Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре
Для уравнения теплопроводности в цилиндре над кругом рассмотрена смешанная задача с произвольным начальным и общим поворотно-инвариантным граничным условиями. Получена явная формула решения в виде ряда Фурье-Дини, исследованы гладкие свойства такого решения, получена априорная оценка в шкале позитив...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124072 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре / В.П. Бурский, И.И. Куракина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 25-36. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124072 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240722017-09-20T03:03:27Z Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре Бурский, В.П. Куракина, И.И. Для уравнения теплопроводности в цилиндре над кругом рассмотрена смешанная задача с произвольным начальным и общим поворотно-инвариантным граничным условиями. Получена явная формула решения в виде ряда Фурье-Дини, исследованы гладкие свойства такого решения, получена априорная оценка в шкале позитивных весовых соболевских пространств. Для рiвняння теплопровiдностi в цилiндрi над кругом розглянуто мiшану задачу iз початковою та загальною поворотно-iнварiантною граничною умовою. Отримано формулу для розв’язку у виглядi ряду Фур’є-Дiнi, дослiджено гладкi властивостi такого розв’язку, отримано апрiорну оцiнку в шкалi позитивних вагових соболевських просторiв. For the heat equation in the finite cylinder over the unit circle a mixed problem with the initial condition and an arbitrary boundary value problem which is invariant at general rotation is considered. An explicit formula for the solution in a form of Fourier-Dini series is counted, some smooth properties of such solution are studied, an a priori estimates in the positive scale of weight Sobolev spaces are obtained. 2012 Article Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре / В.П. Бурский, И.И. Куракина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 25-36. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124072 517.95 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для уравнения теплопроводности в цилиндре над кругом рассмотрена смешанная задача с произвольным начальным и общим поворотно-инвариантным граничным условиями. Получена явная формула решения в виде ряда Фурье-Дини, исследованы гладкие свойства такого решения, получена априорная оценка в шкале позитивных весовых соболевских пространств. |
| format |
Article |
| author |
Бурский, В.П. Куракина, И.И. |
| spellingShingle |
Бурский, В.П. Куракина, И.И. Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Бурский, В.П. Куракина, И.И. |
| author_sort |
Бурский, В.П. |
| title |
Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре |
| title_short |
Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре |
| title_full |
Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре |
| title_fullStr |
Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре |
| title_full_unstemmed |
Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре |
| title_sort |
общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124072 |
| citation_txt |
Общая эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности в круговом цилиндре / В.П. Бурский, И.И. Куракина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 25-36. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT burskijvp obŝaâékvivariantnaâsmešannaâzadačadlâuravneniâteploprovodnostivkrugovomcilindre AT kurakinaii obŝaâékvivariantnaâsmešannaâzadačadlâuravneniâteploprovodnostivkrugovomcilindre |
| first_indexed |
2025-07-09T00:48:10Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:48:10Z |
| _version_ |
1837128316333588480 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 517.95
c©2012. В.П. Бурский, И.И. Куракина
ОБЩАЯ ЭКВИВАРИАНТНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ
Для уравнения теплопроводности в цилиндре над кругом рассмотрена смешанная задача с про-
извольным начальным и общим поворотно-инвариантным граничным условиями. Получена явная
формула решения в виде ряда Фурье-Дини, исследованы гладкие свойства такого решения, полу-
чена априорная оценка в шкале позитивных весовых соболевских пространств.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, смешанная задача, эквивариантная граничная
задача.
1. Введение.Исследование симметрий дифференциальных уравнений с частны-
ми производными, начатое Софусом Ли, в настоящее время превратилось в большое
самостоятельное направление. Однако изучение симметрических свойств граничных
задач не проводилось вплоть до последнего времени. Исследования в этом направле-
нии, начатые в статье Кочубея А.Н. [6], были продолжены в работах Бурского В.П.
[2], а также Бурского В.П. и Т.В. Штепиной [3].
В данной работе рассматривается уравнение теплопроводности в цилиндре над
кругом с начальным и граничным условиями. Граничным условием является од-
нородное эквивариантное условие с группой поворотов круга, а начальная задача
ставится с общей функцией, инвариантность которой не требуется. Рассматриваемое
эквивариантное граничное условие является общим инвариантным относительно по-
воротов со слабым ограничением (см. ниже условие (3’)).
