Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в предположении, что гиростатический момент зависит от времени. Получено новое решение уравнений движения, характеризующееся специальным классом трех нелинейных инвариантных соотношений....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124059 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 155-162. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124059 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240592017-09-20T03:03:22Z Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом Мазнев, А.В. Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в предположении, что гиростатический момент зависит от времени. Получено новое решение уравнений движения, характеризующееся специальным классом трех нелинейных инвариантных соотношений. Розглянуто задачу про рух гiростата пiд дiєю потенцiйних i гiроскопiчних сил в припущеннi, що гiростатичний момент залежить вiд часу. Отримано новий розв’язок рiвнянь руху, який характеризується спецiальним класом трьох нелiнiйних iнварiантних спiввiдношень. The problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces in the assumption that gyrostatic moment depends on time is considered. The new decision of motion equations which is characterized by special class of three nonlinear invariant correlations is got. 2011 Article Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 155-162. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124059 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в предположении, что гиростатический момент зависит от времени. Получено новое решение уравнений движения, характеризующееся специальным классом трех нелинейных инвариантных соотношений. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Мазнев, А.В. Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_short |
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full |
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_fullStr |
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_full_unstemmed |
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| title_sort |
об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124059 |
| citation_txt |
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 155-162. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav obodnomklassetrehnelinejnyhinvariantnyhsootnošenijuravnenijdviženiâgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom |
| first_indexed |
2025-07-09T00:47:07Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:47:07Z |
| _version_ |
1837128252681879552 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23
УДК 531.38
c©2011. А.В. Мазнев
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ТРЕХ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ
СООТНОШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
Рассмотрена задача о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в
предположении, что гиростатический момент зависит от времени. Получено новое решение урав-
нений движения, характеризующееся специальным классом трех нелинейных инвариантных соот-
ношений.
Ключевые слова: инвариантное соотношение, гиростат, гиростатический момент.
1. Введение.Классическая задача о движении тяжелого твердого тела, которую
исследовали многие ученые (см. обзоры [1, 2]) получила многочисленные обобщения,
среди которых отметим обобщения в предположении постоянства гиростатического
момента [3-5], а также обобщения, в которых учитывается переменность гиростати-
ческого момента [6-14]. Актуальность изучения движения гиростата с переменным
гиростатическим моментом обусловлена не только практическим использованием
результатов в управлении движением технических объектов, но и получением новой
информации о свойствах интегральных многообразий уравнений динамики гироста-
та с переменным гиростатическим моментом.
В данной работе рассмотрена задача о движении неавтономного, намагничен-
ного и наэлектризованного гиростата в магнитном, электрическом и ньютоновском
полях под действием потенциальных и гироскопических сил. Ранее в этой задаче
исследовались, в основном, равномерные вращения, маятниковые и прецессионные
движения [9-12]. В статье поставлена задача изучения условий существования реше-
ний, которые характеризуются тремя нелинейными инвариантными соотношения-
ми специального вида [15-17]. Найдено новое решение уравнений класса Кирхгофа-
Пуассона [4] в случае переменного гиростатического момента. Проведен сравнитель-
ный анализ этого решения с решением в случае постоянного гиростатического мо-
мента [16].
2. Постановка задачи. Запишем уравнения движения гиростата под действием
потенциальных и гироскопических сил в векторном виде [4, 5]
ẋ = (x + λα−Bν)× ax + (s− Cν)× ν−Lα, (1)
ν̇ = ν × ax, λ̇ = L, (2)
где x = (x1, x2, x3) – момент количества движения гиростата в предположении поко-
ящихся носимых тел; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, указывающий направление
магнитного поля; α = (α1, α2, α3) – единичный вектор; λ = λ(t) – величина гироста-
тического момента λ = λ(t)α; L – проекция момента действующих на носимое тело
155
А.В. Мазнев
сил на ось вращения; a – гирационный тензор; B и C – постоянные симметричные
матрицы третьего порядка; s = (s1, s2, s3) – постоянный вектор, сонаправленный с
вектором обобщенного центра масс.
