Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей
Доведено теорему про будову iдемпотентiв напiвгрупи вiдповiдностей скiнченної групи, зокрема, обчислено кiлькiсть iдемпотентiв напiвгруп вiдповiдностей циклiчної групи та елементарної абелевої групи....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124076 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей / О.Г. Ганюшкін, Т.В. Турка // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 68-77. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124076 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240762017-09-20T03:03:46Z Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей Ганюшкін, О.Г. Турка, Т.В. Доведено теорему про будову iдемпотентiв напiвгрупи вiдповiдностей скiнченної групи, зокрема, обчислено кiлькiсть iдемпотентiв напiвгруп вiдповiдностей циклiчної групи та елементарної абелевої групи. Доказана теорема о строении идемпотентов полугруппы соответствий конечной группы, в частности, вычислено количество идемпотентов полугрупп соответствий циклической группы и элементарной абелевой группы. The theorem about of the structure of idempotents of semigroups of correspondence of the finite group has been proved and the amount of idempotents of semigroups of correspondence cyclic and elementary abelian groups has been calculated. 2012 Article Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей / О.Г. Ганюшкін, Т.В. Турка // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 68-77. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124076 512.53 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доведено теорему про будову iдемпотентiв напiвгрупи вiдповiдностей скiнченної групи, зокрема, обчислено кiлькiсть iдемпотентiв напiвгруп вiдповiдностей циклiчної групи та елементарної абелевої групи. |
| format |
Article |
| author |
Ганюшкін, О.Г. Турка, Т.В. |
| spellingShingle |
Ганюшкін, О.Г. Турка, Т.В. Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ганюшкін, О.Г. Турка, Т.В. |
| author_sort |
Ганюшкін, О.Г. |
| title |
Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей |
| title_short |
Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей |
| title_full |
Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей |
| title_fullStr |
Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей |
| title_full_unstemmed |
Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей |
| title_sort |
про ідемпотенти напівгрупи відповідностей |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124076 |
| citation_txt |
Про ідемпотенти напівгрупи відповідностей / О.Г. Ганюшкін, Т.В. Турка // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 68-77. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT ganûškínog proídempotentinapívgrupivídpovídnostej AT turkatv proídempotentinapívgrupivídpovídnostej |
| first_indexed |
2025-07-09T00:48:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:48:40Z |
| _version_ |
1837128347931377664 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 512.53
c©2012. О.Г. Ганюшкiн, Т.В. Турка
ПРО IДЕМПОТЕНТИ НАПIВГРУПИ ВIДПОВIДНОСТЕЙ
Доведено теорему про будову iдемпотентiв напiвгрупи вiдповiдностей скiнченної групи, зокрема,
обчислено кiлькiсть iдемпотентiв напiвгруп вiдповiдностей циклiчної групи та елементарної абеле-
вої групи.
Ключовi слова: iдемпотент, напiвгрупа вiдповiдностей.
1. Вступ. Нехай G – унiверсальна алгебра. Якщо пiдалгебру з G×G розглядати
як бiнарне вiдношення на G, то множина S(G) всiх пiдалгебр з G×G є напiвгрупою
вiдносно деморганiвського добутку вiдношень. Напiвгрупа S(G) називається напiв-
групою вiдповiдностей алгебри G.
Задачу вивчення напiвгруп вiдповiдностей поставив ще в кiнцi 60-х рокiв мину-
лого столiття вiдомий математик Курош О.Г. (див. [1]).
2. Iдемпотенти напiвгрупи вiдповiдностей. У роботi [2] показано, що коли
G – група, то елементи напiвгрупи S(G) можна ототожнити з п’ятiрками вигляду
(H1, G1,H2, G2, ϕ), де H1 ≤ G1 < G, H2 ≤ G2 < G, а ϕ – iзоморфiзм факторгрупи
G1/H1 на факторгрупу G2/H2. При цьому вiдповiдний елемент напiвгрупи S(G) –
як пiдмножина iз G×G – має вигляд
(H1, G1,H2, G2, ϕ) =
⋃
a∈G1
(aH1 × ϕ(aH1)).