Удается применить метод Фурье разделения переменных в общей ситуации. С
помощью теории рядов Дини и свойств функций Бесселя найдена точная формула
для решения начально-краевой эквивариантной задачи в виде ряда Фурье-Дини.
Проведен анализ принадлежности найденного решения к пространствам типа
пространств Соболева. В результате чего доказана априорная оценка, из которой
следует корректность по Адамару поставленной задачи для уравнения теплопро-
водности в соответствующей шкале пространств Соболева.
2. Постановка задачи. В круговом цилиндре QT = K × [0, T ], T > 0, где
K = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1} – единичный круг с границей ∂K будем рассматривать
однородное уравнение теплопроводности
∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
1
+
∂2u
∂x2
2
, (1)
с начальным условием
u|t=0 = u0(x), (2)
и общим инвариантным относительно группы поворотов граничным условием
α∗u|∂K + β∗u′ν |∂K = 0, (3)
25
В.П. Бурский, И.И. Куракина
где α =
∑
αneinτ , β =
∑
βneinτ – функции на единичной окружности ∂K произ-
вольной гладкости, разложенные в ряд Фурье; ∗ – свертка на ∂K: α∗ψ = Σαnψneinτ ,
u0 – некоторая функция из весового класса L2,r(K):
‖g‖2
L2,r(K) =
∫
K
|g(r, ϕ)|2 r dr dϕ.
Если u =
∑∞
n=−∞ uneinτ , u′ν =
∑∞
n=−∞ vneinτ , то условие (3) перепишется в виде:
αnun + βnvn = 0. Ниже будем полагать, что
αn
βn
≥ −n. (3′)
Это условие будет означать вещественность нулей µ
(n)
m используемых ниже функций
Бесселя, поскольку их комплексные нули мы здесь не рассматриваем. Требуется
найти и исследовать решение уравнения (1), удовлетворяющее начально-краевым
условиям (2), (3), где u0 ∈ L2,r(K), а функции α, β подчинены ограничению (3′).
3. Получение формулы решения задачи в явном виде. В полярных коор-
динатах задача (1), (2), (3) примет вид:
∂u
∂t
=
∂2u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
1
r2
∂2u
∂ϕ2
, (4)
u|t=o = u0(r, ϕ), (5)
α∗u|∂K + β∗u′|∂K = 0, (6)
где K = {ϕ ∈ (0, 2π), 0 ≤ r < 1}, t ∈ [0;T ].
Решение задачи (4), (5), (6) будем искать методом Фурье разделения переменных
в виде:
u(t, r, ϕ) = T (t)R(r)Φ(ϕ). (7)
Таким образом, приходим к уравнениям:
T ′(t) + λ2T (t) = 0, (8)
Φ′′(ϕ) + ν2Φ(ϕ) = 0, (9)
R′′(r) +
1
r
R′(r) + (λ2 − ν2
r2
)R(r) = 0. (10)
Для уравнения (9) имеет место условие периодичности:
Φ(0) = Φ(2π), Φ′(0) = Φ′(2π). (11)
Решение задачи (9), (11) имеет вид:
Φn(ϕ) = An cosnϕ + Bn sinnϕ, n = 0, 1, 2, ... (12)
26
Эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности
(подключили n = 0, учитывая, что Φ0(ϕ) = a0 6= 0 есть собственная функция,
соответствующая собственному значению ν = 0).
Функции R(r) из уравнения (10) удовлетворяют условию
|R(0)| < ∞ (13)
и условию (6) задачи. Уравнение (10) подстановкой λr = x (R(r) = y(x)) приводится
к уравнению Бесселя
x2y′′ + xy′ + (x2 − ν2)y = 0, (14)
общее решение которого при ν = n имеет вид:
Rn(r) = CnJn(λr) + DnYn(λr),
где Jn(x) и Yn(x) – функции Бесселя 1-го и 2-го рода. Так как в окрестности x = 0
функция Jn(x) ограничена, а функция Yn(x) является неограниченной, то в силу
условия (13) коэффициент Dn = 0, т.е.