Уравнения (1), (2) допускают первые интегралы
ν · ν = 1, (x + λα) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k, (3)
где k – произвольная постоянная.
Выберем в качестве подвижной системы координат главную систему координат,
т.е. положим a = diag(a1, a2, a3). Следуя работам [15-17] будем предполагать, что в
этой системе координат выполняются условия
B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3), α = (1, 0, 0), s = (s1, 0, 0). (4)
Исключая L = λ̇ в уравнении (1) и учитывая (4), из (1), (2) имеем
ẋ1 = (a3 − a2)x2x3 − λ̇ + a2B3x2ν3 − a3B2x3ν2 + (C3 − C2)ν2ν3, (5)
ẋ2 = (a1 − a3)x3x1 − a3x3λ + a3B1x3ν1 − a1B3x1ν3 + (C1 − C3)ν3ν1 − s1ν3, (6)
ẋ3 = (a2 − a1)x1x2 + a2x2λ + a1B2x1ν2 − a2B1x2ν1 + (C2 − C1)ν1ν2 + s1ν2, (7)
ν̇1 = a3x3ν2 − a2x2ν3,
ν̇2 = a1x1ν3 − a3x3ν1,
ν̇3 = a2x2ν1 − a1x1ν2.
(8)
Из второго соотношения системы (3) следует
(x1 + λ)ν1 + x2ν2 + x3ν3 − 1
2
(B1ν
2
1 + B2ν
2
2 + B3ν
2
3) = k. (9)
Поскольку система (5)-(8) не замкнута относительно неизвестных величин x1, x2,
x3, ν1, ν2, ν3, λ, то её интегрирование возможно только на заданных инвариантных
соотношениях (см., например [9-14]).
В данной статье по аналогии с подходом [15-17] зададим три инвариантных со-
отношения
x1 = g1(ν1), x2 = ν2g2(ν1), x3 = ν3g3(ν1), (10)
где функции gi(ν1) (i = 1, 2, 3) либо заданы, либо подлежат определению. Тогда на
инвариантных соотношениях (10) при заданных функциях gi(ν1) уравнения Пуас-
сона
ν̇1 = ν2ν3(a3g3(ν1)− a2g2(ν1)),
ν̇2 = ν3(a1g1(ν1)− a3ν1g3(ν1)),
ν̇3 = ν2(a2ν1g2(ν1)− a1g1(ν1)),
(11)
следующие из уравнений (8) интегрируются в квадратурах [15]
ν2
2(ν1) = 2
∫
a1g1(ν1)− a3ν1g3(ν1)
a3g3(ν1)− a2g2(ν1)
dν1, ν2
3 = 1− ν2
1 − ν2
2(ν1). (12)
156
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений
Для получения решения уравнений (5)-(7) в окончательном виде необходимо соот-
ношения (10), (12) подставить в эти уравнения. В статьях [15-17] данная проблема
исследуется для случая постоянного гиростатического момента. Здесь будем пред-
полагать, что λ(t) 6= const.
