D J     i θ ω   +   0 0 −Ka La 0 0 0 Ky J 0 0     i θ ω   iε +   1 La 0 0  U, y = θ, (20) где   i θ ω   = x – сила тока статора, угол поворота, скорость вращения, которые обра- зуют вектор состояния, [ iε U ] = u – ток возбуждения и напряжение статора, Ra, La – сопротивление и индуктивность статора, Ka,Ky – характеристики двигателя, J – момент инерции, D – коэффициент демпфирования. Заданную систему можно переписать в виде (1) с матрицами коэффициентов: A =   −Ra La 0 0 0 0 1 0 0 −D J   , B =   0 1 La 0 0 0 0   , c = [ 0 1 0 ] N1 =   0 0 0 0 −Ka La 0   , N2 =   0 0 0 0 0 0   , N3 =   Ky J 0 0 0 0 0   . (21) 141 А.Л. Красников Матрица A системы имеет одно нулевое собственное значение, следовательно си- стема изначально не является асимптотически устойчивой. Поставим задачу ста- билизации в x = 0 для двигателя в режиме работы, при котором −ic < i < ic, −θc < θ < θc, −ωc < ω < ωc (в общем случае границы могут быть несимметричны относительно положения устойчивости). В качестве дополнительного требования к системе поставим ограничение на скорость переходного процесса. Для этого в си- стеме матричных неравенств (14) производится замена 0 в правой части на −2αQ, где α – требуемые собственные числа системы. Соответственно время переходного процесса будет tp ≤ 3 α c. Процедура синтеза выглядит следующим образом: 1. На основе ограничений сформировать политоп χ = {(±ic,±θc,±ωc)}. 2. Записать систему матричных неравенств (11) с учетом структуры расширен- ной системы (19). 3. Найти Q и W – решение полученной системы матричных неравенств. 4. Рассчитать по (15) матрицу коэффициентов обратной связи (11). Выполним процедуру синтеза в среде MATLAB при значениях коэффициентов Ra = 100 Ом, La = 2 Гн, Ka = 22, Ky = 17.5, J = 69 кгм2, D = 1.5. Предельные значения для нормативного режима работы двигателя возьмем ic = 1 А, θc = 5 рад, ωc = 2 об/с. Длительность переходного процесса tp < 1 с, т.е. α = 3. Решение задачи LMI имеет вид P =   0.007 0 −0.0217 0.0429 0 1.2948 0 0 −0.0217 0 0.0886 −0.2693 0.0429 0 −0.2693 1.6862   ,W = [ 0 0 0 0 0.0377 0 −0.2322 −9.7555 ] . (22) Соответственно, Kp = [ 0 0 0 0 −130.2158 −19.4925 ] ,Ki = [ 0 −278.3161 ] . (23) Переходной процесс в системе представлен на рис. 1 и 2. Как видно из графиков, система приходит в требуемое положение устойчивости x = 0 за отведенное время. Вводя возмущающее воздействие и синтезируя П- и ПИ- регуляторы для управления углом поворота якоря, получим изменение выходной величины в виде (рис. 3). Синтез ПИ-регулятора позволил получить высокую точность стабилизации си- стемы с квазистационарным шумом. 11. Выводы. В статье рассмотрена задача синтеза регулятора билинейной си- стемы и рассмотрены некоторые методы решения данной задачи. На основе прямого метода Ляпунова рассмотрена постановка задачи синтеза регулятора, как задачи 142 Решение задачи стабилизации билинейной системы 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t x x 1 =i x 2 =θ x 3 =ω 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t x Рис. 1. Изменение переменных состояния (ПИ-регулятор) 0 0.5 1 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 x 10 −16 u 1 =iε 0 0.5 1 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 x 10 −16 0 0.5 1 −20 −10 0 10 20 30 40 u 2 =U 0 0.5 1 −20 −10 0 10 20 30 40 Рис. 2. Изменение управляющего воздействия (ПИ-регулятор) решения системы матричных неравенств. Приведена процедура синтеза линейно- го регулятора для билинейной системы на ограниченном множестве состояний, за- данном политопом. На основе рассмотренной процедуры синтеза регулятора пред- ложен алгоритм синтеза ПИ-регулятора с заданными свойствами. Предложенный метод реализован в среде MATLAB для билинейной системы управления двигате- лем постоянного тока. Результаты моделирования показали работоспособность ме- тода и выполнение заданных ограничений на время переходного процесса для П- и ПИ-регуляторов, а так же компенсацию возмущения в случае использования ПИ- регулятора. 1. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы. – СПб.: Питер, 2006 – 272 с. 2. Mohler R.R. Bilinear control processes: with applications to engineering, ecology, and medicine – NY: Academic Press, 1973 – 224 с. 3. Isidori A. Nonlinear Control Systems. – London: Springer-Verlag, 1995. – 549 с. – 374 с. 4. Pedrycz W. Stabilization of bilinear systems by a linear feedback control // Kybernetika, vol. 16. – 1980. – C. 48-53 5. Gutman P.-O. Stabilizing controllers for bilinear systems // IEEE Transactions on Automatic Control, 26(4) – 1981. – С. 917-922. 6. Tibken B., Lehn F., Hofer E.P.Quadric control Lyapunov functions for bilinear systems // Conference on Communications and Control, Athens, Greece, 28 Jun – 2 Jul 1999. – 9 с. 143 А.Л. Красников 0 5 10 15 20 25 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 PI−controller P−controller 0 5 10 15 20 25 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 Рис. 3. Изменение выходной переменной (П- и ПИ-регуляторы) 7. Amato F., Cosentino C., Merola A. Stabilization of Bilinear Systems via Linear State Feedback Control // IEEE Transactions on Circuits and Systems-II: Express Briefs 56(1). – 2009 – C. 76-80. 8. Boyd S., El Ghaoui L., Feron E., Balakrishnan V. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory – Philadelphia: SIAM Press, 1994. – 193 с. 9. Pardalos P.M., Yatsenko V.A. Optimization and Control of Bilinear Systems – NY: Springer, 2006. – 374 с. 10. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами – М.: Наука, 1976. – 424 с. 11. Острём К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ – М.: Мир, 1987. – 480 с. A. Krasnikov Solution to the problem of stabilization of the bilinear system. The article considers the problem of stabilization of the bilinear system. An overview of methods for constructing stabilizing controllers for arbitrary bilinear systems was given. Method based on Lyapunov’s direct method, which considers the bilinear system on a limited set of states as a linear nonstationary system the proposed to implement. The proposed method used to construct PI controller of bilinear system. An example of the synthesis of a stabilizing controller for DC motor with an external excitation. Keywords: stabilization, bilinear system Lyapunov’s Direct Method, PI controller. О. Краснiков Розв’язання задачi стабiлiзацiї бiлiнiйної системи. У статтi розглянуто постановку задачi стабiлiзацiї бiлiнiйної системи. Наведено огляд методiв по- будови стабiлiзуючих регуляторiв для довiльних бiлiнiйних систем. Для реалiзацiї запропоновано метод, заснований на прямому методi Ляпунова, який розглядає бiлiнiйну систему на обмеженiй множинi станiв як лiнiйну нестацiонарну систему. Запропонований метод використано для побу- дови ПI-регулятора бiлiнiйної системи. Наведено приклад синтезу стабiлiзуючого регулятора для двигуна постiйного струму iз зовнiшнiм збудженням. Ключовi слова: стабiлiзацiя, бiлiнiйна система, прямий метод Ляпунова, ПI-регулятор. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк zzakkatt@gmail.com Получено 30.11.11 144

Решение задачи стабилизации билинейной системы

Репозитарії

Схожі ресурси