Rn(r) = CnJn(λr). (15)
R(r)Φ(ϕ) = [An cosnϕ + Bn sinnϕ]Jn(λr) = γneinϕJn(λr). (16)
Подставим представление (16) в граничное условие (6), получим
∞∑
n=0
[αnJn(λr) + λβnJ ′n(λr)]γneinϕ = 0.
Откуда, αnJn(λr) + λβnJ ′n(λr) = 0.
В силу произвольности r, собственные значения λ будем находить из уравнения
αnJn(λ) + λβnJ ′n(λ) = 0. (17)
Обозначим решения λ этого уравнения через µ
(n)
m . По предположению (3′) все
µ
(n)
m вещественны ([1]).
Решениями уравнения (8) являются функции Tm(t) = Cme−λ2t, где λ определя-
ются из уравнения (17). Значит
Tm(t) = Cme−(µ
(n)
m )2t. (18)
Таким образом, функции
um,n(r, t, ϕ) = [An,m cosnϕ + Bn,m sinnϕ]e−(µ
(n)
m )2tJn(µ(n)
m r) (19)
являются частными решениями уравнения (4) и удовлетворяют граничным услови-
ям (5), (6).
27
В.П. Бурский, И.И. Куракина
Решение задачи (4)-(6) ищем в виде ряда
u(r, t, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
um,n(r, t, ϕ). (20)
Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты, воспользуемся начальным
условием (5).
Рассмотрим следующую теорему (см. [1]).
Теорема 1. Произвольная функция w(r, ϕ) ∈ L2(K) может быть разложена в
ряд Дини
w(r, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[ζn,m cosnϕ + ξn,m sinnϕ]Jn(µ(n)
m r),
где коэффициенты разложения определяются по формулам
ζn,m =
2(µ(n)
m )2
[(µ(n)
m )2[J ′ν(µ
(n)
m )]2 + ((µ(n)
m )2 − ν2)[Jν+1(µ
(n)
m )]2]
×
×
∫ 2π
0
∫ 1
0
rw(r, ϕ) cos nϕJn(µ(n)
m r) dr dϕ,
ξn,m =
2(µ(n)
m )2
[(µ(n)
m )2[J ′ν(µ
(n)
m )]2 + ((µ(n)
m )2 − ν2)[Jν+1(µ
(n)
m )]2]
×
×
∫ 2π
0
∫ 1
0
rw(r, ϕ) sinnϕJn(µ(n)
m r) dr dϕ.
Запишем (20) при t = 0 :
u(r, ϕ, 0) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[An,m cosnϕ + Bn,m sinnϕ]Jn(µ(n)
m r) = u0(r, ϕ).
По теореме 1 функция u0(r, ϕ) представима в виде
u0(r, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]Jn(µ(n)
m r),
где
Ãn,m =
2(µ(n)
m )2
[(µ(n)
m )2[J ′ν(µ
(n)
m )]2 + ((µ(n)
m )2 − ν2)[Jν+1(µ
(n)
m )]2]
×
×
∫ 2π
0
∫ 1
0
ru0(r, ϕ) cos nϕJn(µ(n)
m r)dr dϕ (21)
B̃n,m =
2(µ(n)
m )2
[(µ(n)
m )2[J ′ν(µ
(n)
m )]2 + ((µ(n)
m )2 − ν2)[Jν+1(µ
(n)
m )]2]
×
28
Эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности
×
∫ 2π
0
∫ 1
0
ru0(r, ϕ) sin nϕJn(µ(n)
m r)dr dϕ. (22)
Получаем:
u|t=o =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[An,m cosnϕ + Bn,m sinnϕ]Jn(µ(n)
m r) =
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]Jn(µ(n)
m r).
Откуда следует, что An,m = Ãn,m, Bn,m = B̃n,m.
Значит,
un,m(r, t, ϕ) = [Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]e−(µ
(n)
m )2tJn(µ(n)
m r).
Таким образом, решение задачи (4), (5), (6) имеет вид:
u(r, t, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
un,m(r, t, ϕ) =
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]e−(µ
(n)
m )2tJn(µ(n)
m r), (23)
где µ
(n)
m – вещественные корни уравнения αnJn(λ) + λβnJ ′n(λ) = 0; Ãn,m, B̃n,m опре-
деляются по формулам (21),(22) соответственно.
