Плотности упаковок на гиперболической плоскости
Рассмотрены некоторые примеры функций с нулевыми интегралами по всем гиперболическим кругам одного фиксированного радиуса. Получены новые оценки плотностей укладок гиперболических кругов....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124061 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Плотности упаковок на гиперболической плоскости / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 172-179. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124061 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240612017-09-20T03:03:24Z Плотности упаковок на гиперболической плоскости Очаковская, О.А. Рассмотрены некоторые примеры функций с нулевыми интегралами по всем гиперболическим кругам одного фиксированного радиуса. Получены новые оценки плотностей укладок гиперболических кругов. Розглянуто деякi приклади функцiй з нульовими iнтегралами по усiх гiперболiчних колах фiксованого радiуса. Отримано новi оцiнки щiльностей для укладок гiперболiчних кiл. Some examples of functions with zero integrals over hyperbolic disks of one fixed radius are considered. New estimates for the densities of hyperbolic disks packing are obtained. 2011 Article Плотности упаковок на гиперболической плоскости / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 172-179. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124061 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрены некоторые примеры функций с нулевыми интегралами по всем гиперболическим кругам одного фиксированного радиуса. Получены новые оценки плотностей укладок гиперболических кругов. |
| format |
Article |
| author |
Очаковская, О.А. |
| spellingShingle |
Очаковская, О.А. Плотности упаковок на гиперболической плоскости Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Очаковская, О.А. |
| author_sort |
Очаковская, О.А. |
| title |
Плотности упаковок на гиперболической плоскости |
| title_short |
Плотности упаковок на гиперболической плоскости |
| title_full |
Плотности упаковок на гиперболической плоскости |
| title_fullStr |
Плотности упаковок на гиперболической плоскости |
| title_full_unstemmed |
Плотности упаковок на гиперболической плоскости |
| title_sort |
плотности упаковок на гиперболической плоскости |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124061 |
| citation_txt |
Плотности упаковок на гиперболической плоскости / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 172-179. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT očakovskaâoa plotnostiupakovoknagiperboličeskojploskosti |
| first_indexed |
2025-07-09T00:47:20Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:47:20Z |
| _version_ |
1837128265084436480 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23
УДК 517.5
c©2011. О.А. Очаковская
ПЛОТНОСТИ УПАКОВОК НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Рассмотрены некоторые примеры функций с нулевыми интегралами по всем гиперболическим кру-
гам одного фиксированного радиуса. Получены новые оценки плотностей укладок гиперболических
кругов.
Ключевые слова: шаровые средние, плотность укладки.
1. Введение. По поводу используемых ниже понятий и фактов, связанных с
гиперболической плоскостью, см. [1].
Пусть C – комплексная плоскость. Для множества A ⊂ C символами ∂A и Ā
обозначаются, соответственно, граница и замыкание A.
Пусть D = {z ∈ C : |z| < 1}. Группа Мёбиуса M(D) действует транзитивно
на D посредством конформных отображений (см., например, [2, гл. 2, §2.4]). Мёби-
усовы преобразования являются движениями в модели Пуанкаре гиперболической
плоскости, реализованной в виде круга D.
Группа M(D) изоморфна группе SU(1, 1), состоящей из матриц вида
g =
(
a b
b̄ ā
)
, где a, b ∈ C, |a|2 − |b|2 = 1,
которая действует на D посредством отображений
gz =
az + b
b̄z + ā
, z ∈ D.
Гиперболическое расстояние d между точками z1, z2 ∈ D определяется равен-
ством
d(z1, z2) =
1
2
ln
|1− z̄1z2|+ |z2 − z1|
|1− z̄1z2| − |z2 − z1| , (1)
где черта означает комплексное сопряжение. Расстояние d и гиперболическая мера
dµ(z) =
dxdy
(1− |z|2)2 (2)
инвариантны относительно группы M(D).
Пусть G –измеримое по Лебегу множество в D. Символом meas(G) обозначим
гиперболическую меру множества G. Всюду в дальнейшем предполагается, что 0 <
meas(G) < +∞.