Множини вигляду aH1 × bH2, де bH2 = ϕ(aH1), будемо називати блоками еле-
мента A = (H1, G1,H2, G2, ϕ).
Теорема 1. Нехай G – група. Елемент A = (H1, G1,H2, G2, ϕ) напiвгрупи вiд-
повiдностей S(G) буде iдемпотентом тодi i тiльки тодi, коли
G2 ∩H1 = H1 ∩H2 = G1 ∩H2,
i для класiв сумiжностi G1 за H1 та G2 за H2 iснує спiльна система представ-
никiв, яку iзоморфiзм ϕ : G1/H1 → G2/H2 зберiгає (тобто ϕ(aiH1) = aiH2 для
i = 1, . . . , k).
Доведення. Необхiднiсть. Нехай A = (H1, G1, H2, G2, ϕ) – iдемпотент. Нехай
G1 = b′1H1 + b′2H1 + . . . + b′kH1,
G2 = b′′1H2 + b′′2H2 + . . . + b′′kH2.
(1)
Можна вважати, що
A = (b′1H1, b
′′
1H2) + (b′2H1, b
′′
2H2) + . . . + (b′kH1, b
′′
kH2). (2)
68
Про iдемпотенти напiвгрупи вiдповiдностей
Оскiльки (g1H1, g2H2) ◦ (g′1H1, g
′
2H2) ⊆ (g1H1, g
′
2H2), то з iдемпотентностi A вип-
ливає, що (b′iH1, b
′′
i H2) ◦ (b′iH1, b
′′
i H2) = (b′iH1, b
′′
i H2). Тому b′′i H2 ∪ b′iH1 6= ∅.
Нехай ai ∈ b′′i H2 ∩ b′iH1. Тодi b′′i H2 = aiH2 i b′iH1 = aiH1.
Розклади (1) набувають вигляду
Gi = a1Hi + a2Hi + . . . + akHi, i = 1, 2.
Таким чином, для класiв сумiжностi G1 за H1 i G2 за H2 iснує спiльна система
представникiв a1, a2, . . . , ak. Крiм того, розклад (2) набуває вигляду
A = (a1H1, a1H2) + (a2H1, a2H2) + . . . + (akH1, akH2),
а тому ϕ(aiH1) = aiH2 для всiх i = 1, 2, . . . , k.
Оскiльки A2 =
k⋃
i,j=1
(aiH1, aiH2) ◦ (ajH1, ajH2), то з iдемпотентностi A випливає,
що при i 6= j має виконуватися рiвнiсть aiH2 ∩ ajH1 = ∅, або, що рiвносильно,
рiвнiсть H1 ∩ a−1
j aiH2 = ∅.
Але
⋃
i6=j
a−1
j aiH2 = G2 \H2. Тому (G2 \H2) ∩H1 = ∅ i G2 ∩H1 = H1 ∩H2.
Аналогiчно доводиться, що G1 ∩H2 = H1 ∩H2.
Достатнiсть. Нехай A = (H1, G1,H2, G2, ϕ) – такий елемент, що
Gi = a1Hi + a2Hi + . . . + akHi, i = 1, 2
i ϕ(aiH1) = aiH2. Тодi
A = (a1H1, a1H2) + (a2H1, a2H2) + . . . + (akH1, akH2),
i A2 =
k∑
i,j=1
(aiH1, aiH2) ◦ (ajH1, ajH2).
Але aiH2 ∩ ajH1 6= ∅ тодi i тiльки тодi, коли a−1
j aiH2 ∩ H1 6= ∅. Оскiльки
G2 ∩H1 = H2 ∩H1, то це буде тодi i тiльки тодi, коли a−1
j aiH2 = H2, тобто тодi
i тiльки тодi, коли i = j. Тому
k∑
i,j=1
(aiH1, aiH2) ◦ (ajH1, ajH2) =
k∑
i=1
(aiH1, aiH2) ◦ (aiH1, aiH2) = A
Отже, A2 = A. ¤
3. Випадок циклiчної групи.
