Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка

В настоящей работе рассматривается проблема разрешимости неоднородной задачи Неймана в ограниченной области для скалярного неправильно эллиптического дифференциального уравнения с комплексными коэффициентами. Рассмотрен случай общего уравнения второго порядка без младших членов с постоянными комплек...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Бурский, В.П., Лесина, Е.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124073
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Бурский, Е.В. Лесина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 37-44. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124073
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1240732017-09-20T03:03:40Z Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка Бурский, В.П. Лесина, Е.В. В настоящей работе рассматривается проблема разрешимости неоднородной задачи Неймана в ограниченной области для скалярного неправильно эллиптического дифференциального уравнения с комплексными коэффициентами. Рассмотрен случай общего уравнения второго порядка без младших членов с постоянными комплексными коэффициентами в модельной области – единичном круге. Решен вопрос характеризации классов граничных данных, для которых существует единственное решение в обычном пространстве Соболева. Такими классами в типичном случае являются пространства функций с экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье. У роботi розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з постiйними комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено рiвняння другого порядку без молодших членiв у модельнiй областi – в одиничному колi. Доведено, що класами граничних даних, для яких задача має єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є. The solvability of inhomogeneous Neumann problem in bounded domain for scalar improperly elliptic differential equation with constant complex coefficients is investigated. It turned out that this problem has a unique solution in Sobolev space for special classes of Dirichlet data belonging to the spaces of functions with the exponential decreasing of the Fourier coefficients. 2012 Article Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Бурский, Е.В. Лесина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 37-44. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124073 517.95 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В настоящей работе рассматривается проблема разрешимости неоднородной задачи Неймана в ограниченной области для скалярного неправильно эллиптического дифференциального уравнения с комплексными коэффициентами. Рассмотрен случай общего уравнения второго порядка без младших членов с постоянными комплексными коэффициентами в модельной области – единичном круге. Решен вопрос характеризации классов граничных данных, для которых существует единственное решение в обычном пространстве Соболева. Такими классами в типичном случае являются пространства функций с экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье.
format	Article
author	Бурский, В.П. Лесина, Е.В.
spellingShingle	Бурский, В.П. Лесина, Е.В. Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Бурский, В.П. Лесина, Е.В.
author_sort	Бурский, В.П.
title	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка
title_short	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка
title_full	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка
