Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар
Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый шаровой сегмент с высотой, большей радиуса. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки....
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124060 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар / П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 163-171. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124060 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240602017-09-20T03:03:03Z Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар Машаров, П.А. Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый шаровой сегмент с высотой, большей радиуса. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки. Отримано значення найменшого радiуса кулi, в якiй дана множина є множиною Помпейю. У якостi множини розглянуто кожен сегмент кулi, що має висоту бiльшу за радiус. Отримане значення iстотно уточнює вiдомi ранiше оцiнки. Exact value for the smallest radius of the ball, in which the given set is a Pompeiu set is obtained in the paper. The set is presented by the ball segment with the altitude is bigger then radius. The value in this paper essentially improve the known results. 2011 Article Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар / П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 163-171. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124060 517.988.28 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый шаровой сегмент с высотой, большей радиуса. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки. |
| format |
Article |
| author |
Машаров, П.А. |
| spellingShingle |
Машаров, П.А. Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Машаров, П.А. |
| author_sort |
Машаров, П.А. |
| title |
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар |
| title_short |
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар |
| title_full |
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар |
| title_fullStr |
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар |
| title_full_unstemmed |
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар |
| title_sort |
об экстремальном радиусе помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124060 |
| citation_txt |
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар / П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 163-171. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT mašarovpa obékstremalʹnomradiusepompejûdlâšarovyhsegmentovsoderžaŝihpolušar |
| first_indexed |
2025-07-09T00:47:13Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:47:13Z |
| _version_ |
1837128259120136192 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23
УДК 517.988.28
c©2011. П.А. Машаров
ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНОМ РАДИУСЕ ПОМПЕЙЮ
ДЛЯ ШАРОВЫХ СЕГМЕНТОВ, СОДЕРЖАЩИХ ПОЛУШАР
Найдено значение наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством
Помпейю. В качестве множества рассматривается каждый шаровой сегмент с высотой, большей
радиуса. Полученное значение существенно уточняет известные ранее оценки.
Ключевые слова: экстремальный вариант проблемы Помпейю, радиус Помпейю, множество
Помпейю, шаровой сегмент.
Введение и формулировка основного результата. Всюду в работе через Rn
обозначается вещественное евклидово пространство размерности n > 3 с евклидовой
нормой | · |. Группу движений Rn будем обозначать через M(n). Mot(A, B) = {λ ∈
M(n) : λA ⊂ B} – часть группы движений, оставляющая A внутри B. BR = {x ∈
Rn : |x| < R} – шар радиуса R. Для непустого открытого множества B ⊂ Rn под
Lloc(B) будем понимать класс локально интегрируемых на B функций.
Компактное множество A ⊂ Rn называется множеством Помпейю в B, если из
того, что комплекснозначная f ∈ Lloc(B), для которой
∫
λA f(x) dx = 0 для всех
λ ∈ Mot(A,B), следует, что f равна нулю почти всюду в B. Совокупность всех
множеств Помпейю в B будем обозначать через Pomp(B).
Классическая проблема Помпейю об описании класса Pomp(Rn) изучалась во
многих работах, см. обзоры [1], [2] с обширной библиографией. Из результата Ви-
льямса ([3]) следует, что если граница множества A липшицева, гомеоморфна сфере,
но не вещественно аналитическая, то A ∈ Pomp(Rn).
Если же некоторое множество A ∈ Pomp(Rn), то возникает вопрос, будет ли A ∈
Pomp(BR) при достаточно большом R? В [4] В.В. Волчков получил утвердительный
ответ на этот вопрос. В связи с этим в [5] поставлена
Проблема. Для данного A найти P(A) = inf{R > 0: A ∈ Pomp(BR)}.
Величину P(A) естественно называть экстремальным радиусом Помпейю (или
просто радиусом Помпейю) для множества A.
Ряд результатов, содержащих оценки сверху для величины P(A), получены
К.А. Беренстейном и Р. Гэем, см. [6]. В [4-5], [7-9] содержится достаточно полная
история данного вопроса и близких к нему.
В работе для каждого шарового сегмента Sh = {x ∈ Rn : |x| 6 1, xn > 1 − h},
содержащего полушар, найден экстремальный радиус Помпейю, то есть получена
Теорема 1. Для каждого h ∈ (
1; 2
)
значение
P(Sh) = R(h)
опр.