Теорема 2. Нехай Cn – циклiчна група порядку n. Iснує взаємно однозначна
вiдповiднiсть мiж iдемпотентами напiвгрупи S(Cn) i п’ятiрками (k, l, m, u, v) на-
туральних чисел, якi задовольняють такi умови:
1) k|l, l|u, u|n, k|m, m|v, v|n;
2) НСД(m,u) = НСД(l, v) = k;
3)
u
l
=
v
m
.
69
О.Г. Ганюшкiн, Т.В. Турка
Доведення. Нехай Cn – циклiчна група порядку n i елемент
A = (H1, G1,H2, G2, ϕ) є iдемпотентом напiвгрупи вiдповiдностей S(Cn), де
H1 ≤ G1 ≤ Cn, H2 ≤ G2 ≤ Cn i G1/H1 ' G2/H2.
Поставимо елементу A у вiдповiднiсть такi п’ять чисел:
|H1 ∩H2| = k, |H1| = l, |H2| = m, |G1| = u, |G2| = v.
Оскiльки H1 ∩H2 ≤ Hi ≤ Gi ≤ Cn, i = 1, 2, то
k|l, l|u, u|n, та k|m, m|v, v|n.
Отже, п’ятiрка (k, l, m, u, v) задовольняє умову 1).
За теоремою 1 маємо G1 ∩H2 = H1 ∩G2 = H1 ∩H2, тому
НСД(m,u) = НСД(l, v) = k.
Отже умова 2) також виконується.
Нарештi з iзоморфностi G1/H1 i G2/H2 випливає, що
u
l
=
v
m
. Це доводить умо-
ву 3).
Нехай тепер п’ятiрка чисел (k, l,m, u, v) задовольняє умови 1) – 3). Оскiльки
в циклiчнiй групi Cn для кожного дiльника d числа n iснує рiвно одна пiдгрупа
порядку d, то тим самим у групi Cn однозначно визначаються пiдгрупи G1, G2, H1,
H2 порядкiв u, v, l, m вiдповiдно, причому H1 ≤ G1, H2 ≤ G2.
Iз умов 1) i 2) тодi випливає, що
G2 ∩H1 = H1 ∩H2 = G1 ∩H2 i |H1 ∩H2| = k.
Iз теореми 1 випливає, що для iснування такого iзоморфiзму ϕ : G1/H1 → G2/H2,
для якого елемент (H1, G1,H2, G2, ϕ) буде iдемпотентом, досить показати iснування
спiльної системи представникiв для класiв сумiжностi G1 за H1 i G2 за H2. Дове-
дення iснування такої системи представникiв розiб’ємо на кiлька крокiв.
I. Зауважимо, що коли A = A1 × A2 × . . . × Aq, де порядки |A1|, |A2|, . . . ,
|Aq| множникiв попарно взаємно простi, то кожна пiдгрупа B ≤ A має вигляд
B = B1 ×B2 × . . .×Bq, де B1 ≤ A1, B2 ≤ A2, . . . , Bq ≤ Aq.
II. Якщо iснують спiльна система представникiв для A1 за B1 i A2 за B2 i спiльна
система представникiв представникiв для A′1 за B′
1 i A′2 за B′
2, то iснує спiльна
система представникiв для A1 ×A′1 за B1 ×B′
1 i A2 ×A′2 за B2 ×B′
2.
Справдi, iз рiвностей
A1 = a1B1 + a2B1 + . . . + atB1, A2 = a1B2 + a2B2 + . . . + atB2
i
A′1 = b1B
′
1 + b2B
′
1 + . . . + btB
′
1, A′2 = b1B
′
2 + b2B
′
2 + . . . + btB
′
2
випливає, що
A1 ×A′1 =
∑
i,j
(ai, bj)B1 ×B′
1,
70
Про iдемпотенти напiвгрупи вiдповiдностей
A2 ×A′2 =
∑
i,j
(ai, bj)B2 ×B′
2.
III. Нехай тепер n = pα1
1 · pα2
2 · . . . · pαq
q . Тодi
Cn = Cp
α1
1
× Cp
α2
2
× · · · × Cp
αq
q
.