title_fullStr	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка
title_full_unstemmed	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка
title_sort	задача неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124073
citation_txt	Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка / В.П. Бурский, Е.В. Лесина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 37-44. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT burskijvp zadačanejmanadlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdka AT lesinaev zadačanejmanadlânepravilʹnoélliptičeskogouravneniâvtorogoporâdka
first_indexed	2025-07-09T00:48:18Z
last_indexed	2025-07-09T00:48:18Z
_version_	1837128324300668928
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24 УДК 517.95 c©2012. В.П. Бурский, Е.В. Лесина ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ НЕПРАВИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА В настоящей работе рассматривается проблема разрешимости неоднородной задачи Неймана в ограниченной области для скалярного неправильно эллиптического дифференциального уравне- ния с комплексными коэффициентами. Рассмотрен случай общего уравнения второго порядка без младших членов с постоянными комплексными коэффициентами в модельной области – единич- ном круге. Решен вопрос характеризации классов граничных данных, для которых существует единственное решение в обычном пространстве Соболева. Такими классами в типичном случае яв- ляются пространства функций с экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье. Ключевые слова: неправильно эллиптический дифференциальный оператор, весовое простран- ство Соболева, ряд Фурье, задача Неймана, символ дифференциального оператора. 1. Введение. В настоящее время граничные задачи для линейных эллипти- ческих уравнений и систем изучаются в современной литературе только для пра- вильно эллиптического случая, поскольку после примеров А.В. Бицадзе положение дел с граничными задачами для неправильно эллиптического случая представля- ется весьма туманным. Напомним, что еще в 1948г. А.В. Бицадзе привел пример неправильно эллиптического уравнения d2u/dz2 = 0, z = x1 + ix2, для которого однородная задача Дирихле в единичном круге K имеет счетное число линейно независимых полиномиальных решений uN (z) = (1 − zz) zN (см. [1]). Позже им же был найден еще один пример уравнения с тем же свойством, но уже с простыми нулями символа (см. [2]). В последней работе показано также, что задача Неймана в круге K ∂u ∂ν = t ∂u ∂t + t ∂u ∂t = 0, t = eiθ, так же, как и задача Дирихле, имеет счетное множество линейно независимых ре- шений вида u(z) = ψ(z)− z z z∫ 0 τ2ψ′(τ) dτ, где ψ(z) – произвольная в круге K аналитическая функция, которая непрерывна в K вместе с первой производной. В настоящей работе мы рассмотрим неоднородную задачу Неймана (см. ниже задачу (7)) для линейного неправильно эллиптического уравнения второго порядка (1) в модельной области – круге – и получим разрешимость этой задачи в обыч- ной соболевской шкале пространств, при этом правые части в граничных условиях должны быть из некоторого класса аналитических на ∂K функций. Граничные задачи для неправильно эллиптических уравнений в ограниченной области изучались в работе одного из авторов [7], где получен критерий фред- гольмовости общей дифференциальной граничной задачи для скалярного линейного 37 В.П. Бурский, Е.