4. Принадлежность ряда Фурье-Дини пространству Hk
r (K). В дальней-
шем нам понадобится следующая теорема (см. [1]).
Теорема 2.Число нулей функции z−νJν(z), лежащих между мнимой осью и
прямой Re z = mπ + (1
2Re ν + 1
4)π, при достаточно больших значениях m равно n,
и все нули функции Jν(z) лежат в полосе |Im z| < Aν , где Aν− ограничено, если ν
– ограничено.
Пусть λ
(n)
1 , λ
(n)
2 ...λ
(n)
m+1 – нули функции aJn(z) + zJ ′n(z). Тогда, согласно теореме,
корни λ
(n)
1 , λ
(n)
2 ...λ
(n)
m лежат в полосе между мнимой осью и прямой Re z = mπ +
(1
2Re n + 1
4)π. Следовательно, корень λ
(n)
m+1 лежит между прямыми Re z = mπ +
(1
2n + 1
4)π и Re z = (m + 1)π + (1
2n + 1
4)π. То есть выполнено условие
mπ + (
1
2
n +
1
4
)π ≤ Re λ
(n)
m+1 ≤ (m + 1)π + (
1
2
n +
1
4
)π.
Разделим неравенство на m + 1 + n
2
mπ + (1
2n + 1
4)π
m + 1 + n
2
≤ Re λ
(n)
m+1
m + 1 + n
2
≤ (m + 1)π + (1
2n + 1
4)π
m + 1 + n
2
,
29
В.П. Бурский, И.И. Куракина
и при фиксированном n перейдем к пределу при m → ∞. Получим: Re λ
(n)
m+1 ∼
(m + 1 + n
2 )π, Re λ
(n)
m ∼ (m + n
2 )π.
Т.о. доказано следующее
Утверждение 1. Re µ
(n)
m ∼ (m + n
2 )π. 2
Будем использовать следующее весовое пространство Соболева Hk
r (K), где мы
рассматриваем норму, заданную следующим образом:
‖f‖2
Hk
r (K) =
∑
|α|≤k
‖Dαf‖2
L2,r(K) , ‖g‖2
L2,r(K) =
∫
K
|g(r, ϕ)|2 r dr dϕ.
Рассмотрим вопрос принадлежности решения задачи (4), (5), (6) пространству
Hk
r (K).
Теорема 3. Для того, чтобы произвольная функция f(r, ϕ) принадлежала про-
странству Соболева Hk
r (K), k = 0, 1, 2... (r – вес, K – круг) необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялась оценка
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|fnm|2 + |gnm|2) < ∞, (24)
где
f(r, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[fnm cosnϕ + gnm sinnϕ]Jn(µ(n)
m r),
fnm = Ãn,m, gnm = B̃n,m; Ãn,m, B̃n,m определяются по формулам (21), (22) соот-
ветственно.
Доказательство. Пусть функция f(r, ϕ) принадлежит пространству Соболева
Hk
r (K) :
‖f‖2
Hk
r (K) =
∑
|α|≤k
‖Dαf‖2
L2,r(K) < ∞. (25)
Покажем эквивалентность нормы (25) и нормы, заданной формулой (24):
‖f‖2
Hk
r (K) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|fnm|2 + |gnm|2).
Покажем эквивалентность норм при k = 1.
f(r, ϕ) ∈ H1
r (K) : ‖f‖2
H1
r (K) = ‖f‖2
L2,r(K) + ‖5f‖2
L2,r(K) =
= ‖f‖2
L2,r(K) +
∥∥f ′ϕ
∥∥2
L2,r(K)
+
∥∥f ′r
∥∥2
L2,r(K)
.
Итак,
‖f‖2
L2,r(K) =
∫ 2π
0
∫ 1
0
r|f(r, ϕ)|2dr dϕ =
30
Эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности
=
∫ 2π
0
∫ 1
0
r
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[fnm cosnϕ + gnm sinnϕ]Jn(µ(n)
m r)×
×
∞∑
p=0
∞∑
l=1
[fpl cos pϕ + gpl sin pϕ]Jp(µ
(p)
l r)dr dϕ =
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[fnmfnm
∫ 2π
0
cos2 nϕdϕ + gnmgnm
∫ 2π
0
sin2 nϕdϕ]×
×
∫ 1
0
rJ2
n(µ(n)
m r)dr =
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
π[|fnm|2 + |gnm|2]
∫ 1
0
rJ2
n(µ(n)
m r)dr.