Позначимо через Cpα довiльний множник цього розкладу i нехай
G∗
1 = G1 ∩ Cpα , G∗
2 = G2 ∩ Cpα , H∗
1 = H1 ∩ Cpα , H∗
2 = H2 ∩ Cpα .
Крiм того, для пiдгрупи (H1∩H2)∗ = (H1∩H2)∩Cpα маємо (H1∩H2)∗ = H∗
1 ∩H∗
2 .
Позначимо
|G∗
1| = pβ1 , |G∗
2| = pβ2 , |H∗
1 | = pγ1 , |H∗
2 | = pγ2 , |H1 ∩H2| = pδ.
Iз крокiв I i II випливає, що для iснування спiльної системи представникiв G1 за
H1 i G2 за H2 досить показати iснування спiльної системи представникiв G∗
1 за H∗
1
i G∗
2 за H∗
2 . Умови 1) – 3) тепер набувають вигляду:
1′) δ ≤ γ1 ≤ β1 ≤ α, δ ≤ γ2 ≤ β2 ≤ α,
2′) min (γ2, β1) = min (γ1, β2) = δ,
3′) β1 − γ1 = β2 − γ2.
Припустимо, що δ = γ1 (випадок δ = γ2 розбирається аналогiчно). Якщо при
цьому δ = γ2, то iз 3′) випливає, що β1 = β2. Але тодi G∗
1 = G∗
2, H∗
1 = H∗
2 i iснування
спiльної системи представникiв очевидна. Якщо ж γ2 > δ, то iз 2′) випливає, що
β1 = δ, а пiсля цього iз 3′) випливає, що β2 = γ2.
Але тодi G∗
1 = H∗
1 i G∗
2 = H∗
2 . Отже, маємо лише по одному класу сумiжностi, i
спiльним представником можна взяти одиницю e. ¤
Наслiдок 1. Якщо n = pk1
1 pk2
2 · · · pkt
t – канонiчний розклад числа n, то кiль-
кiсть iдемпотентiв у напiвгрупi S(Cn) однозначно визначається мультимножи-
ною {k1, k2, . . . , kt} показникiв.
Доведення. Нехай n = pk1
1 pk2
2 · · · pkt
t – канонiчний розклад числа n, а чис-
ла п’ятiрки (k, l, m, u, v) мають наступнi розклади: k = pa1
1 · · · pat
t , l = pb1
1 · · · pbt
t ,
m = pc1
1 · · · pct
t , u = pd1
1 · · · pdt
t , v = pg1
1 · · · pgt
t . Тодi умови теореми 2 будуть залежати
лише вiд показникiв степенiв простих чисел p1, p2, . . . , pm, тобто кiлькiсть iдемпо-
тентiв однозначно визначається мультимножиною {k1, k2, . . . , km} показникiв. ¤
Теорема 3. Якщо p – просте число i Cpn – циклiчна група порядку pn, то
кiлькiсть iдемпотентiв у напiвгрупi вiдповiдностей S(Cpn) буде обчислюватися за
формулою
|E(S(Cpn))| = (n + 1) ·
(
2 + 3n
2
)
.
Доведення. Нехай Cpn – циклiчна група порядку pn. Згiдно теореми 2 iдемпо-
тенти напiвгрупи вiдповiдностей знаходяться у взаємно однозначнiй вiдповiдностi
з п’ятiрками чисел (k, l, m, u, v), якi задовольняють умови 1)-3) теореми 2. Далi за-
мiсть п’ятiрки (k, l,m, u, v) = (pa1 , pa2 , pa3 , pa4 , pa5) зручно розглядати п’ятiрку по-
казникiв (a1, a2, a3, a4, a5).
71
О.Г. Ганюшкiн, Т.В. Турка
Умову 1) тепер можна переписати у виглядi
a1 = a, a2 = a + α, a3 = a + γ, a4 = a + α + β, a5 = a + γ + δ,
де a, α, β, γ, δ – деякi невiд’ємнi цiлi числа.