В. Лесина неправильно эллиптического уравнения любого порядка в ограниченной области с гладкой границей. Применение этого критерия к задаче Дирихле и задаче Неймана показывает их нефредгольмовость. Задача Дирихле изучалась нами в работе [8]. Изучение неоднородной задачи Неймана для неправильно эллиптических уравне- ний в известной нам литературе не предпринималось. В книге [6] один из авторов настоящей работы доказал критерий нарушения единственности (критерий непосто- янства) решения задачи Неймана в единичном круге для общего уравнения (1), и в его же работе [5], и там же в книге [6] анонсированы результаты о разрешимости задачи Неймана (7) в обычной соболевской шкале пространств и указан путь для их доказательства. В настоящей работе мы приводим доказательства результатов по разрешимости, исправляя ошибку в формулировках. Настоящая работа продолжает исследование некорректных граничных задач для неправильно эллиптических уравнений, начатое в статье [8], где нами была доказана разрешимость задачи Дирихле для этого же уравнения в обычной соболевской шка- ле пространств. В ней, в зависимости от свойств числа ϕ0 = ϕ2 − ϕ1, называемого углом между характеристиками уравнения (2), были рассмотрены три случая: 1) угол ϕ0 вещественен и π-рационален, т.е. ϕ0/π ∈ Q; 2) угол ϕ0 вещественен и π-иррационален; 3) угол ϕ0 невещественен. Случай 1) – это случай нарушения единственности решения задачи Дирихле [3], в этом случае имеется счетное число линейно независимых решений однородной за- дачи Дирихле. В случаях 2) и 3) пришлось вводить пространства аналитических правых частей для разрешимости в обычной соболевской шкале пространств, при- чем на свойства задачи Дирихле в случае 2), в отличие от случая 3), оказывали влияние теоретико-числовые свойства числа ϕ0, аналогично тому, как это происхо- дит со свойствами задачи Дирихле для гиперболического уравнения (2) с веществен- ными коэффициентами (см., например, [6]). Ниже мы убедимся, что этот эффект проявляется и при исследовании задачи Неймана. Напомним определение правильно эллиптического оператора. Линейный диф- ференциальный оператор L = ∑ \|α\|≤m aα(x)Dα называется эллиптическим в обла- сти Ω ⊆ Rn , если его старший символ l(x, ξ) = ∑ \|α\|=m aα(x)ξα 6= 0 для всех x ∈ Ω, ξ ∈ Rn \ {0}, и называется правильно (или собственно) эллиптическим в открытой или замкнутой области Ω ⊆ Rn, если m чётно, m = 2k, и для любого x ∈ Ω, для каждой пары линейно независимых действительных векторов ξ и η сре- ди корней полинома l(x, ξ + tη) от параметра t имеется ровно k корней t1+, t2+, ... , t k + с положительной мнимой частью Im t j + > 0 и k корней t 1−, t 2−, ... , t k− с отрицательной мнимой частью Im t j − < 0. Ясно, что каждый правильно эллиптический линейный дифференциальный опе- ратор – эллиптический. Отметим, что при n ≥ 3 каждый эллиптический линейный дифференциальный оператор является правильно эллиптическим, но при n = 2 это не так (пример: оператор Коши-Римана ∂/∂z̄ = (∂/∂x− i∂/∂y)/2), и что то же спра- 38 Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка ведливо для всех n в случае, когда коэффициенты оператора вещественны ([10], см. также [9]). 