=
{√
8h− 3h2/2, 1 < h 6 8/7;
h, 8/7 < h < 2.
163
П.А. Машаров
1. Описание группы SO(n). Вращениями евклидова пространства Rn назы-
вают линейные преобразования g этого пространства, не меняющие его ориентации
и оставляющие инвариантным расстояние точек от начала координат: |gx| = |x|.
Вращения n-мерного пространства Rn образуют группу, которая обозначается че-
рез SO(n). Инвариантная нормированная мера на группе SO(n) имеет вид
dτ = An
n−1∏
k=1
k∏
j=1
sinj−1 θk
j dθk
j , где An =
n∏
k=1
Γ(k/2)
2πk/2
, (1)
а θk
j , 1 6 k 6 n− 1, 1 6 i 6 k – углы Эйлера вращения g (см. [10, с. 434]).
Пусть далее T (g) – квазирегулярное представление группы SO(n), то есть
(T (g)f)(σ) = f(g−1σ) для любых f ∈ L2(S), σ ∈ S = {x ∈ Rn : |x| = 1}, g ∈ SO(n)
(см. [10, с. 442]). Обозначим T k(τ) – сужение квазирегулярного представления на
пространство Hk однородных гармонических полиномов степени k, рассматривае-
мое как подпространство L2(S) (см. [10, с. 446]).
Пусть {Y (k)
l }, 1 6 l 6 dk – фиксированный ортонормированный базис в про-
странстве Hk, {tklp} – матрица представления T k(τ), то есть
(
T k(τ)Y (k)
l
)
(σ) = Y
(k)
l (τ−1σ) =
dk∑
p=1
tklp(τ)Y (k)
p (σ), σ ∈ S. (2)
При k = 0 имеем dk = 1, Y
(k)
1 (σ) = 1, tk11(τ) = 1 для всех σ ∈ S, τ ∈ SO(n). При
n = 2 и k > 1 всюду в дальнейшем будем использовать следующий базис в Hk:
Y
(k)
1 (σ) = (σ1 + iσ2)k, Y
(k)
2 (σ) = (σ1 − iσ2)k. Если τ – вращение на угол θ в R2, то
для этого базиса tk11(τ) = e−ikθ, tk22(τ) = e−ikθ, tk12(τ) = tk21(τ) = 0.
Всякой функции f ∈ Lloc(BR) соответствует ряд Фурье
f(x) =
∞∑
k=0
dk∑
l=1
fkl(ρ)Y (k)
l (σ), ρ ∈ (0, R), (3)
где
fkl(ρ) =
∫
S
f(ρσ)Y (k)
l (σ)dω(σ) (4)
(здесь и далее dω – нормированная поверхностная мера на S).
При n = 2 из последнего равенства имеем
fkl(ρ)Y (k)
l (σ) =
∫
SO(2)
f(τ−1x)tkll(τ) dτ. (5)
В [11, с. 30] получена аналогичная формула для n > 3:
Лемма (1.1.1 из [11]). Пусть n > 3, f ∈ Lloc(BR). Тогда
fkl(ρ)Y (k)
p (σ) = dk
∫
SO(n)
f(τ−1x)tklp(τ) dτ. (6)
164
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар
Отметим также следующие интегральные формулы (см. [5, Глава 1, § 2.1]). Пусть
0 6 r < R 6 ∞. Тогда для любой f ∈ L(Br,R) (здесь и далее используем обозначение
для шарового слоя Br,R = {x ∈ Rn : r < |x| < R}) выполняется следующее равенство
∫
Br,R
f(x) dx =
∫ R
r
ρn−1 dρ
∫
S
f(ρσ) dω(σ). (7)
Кроме этого, для любой функции f ∈ L(S) верно
1
ωn−1
∫
S
f(σ) dω(σ) =
∫
SO(n)
f(τe1) dτ, (8)
где ωn−1 =
nπn/2
(n/2)! если n четное,
2nπ(n−1)/2
(
(n−1)/2
)
!
(n−1)! если n нечетное
– площадь единичной сферы S в
Rn, e1 = (1, 0, . . . , 0).
2. Геометрические конструкции. Для множества A из Rn рассмотрим вели-
чину r∗(A) = inf{R > 0 : Mot(A,BR) 6= ∅}. Отметим, что
r∗(Sh) =
{√
1− h2, h ∈ (0, 1);
1, h > 1.