Умови 2)-3) тодi набувають вигляду
{
min (a + γ, a + α + β) = min (a + α, a + γ + δ) = a,
β = δ.
Звiдси
min (a + γ, a + α + β) = min (a + α, a + γ + β) = a.
Розглянемо два випадки:
1) Нехай γ 6= 0. Тодi α + β = 0, звiдки α = β = 0. Пiсля цього у нас ли-
шається лише умова 0 ≤ a < a + γ ≤ n, а тому параметри (a, γ) можна вибрати(
n + 1
2
)
способами.
2) Нехай тепер γ = 0. Цей випадок розпадається на 3 пiдвипадки:
2′) γ = α = 0, β 6= 0. У цьому випадку все зводиться до нерiвностi
0 ≤ a < a + β ≤ n, тому пару (α, β) можна вибрати
(
n + 1
2
)
способами.
2′′) γ = β = 0, α 6= 0. Аналогiчно попередньому отримуємо нерiвнiсть
0 ≤ a < a + α ≤ n i
(
n + 1
2
)
способiв вибору пари (a, α).
2′′′) γ = α = β = 0. У цьому випадку лишається лише умова 0 ≤ a ≤ n, тому
a можна вибрати n + 1 способом.
Пiдсумовуючи все, одержуємо:
|E(S(Cpn))| = (n + 1) + 3
(
n + 1
2
)
= (n + 1) ·
(
2 + 3n
2
)
. ¤
Теорема 4. Якщо Cn – циклiчна група порядку n, де n = pk1
1 pk2
2 . . . pkt
t – ка-
нонiчний розклад числа n, то кiлькiсть iдемпотентiв у напiвгрупi вiдповiдностей
S(Cp) обчислюється за формулою
|E(S(Cn))| =
t∏
i=1
(ki + 1) ·
(
2 + 3ki
2
)
.
Доведення. За теоремою 2 число |E(S(Cn))| дорiвнює кiлькостi тих п’ятiрок
(k, l, m, u, v), якi задовольняють умови 1)-3).
Нехай
k = pa1
1 pa2
2 . . . pat
t , l = pb1
1 pb2
2 . . . bbt
t , m = pc1
1 pc2
2 . . . pct
t ,
u = pd1
1 pd2
2 . . . pdt
t , v = pg1
1 pg2
2 . . . pgt
t .
72
Про iдемпотенти напiвгрупи вiдповiдностей
Умови 1)-3) тодi будуть рiвносильнi таким:
1) k|l ⇐⇒ a1 ≤ b1, . . . , at ≤ bt, l|u ⇐⇒ b1 ≤ d1, . . . , bt ≤ dt, u|n ⇐⇒ d1 ≤ k1, . . . , dt ≤ kt,
k|m ⇐⇒ a1 ≤ c1, . . . , at ≤ ct, m|v ⇐⇒ c1 ≤ g1, . . . , ct ≤ gt, v|n ⇐⇒ g1 ≤ k1, . . . , gt ≤ kt.
2) НСД (u,m) = НСД (l, v) = k тодi i тiльки тодi, коли min (d1, c1) =
min (b1, g1) = a1, . . ., min (dt, ct) = min (bt, gt) = at.
3) u ·m = l · v тодi i тiльки тодi, коли c1 + d1 = b1 + g1, . . . , ct + dt = bt + gt.
Таким чином, для кожного i (1 ≤ i ≤ t) все зводиться до вiдповiдних умов для
циклiчної групи C
p
ki
i
, причому для рiзних i вiдповiднi параметри можна вибирати
незалежно. Тому з теореми 3 отримуємо:
|E(S(Cn))| = |E(S(C
p
k1
1
))| · |E(S(C
p
k2
2
))| · . . . · |E(S(C
p
kt
t
))| =
=
t∏
i=1
(ki + 1) ·
(
2 + 3ki
2
)
. ¤
4. Випадок елементарної абелевої групи.Для довiльного числа p позначимо
ψk(p) =
{
1, якщо k = 0,
(p− 1)(p2 − 1) · · · (pk − 1), якщо k > 0.