По утверждению 1 µ
(n)
m = (m+n
2 )π+o(m+n
2 ) = (m+n
2 )πα(m+n
2 ), где α(m+n
2 ) → 1
при (m + n
2 ) →∞.
Используя свойства ортогональности функций Бесселя и формулу для рекур-
рентного соотношения между функциями Бесселя и их производными ([1]), получим∫ 1
0 rJ2
n(µ(n)
m r)dr ≤ C̃0.
Таким образом,
‖f‖2
L2,r(K) ≤ C̃0
∞∑
n=0
∞∑
m=1
π[|fnm|2 + |gnm|2] ≤ C0
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[|fnm|2 + |gnm|2].
Аналогично получим:
∥∥f ′ϕ
∥∥2
L2,r(K)
≤ C1
∞∑
n=0
∞∑
m=1
n2[|fnm|2 + |gnm|2],
∥∥f ′r
∥∥2
L2,r(K)
≤ C2
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(2m + n)2[|fnm|2 + |gnm|2].
Итак,
‖f‖2
H1
r (K) = ||f ||2L2,r(K) +
∥∥f ′ϕ
∥∥2
L2,r(K)
+
∥∥f ′r
∥∥2
L2,r(K)
≤
≤ max{C0, C1, C2}
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + (2m + n)2)[|fnm|2 + |gnm|2] ≤
≤ C
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(|fnm|2 + |gnm|2).
Для доказательства эквивалентности норм нужно показать обратное неравен-
ство:
‖f‖2
H1
r (K) ≥ K̃
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(|fnm|2 + |gnm|2).
31
В.П. Бурский, И.И. Куракина
Оценим снизу выражения ‖f‖2
L2,r(K) ,
∥∥f ′ϕ
∥∥2
L2,r(K)
, ‖f ′r‖2
L2,r(K) :
‖f‖2
L2,r(K) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
π
(
J2
n(µ(n)
m ) + J2
n+1(µ
(n)
m )
2
− nJn(µ(n)
m Jn+1(µ
(n)
m )
(πm + π n
2 )α(m + n
2 )
)
[|fnm|2 + |gnm|2] ≥
≥
∞∑
n=0
∞∑
m=1
π
(
1− n
(πm + π n
2 )α(m + n
2 )
)
J2
n(µ(n)
m ) + J2
n+1(µ
(n)
m )
2
[|fnm|2 + |gnm|2] ≥
≥ K1
∞∑
n=0
∞∑
m=1
min
(
J2
n(µ(n)
m ) + J2
n+1(µ
(n)
m )
2
)
[|fnm|2 + |gnm|2] =
= K2
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[|fnm|2 + |gnm|2].
Аналогично получим оценки
∥∥f ′ϕ
∥∥2
L2,r(K)
≥ K3
∞∑
n=0
∞∑
m=1
n2[|fnm|2 + |gnm|2],
∥∥f ′r
∥∥2
L2,r(K)
≥ K4
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(2m + n)2[|fnm|2 + |gnm|2].
Таким образом, получили
‖f‖2
H1
r (K) ≥ K̃
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(|fnm|2 + |gnm|2).
Итак, показана эквивалентность норм (24) и (25) при k = 1, f(r, ϕ) ∈ H1
r (K).
Далее по индукции. Предположим, что утверждение об эквивалентности норм
(24) и (25) верно при k = j и докажем, что эквивалентность имеет место при k = j+1.
Если f(r, ϕ) ∈ Hj+1
r (K), то
‖f‖2
Hj+1
r (K)
= ‖f‖2
L2,r(K) + . . . +
∥∥∥5(j)f
∥∥∥
2
L2,r(K)
+
∥∥∥5(j+1)f
∥∥∥
2
L2,r(K)
=
= ‖f‖2
L2,r(K) + . . . +
∥∥∥5(j)f
∥∥∥
2
L2,r(K)
+
∥∥∥5(5(j)f)
∥∥∥
2
L2,r(K)
.