Семейство K = (K1, . . . , Ks) замкнутых подмножеств D называется упаковкой
(или укладкой) множества G, если
s⋃
j=1
Kj ⊂ G и meas(Ki ∩Kj) = 0 для всех 1 ≤ i, j ≤ s, i 6= j.
172
Плотности упаковок на гиперболической плоскости
Плотность d(G,K) этой упаковки определяется равенством
d(G,K) =
1
meas(G)
s∑
j=1
meas(Kj). (3)
Проблема оценки величины d(G,K) и ее евклидовых аналогов при различных G
и K изучалась многими авторами (см., например, [3]-[5] и библиографию к этим
работам). Наиболее часто рассматривался следующий частный случай.
Пусть K – заданное замкнутое подмножество Rn, 0 < meas(K) < +∞ и пусть M
– заданная подгруппа группыM(D). Обозначим через m(G,K, M) наибольшее коли-
чество непересекающихся образов λjK ⊂ G, λj ∈ M (то есть, meas(λjK)∩(λiK)) = 0
для λi 6= λjK). Требуется оценить сверху величину m(G,K, M) или, эквивалентно,
плотность d(G,K), где K = {λjK} является соответствующей упаковкой G. Для это-
го случая мы будем использовать обозначение d(G, K, M) вместо d(G,K). Очевидно
m(G,K, M) ≤
[ meas(G)
meas(K)
]
и d(G,K, M) ≤ meas(K)
meas(G)
[ meas(G)
meas(K)
]
,
где [t] – целая часть числа t ∈ R1. Эти оценки называют тривиальными. Один
из способов получения нетривиальных оценок для указанных величин предложил
Б.Д. Котляр (см. [6], а также [7]). Им было доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что существует ненулевая функция f ∈ L∞(G),
для которой
∫
λK
f(z) dµ(z) = 0 для всех λ ∈ M таких, что λK ⊂ G. (4)
Тогда
m(G,K,M) ≤
[
1
meas(K)
(
meas(G)− 1
‖f‖L∞(G)
∫
G
f(z) dµ(z)
)]
. (5)
Таким образом, для получения нетривиальной оценки для m(G,K, M) или
d(G, K,M) важно иметь ненулевую функцию f , удовлетворяющую (4). Более того,
если запас таких функций окажется достаточно велик, можно надеяться на полу-
чение хорошей оценки, если взять в правой части (5) нижнюю грань по всем таким
f .
Гиперболическим кругом радиуса r > 0 с центром w ∈ D называется множество
Kr(w) := {z ∈ D : d(z, w) ≤ r}.
В случае, когда K – гиперболический круг, ненулевые функции с условием (4)
существуют (см., например, [5]) при любом M .
Для всякой области O ⊂ D символом Vr(O) обозначим множество всех функций
f ∈ L1,loc(O) таких, что ∫
Kr(w)
f(x) dµ(z) = 0 (6)
173
О.А. Очаковская
для любого гиперболического круга Kr(w) ⊂ O (если O не содержит таких кругов,
то полагаем Vr(O) = L1,loc(O)).
Классы Vr(O) и различные их обобщения изучались во многих работах (см.,
например, [5], [8] и библиографию к этим работам). Известно, что класс Vr(D)∩C(D)
является достаточно широким, однако он не содержит ненулевых функций, быстро
стремящихся к нулю при |z| → 1.
В связи с этим изучались точные условия, описывающие допустимую скорость
убывания ненулевых функций класса Vr(O) вблизи Λ = ∂O∩ ∂D. Однако, несмотря
на активную работу в этой области, полученных точных результатов относительно
немного (см. обзор в работе [8]).
В данной работе строятся новые примеры функций класса Vr(D) (см. теорему
2 ниже). Это позволило получить нетривиальную оценку сверху для плотностей
упаковок шаров с радиусами, связанными с нулями некоторой целой функции(см.
теорему 3).