Из определений r∗(A) и Mot(A,BR) следует, что для произвольного компакта A
множество Mot(A,BR) 6= ∅ тогда и только тогда, когда R > r∗(A).
Рассмотрим граничные положения Sh в BR и определим диапазон расстояний
от центра шара BR до точек единичной сферы и нижнего основания сегмента Sh, а
также соотношения между ними для различных h > 1.
Расстояние от центра шара, частью которого является рассматриваемый сег-
мент, до основания Sh равно h−1, поэтому радиус основания равен
√
1− (h− 1)2 =√
2h− h2. Минимальное расстояние от центра шара BR до этого основания равно
max{0;R − h}. А максимальное такое расстояние равно
√
R2 − (2h− h2) =√
R2 + h2 − 2h.
Максимальное расстояние до точек сферической границы сегмента равно радиу-
су шара R, а минимальное такое, при котором сфера помещается в шар – max
{
0, h−√
R2 + h2 − 2h
}
.
В дальнейшем необходимо будет воспользоваться решением неравенства, левой и
правой частями которого будут некоторые только что найденные выражения. Итак,
рассмотрев уравнение
√
R2 + h2 − 2h = h−√R2 + h2 − 2h, получаем решение R0 =√
8h− 3h2/2. Таким образом, если R > R0, то h −√R2 + h2 − 2h <
√
R2 + h2 − 2h.
Рассмотрев уравнение R0 = h, имеем h0 = 8/7.
3. Некоторые классы функций и их свойства. В работе будут использо-
ваться следующие стандартные обозначения. Для m ∈ N под Cm(B) будем пони-
мать класс функций, все частные производные порядка до m включительно кото-
165
П.А. Машаров
рых (включая смешанные) непрерывны, C(B) – класс непрерывных на B функций,
C∞(B) =
∞⋂
m=1
Cm(B).
Пусть множество B ⊂ Rn – открытое. Рассмотрим класс функций P(A,B), со-
стоящий из таких функций f ∈ Lloc(B), для которых равенство
∫
λA
f(x) dx = 0 (9)
верно для всех λ ∈ Mot(A,B). Добавляя гладкость, получим классы функций
Pm(A,B) = P(A,B) ∩ Cm(B), m ∈ N, P∞(A,B) = P(A,B) ∩ C∞(B) и P0(A,B) =
P(A,B) ∩ C(B).
Сначала отметим одно простое свойство указанных классов функций. Для лю-
бых двух функций f, g ∈ Pm(A,B), где m = {0, 1, . . . ,∞} или f, g ∈ P(A,B) и для
произвольных двух чисел α, β ∈ C функция αf +βg ∈ Pm(A,B), или, соответствен-
но, принадлежит P(A,B). Это утверждение следует из линейности пространств
гладких и интегрируемых функций Cm(B), Lloc(B) и из линейности интеграла.
Непосредственно из определения классов P(A,BR) и Pm(A,BR) следует
Лемма 1. Если f(x) принадлежит одному из P(A,BR) или Pm(A,BR), то для
любого движения λ ∈ M(n) такого, что |λ~0| < δ (~0 = (0, . . . , 0) – начало отсчета),
функция f(λx) принадлежит, соответственно, P(A,BR−δ) или Pm(A,BR−δ).
Кроме того, классы P(A,B) и Pm(A,B) можно рассматривать как множества
решений уравнений свертки f ∗χA = 0 из классов Lloc(B) и Cm(B), соответственно.
Лемма 2. Пусть f ∈ Pm(A,B), m > 1. Тогда все частные производные функции
f принадлежат Pm−1(A,B).
Доказательство. Зафиксируем λ ∈ Mot(A,B) и рассмотрим функцию ψ(x) =∫
Rn f(y)χx−λA(x − y) dy =
∫
λA f(y) dy ≡ 0, так как f ∈ Pm(A,B). С другой сторо-
ны, сделав в интеграле замену t = x − y, получаем ψ(x) =
∫
Rn f(x + t)χx−λA(t) dt.