Исходя из предположения индукции и по доказанному ранее при k = 1, получаем
требуемое утверждение.
Из эквивалентности норм (24) и (25) следует, что величина, заданная формулой
(24), конечна.
Теорема 3 доказана. ¤
32
Эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности
5. Априорная оценка решения задачи. Разложение функции из начального
условия (5) в ряд Дини имеет вид
u0(r, ϕ) =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]Jn(µ(n)
m r),
где Ãn,m, B̃n,m определяются по формулам (21), (22) соответственно.
Согласно теореме 3, для того, чтобы функция u0(r, ϕ) принадлежала простран-
ству Hk
r (K) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ‖u0‖2
Hk
r (K) =∑∞
n=0
∑∞
m=1(1 + n2 + m2)k(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2) < ∞.
Решение задачи (4), (5), (6) u(r, t, ϕ) ∈ Hk
r (Kt) (где Kt – область при фиксиро-
ванном t) тогда и только тогда, когда
‖u‖2
Hk
r (Kt)
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|f̃n,m|2 + |g̃n,m|2) < ∞,
где
f̃n,m = Ãn,me−(µ
(n)
m )2t, g̃n,m = B̃n,me−(µ
(n)
m )2t.
Оценим норму функции u(r, t, ϕ) через норму функции u0(r, ϕ).
‖u‖2
Hk
r (Kt)
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|f̃n,m|2 + |g̃n,m|2) =
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|Ãn,me−(µ
(n)
m )2t|2 + |B̃n,me−(µ
(n)
m )2t|2) ≤
≤
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2) = ‖u0‖2
Hk
r (K) .
Таким образом, доказана
Теорема 4. Для решения u(r, t, ϕ) задачи (4), (5), (6) для каждого t ∈ [0, T ]
выполняется следующая априорная оценка:
‖u‖2
Hk
r (Kt)
≤ C̃ ‖u0‖2
Hk
r (K) . (26)
Замечание 1. Отметим, что при t > 0 конечной будет норма решения u в про-
странстве Hk
r (K) для любого k. Действительно, в силу утверждения 1 для t > 0 и
для любого k имеем e−(µ
(n)
m )2t(1+n2+m2)k → 0 при (1+n2+m2) →∞. Это означает,
что решение u− бесконечно дифференцируемая функция по x для t > 0.
В дальнейшем нам понадобится следующее
33
В.П. Бурский, И.И. Куракина
Определение 1. Пространство H l,k
r (QT ), l, k ∈ Z+ определяется как множество
всех функций f(t, x) из L2(QT ), для которых
‖f‖2
Hl,k
r (QT )
=
l∑
q=0
∫ T
0
∥∥∥∥
∂qf
∂tq
∥∥∥∥
2
Hk
r (Kt)
dt < ∞.
Продифференцируем теперь ряд (23) по t 1, 2 ... l раз:
u′t =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−(µ(n)
m )2)[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]e−(µ
(n)
m )2tJn(µ(n)
m r),
u′′tt =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−(µ(n)
m )2)2[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]e−(µ
(n)
m )2tJn(µ(n)
m r), . . . ,
u
(l)
t =
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(−(µ(n)
m )2)l[Ãn,m cosnϕ + B̃n,m sinnϕ]e−(µ
(n)
m )2tJn(µ(n)
m r).
И оценим полученные выражения:
∥∥u′t
∥∥2
Hk
r (Kt)
=
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(| − (µ(n)
m )2|2||e−(µ
(n)
m )2t|2(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2) ≤
(вспоминая, что µ
(n)
m ∼ (m + n
2 )π)
≤ c̃1
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k
(
m +
n
2
)4
(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2) ≤
(учитывая, что
(
m + n
2
)4 ≤ c̃2(1 + n2 + m2)2, n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .)