3. Редукция уравнений (5)-(7). Из соотношения (9) определим
λ =
1
ν1
[
k + ν1
(1
2
B1ν1 − g1(ν1)
)
+ ν2
2
(1
2
B2 − g2(ν1)
)
+ ν2
3
(1
2
B3 − g3(ν1)
)]
. (13)
Подставим выражение (13) в уравнения (6) и (7)
ν1g2(ν1)(a3ν1g2(ν1)− a1g1(ν1)) + ν1ν
2
2g′2(ν1)(a2g2(ν1)− a3g3(ν1))+
+ a1ν1g1(ν1)(g3(ν1)−B3)− a3g3(ν1)
[
k − 1
2
B1ν
2
1 + ν2
2
(1
2
B2 − g2(ν1)
)
+
+ ν2
3
(1
2
B3 − g3(ν1)
)]
− s1ν1 + (C1 − C3)ν2
1 = 0, (14)
ν1g3(ν1)(a1g1(ν1)− a2ν1g2(ν1)) + ν1ν
2
3g′3(ν1)(a2g2(ν1)− a3g3(ν1))+
+ a1ν1g1(ν1)(B2 − g2(ν1)) + a2g2(ν1)
[
k − 1
2
B1ν
2
1 + ν2
2
(1
2
B2 − g2(ν1)
)
+
+ ν2
3
(1
2
B3 − g3(ν1)
)]
+ s1ν1 + (C2 − C1)ν2
1 = 0. (15)
Поскольку соотношение (13) представляет собой первый интеграл уравнений (5)-
(8), то в качестве редуцированной системы можно принять систему уравнений (11),
(13)-(15). Интегралом этой системы служит кинематическое соотношение ν2 = 1. В
силу равенств (12) из уравнений (14), (15) получим
2
[
ν1g
′
2(ν1)(a2g2(ν1)− a3g3(ν1))− a3g3(ν1)
(1
2
(B2 −B3) + g3(ν1)−
− g2(ν1)
)] ∫
a1g1(ν1)− a3ν1g3(ν1)
a3g3(ν1)− a2g2(ν1)
dν1 + ν1g2(ν1)(a3ν1g3(ν1)−
− a1g1(ν1)) + a1ν1g1(ν1)(g3(ν1)−B3)− a3g3(ν1)
[
k +
1
2
B3 − g3(ν1)−
− ν2
1
(1
2
(B1 + B3)− g3(ν1)
)]
− s1ν1 + (C1 − C3)ν2
1 = 0, (16)
2
[
ν1g
′
3(ν1)(a3g3(ν1)− a2g2(ν1)) + a2g2(ν1)
(1
2
(B2 −B3) + g3(ν1)−
− g2(ν1)
)] ∫
a1g1(ν1)− a3ν1g3(ν1)
a3g3(ν1)− a2g2(ν1)
dν1 + ν1g3(ν1)(a1g1(ν1)−
− a2ν1g2(ν1)) + ν1(1− ν2
1)g′3(ν1)(a2g2(ν1)− a3g3(ν1))+
+ a1ν1g1(ν1)(B2 − g2(ν1)) + a2g2(ν1)
[
k +
1
2
B3 − g3(ν1)−
− ν2
1
(1
2
(B1 + B3)− g3(ν1)
)]
+ s1ν1 + (C2 − C1)ν2
1 = 0. (17)
157
А.В. Мазнев
Очевидно, имеют место различные варианты исследования уравнений (16), (17).
Например, если задать дифференциальную функцию g1(ν1), то уравнения (16), (17)
будут являться двумя интегро-дифференциальными уравнениями на функции g2(ν1),
g3(ν1). Условия на параметры задачи и функции g2(ν1), g3(ν1), при которых суще-
ствует решение указанных уравнений, и будут являться условиями существования
для уравнений (5)-(8) инвариантных соотношений (10).
4. Новое решение. Приведем пример разрешимости уравнений (14), (15) в
классе полиномиальных функций по вспомогательной переменной ν1. Следуя рабо-
те [16], будем находить условия существования решений следующего вида
ν2
2(ν1) = α0 + α1ν1 + α2ν
2
1 , ν2
3(ν1) = (1− α0)− α1ν1 − (1 + α2)ν
2
1,
g1(ν1) = p0 + p1ν1 + p2ν
2
1 , g2(ν1) = q0 + q1ν1, g3(ν1) = r0 + r1ν1.
(18)
Подставим выражения (18) в формулу (13)
λ(t) =
1
ν1
[Λ0 + ν1(λ0 + λ1ν1 + λ2ν
2
1)], (19)
где
Λ0 = k +
1
2
B3 +
α0
2
(B2 −B3)− α0q0 − r0(1− α0),
λ0 =
α1
2
(B2 −B3)− p0 − α0q1 − α1q0 − r1(1− α0) + r0α1,
λ1 =
1
2
(B1 −B3) +
α2
2
(B2 −B3)− p1 − α2q0 + α1(r1 − q1) + r0(1 + α2),
λ2 = r1 − p2 + α2(r1 − q1).