2. Постановка задачи. Для случая n = 2 мы будем рассматривать общее урав- нение второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами без младших членов aux1x1 + bux1x2 + cux2x2 = 0. (1) Раскладывая оператор в левой части на линейные множители, уравнение (1) можно записать в виде (a1 · ∇)(a2 · ∇) u = 0 с единичными комплексными векторами aj = (aj 1, a j 2), j = 1, 2, что позволяет при условии aj 2/aj 1 6= ±i перейти к виду Lu ≡ ( sinϕ1 ∂ ∂x1 + cos ϕ1 ∂ ∂x2 )( sinϕ2 ∂ ∂x1 + cosϕ2 ∂ ∂x2 ) u = 0, (2) где углы ϕ1 и ϕ2 – комплексные числа, определенные равенствами aj 2/aj 1 = − tg ϕj , это – углы наклона характеристик, а угол ϕ0 = ϕ2 − ϕ1 − угол между характери- стиками. Ниже мы будем находиться в предположениях ϕ1 6= ϕ2 и aj 2/aj 1 6= ±i, последнее из которых означает существование (комплексных) углов ϕj , поскольку неравенство q 6= ±i есть условие разрешимости уравнения tg φ = q. Невещественность чисел ϕ1 и ϕ2 означает, что исходное уравнение является эл- липтическим, то есть l(ξ) 6= 0 при ξ 6= 0, где l(ξ) = (ξ1 sinϕ1 +ξ2 cosϕ1) (ξ1 sinϕ2 + ξ2 cosϕ2) – символ нашего дифференциального оператора L. Под правильной эллип- тичностью понимается, что корни λ1, λ2 квадратного уравнения aλ2 + bλ + c = 0 имеют мнимые части противоположных знаков, а это эквивалентно тому, что ком- плексные углы ϕ1 и ϕ2 имеют мнимые части противоположных знаков, и, стало быть, они имеют мнимые части одного знака в неправильно эллиптическом случае. Для неправильно эллиптического уравнения (2) в единичном круге K мы будем изучать корректную разрешимость задачи Неймана, а именно, следуя определению корректности по Адамару линейной граничной задачи Lu = f, Bu\|∂Ω = g, укажем пространство B, для которого справедлива оценка ‖u‖S ≤ ‖f‖R + ‖g‖B (S, R, B – банаховы пространства решений и правых частей) с пространством Со- болева в качестве пространства S. 3. Метод исследования. В работе [4] получено условие связи следов решения уравнения (2) из обычных соболевских пространств, которое мы приводим ниже в виде следующей теоремы 1. 39 В.П. Бурский, Е.В. Лесина Теорема 1. Для того, чтобы функция u ∈ Hs(K) была решением задачи u\|∂K = ψ ∈ Hs− 1 2 (∂K), u′ν \|∂K = χ ∈ Hs− 3 2 (∂K) для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции P (x) =− l(ν(x))ψ(x) ∈ Hs− 1 2 (∂K), C(x) =l(ν(x))χ(x) + [(ν2 1 − ν2 2) sin(ϕ1 + ϕ2) + 2ν1ν2 cos(ϕ1 + ϕ2)]ψ′τ+ + [(ν2 2 − ν2 1) cos(ϕ1 + ϕ2)− 2ν1ν2 sin(ϕ1 + ϕ2)]ψ ∈ Hs− 3 2 (∂K) удовлетворяли условию ∫ ∂K [P (x)(−i〈ν, ξ〉) + C(x)] exp(−i〈x, ξ〉) dτ = 0 (3) ∀ξ ∈ Λ = {ξ ∈ C2 : l(ξ) = 0}. Здесь и ниже τ – натуральный параметр на ∂K, 〈x, ξ〉 = x1ξ1 + x2ξ2, x · η = x1η1 + x2η2. Позже, в работе [5], было показано, что равенство (3) эквивалентно паре условий ∫ ∂K [ u′ν∗ + ∆ 2 u′τ ] Q(x · ã1)dτ = 0, ∫ ∂K [ u′ν∗ − ∆ 2 u′τ ] Q(x · ã2)dτ = 0, где ã1 = (−a1 2, a 1 1), ã2 = (−a2 2, a 2 1) – направляющие векторы множества комплексных характеристических направлений Λj = { λãj \|λ ∈ C} , j = 1, 2, < ãj , aj >= 0, Λ = Λ1∪Λ2, ∆ = sinϕ0, векторные поля ∂ ∂τ и ∂ ∂ν∗ = l(ν) ∂ ∂ν− 1 2k [l(ν(τ))]′τ · ∂ ∂τ – производные по касательной и по конормали соответственно, k – кривизна кривой ∂K. Данная эквивалентность вместе с теоремой 1 гарантировала справедливость сле- дующей теоремы, доказанной в [5]. Теорема 2. Для того, чтобы функция u ∈ Hs(K) (s > 2) была решением задачи u′τ \|∂K = γ ∈ Hs− 3 2 (∂K), u′ν∗ \|∂K = κ ∈ Hs− 3 2 (∂K) для уравнения (2), необходимо и достаточно, чтобы функции γ и κ удовлетворяли интегральному равенству∫ ∂K [ κ− (−1)j ∆ 2 γ ] Q(x · ãj)dτ = 0, j = 1, 2, (4) с любым полиномом Q ∈ C[z]. При этом функция u восстанавливается с точно- стью до аддитивной постоянной. Таким образом, было получено другое условие связи следов решения, имеющее вид проблемы неопределенности некоторой проблемы моментов, свойства которой определяли свойства граничной задачи. 