Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата
Получены условия существования трех инвариантных соотношений уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Найдено новое решение указанных уравнений, которое выражается элементарными функциями времени....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124085 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 166-175. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124085 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240852017-09-20T03:03:42Z Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата Мазнев, А.В. Получены условия существования трех инвариантных соотношений уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Найдено новое решение указанных уравнений, которое выражается элементарными функциями времени. Отримано умови iснування трьох iнварiантних спiввiдношень рiвнянь руху гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку змiнного гiростатичного моменту. Знайдено новий розв’язок вказаних рiвнянь, який виражається елементарними функцiями часу. The terms of three invariant correlations existence of gyrostat motion equations under the action of potential and gyroscopic forces in the case of a variable gyrostatic moment are got. The new solutions of these equations, which are expressed by elementary functions on time are found. 2012 Article Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 166-175. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124085 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получены условия существования трех инвариантных соотношений уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента. Найдено новое решение указанных уравнений, которое выражается элементарными функциями времени. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Мазнев, А.В. Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата |
| title_short |
Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата |
| title_full |
Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата |
| title_fullStr |
Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата |
| title_full_unstemmed |
Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата |
| title_sort |
случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124085 |
| citation_txt |
Случай трех инвариантных соотношений уравнений движения неавтономного гиростата / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 166-175. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav slučajtrehinvariantnyhsootnošenijuravnenijdviženiâneavtonomnogogirostata |
| first_indexed |
2025-07-09T00:49:36Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:49:36Z |
| _version_ |
1837128408932286464 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 531.38
c©2012. А.В. Мазнев
СЛУЧАЙ ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ НЕАВТОНОМНОГО ГИРОСТАТА
Получены условия существования трех инвариантных соотношений уравнений движения гироста-
та под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического
момента. Найдено новое решение указанных уравнений, которое выражается элементарными функ-
циями времени.
Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, инвариантное соотношение.
1. Введение. В работе рассмотрена механическая система, состоящая из тела-
носителя произвольной формы и ротора, который вращается в теле-носителе во-
круг закрепленной в нем оси. Уравнения движения такой системы (гиростата) мож-
но получить, используя, например, работы В. Вольтерра [1], Н.Е. Жуковского [2],
П.В. Харламова [3]. Исследование свойств движения гиростата представляется ак-
туальным не только в случае постоянного гиростатического момента (см. обзор [4]),
но и в случае, когда гиростатический момент зависит от времени (см., например,
статьи [5, 6]). В работе [7] изучены перманентные вращения свободного гиростата
(автор статьи использует термин “неавтономный гиростат”). Статья [8] посвящена
доказательству теоремы о возможности равномерного вращения неавтономного ги-
ростата вокруг наклонной оси (оси, которая не совпадает с направлением вектора
силы тяжести). В [9, 10] изучены условия существования равномерных вращений и
маятниковых движений гиростата с переменным гиростатическим моментом в поле
силы тяжести. Работа [11] посвящена разработке общего метода исследования пре-
цессионных движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических
сил, который был применен в статье [12].
В этой работе получены условия существования трех инвариантных соотношений
уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических
сил (описание действующих сил можно найти в [13]) в случае переменного гиро-
статического момента. Данные условия позволили найти новый случай интегриру-
емости уравнений движения, которые являются обобщением уравнений Кирхгофа-
Пуассона на случай переменного гиростатического момента.
2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения гиростата под дей-
ствием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатиче-
ского момента
ẋ = (x−Bν + λα)× ax− Lα + ν × (Cν − s) , (1)
ν̇ = ν × ax, λ̇ = L, (2)
где x = (x1, x2, x3) – вектор, характеризующий составляющую момента количества
движения гиростата [3]; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, определяющий направ-
166
Случай трех инвариантных соотношений
ление магнитного поля; ω = ax – вектор угловой скорости, a = (aij) – гирационный
тензор; α = (α1, α2, α3) – единичный вектор; λ – величина гиростатического момента
λ = λα; L(t) – функция, характеризующая взаимодействие тела-носителя и носимо-
го тела (ротора); s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором обобщенного
центра масс; B = (Bij) и C = (Cij) – постоянные симметричные матрицы третьего
порядка; точка над переменными x, ν, λ обозначает относительную производную
по независимой переменной t.