2. Вспомогательные сведения. Разложение Ивасавы группы SU(1, 1) имеет
вид SU(1, 1) = NAK, где
N =
{
ns =
(
1 + is −is
is 1− is
)
, s ∈ R1
}
, A =
{
at =
(
ch t sh t
sh t ch t
)
, t ∈ R1
}
,
и K = SO(2) – группа поворотов. Орбитами группы N являются орициклы, касаю-
щиеся ∂D в точке z = 1. Орбитами группы A являются дуги окружностей, прохо-
дящих через точки −1 и 1, содержащиеся в круге D. Из определений A и N видно,
что
at+τ = ataτ и nsat = atnse−2t (7)
для любых t, τ, s ∈ R1. Кроме того, из (1) получаем
d(0, at0) = d(0, tht) = t для всех t ∈ R1. (8)
Всякое z ∈ D имеет вид
z = nsat0 =
sh t− ise−t
ch t− ise−t
, (9)
где числа s, t ∈ R1 определены однозначно, при этом
s = − Imz
|1− z|2 , t =
1
2
ln
1− |z|2
|1− z|2 . (10)
Используя (2) и (10), имеем
dµ(z) = e−2tdx dt.
Далее, пусть Kr = Kr(0) и
Qr = {(s, t) ∈ R2 : nsat0 ∈ Kr}. (11)
Простые вычисления с использованием (8) и (9) показывают, что
Qr = {(s, t) ∈ R2 : t ∈ [−r, r], |s| ≤ Ur(t)et ch r}, (12)
174
Плотности упаковок на гиперболической плоскости
где
Ur(t) =
{√
th2r ch2 t− sh2 t, если t ∈ [−r, r]
o, если |t| > r.
Преобразование Фурье
Ûr(z) =
r∫
−r
Ur(t)e−iztdt, z ∈ C,
является четной целой функцией, удовлетворяющей условию
|Ûr(z)| ≤ Cer|=z|, z ∈ C, (13)
для некоторого C > 0, не зависящего от z. Нам потребуются некоторые свойства
функции Ûr, содержащиеся в следующем утверждении.
Лемма. Имеют место следующие утверждения.
1. Для любого z ∈ C
Ûr(z) = πthr(ch r)izF
(3− iz
2
,
1− iz
2
, 2, th2r
)
, (14)
где F – гипергеометрическая функция.
2. Функция Ûr имеет бесконечное множество нулей, причем все эти нули яв-
ляются вещественными и простыми.
Доказательство леммы содержится в [9, леммы 4, 6]. В этой же работе имеются
более подробные сведения о свойствах Ûr.
Обозначим Z(Ûr) = {z ∈ R1 : Ûr(z) = 0}.
Пусть L = 4(1− |z|2) ∂2
∂z∂z̄ – оператор Лапласа-Бельтрами. Для любой f ∈ C2(D)
выполнено равенство
Lf = e4t ∂
2F
∂s2
+
∂2F
∂t2
− 2
∂F
∂t
, (15)
где f(z) = F (s, t) (см. (9) и (10). Если Lf = −(λ2 + 1)f для некоторого λ ∈ C, то
∫
Kr(w)
f(z) dµ(z) = 2Ûr(−λ) sh rf(w) (16)
для любых w ∈ D, r > 0 (см. (14) и [9, формула (29)]).
3. Доказательство теоремы 2.
Теорема 2. Для любых a ∈ (0, 1), γ > 0 и любой последовательности {Mq}∞q=0
положительных чисел, удовлетворяющей условию
∞∑
m=1
( inf
q≥m
M1/q
q )−1 < +∞, (17)
175
О.А. Очаковская
существует ненулевая вещественно-аналитическая функция f ∈ Vr(D) такая, что
∫
E(T,r)
|f(z)|
(
1 +
|Imz|
|1− z|2
)q
dµ(z) ≤ Mq exp(−γe2T ) (18)
при всех E(T, r) ⊂ Da, q ∈ Z+.