40 Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка В работе [8] изучалась следующая проблема моментов на границе круга: Для j = 1, 2, для двух заданных наборов чисел µj n, n = 0, 1, ..., найти функцию α из пространства H l(∂K), l ∈ R, такую, что ∫ ∂K α(τ) cosn(τ + ϕj) dτ = µj n. (5) Ниже перечислим необходимые обозначения и определения. Пусть M j l – под- пространство пространства H l(∂K), элементами которого являются функции α(τ), удовлетворяющие при всех k ∈ Z+ интегральному равенству ∫ ∂K α(τ)(x · ãj)kdτ = 0, j = 1, 2. Определение 1. Определим пространство Соболева Hm ρ (∂K) с весом ρ = ρ(n) для коэффициентов Фурье как пространство функций α(τ) = ∞∑ n=1 ( αC n cosnτ + αS n sinnτ ) , из L2(∂K) таких, что коэффициенты αC n , αS n разложения удовлетворяют условию ∞∑ n=1 (\|αC n \|2 + \|αS n \|2 ) ρ2(n) ( 1 + n2 )m < ∞. Замечание. В дальнейшем в качестве веса ρ(n) примем значение ρ = ρ(n) = en(\|Im(ϕ1+ϕ2)\|−\|Im(ϕ2−ϕ1)\|). Отметим, что \|Im(ϕ1 + ϕ2)\| − \|Im(ϕ2 − ϕ1)\| > 0 для неправильно эллиптическо- го уравнения (2). Пространство Hm ρ (∂K) с таким весом состоит из аналитических функций. Функции с экспоненциальным убыванием коэффициентов Фурье систе- матически используются в теории функций, начиная с работ С.Н. Берштейна (см., например, книгу [11]). Определение 2. Будем говорить, что векторы ã1, ã2 ∈ C2 обладают Hm ρ − H l- свойством на кривой ∂K, l 6 m, если для каждой функции α ∈ Hm ρ (∂K) существуют единственные функции α1 ∈ M1 l ⊂ H l(∂K), α2 ∈ M2 l ⊂ H l(∂K) такие, что имеет место представление α = α1 + α2 + const. Задача Hm ρ −H l на кривой ∂K (l 6 m) состоит в нахождении условий на векто- ры ã1, ã2 ∈ C2, необходимых и достаточных для Hm ρ − H l-свойства на кривой ∂K. Эти условия получены и подробно описаны в работе [8]. Результаты исследования отражены в теореме 3. Теорема 3. Пусть ϕ0 – вещественное ч исло, α ∈ Hm ρ (∂K) – любая функция, и пусть выполнено неравенство: ∃C0 > 0, ∀n ∈ N, \| sinnϕ0\| > C0n −µ. (6) Тогда существуют функции αj , j = 1, 2, из определения 2, принадлежащие про- странству Hm−µ(∂K). Если же ϕ0 – комплексное невещественное число и по- прежнему α ∈ Hm ρ (∂K), то существуют функции αj ∈ Hm(∂K). 41 В.П. Бурский, Е.В. Лесина 4. Разрешимость задачи Неймана. Рассмотрим задачу Неймана u′ν∗ \|∂K = κ (7) для уравнения (2) в пространстве Соболева Hs(K)(= W s 2 (K)), s > 2, где K = {x ∈ R2 : \|x\| < 1} – единичный круг с границей ∂K, функция κ ∈ Hs− 3 2 (∂K), и выясним, для каких классов граничных данных такая задача имеет единственное решение. Сформулируем и докажем результат, отражающий связь свойств проблемы мо- ментов (5) с разрешимостью задачи (2), (7) для вещественного ϕ0. Отметим, что, как показано в работе [5] (см. также [6]), π-рациональность угла ϕ0 равносильна су- ществованию непостоянного полиномиального решения однородной задачи (2), (7), причем, если существует одно такое решение, то существует счетный набор линейно независимых полиномиальных решений (возрастающей степени). Теорема 4. Пусть число ϕ0 вещественно и π-иррационально. При наличии H s− 3 2 ρ − Hs−µ− 3 2 -свойства на границе ∂K круга у векторов ã1, ã2 ∈ C2 решение u(x) задачи (7) с κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K) для уравнения (2) существует, единственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит пространству Hs−µ(K). Доказательство. Ввиду свойства H s− 3 2 ρ −Hs−µ− 3 2 векторов ã1, ã2 всякая функ- ция κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K) представима в виде суммы κ = v1 + v2, где vj ∈ M j s−µ− 3 2 ⊂ Hs−µ− 3 2 (∂K), j = 1, 2. Нам необходимо