≤ C1
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+2)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2). (27)
Действуя аналогично, получим, что
∥∥u′′tt
∥∥2
Hk
r (Kt)
≤ C2
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+4)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2), . . . , (28)
∥∥∥u
(l)
t
∥∥∥
2
Hk
r (Kt)
≤ Cl
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+2l)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2). (29)
Оценим сумму норм решения и полученных выше выражений:
l∑
q=0
∥∥∥u
(q)
t
∥∥∥
2
Hk
r (Kt)
≤ C0
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)k(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2)+
34
Эквивариантная смешанная задача для уравнения теплопроводности
+C1
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+2)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2)+
+C2
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+4)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2) + . . .+
+Cl
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+2l)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2) ≤
≤ M
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+2l)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2). (30)
Проинтегрируем (30) в пределах от 0 до T:
∫ T
0
l∑
q=0
∥∥∥u
(q)
t
∥∥∥
2
Hk
r (Kt)
≤ MT
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1 + n2 + m2)(k+2l)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2). (31)
В левой части (31) получили норму функции u во введенном в определении 1
пространстве H l,k
r (QT ).
‖u‖2
Hl,k
r (QT )
=
∫ T
0
l∑
q=0
∥∥∥u
(q)
t
∥∥∥
2
Hk
r (Kt)
≤ MT
∞∑
n=0
∞∑
m=1
(1+n2 +m2)(k+2l)(|Ãn,m|2 + |B̃n,m|2).
Ниже будем полагать k = 2l. Введем в рассмотрение пространство H l,2l
r (QT ).
Нами доказана следующая
Теорема 5. Для решения u(r, t, ϕ) задачи (4), (5), (6) в цилиндре QT выполня-
ется следующая априорная оценка с некоторой константой C(T )
‖u‖2
Hl,2l
r (QT )
≤ C(T ) ‖u0‖2
H2l
r (K) . (32)
Из априорной оценки (32) следует существование, единственность и непрерывная
зависимость решения задачи от начальных данных.
Таким образом, показана корректность по Адамару задачи (4), (5), (6) в про-
странстве H l,2l
r .
Замечание 2. Отметим также, что при t > 0 конечной будет также норма любой
производной по t решения u в пространстве Hk
r (K) для любого k. Действительно,
применим рассуждения замечания 1 к соотношению (30) и получим, что функция
u
(q)
t − бесконечно дифференцируемая функция по x. Т.е., решение u− бесконечно
дифференцируемая функция по x, t внутри цилиндра QT .
1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – Т. 2. – М.: Наука, 1974.
2. Бурский В.П. Об эквивариантных расширениях дифференциального оператора на примере
оператора Лапласа в круге // Укр. матем. журнал. – Т. 51. – 1999. – № 2. – С. 158-169.
35
В.П. Бурский, И.И. Куракина
3. Бурский В.П., Штепина Т.В. О спектре оператора эквивариантной граничной задачи с неком-
мутативной группой на примере уравнения Пуассона в шаре // Укр.матем.журнал. – Т. 52. –
2000. – № 11. – С. 1473-1483.
4. Ватсон Г. Теория бесселевских функций. – Т. 1. – М.: ИЛ, 1949.
5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981.
6. Кочубей А.Н. О симметрических операторах, коммутирующих с семейством унитарных опе-
раторов // Функциональный анализ и его приложения. – Т. 13. – № 4. – 1979. – С. 77-78.
V.P. Burskii, I. I. Kurakina
General equivariant mixed problem for the heat equation in the circular cylinder.
For the heat equation in the finite cylinder over the unit circle a mixed problem with the initial condition
and an arbitrary boundary value problem which is invariant at general rotation is considered. An explicit
formula for the solution in a form of Fourier-Dini series is counted, some smooth properties of such
solution are studied, an a priori estimates in the positive scale of weight Sobolev spaces are obtained.
Keywords: heat equation, mixed problem, equivariant boundary value problem.
В.П. Бурський, I. I. Куракiна
Загальна еквiварiантна мiшана задача для рiвняння теплопровiдностi в круговому ци-
лiндрi.
Для рiвняння теплопровiдностi в цилiндрi над кругом розглянуто мiшану задачу iз початковою та
загальною поворотно-iнварiантною граничною умовою. Отримано формулу для розв’язку у виглядi
ряду Фур’є-Дiнi, дослiджено гладкi властивостi такого розв’язку, отримано апрiорну оцiнку в шкалi
позитивних вагових соболевських просторiв.
Ключовi слова: рiвняння теплопровiдностi, мiшана задача, еквiвалентна гранична задача.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
Донецкий национальный ун-т
v30@dn.farlep.net
inna-cin@mail.ru
Получено 01.02.12
36
|