Уравнения (1),(2) имеют два первых интеграла
ν · ν = 1, (x + λα) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k. (3)
Здесь k – произвольная постоянная.
Поставим задачу об определении условий, при выполнении которых система
дифференциальных уравнений (1), (2) допускает три инвариантных соотношения:
x1 = b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3,
x2 = d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3,
x3 = e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3,
(4)
где bi, di, ei (i = 0, 3) – постоянные параметры. В силу структуры соотношений
(4) для решения поставленной задачи можно принять главную систему координат,
в которой a = diag(a1, a2, a3). Тогда компоненты угловой скорости ωi определяются
соотношениями ωi = aixi, или на основании (4) формулами:
ω1 = a1 (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) ,
ω2 = a2 (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3) ,
ω3 = a3 (e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3) .
(5)
Подставим выражения (4) в интеграл моментов из системы (3)
λ (α1ν1 + α2ν2 + α3ν3) = k − b0ν1 − d0ν2 − e0ν3 +
(
1
2
B11 − b1
)
ν2
1+
+
(
1
2
B22 − d2
)
ν2
2 +
(
1
2
B33 − e3
)
ν2
3 + (B12 − d1 − b2) ν1ν2+
+ (B13 − e1 − b3) ν1ν3 + (B23 − e2 − d3) ν2ν3.
(6)
Из формулы (6) вытекает, что функция λ является отношением многочлена второго
порядка от переменных νi (i = 1, 3) и линейного многочлена от этих переменных.
Предположим, что λ – многочлен по переменным νi. Тогда из соотношения (6) сле-
дует
λ = λ0 + λ1ν1 + λ2ν2 + λ3ν3, (7)
где параметры λi связаны с параметрами bi, di, ei, Bij условиями
b0 = −α1λ0, d0 = −α2λ0, e0 = −α3λ0, b1 =
1
2
B11 − α1λ1, (8)
167
А.В. Мазнев
d2 =
1
2
B22 − α2λ2, e3 =
1
2
B33 − α3λ3, d1 = B12 − b2 − α1λ2 − α2λ1 (9)
e1 = B13 − b3 − α1λ3 − α3λ1, e2 = B23 − d3 − α2λ3 − α3λ2. (10)
При этом постоянная k = 0.
3. Условия существования инвариантных соотношений (4), (7). Подста-
вим выражения (5) в скалярные уравнения, вытекающие из уравнения Пуассона из
(2):
ν̇1 = a3 (e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3) ν2 − a2 (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3) ν3,
ν̇2 = a1 (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) ν3 − a3 (e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3) ν1,
ν̇3 = a2 (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3) ν1 − a1 (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) ν2.
(11)
Внесем в скалярные динамические уравнения, вытекающие из (1), L = λ̇, выражения
(4), (5) и учтем формулы (7)-(10). Тогда получим три равенства:
−a2 (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3)
[
(α2λ3 + d3) ν2 +
1
2
(B11 + B33) ν3
]
+
+a3 (e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3)
[
(α3λ2 + e2) ν3 +
1
2
(B11 + B22) ν2
]
+
+a1 (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) [(α1λ2 + b2) ν3 − (α1λ3 + b3) ν2] +
+s3ν2 − s2ν3 + (C22 − C33) ν2ν3 + C12ν1ν3 − C13ν1ν2 + C23
(
ν2
3 − ν2
2
)
= 0,
(12)
a1 (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3)
[
(α1λ3 + b3) ν1 +
1
2
(B22 + B33) ν3
]
−
−a3 (e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3)
[
(α3λ1 + e1) ν3 +
1
2
(B11 + B22) ν1
]
+
+a2 (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3) [(α2λ3 + d3) ν1 − (α2λ1 + d1) ν3] +
+s1ν3 − s3ν1 + (C33 − C11) ν1ν3 + C23ν1ν2 − C12ν2ν3 + C13
(
ν2
1 − ν2
3
)
= 0,
(13)
−a1 (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3)
[
(α1λ2 + b2) ν1 +
1
2
(B22 + B33) ν2
]
+
+a2 (d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3)
[
(α2λ1 + d1) ν2 +
1
2
(B11 + B33) ν1
]
+
+a3 (e0 + e1ν1 + e2ν2 + e3ν3) [(α3λ1 + e1) ν2 − (α3λ2 + e2) ν1] +
+s2ν1 − s1ν2 + (C11 − C22) ν1ν2 + C13ν2ν3 − C23ν1ν3 + C12
(
ν2
2 − ν2
1
)
= 0.