Дифференцируя последнее равенство по j-той переменной xj , получаем ∂ψ(x)
∂xj
=
∫
Rn
∂f(x+t)
∂xj
χx−λA(t) dt =
∫
Rn
∂f(y)
∂xj
χx−λA(x − y) dy =
∫
λA
∂f(y)
∂xj
dy ≡ 0. Последнее ра-
венство как раз и означает ∂f
∂xj
∈ Pm−1(A,B), j ∈ 1, n. ¤
Лемма 3. Пусть R > r∗(Sh), функция f ∈ P(Sh,BR) (f ∈ Pm(Sh,BR)). То-
гда каждое слагаемое ряда (3), доопределенное в точке x = 0 по непрерывности,
принадлежит тому же классу. То есть при всех k > 0; 1 6 l, p 6 dk функции
fkl(ρ)Y (k)
p (σ) ∈ P(Sh,BR) (соответственно fkl(ρ)Y (k)
p (σ) ∈ Pm(Sh,BR)).
Доказательство. Путем непосредственных вычислений, используя (6) и инвари-
антность P(Sh,BR) относительно вращений, получаем, что для любого
λ ∈ Mot(Sh,BR) верно
∫
λSh
fkl(ρ)Y (k)
p (σ) dx =
∫
λSh
[
dk
∫
SO(n) f(τ−1x)tklp(τ) dτ
]
dx =
= dk
∫
SO(n)
[ ∫
λSh
f(τ−1x) dx
]
tklp(τ) dτ = 0, что в данном случае означает принадлеж-
ность классу P(Sh,BR). Для доказательства принадлежности Pm(Sh,BR) заметим,
166
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар
что произведение непрерывно дифференцируемых функций является непрерывно
дифференцируемой функцией. ¤
4. Вспомогательные утверждения. Для получения основного результата ра-
боты необходимо будет воспользоваться общим решением некоторого функциональ-
ного уравнения, впервые рассмотренного в работе [12].
Теорема (3.4.4 в [11]). Пусть 0 < δ < 1, f ∈ C(B1−δ,1+δ) и при всех u, v ∈ S,
w ∈ Bδ имеет место равенство
f(w + u) + f(w − u) = f(w + v) + f(w − v). (10)
Тогда
f(x) = C1|x|2 + C2xy + C3, (11)
где y ∈ S. Обратно, всякая функция вида (11) удовлетворяет равенству (10).
Лемма 4. Пусть R > r∗(Sh), функция f ∈ P∞(Sh,BR). Тогда f удовлетворя-
ет (10) при всех u, v ∈ S и w ∈ BR−1.
Доказательство. Достаточно получить (10) при w = 0, так как общий случай
получается из этого сдвигом.
Пусть S′h = {x ∈ Rn : |x| = 1, xn > 1 − h} – боковая поверхность шарового
сегмента Sh, S′′h = {x ∈ Rn : |x| 6 1, xn = 1 − h} – основание Sh. Таким образом,
граница ∂Sh = S′h ∪ S′′h.
Для интегрируемой вектор-функции ~f = (f1, . . . , fn) : Rn → Rn поверхностный
интеграл второго рода связан с поверхностным интегралом первого рода формулой
(см., например, [13, §15.8])
∫
∂Sh
(
f1(x) dx2 ∧ . . . ∧ dxn + . . . + fn dx1 ∧ . . . ∧ dxn−1
)
=∫
∂Sh
(
f1(x)σ1 + . . . + fn(x)σn
)
dω(σ).
С другой стороны, по формуле Гаусса-Остроградского, имеем
∫
∂Sh
(
f1(x) dx2∧ . . .∧dxn + . . .+fn dx1∧ . . .∧dxn−1
)
=
∫
Sh
(
∂f1
∂x1
+ . . .+
∂fn
∂xn
)
dx. (12)
Таким образом, для любого j 6= n и f ∈ P∞(Sh,BR) имеем
∫
S′h
f(g−1σ)σj dω(σ) +
∫
S′′h
f(g−1σ)σj dω(σ) =
∫
Sh
∂
∂xj
f(g−1x) dx = 0
для всех g ∈ SO(n). Но так как на S′′h все σj = 0, j = 1, 2, . . . , n− 1, то
∫
S′h
f(g−1σ)σj dω(σ) = 0. (13)
Умножая обе части равенства (13) на tklp(g) и интегрируя на SO(n), из (5) и (6)
получаем fkl(1)
∫
S′h
σjY (σ) dω(σ) = 0 при Y = Y
(k)
p , 1 6 p 6 dk, а значит и при всех
Y ∈ Hk. Если k четно, последний интеграл не равен нулю при Y (σ) = (σn−1 + iσn)k,
откуда fkl(1) = 0. Тогда все слагаемые ряда (3) для функции f(x)+f(−x) при k > 1
равны нулю, откуда следует утверждение леммы 4. ¤
167
П.А. Машаров
Лемма 5. Пусть R > 1 и f ∈ P∞(Sh,BR) : f = C при |x| > 2−R. Тогда
∫
B̃
(
f(x1, . . . , xn−1, 0)− C
)
dx1 . . . dxn−1 = 0, (14)
где B̃ = B ∩ {xn = 1 − h} = {x ∈ Rn−1 : x2
1 + . . . + x2
n−1 6 2h − h2, xn = 1 − h} –
основание рассматриваемого шарового сегмента Sh.