(20)
Отметим, что запись λ(t) в виде (19) обусловлена свойством функции λ(t), которое
будет получено в дальнейшем.
Внесем функции (18) в уравнения (14), (15) и потребуем, чтобы полученные
равенства были тождествами по переменной ν1. Тогда получим Λ0 = 0, т.е. в силу
(20) имеем условие на постоянную k
k = α0
(
q0 +
B3 −B2
2
− r0
)
+ r0 − 1
2
B3. (21)
Следовательно, функция (19) становиться квадратичной функцией по ν1
λ(t) = λ0 + λ1ν1 + λ2ν
2
1 . (22)
Получение функции λ(t) в виде (22) позволяет использовать исходные уравнения
(5)-(7) и систему (11).
Внесем выражения (10), (18), (22) в уравнение (5) и потребуем, чтобы полученное
равенство было тождеством по ν1. Тогда имеет место следующая система условий:
2a2α2q
2
1 + 2a3(1 + α2)r2
1 − q1r1(a2 + a3)(1 + 2α2) = 0,
p1(a3r1 − a2q1) + 2(p2 + λ2)(a3r0 − a2q0) + λ1(a3r1 − a2q1)+
+(a2 − a3)(q0r1 + q1r0)− a2B3q1 + a3B2r1 = 0,
(p1 + λ1)(a3r0 − a2q0) + q0r0(a2 − a3)− a2B3q0 + a3B2r0 + C2 − C3 = 0.
(23)
158
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений
Подставим функции (10), (18) во второе уравнение системы (11) и учтем тре-
тье уравнение этой системы. Полученное равенство является тождеством по ν1 при
выполнении равенств
a1p2 + a2α2q1 − a3(1 + α2)r1 = 0,
2a1p1 − 2a3(1 + α2)r0 + α1(a2q1 − a3r1) + 2a2α2q0 = 0,
2a1p0 − α1(a3r0 − a2q0) = 0.
(24)
Анализ уравнений (23), (24) целесообразно проводить после рассмотрения допол-
нительных условий, которые находим подстановкой выражений (10), (18), (22) в
уравнения (6), (7). Часть этих условий имеет достаточно простой вид
r1(a2 + a3)− 2a2q1 = 0, q1(a2 + a3)− 2a3r1 = 0. (25)
В силу предположения q1 6= 0, r1 6= 0 из (25) следуют равенства
a3 = a2, r1 = q1. (26)
Первое равенство из системы (23) на основании условий (26) становится тождеством,
а из первого равенства системы (24) следует следующее значение p2
p2 =
a2q1
a1
(27)
Равенства (26), (27) позволяют упростить систему уравнений (11)
ν̇1 = a2(r0 − q0)ν2ν3,
ν̇2 = ν3[a1p0 + (a1p1 − a2r0)ν1],
ν̇3 = ν2[−a1p0 + (a2q0 − a1p1)ν1].
(28)
Так как постановка задачи проводилась с учетом условия ν1 6= const, то из пер-
вого уравнения системы (28) следует, что r0 6= q0.