Пусть λ, ξ > 0. Тогда для функции y(t), заданной для вещественных t следующим
образом:
y(t) =
∞∫
1
(u2 − 1)
iλ+1
2 exp
(
− u
2
ξe2t + (1 + iλ)t
)
du, (19)
выполнено равенство
y(t) =
π3/2eπλ/42iλet
(1 + eπλ)Γ(1−iλ
2 )ξiλ/2
H
(1)
iλ
2
( i
2
ξe2t
)
, (20)
где H
(1)
iλ
2
– функция Ганкеля первого рода (см. [10, формула (19.11)]). Из (20) и [10,
формула (23.18)] следует, что y удовлетворяет уравнению
y′′ − 2y′ + (λ2 + 1− ξ2e4t)y = 0. (21)
Положим
g(z, ξ) = y(t)eiξs, z ∈ D, (22)
(см. (9)). Из равенств (21) и (15) получаем
(1− |z|2)
( ∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
)
g(z, ξ) = (1 + λ2)g(z, ξ). (23)
Пусть r > 0. Выберем λ > 0 так, чтобы Ûr(−λ) = 0 (см. лемму ). Тогда из (23) и
(16) следует, что
∫
Kr(w)
g(z, ξ) dµ(z) = 2g(w, ξ)Ûr(−λ) sh r = 0 (24)
для всех w ∈ D. Полагая h(ξ) = Reg(0, ξ), из (19) и (22)имеем
h(ξ) =
∞∫
1
e−uξ/2(u2 − 1)1/2 cos
(λ
2
ln(u2 − 1)
)
du.
Отсюда следует, что функция h является вещественно-аналитической функцией на
(0, +∞), не равной нулю тождественно. Таким образом, множество нулей функции
h на (0, +∞) нигде не плотно. Тогда для любого γ > 0 существуют числа α, β ∈
(0, +∞) такие, что
2e2rγ < α < β, (25)
176
Плотности упаковок на гиперболической плоскости
и функция h сохраняет знак на отрезке [α, β].
Далее, пусть последовательность {Mq}∞q=0 положительных чисел удовлетворяет
условию (17). Из [11, теорема 1.3.8] следует, что для любого A > 1 существует
ненулевая неотрицательная функция ϕA ∈ C∞(R1) с носителем на (α, β) такая, что
‖ϕ(q)
A ‖C[α,β] ≤ MqA
−q для всех q ∈ Z+. (26)
Умножая (24) на ϕA(ξ) и интегрируя полученное равенство на [α, β], находим
∫
Kr(w)
f(z) dµ(z) = 0 для всех w ∈ D,
где
f(z) =
β∫
α
g(z, ξ)ϕA(ξ) dξ. (27)
Это означает, что f ∈ Vr(D). Кроме того, из (23) и (27) имеем Lf = (λ2 + 1)f .
В силу эллиптичности оператора L отсюда вытекает, что f является вещественно-
аналитической в D. Поскольку функция hϕA сохраняет знак на (α, β), из (27) и
определения h следует, что f(0) 6= 0. Докажем теперь, что f удовлетворяет условию
(18). Из (27), (22) и (19) имеем
f(z) =
∞∫
1
(u2 − 1)
iλ+1
2 e(1+iλ)t
β∫
α
ϕA(ξ) exp
(
iξs− u
2
ξe2t
)
dξ dt. (28)
Интегрирование по частям показывает, что внутренний интеграл в (28) не превос-
ходит величины
(β − α)
∣∣∣s +
iu
2
e2t
∣∣∣
−q
exp
(
− u
2
αe2t
)
‖ϕ(q)
A ‖C[α,β]
при любом q ∈ N.
Отсюда и из (28) имеем
|f(z)| ≤ (β − α)
∣∣∣s +
i
2
e2t
∣∣∣
−q
‖ϕ(q)
A ‖C[α,β] e
t
∞∫
1
u exp
(
− u
2
αe2t
)
du (29)
при всех z ∈ D. Пусть теперь z ∈ Da. Тогда из (10) и определения Da следует, что
tht > 2a− 1. (30)
Учитывая, что
∞∫
1
u exp
(
− u
2
αe2t
)
du =
2e−2t
α
(
1 +
2e−2t
α
)
exp
(
− α
2
e2t
)
,
177
О.А. Очаковская
из (29), (30) и (25) получаем
|f(z)|e−2t ≤ Bq
(1 + |s|)q
‖ϕ(q)
A ‖C[α,β] exp
(
− α
2
e2t
)
, z ∈ Da, q ∈ N (31)
для некоторой постоянной B > 1, зависящей только от r, α, β, a. Выбирая теперь
A > B и используя (2), из неравенств (31) и (26) получаем (18). Итак, функция f
удовлетворяет всем требуемым условиям и теорема 2 доказана.