Доказательство. Для таких δ > 0, что cos δ > h− 1 рассмотрим множества
S1 =
{
x ∈ Rn : |x| 6 1,−x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn 6 x1 tg δ − h− 1
cos δ
}
,
S2 =
{
x ∈ Rn : |x| 6 1, x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn 6 −x1 tg δ − h− 1
cos δ
}
,
S3 =
{
x ∈ Rn : |x| 6 1,−x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn, x1 tg δ − h− 1
cos δ
6 xn
}
.
(15)
Отметим, что существует вращение gδ ∈ SO(n) такое, что gδSh = S1 ∪ S3, и g−δSh =
g−1
δ Sh = S2 ∪ S3. Так как f ∈ P∞(Sh,BR), то
∫
gδSh
f(x) dx = 0 и
∫
g−1
δ Sh
f(x) dx = 0.
Вычитая последние два равенства, получаем
∫
S1
f(x) dx =
∫
S2
f(x) dx. (16)
А так как вместе с f классу P∞(Sh,BR) принадлежит и любая производная от f ,
то, подставляя в (16) вместо f функцию ∂(f−C)
∂x1
= ∂f
∂x1
и переходя к пределу в этом
равенстве при δ → +0, по теореме о среднем, получаем
∫
B̃
x1
∂(f − C)
∂x1
(x1, . . . , xn−1, 0) dx1 . . . dxn−1 = 0. (17)
Используя формулу интегрирования по частям и условие, что f = C в |x| > 2− R,
получаем (14). ¤
Зададим гиперплоскости в Rn через единичный вектор нормали и расстояние до
начала координат: ξσ,d = {x ∈ Rn : (σ, x) = d}, где d ∈ R+ и σ ∈ S. Пусть f ∈ L1(Rn).
Тогда преобразование Радона Rf может быть рассмотрено как функция на S× R+
и определено по формуле
Rf(σ, d) =
∫
ξσ,d
f(x) dmn−1(x), (18)
где dmn−1 – (n− 1)-мерная мера. По теореме Фубини видно, что преобразование R
определено для всех σ ∈ S и почти всех d ∈ R+.
Лемма (Следствие 1.8.2 в [5]). Пусть g ∈ C∞(R1) – четная с компактным
носителем. Тогда существует радиальная функция f ∈ C∞(Rn) с компактным
носителем, для которой Rf(σ, d) = g(d) для всех σ ∈ S, d ∈ R.
168
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар
Лемма (Следствие 1.8.4 в [5]). Пусть r > 0 и f ∈ L1(Rn) такая, что
Rf(σ, d) = 0 для всех σ ∈ S и почти всех d ∈ (r,+∞). Если существует множе-
ство Ω ⊂ (r,+∞) положительной меры такое, что f(x) = 0 в {x ∈ Rn : |x| ∈ Ω},
тогда f = 0 в Br,+∞.
5. Доказательство основного результата. Перед тем, как перейти к дока-
зательству основного результата работы, рассмотрим следующие функции (см. [5,
Глава 1, § 3.3]) v(x) =
{
Ce1/(|x|2−1), |x| < 1;
0, |x| > 1,
где C =
(∫
B
e1/(|x|2−1) dx
)−1. Для любо-
го ε > 0 положим
ϕε(x) = ε−nv(x/ε). (19)
Отметим, что радиальная функция ϕε ∈ C∞(Rn) обладает свойствами: ϕε > 0,
supϕε = Bε, и
∫
Rn
ϕε(x) dx = 1.