Из второго и третьего уравнений системы (24) найдем
p0 =
α1a2(r0 − q0)
2a1
, p1 =
a2
a1
[(1 + α2)r0 − α2q0]. (29)
Второе равенство из системы (23) позволяет определить разность
r0 − q0 =
B3 −B2
2
. (30)
Если вновь обратимся к системе условий, которая вытекает из уравнения (6) в силу
(10), (18), (26), то установим равенство
4(1 + α2)(q0 − r0) = (2 + α2)B2 − (1 + α2)B3 −B1. (31)
Условие совместимости уравнений (30), (31) приводит к выражению для α2:
α2 =
B3 −B1
B2 −B3
. (32)
159
А.В. Мазнев
Равенства (26), (27), (29), (30), (32) позволяют существенно упростить дальнейшие
выкладки получения решения (10), (18), (22). Используя указанный выше полуоб-
ратный метод исследования условий существования этого решения, а также форму-
лы (20)-(22), (26)-(30), (32), получим
λ(t) = λ0 + λ1ν1 + λ2ν
2
1 , (33)
x1 = p0 + p1ν1 + p2ν
2
1 , x2 = ν2(q0 + q1ν1), x3 = ν3(r0 + q1ν1), (34)
ν2
2 = α0 + α1ν1 + α2ν
2
1 , ν2
3 = (1− α0)− α1ν1 − (1 + α2)ν2
1 , (35)
ν̇1 =
a2κ0
2
√
(α0 + α1ν1 + α2ν2
1)[(1− α0)− α1ν1 − (1 + α2)ν2
1 ], (36)
где
κ0 = B3 −B2, σ0 = B2 −B1, δ0 = B3 −B1, λ0 = −a2α1κ0
4a1
− q1,
λ1 = −(a1 − a2)
a1κ0
[r0σ0 − q0σ0], λ2 =
(a1 − a2)
a1
q1, p0 =
a2α1κ0
4a1
,
p1 =
a2
a1
[(1 + α2)r0 − α2q0], p2 =
a2q1
a1
,
q0 =
1
2a2κ0
[a2(B1 + B2)κ0 + 4(C2 − C3)], r0 = q0 +
κ0
2
, (37)
α0 =
1
8a2q2
1κ
2
0
{4q2
1[κ0(2a2(B1 + B3)− a1(B2 + B3)) + 8(C3 − C1)]−
−16s1κ0q1 − (B2 + B3)[a2κ0σ0δ0 + 4C1κ0 − 4C2δ0 + 4C3σ0]},
α1 =
1
2a2q1κ2
0
[4a1κ0q
2
1 + a2κ0σ0δ0 + 4C1κ0 − 4C2δ0 + 4C3σ0], α2 = − δ0
κ0
.
5. Анализ решения (33)-(36). Проведем анализ свойств решения (33)-(36),
существующего при условиях (37). Одним из основных свойств является то обсто-
ятельство, что параметр q1 принимает произвольные значения. Из вида функций
ν2
2(ν1) и ν2
3(ν1) из равенств (35) следует, что действительности решения (33)-(36)
можно добиться, выбирая малые положительные значения параметра α0, так как
при этом выполняются неравенства ν2
2(0) > 0, ν2
3(0)>0. Из вида дифференциального
уравнения (36) следует, что обращение интеграла
ν1∫
ν
(0)
1
dν1√
(α0 + α1ν1 + α2ν2
1)[(1− α0)− α1ν1 − (1 + α0)ν2
1 ]
=
a2κ0
2
(t− t0) (38)
приводит к эллиптической функции ν1(t). Следовательно, и решение (33)-(35) ха-
рактеризуется тем, что оно выражается эллиптическими функциями времени.
160
Об одном классе трех нелинейных инвариантных соотношений
Поскольку в данном решении гирационный тензор имеет вид a = diag(a1, a2, a2),
а вектор s = (s1, 0, 0), то обобщенный центр масс гиростата лежит на перпендикуля-
ре к круговому сечению гирационного эллипсоида. Это свойство отличает решение
(33)-(36) от решения [16], в котором a1 = a2 = a3 = a∗(гирационный эллипсоид –
сфера). Анализ соотношений (37) показывает, что в полученном решении нет усло-
вий на параметры ai, Bi, Ci. Решение [16] существует при выполнении условия
a∗(B1−B2)(B2−B3)(B3−B1)−4C1(B2−B3)−4C2(B3−B1)−4C3(B1−B2) = 0, (39)
т.е. в нем имеются ограничения на параметры ai, Bi, Ci уравнений Кирхгофа и усло-
вия на параметр s1.