Число ψk(p) дорiвнює кiлькостi способiв вибору бази в k-вимiрному векторному
просторi над полем Zp.
Крiм того, через
(
n
k
)
p
позначається кiлькiсть k-вимiрних пiдпросторiв n-
вимiрного простору над простим полем Zp. Число
(
n
k
)
p
називається коефiцiєн-
том Гаусса. Як вiдомо,
(
n
k
)
p
=
1
pk(n−k)
· ψn(p)
ψk(p)ψn−k(p)
.
Теорема 5. Кiлькiсть iдемпотентiв у напiвгрупi вiдповiдностей S(Zn
p ) елемен-
тарної абелевої групи Zn
p дорiвнює:
|E(S(Zn
p ))| =
n∑
i=0
[(
n
i
)
p
·
n−i∑
m1+m2=0
(
pm1m2
(
n− i
m1 + m2
)
p
·
(
m1 + m2
m1
)
p
×
×
(
1 +
n−i−m1−m2∑
r=1
p(m1+m2−i)r · ψn−i−m1−m2(p)
ψr(p)
))]
.
Доведення. Нехай Zn
p – елементарна абелева група. Нам буде зручно розглядати
Zn
p як n-вимiрний простiр над полем Zp.
73
О.Г. Ганюшкiн, Т.В. Турка
Нехай елемент A = (H1, G1,H2, G2, ϕ) є iдемпотентом напiвгрупи вiдповiдно-
стей S(Zn
p ). Позначимо H = H1 ∩H2 i перейдемо до факторпросторiв
U = Zn
p /H, P1 = H1/H, P2 = H2/H, R1 = G1/H, R2 = G2/H.
За теоремою 1 iснують розклади
G1 = a1H1 + a2H1 + . . . + atH1, G2 = a1H2 + a2H2 + . . . + atH2.
Це дає нам розклади
R1 = b1P1 + b2P1 + . . . + btP1, R2 = b1P2 + b2P2 + . . . + btP2,
де bi = ai + H – вiдповiдний елемент факторпростору U .
Система представникiв b1, . . . , bk визначена однозначно. Справдi, P1 ∩ P2 = {0}.
Тому з рiвностей biP1 = b′iP1, biP2 = b′iP2 маємо: b′i = bi + c1 = bi + c2, де cj ∈ Pi.
Але тодi c1 = c2, звiдки c1 = c2 = 0, а тому b′i = bi.
Це означає, що для довiльного i буде biP1∩ biP2 = {bi}. Але тодi з рiвностей
biPj + blPj = (bi + bl)Pj , j = 1, 2 та c · (biPj) = cbi · Pj , j = 1, 2
випливає, що множина Q = {b1, . . . , bk} замкнена вiдносно додавання i множення на
скаляри, а тому утворює пiдпростiр простору U.
Iз розкладiв
R1 = b1P1 + b2P1 + . . . + btP1, R2 = b1P2 + b2P2 + . . . + btP2
випливає, що
R1 = P1 ⊕Q, R2 = P2 ⊕Q.
Таким чином, iз кожним iдемпотентом A пов’язується деякий пiдпростiр H ≤ Zn
p
i трiйка P1, P2, Q пiдпросторiв простору U = Zn
p /H, якi попарно перетинаються по
0.
Навпаки, нехай H – пiдпростiр Zn
p i P1, P2, Q – трiйка пiдпросторiв простору
U = Zn
p /H, якi попарно перетинаються по 0. Розглянемо R1 = P1⊕Q, R2 = P2 ⊕Q i
нехай H1, H2, G1, G2 – прообрази пiдпросторiв P1, P2, R1, R2 вiдповiдно при канонiч-
ному епiморфiзмi Zn
p −→ Zn
p /H. За спiльну систему представникiв класiв сумiжностi
G1 за H1 i G2 за H2 можна взяти прообрази елементiв iз Q при цьому епiморфiзмi.
Тодi вiдображення ϕ : G1/H1 → G2/H2, яке зберiгає спiльнi представники, буде,
очевидно, iзоморфiзмом.