4. Оценки плотности упаковок. Пусть λ > 0. Символом Φ обозначим мно-
жество всех непрерывных неотрицательных финитных функций на (0, +∞). Пусть
также F (z, ϕ) =
∞∫
0
g(z, ξ)ϕ(ξ)dξ, где ϕ ∈ Φ и g определяется равенством (22).
Теорема 3. Пусть K – упаковка множества G, состоящая из гиперболических
кругов, радиусы r которых удовлетворяют условию Ur(λ) = 0. Тогда
d(G,K) ≤ 1− 1
meas(G)
sup
1
‖F (·, ϕ)‖L∞(G)
∣∣∣∣∣
∫
G
F (z, ϕ) dµ(z)
∣∣∣∣∣,
где sup берется по множеству всех ненулевых ϕ ∈ Φ.
Доказательство. Пусть K = (K1, . . . , Ks) и A =
⋃s
j=1 Kj . Согласно теореме 2,
∫
Kj
F (z, ϕ) dµ(z) для всех j ∈ {1, . . . , s}.
Отсюда имеем
∣∣∣∣∣
∫
G
F (z, ϕ) dµ(z)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∫
G\A
F (z, ϕ) dµ(z) +
∫
A
F (z, ϕ) dµ(z)
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
∫
G\A
F (z, ϕ) dµ(z)
∣∣∣∣∣ ≤ ‖F (·, ϕ)‖L∞(G)meas(G \A).
Следовательно, для ненулевой ϕ ∈ Φ получаем
s∑
j=1
meas(Kj) = meas(D) = meas(G)−meas(G \A)
≤ meas(G)− 1
‖F (·, ϕ)‖L∞(G)
∣∣∣∣∣
∫
G
F (, ϕ) dµ(z)
∣∣∣∣∣.
В силу произвольности ϕ отсюда и из (1) следует утверждение теоремы 3. ¤
178
Плотности упаковок на гиперболической плоскости
1. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 с.
2. Альфорс Л. Преобразование Мёбиуса в многомерном пространстве. М.: Мир, 1986. – 163 с.
3. Конвей Дж., Слоен Н. Упаковки шаров, решетки и группы. – Т. 1, 2. – М.: Мир, 1990. – 761 с.
4. Рождерс К. Укладки и покрытия. – М.: Мир, 1968. – 148 с.
5. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Kluwer Academic Publishers, 2003.
– 454 р.
6. Kotlyar B.D. Packing of parallelotopes and some another sets. – Sibirsk. Mat. Zh. – V. 25. – № 2.
– С. 222-225.
7. Kotlyar B.D. Densities of packings of bounded sets. – Soobsheniya A. N. Gruz. SSR. – V. 126. –
№ 3. – С. 469-672.
8. Volchkov V. V., Volchkov Vit. V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric
Spaces and the Heisenberg Group. – Springer-Verlag London Limited, 2009. – 671 р.
9. Волчков В.В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах на гиперболических
пространствах. – Известия РАН. – 65. – 2. – 2001. – С. 3-26.
10. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 287 с.
11. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4-х т. Т. 1. – М.: Мир, 1986. – 462 с.
O.A. Ochakovskaya
Densities of packings on hyperbolic plane.
Some examples of functions with zero integrals over hyperbolic disks of one fixed radius are considered.
New estimates for the densities of hyperbolic disks packing are obtained.
Keywords: spherical means, density of packing, hyperbolic plane.
О.О. Очаковська
Щiльнiсть упаковок на гiперболiчнiй площинi.
Розглянуто деякi приклади функцiй з нульовими iнтегралами по усiх гiперболiчних колах фiксо-
ваного радiуса. Отримано новi оцiнки щiльностей для укладок гiперболiчних кiл.
Ключовi слова: сферичнi середнi, щiльнiсть укладок, гiперболiчна площина.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ochakovskaja@yandex.ua
Получено 20.11.11
179
|