Общими чертами в условиях существования решения (33)-(37) и решения [16]
служит значение параметра α2. Если в системе (37) положить a1 = a2, то функция
λ(t) = λ0 = const. Поэтому найденное решение теряет смысл для сферического
гиростата с переменным гиростатическим моментом.
Если решение (33)-(37) рассматривать для классической задачи о движении ги-
ростата под действием силы тяжести, т.е. считать Bi = 0, Ci = 0 (i = 1, 3), то,
например, последние три равенства из (37) невозможны. Поэтому полученное реше-
ние не имеет места для этой задачи.
1. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотиче-
ская динамика». – 2001. – 384 с.
2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. –
Київ: Наук. Думка. – 1978. – 296 с.
3. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд–во Новосиб. универ-
ситета. – 1965. – 221 с.
4. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The
equations of motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. – 5, № 5. –
P. 742-745.
5. Харламов П. В. Об уравнениях движения системы твердых тел. // Механика твердого тела. –
1972. – Вып. 4. – С. 52-73.
6. Liouville J. Dиveloppements sur un chapitre de la Mиcanique de Poisson // J. math. pures et appl.
– 1858. – 3. – P. 1-25.
7. Volterra V. Sur la thйorie des variations des latitudes. // Acta. Math. – 1899. – 22. – P. 201-358.
8. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной ка-
пельной жидкостью // Собр. соч. М..–Л.: ОГИЗ. – 1949. – 2. – С. 152-309.
9. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего махо-
вик // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 80-86.
10. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным ги-
ростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 42-49.
11. Волкова О.С. Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы тяжести //
Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 63-76.
12. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом
под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2010. –
Вып. 40. – С. 91-102.
13. Мазнев А.В. О прецессии сферического гиростата с переменным гиростатическим моментом
в поле силы тяжести // Вiсник Донецького нац. ун-ту, Сер. А: Природничi науки, 2011. – №1.
– С. 14-18.
14. Горр Г.В., Мазнев А.В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным
гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики //
161
А.В. Мазнев
Труды Ин-та прикладной математики и механики. – 2010. – Т. 21. – С. 64-75.
15. Горр Г.В., Узбек Е.К. К постановке задачи о решении уравнений Д. Гриоли–М.П. Харламова
в специальной форме // Механика твердого тела. – 1997. – Вып. 29. – С. 133-139.
16. Горр Г.В., Миронова Е.М. Новые решения в задаче о движении тела в поле потенциальных и
гироскопических сил // Доповiдi НАН України. – 2001. – № 4. – С. 41-48.
17. Узбек Е.К. О новом решении уравнений Г. Кирхгофа задачи о движении гиростата под дей-
ствием потенциальных и гироскопичеких сил // Прикл. математика и механика. – 2004. – 68.
– Вып. 6. – С. 964-970.
А.М. Maznev
About one class of three nonlinear invariant correlations of gyrostat motion equations with
a variable gyrostatic moment.
The problem of gyrostat motion under the action of potential and gyroscopic forces in the assumption
that gyrostatic moment depends on time is considered. The new decision of motion equations which is
characterized by special class of three nonlinear invariant correlations is got.
Keywords: invariant correlation, gyrostat, gyrostatic moment.
О.В. Мазнєв
Про один клас трьох нелiнiйних iнварiантних спiввiдношень рiвнянь руху гiростата iз
змiнним гiростатичним моментом.
Розглянуто задачу про рух гiростата пiд дiєю потенцiйних i гiроскопiчних сил в припущеннi, що
гiростатичний момент залежить вiд часу. Отримано новий розв’язок рiвнянь руху, який характе-
ризується спецiальним класом трьох нелiнiйних iнварiантних спiввiдношень.
Ключовi слова: iнварiантне спiввiдношення, гiростат, гiростатичний момент.
Донецкий национальный ун-т
maznev_av@rambler.ru
Получено 04.10.11
162
|