(14)
Потребуем, чтобы равенства (12)-(14) были тождествами для любых значений
νi (i = 1, 3). Тогда получим условия:
λ0
[
λ1
(
a2α
2
2 + a3α
2
3
)
+ a2α2d1 + a3α3e1 − a1α1
2
(B33 + B22)
]
+ s1 = 0, (15)
λ0
[
λ2
(
a3α
2
3 + a1α
2
1
)
+ a3α3e2 + a1α1b2 − a2α2
2
(B11 + B33)
]
+ s2 = 0, (16)
168
Случай трех инвариантных соотношений
λ0
[
λ3
(
a1α
2
1 + a2α
2
2
)
+ a1α1b3 + a2α2d3 − a3α3
2
(B22 + B11)
]
+ s3 = 0, (17)
a2d2 (d1 + α2λ1) + a3e2 (e1 + α3λ1)− a1b2
2
(B22 + B33) + C12 = 0, (18)
a3e1 (e2 + α3λ2) + a1b1 (b2 + α1λ2)− a2d1
2
(B11 + B33) + C12 = 0, (19)
a1b1 (b3 + α1λ3) + a2d1 (d3 + α2λ3)− a3e1
2
(B11 + B22) + C13 = 0, (20)
a2d3 (d1 + α2λ1) + a3e3 (e1 + α3λ1)− a1b3
2
(B22 + B33) + C13 = 0, (21)
a1b2 (b3 + α1λ3) + a2d2 (d3 + α2λ3)− a3e2
2
(B11 + B22) + C23 = 0, (22)
a3e3 (e2 + α3λ2) + a1b3 (b2 + α1λ2)− a2d3
2
(B11 + B33) + C23 = 0, (23)
a1b2 (b2 + α1λ2)− a1b3 (b3 + α1λ3) + a3e2 (e2 + α3λ2)− a2d3 (d3 + α2λ3)+
+
1
2
a3e3 (B11 + B22)− 1
2
a2d2 (B11 + B33) + C22 − C33 = 0,
(24)
a1b3 (b3 + α1λ3)− a3e1 (e1 + α3λ1) + a2d3 (d3 + α2λ3)− a2d1 (d1 + α2λ1)+
+
1
2
a1b1 (B22 + B33)− 1
2
a3e3 (B11 + B22) + C33 − C11 = 0,
(25)
которые являются условиями существования у уравнений (1), (2) инвариантных
соотношений (4), (7).
Покажем разрешимость системы равенств (15)-(25). Если в качестве свободных
параметров примем λi, αi, b2, b3, d3, Bij , то остальные параметры соотношений (4)
можно найти из формул (8)-(10), а параметры si (i = 1, 3), Cij можно определить из
системы (15)-(25). В силу структуры этой системы выпишем три уравнения, которые
являются результатом вычитания уравнений (18),(19); (20),(21); (22),(23):
a1α1 (b3λ2 − b2λ3) + a3e3 (e2 + α3λ2)− a2d2 (d3 + α2λ3)+
+
1
2
a3e2 (B11 + B22)− 1
2
a2d3 (B11 + B33) = 0,
(26)
a2α2 (d1λ3 − d3λ1)− a3e3 (e1 + α3λ1) + a1b1 (b3 + α1λ3)+
+
1
2
a1b3 (B22 + B33)− 1
2
a3e1 (B22 + B11) = 0,
(27)
a3α3 (e1λ2 − e2λ1)− a2d2 (d1 + α2λ1) + a1b1 (b2 + α1λ2)+
+
1
2
a1b2 (B22 + B33)− 1
2
a2d1 (B11 + B33) = 0.