по известной функции κ построить функ- цию γ таким образом, чтобы было выполнено интегральное равенство (4) из тео- ремы 2. Полагая γ = 2 ∆ (2v1 − κ) и подставляя разложение κ = v1 + v2, получим: γ = 2 ∆ (v1 − v2). Убедимся, что при таком выборе γ и κ выполняется равенство (4). В самом деле, при j = 1 имеем: ∫ ∂K [ κ + ∆ 2 γ ] Q(x · ã1)dτ = = ∫ ∂K ( v1 + v2 + ∆ 2 · 2 ∆ (v1 − v2))Q(x · ã1 ) dτ = 2 ∫ ∂K v1 ·Q(x · ã1)dτ = 0. Ясно, что равенство нулю интеграла достигается в силу принадлежности v1 ∈ M1 s−µ− 3 2 . Далее, при j = 2 получаем: ∫ ∂K [ κ− ∆ 2 γ ] Q(x · ã2) dτ = = ∫ ∂K (v1 + v2 − ∆ 2 · 2 ∆ (v1 − v2))Q(x · ã2) dτ = 2 ∫ ∂K v2 ·Q(x · ã2) dτ = 0, поскольку v2 ∈ M2 s−µ− 3 2 . Отметим, что, ввиду очевидных вложений, κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K) ⊂ Hs− 3 2 (∂K) ⊂ Hs−µ− 3 2 (∂K). Кроме того, γ ∈ Hs−µ− 3 2 (∂K), так как имеет место представление γ = 2 ∆ (v1 − v2), где vj ∈ M j s−µ− 3 2 ⊂ Hs−µ− 3 2 (∂K), j = 1, 2. Итак, обе функции γ и κ принадлежат пространству Hs−µ− 3 2 (∂K) и удовлетворя- ют равенству (4). Следовательно, для этих функций справедлива теорема 2, а это, 42 Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка в свою очередь, означает, что существует единственное решение u(x) ∈ Hs−µ(K) задачи u′τ \|∂K = γ ∈ Hs−µ− 3 2 (∂K), u′ν∗ \|∂K = κ ∈ Hs−µ− 3 2 (∂K) с двумя граничными условиями для уравнения (2). Таким образом, функция u(x) удовлетворяет исходному уравнению и каждому из граничных условий, в частности, условию Неймана u′ν∗ \|∂K = κ. Значит, существует единственное (с точностью до аддитивной постоянной) решение u(x) ∈ Hs−µ(K) задачи (2), (7). Теорема доказана. Теорема 5. Пусть ϕ0 невещественно. Если векторы ã1, ã2 ∈ C2 обладают H s− 3 2 ρ − Hs− 3 2 -свойством на границе ∂K круга, то решение u(x) задачи (7) с κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K) для уравнения (2) существует, единственно (с точностью до адди- тивной постоянной) и принадлежит пространству Hs(K). Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы с той разни- цей, что в этом случае µ = 0. Справедлива и обратная теорема. Теорема 6. Пусть ϕ0 невещественно. Если решение u(x) задачи (7) с κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K) для уравнения (2) существует, единственно (с точностью до аддитив- ной постоянной) и принадлежит пространству Hs(K), то векторы ã1, ã2 ∈ C2 обладают H s− 3 2 ρ −Hs− 3 2 -свойством на границе ∂K круга. Доказательство сразу следует из теоремы 2. Действительно, если нам дана про- извольная функция κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K), s ≥ 2, то мы по ней строим решение задачи Неймана u ∈ Hs(K), которое имеет след ψ = u\|∂K ∈ Hs−1/2(∂K), и ее производная γ = ψ′ вместе с функцией κ должна, по теореме 2, удовлетворять равенствам (4), что и означает H s− 3 2 ρ −Hs− 3 2 -свойство на границе ∂K круга. Объединяя утверждения теорем 3, 4 и 5, получим основной результат в виде теорем 7 и 8, отвечающих случаям 2) и 3). Теорема 7. Пусть ϕ0 вещественно и π-иррационально, κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K) и пусть выполнено неравенство (6). Тогда решение задачи (2), (7) существует, един- ственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит пространству Hs−µ(K). Теорема 8. Если ϕ0 – невещественное число и κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K), то решение за- дачи (2), (7) существует, единственно (с точностью до аддитивной постоянной) и принадлежит пространству Hs(K). В самом деле, если ϕ0 – вещественное и π-иррациональное (невещественное) чис- ло и κ ∈ H s− 3 2 ρ (∂K), то, ввиду теоремы 3, слагаемые αj ∈ Hs−µ− 3 2 (∂K)(Hs− 3 2 (∂K)), j = 1, 2, что означает (в смысле определения 2), что векторы ã1, ã2 ∈ C2 обладают H s− 3 2 ρ − Hs−µ− 3 2 (H s− 3 2 ρ − Hs− 3 2 )-свойством на кривой ∂K. Но тогда из теоремы 4 следует существование, единственность и принадлежность решения u(x) задачи (2), (7) пространству Hs−µ(K) (Hs(K)). 