Оскiльки побудована таким чином п’ятiрка (H1, G1,H2, G2, ϕ) задовольняє всi
умови теореми 1, то вiдповiдний елемент напiвгрупи S(Zn
p ) буде iдемпотентом.
Таким чином, кiлькiсть iдемпотентiв напiвгрупи S(Zn
p ) дорiвнює кiлькостi на-
борiв (H,P1, P2, Q), де H – пiдпростiр iз Zn
p , а P1, P2, Q – така трiйка пiдпросторiв
iз Zn
p /H, якi попарно перетинаються по 0.
74
Про iдемпотенти напiвгрупи вiдповiдностей
Для пiдрахунку таких наборiв спочатку вибираємо пiдпростiр H ≤ Zn
p . Нехай
dim H = i. Тодi H можна вибрати
(
n
i
)
p
способами.
Нехай dim P1 = m1, dim P2 = m2. Оскiльки P1 ∩ P2 = {0}, то об’єднання баз
просторiв P1 i P2 є базою простору P1 ⊕ P2. Базу простору P1 ⊕ P2 можна вибрати
(pn−i − 1)(pn−i − p) · · · (pn−i − pm1−1) · · · (pn−i − pm1+m2−1) =
=
ψn−i(p)
p(m1+m2)(n−i−m1−m2)ψn−i−m1−m2(p)
способами.
Першi m1 векторiв цiєї бази дадуть нам базу пiдпростору P1, решта m2 векторiв
– базу P2. Оскiльки ψm1(p) рiзних баз пiдпростору P1 будуть давати один i той
пiдпростiр P1 (i аналогiчно для пiдпростору P2), то загальна кiлькiсть пар (P1, P2)
дорiвнює
ψn−i(p)
p(m1+m2)(n−i−m1−m2)ψn−i−m1−m2(p)ψm1(p)ψm2(p)
=
= pm1m2
(
n− i
m1 + m2
)
p
(
m1 + m2
m1
)
p
.
Позначимо через S(m1,m2, k) кiлькiсть тих k-вимiрних пiдпросторiв простору
P1 ⊕ P2, якi мають нульовий перетин, як iз P1, так i з P2.
Нехай Q – один iз таких пiдпросторiв, a1 + b1, a2 + b2, . . ., ak + bk – база Q, де
a1, a2, . . . , ak ∈ P1, b1, b2, . . . , bk ∈ P2. Легко зрозумiти, що вектори a1, a2, . . . , ak –
лiнiйно незалежнi. Справдi, нехай α1a1 + α2a2 + . . . + αkak = 0. Тодi
α1(a1 + b1) + α2(a2 + b2) + . . . + αk(ak + bk) = α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk ∈ P2.
З iншого боку, α1(a1 +b1)+α2(a2 +b2)+ . . .+αk(ak +bk) ∈ Q. Оскiльки P2∩Q = {0},
то α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk = 0, звiдки α1 = α2 = . . . = αk.
Навпаки, нехай a1, a2, . . . , ak – лiнiйно незалежнi вектори з P1, а b1, b2, . . . , bk –
лiнiйно незалежнi вектори з P2. Тодi вектори a1 + b1, a2 + b2, . . . , ak + bk – також
лiнiйно незалежнi. Справдi, якщо
α1(a1 + b1) + α2(a2 + b2) + . . . + αk(ak + bk) = 0,
то
α1a1 + α2a2 + . . . + αkak = −(α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk).
Але
α1a1 + α2a2 + . . . + αkak ∈ P1, α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk ∈ P2
i P1 ∩ P2 = {0}. Тому α1 = α2 = . . . = αk = 0.
75
О.Г. Ганюшкiн, Т.В. Турка
Пiдпростiр Q = 〈a1+b1, a2+b2, . . . , ak+bk〉 буде мати нульовий перетин iз кожним
iз просторiв P1 i P2. Справдi, нехай
α1(a1 + b1) + α2(a2 + b2) + . . . + αk(ak + bk) = v ∈ P1.