Доказательство теоремы 1. Докажем сначала, что если R > R(h), то Sh ∈
Pomp(BR). Для этого достаточно показать, что P(Sh,BR) = {0}, то есть из того, что
f ∈ P(Sh,BR) следует, что f = 0.
Итак, считаем h ∈ (1, 2) фиксированным и R > R(h). Рассмотрим произвольную
f ∈ P(Sh,BR) и ε ∈ (0, R −R(h)). Тогда для ϕε, заданной формулой (19), функция
ψ = f ∗ ϕε ∈ P∞(Sh,BR−ε). Определенная таким образом ψ удовлетворяет лемме 4,
и по теореме 3.4.4 из [11] функция ψ является многочленом в B
h−
√
(R−ε)2+h2−2h ,R−ε
.
Подберем такой дифференциальный оператор D с постоянными коэффициентами,
чтобы ψD = Dψ = C в B
h−
√
(R−ε)2+h2−2h ,R−ε
. Кроме этого, ψD ∈ P∞(BR−ε), то есть
эта функция удовлетворяет условиям леммы 5. Доопределим ее нулем вне BR−ε.
Тогда, учитывая лемму 1, получаем, что интегралы от функции h = ψD−C по всем
гиперплоскостям равны нулю. Тогда по следствию 1.8.4 из [5] h = 0 в BR−ε, то есть
ψD = C. Но так как ψD ∈ P∞(BR−ε), то C = 0. Подобным образом получим, что все
коэффициенты многочлена ψ равны нулю, то есть ψ = 0. Используя стандартный
метод сглаживания (см, например, §1.3.3 в [5]), получаем f = 0 в BR.
Пусть теперь R ∈ (r∗(Sh), h). Тогда существует ε = h−R такое, что для любого
λ ∈ Mot(Sh,BR) выполняется Bε ⊂ λSh. Рассмотрим теперь функции
v2(x) =
{
Ce1/(|x|4−1), |x| < 1;
0, |x| > 1,
где C−1 =
∫
B
e1/(|x|4−1) dx (20)
и
ψε(x) = ε−nv2(x/ε). (21)
Если ϕε – функция определенная формулой (19), тогда f =
(
ψε(x) − ϕε(x)
) · χBε –
не равная нулю функция, принадлежащая P∞(Sh,BR).
При R 6 r∗(Sh) множество Mot(Sh,BR) = ∅, поэтому, очевидно, любая функция
f ∈ C∞(BR) принадлежит P∞(Sh,BR).
Осталось доказать, что для каждого h ∈ (1; 8/7) при R ∈ [h;
√
8h− 3h2/2) класс
P(Sh,BR) состоит не только из нулевой функции. Рассмотрим линейно независимые
169
П.А. Машаров
радиальные ненулевые функции g1, g2 ∈ C∞(Rn), которые обращаются в нуль при
|x| 6
√
R2 + h2 − 2h и при |x| > h − √R2 + h2 − 2h. Тогда существуют радиальные
функции f1, f2 такие, что их преобразования Радона Rfj(σ, |x|) = gj(x) для всех
σ ∈ S, x ∈ Rn, j = 1, 2 (см. следствие 1.8.2 из [5]). По следствию 1.8.4 из [5], f1 =
f2 = 0 для |x| > h − √R2 + h2 − 2h. Так как для рассматриваемых R выполняется
h − √
R2 + h2 − 2h >
√
R2 + h2 − 2h, то для любого λ ∈ Mot(Sh,BR) сегмент λSh
содержит сегмент S̃ шара Bh−√R2+h2−2h высоты h − 2
√
R2 + h2 − 2h с основанием,
параллельным основанию Sh. Рассмотрим не равную нулю функцию f = αf1 +
βf2, подобрав значения α и β таким образом, чтобы
∫
S̃ f(x) dx = 0. Эта ненулевая
функция f ∈ P(Sh,BR), так как
∫
λSh
f(x) dx =
∫
S̃ f(x) dx = 0. ¤
Отметим, что значение P(S1) найдено в [5], основной результат работы в случае
n = 2 был ранее получен в [14], а в случае n > 2 для всех h ∈ (
√
5 − 1, 2) – в [15].