43 В.П. Бурский, Е.В. Лесина 1. Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. – 3, № 6. – 1948. – С. 211-212. 2. Бицадзе А.В. Некоторые классы дифференциальных уравнений с частными производными. – М.: Наука. – 1981. – 448 с. 3. Бурский В.П. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для эллиптических си- стем в круге // Мат. заметки. – 48, № 3. – 1990. – C. 32-36. 4. Бурский В.П. О решениях задачи Дирихле для эллиптических систем в круге // Укр. мат. журнал. – 44, № 10. – 1992. – С. 1307-1313. 5. Бурский В.П. О краевых задачах для эллиптического уравнения с комплексными коэффици- ентами и одной проблеме моментов // Укр. мат. журнал. – 45, № 11. – 1993. – С. 1476-1483. 6. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравне- ний. – Киев: Наукова думка. – 2002. – 316 с. 7. Бурский В.П. Условия регулярности общей дифференциальной граничной задачи для непра- вильно эллиптических уравнений // Укр. мат. журнал. – 62, № 6. – 2010. – С.754-761. 8. Бурский В.П., Кириченко Е.В. О задаче Дирихле для неправильно эллиптического уравнения // Укр. мат. журнал. – 63, № 2. – 2011. – С. 156-164. 9. Лионc Ж.-М., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир. – 1971. – 372 с. 10. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференци- альных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям // Укр. мат. журнал. – 5, № 2. – 1953. – C. 123-151. 11. Мандельбройт С. Квазианалитические классы функций. – ОНТИ НКТП СССР, Ленинград- Москва, 1937. V.P. Burskii, Ye.V. Lesina The Neumann problem for improperly elliptic second-order equation. The solvability of inhomogeneous Neumann problem in bounded domain for scalar improperly elliptic differential equation with constant complex coefficients is investigated. It turned out that this problem has a unique solution in Sobolev space for special classes of Dirichlet data belonging to the spaces of functions with the exponential decreasing of the Fourier coefficients. Keywords: improperly elliptic differential operator, weight Sobolev space, Fourier series, Neumann problem, symbol of differential operator. В.П. Бурський, Є.В. Лесiна Задача Неймана для неправильно елiптичного рiвняння другого порядку. У роботi розглядається проблема розв’язностi неоднорiдної задачi Неймана в обмеженiй областi для скалярного неправильно елiптичного диференцiального рiвняння з постiйними комплексними коефiцiєнтами. Дослiджено рiвняння другого порядку без молодших членiв у модельнiй областi – в одиничному колi. Доведено, що класами граничних даних, для яких задача має єдиний розв’язок у просторi Соболєва, є простори функцiй з експоненцiальним спаданням коефiцiєнтiв Фур’є. Ключовi слова: неправильно елiптичний диференцiальний оператор, ваговий простiр Соболєва, ряд Фур’є, задача Неймана, символ диференцiального оператора. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк burskii@iamm.ac.donetsk.ua lesina@bk.ru Получено 27.03.12 44

Задача Неймана для неправильно эллиптического уравнения второго порядка

Institution

Ähnliche Einträge