(28)
Систему (26)-(28) запишем как систему относительно величин b2, b3, d3
β1b2 + β2b3 + β3d3 = β0,
γ1b2 + λ2b3 + γ3d3 = γ0,
σ1b2 + σ2b3 + σ3d3 = σ0,
(29)
169
А.В. Мазнев
где
β1 = −a1α1λ3, β2 = a1α1λ2, β3 = a2α2λ2 + a3α3λ3 −B0 (a2 + a3) ,
γ1 = B0 (a1 + a2)− a1α1λ1 − a2α2λ2, γ2 = −a3α3λ2, γ3 = a3α3λ1,
σ1 = −a2α2λ3, σ2 = B0 (a1 + a3)− a1α1λ1 − a3α3λ3, σ3 = −a2α2λ1,
β0 =
1
2
(a2α2λ3B22 − a3α3λ2B33)− a3B23 (B0 − α3λ3)+
+a3B0 (α2λ3 + α3λ2)− α2λ3 (a2α2λ2 + a3α3λ3) ,
γ0 =
1
2
(a2α2λ1B22 − a1α1λ2B11) + a2B12 (B0 − α2λ2)−
−a2B0 (α1λ2 + α2λ1) + α3α3 (λ1B23 − λ2B13) + λ1λ2
(
a1α
2
1 + a2α
2
2
)−
−a3α2α3λ1λ3 + α1λ2 (a2α2λ2 + a3α3λ3) ,
σ0 =
1
2
(a3α3λ1B33 − a1α1λ3B11) + a3B13 (B0 − α3λ3)− a2α2λ3B12+
+λ1λ3
(
a1α
2
1 + a2α
2
2
)
+ α1λ3 (a2α2λ2 + a3α3λ3) ,
B0 =
1
2
(B11 + B22 + B33) .
(30)
Учитывая формулы (30), найдем значение
∆ =
∣∣∣∣∣∣
β1 β2 β3
γ1 γ2 γ3
σ1 σ2 σ3
∣∣∣∣∣∣
= −B0
{
B2
0 (a1 + a2) (a1 + a3) (a2 + a3)−
−B0
[
(a1 + a2) (a1 + a3) (a2α2λ2 + a3α3λ3) + (a2 + a3) (a1 + a2)×
× (a1α1λ1 + a3α3λ3) + (a1 + a3) (a2 + a3) (a1α1λ1 + a2α2λ2)
]
+
+(a1α1λ1 + a2α2λ2 + a3α3λ3)
[
a1α1λ1 (a2 + a3) + a2α2λ2 (a1 + a3)+
+a3α3λ3 (a1 + a2)
]}
.
(31)
Поскольку параметр B0 может принимать не нулевые значения, то будем предпола-
гать, что ∆ 6= 0. Тогда система (29) имеет единственное решение
b2 =
∆1
∆
, b3 =
∆2
∆
, d3 =
∆3
∆
, (32)
где
∆1 =
∣∣∣∣∣∣
β0 β2 β3
γ0 γ2 γ3
σ0 σ2 σ3
∣∣∣∣∣∣
, ∆2 =
∣∣∣∣∣∣
β1 β0 β3
γ1 γ0 γ3
σ1 σ0 σ3
∣∣∣∣∣∣
, ∆3 =
∣∣∣∣∣∣
β1 β2 β0
γ1 γ2 γ0
σ1 σ2 σ0
∣∣∣∣∣∣
. (33)
Будем считать, что параметры ai, αi, λi (i = 1, 3), Bij заданы. Тогда формулы
(31)-(33) позволяют определить величины b2, b3, d3. Из соотношений (8)-(10) можно
найти параметры b0, b1, d0, d1, d2, e0, e1, e2. Используя то обстоятельство, что пара-
метры si (i = 1, 3), Cij в силу постановки задачи не стеснены какими-либо ограни-
чениями, из уравнений (15)-(17) определим значения si, из равенств (18), (20), (22),
(24), (25) значения C12, C13 и разности C22 − C33 и C33 − C11.