Тодi
α1a1 + α2a2 + . . . + αkak = v − (α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk) ∈ P1,
а оскiльки α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk ∈ P2i P1 ∩ P2 = {0}, то
α1b1 + α2b2 + . . . + αkbk = 0 i α1 = α2 = . . . = αk = 0.
Аналогiчно доводиться, що Q ∩ P2 = {0}.
Тому всi k-вимiрнi пiдпростори iз P1⊕P2, якi мають нульовий перетин iз кожним
iз P1 та P2, можна одержати таким чином: вибираємо довiльнi лiнiйно незалежнi
вектори a1, a2, . . . , ak в P1 i лiнiйно незалежнi вектори b1, b2, . . . , bk в P2 i кладемо
Q = 〈a1 + b1, a2 + b2, . . . , ak + bk〉. При цьому кожен простiр Q буде отримуватися з
такою кратнiстю, скiлькома способами в ньому можна вибрати базу. Тому
S(m1,m2, k) =
1
ψk(p)
· ψm1(p)
pk(m1−k) · ψm1−k(p)
· ψm2(p)
pk(m2−k) · ψm2−k(p)
=
=
1
pk(m1+m2−2k)
· ψm1(p)ψm2(p)
ψk(p)ψm1−k(p)ψm2−k(p)
.
Але простiр Q = Q ∩ (P1 ⊕ P2) треба “роздути” до Q. При r > 0 k-вимiрний
простiр Q ∩ (P1 ⊕ P2) можна “роздути” до (k + r)-вимiрного простору Q
(pn−i − pm1+m2)(pn−i − pm1+m2+1) . . . (pn−i − pm1+m2+r−1)
(pr+k − pk)(pr+k − pk+1) . . . (pr+k − pr+k−1)
=
= p(m1+m2−k)r · ψn−i−m1−m2(p)
ψr(p)
способами. Тому загальна кiлькiсть B(m1, m2, i) способiв “роздути” Q∩ (P1⊕P2) до
простору Q дорiвнює:
B(m1,m2, i) = 1 +
n−i−m1−m2∑
r=1
p(m1+m2−i)r · ψn−i−m1−m2(p)
ψr(p)
.
Отже, кiлькiсть iдемпотентiв напiвгрупи S(Zn
p ) дорiвнює
|E(S(Zn
p ))| =
n∑
i=0
[(
n
i
)
p
·
n−i∑
m1+m2=0
(
pm1m2
(
n− i
m1 + m2
)
p
·
(
m1 + m2
m1
)
p
×
×
(
1 +
n−i−m1−m2∑
r=1
p(m1+m2−i)r · ψn−i−m1−m2(p)
ψr(p)
))]
. ¤
76
Про iдемпотенти напiвгрупи вiдповiдностей
1. Курош А.Г. Общая алгебра (лекции 1969-70 учебного года). – М.: Наука, 1974. – 160 с.
2. Ганюшкiн О.Г., Турка Т.В. Порядок напiвгрупи вiдповiдностей скiнченної групи // Вiсник
Київського унiверситету. – 2009. – Вып. 3. Серiя: фiз.-мат. науки. – С. 9-13.
O.G. Ganyushkin, T.V. Turka
The idempotents of semigroup of correspondences.
The theorem about of the structure of idempotents of semigroups of correspondence of the finite group
has been proved and the amount of idempotents of semigroups of correspondence cyclic and elementary
abelian groups has been calculated.
Keywords: idempotent, the semigroup of correspondences.
О.Г. Ганюшкин, Т.В. Турка
Об идемпотентах полугруппы соответствий.
Доказана теорема о строении идемпотентов полугруппы соответствий конечной группы, в частно-
сти, вычислено количество идемпотентов полугрупп соответствий циклической группы и элемен-
тарной абелевой группы.
Ключевые слова: идемпотент, полугруппа соответствий.
Київський нацiональний ун-т iм. Шевченка
Слов’янський державний педагогiчний ун-т
ganiyshk@univ.kiev.ua
tvturka@mail.ru
Получено 07.05.12
77
|