Кроме того, из известных ранее результатов С.Беренстейна и Р.Гэя (см., например,
[6]) для h > 1 следовала лишь оценка P(Sh) < 2.
6. Некоторые применения. Теорема 1 позволяет получить достаточное усло-
вие замкнутости в пространстве Lp(BR) (1 6 p < ∞) системы функций
{χSh
(λ−1x) : λ ∈ Mot(Sh,BR)}. (22)
Теорема 2. Пусть h ∈ (1; 2), R > R(h). Тогда система функций (22) замкнута
в пространстве Lp(BR) при любом 1 6 p < ∞.
Отметим, что утверждение теоремы 2 теряет силу при p = ∞, так как ненулевые
тождественные константы не могут быть аппроксимированы указанным в теореме 2
способом.
Рассмотрим также применение теоремы 1 в теории отображений, сохраняющих
меру. Здесь под measE понимается мера Лебега множества E.
Теорема 3. Пусть h ∈ (1; 2), R > R(h) и f – C1-диффеоморфизм BR на об-
ласть Ω ⊂ Rn. Тогда если meas f(λSh) = measλSh ∀λ ∈ Mot(Sh,BR), то для любого
измеримого множества E ⊂ BR выполняется meas f(E) = measE.
Доказательства теорем 2 и 3 полностью повторяют доказательства аналогичных
теорем из [15].
1. Zalcman L. A bibliographic survey of Pompeiu problem // Approximation dy solutions of partial
differential equations / ed. B. Fuglede et al., 1992. P. 185-194.
2. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’. In:
Radon Transforms and Tomography. Contemp. Math., 2001. № 278. P. 69-74.
3. Williams S.A. A partial solution of the Pompeiu problem // Math. Ann. 1976. V. 223. P. 183-190.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric
Spaces and the Heisenberg Group. Springer. 2009, 671 p.
5. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Kluwer Academic Publishers. 2003,
454 p.
6. Berenstein C.A., Gay R. Le probleme de Pompeiu locale // J. Anal. Math. 1989. – V. 52. – P. 133-
166.
7. Волчков В.В., Волчков Вит.В. Экстремальные задачи интегральной геометрии // Математика
сегодня № 1. – Вып. 12. – Киев. – 2001. – C. 51-79.
8. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // До-
повiдi НАН України. – 2001. – № 7. – С. 25-29.
170
Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих полушар
9. Елец Л.В., Машаров П.А. Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю // УМЖ,
Т. 61. – 2009. – С. 61-72.
10. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. 2-е изд. – М.: Наука –
1991. – 576 с.
11. Волчков В.В. Преобразование Помпейю. Донецк: ДонГУ. – 1999. – 210 с.
12. Szabo G. On functions having the same integral on congruent semidisks // Ann. Univ. sci. Budapest.
– 1982. – V. 3. – P. 3-9.
13. Дороговцев А.Я. Математический анализ. Краткий курс в современном изложении. Киев,
"Факт". – 2004. – 560 с.
14. Машаров П.А. Про цилiндри з локальною властивiстю Помпейю // Вiстник Донецького на-
цiонального унiверситету. Серiя А. Природничi науки. – 2000. – № 1. – С. 21-25.
15. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах Помпейю со сферической границей //
Труды ИПММ НАН Украины. – 2011. – Т. 22. – С. 153-161.
P.A. Masharov
On Pompeiu radius for spherical segments containing the half ball.
Exact value for the smallest radius of the ball, in which the given set is a Pompeiu set is obtained in the
paper. The set is presented by the ball segment with the altitude is bigger then radius. The value in this
paper essentially improve the known results.
Keywords: extremal version of the Pompeiu problem, Pompeiu radius, Pompeiu set, ball segment.
П.А. Машаров
Про екстремальний радiус Помпейю для кульових сегментiв, що мiстять пiвкулю.
Отримано значення найменшого радiуса кулi, в якiй дана множина є множиною Помпейю. У яко-
стi множини розглянуто кожен сегмент кулi, що має висоту бiльшу за радiус. Отримане значення
iстотно уточнює вiдомi ранiше оцiнки.
Ключовi слова: екстремальний варiант проблеми Помпейю, радiус Помпейю, множина Пом-
пейю, кульовий сегмент.
Донецкий национальный ун-т
pavelmasharov@gmail.com
Получено 01.12.2011
171
|