170
Случай трех инвариантных соотношений
Таким образом, показана разрешимость условий (15)-(25) для случая обобщен-
ной задачи динамики, то есть для случая Bij 6= 0, Cij 6= 0. При рассмотрении
задачи о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом под дей-
ствием только силы тяжести необходимы дополнительные исследования, так как
при Bij = 0 (i, j = 1, 3) определитель ∆ из (31) обращается в нуль.
4. Интегрирование уравнений (11). В общем случае существования инва-
риантных соотношений (4), (7) уравнений (1), (2) интегрирование уравнений (11)
затруднительно, так как они допускают только один первый интеграл
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1.
Поэтому интегрирование уравнений (11) будем проводить, используя подход, кото-
рый принят для случая постоянного гиростатического момента [14].
Пусть параметры инвариантных соотношений (5) удовлетворяют дополнитель-
ным условиям
a1b1 = a2d2 = a3e3 = m0, a2d1 = −a1b2, a3e1 = −a1b3, a3e2 = −a2d3. (34)
В силу соотношений (9)-(10) равенства (34) можно записать в виде
a1B11 = 2 (m0 + a1α1λ1) , a2B22 = 2 (m0 + a2α2λ2) ,
a3B33 = 2 (m0 + a3α3λ3) , d3 (a3 − a2) = a3 (B23 − α2λ3 − α3λ2) ,
b2 (a2 − a1) = a2 (B12 − α1λ2 − α2λ1) , b3 (a3 − a1) = a3 (B13 − α1λ3 − α3λ1) .
(35)
На основании соотношений (34) скалярные равенства (5) имеют вид
ω = ω0 + m0ν + Gν, G =
0 a1b2 a1b3
−a1b2 0 a2d3
−a1b3 −a2d3 0
, (36)
где ω0 = (a1b0, a2d0, a3e0). Вместо скалярных уравнений (11) рассмотрим их вектор-
ное представление, учтя формулы (36)
ν̇ = ν × ω0 + n(ν · ν)− ν (ν · n), (37)
где
n = (n1, n2, n3), n1 = −a2d3, n2 = a1b3, n3 = −a1b2. (38)
В статье [14] показано, что уравнение (37) кроме интеграла ν · ν = 1 имеет при
условии ω0 · n = 0 дополнительный интеграл
ω2
0 + ν · (ω0 × n)
ω0 · ν = c, (39)
где c – произвольная постоянная. Это значит, что интегрирование уравнения (37)
можно осуществить в квадратурах.
171
А.В. Мазнев
Покажем, что для рассматриваемого случая (35) система уравнений (26)-(28)
разрешима. Непосредственной подстановкой значений (9), (10), (35) в уравнения
можно убедиться в том, что имеют место не менее двух случаев существования
решения системы (26)-(28).
В первом случае параметры инвариантных соотношений (4), (7) и параметры
уравнений (1), (2) имеют значения:
α1 = 0, α2 = 0, α3 = 1, a2B11 = a1B22, B12 = 0, b0 = 0, d0 = 0,
e0 = −λ0, b1 =
B11
2
, b2 = 0, b3 =
a3
a3 − a1
(B13 − λ1) , d1 = 0,
d2 =
B22
2
, d3 =
a3
a3 − a2
(B23 − λ2) , e1 =
a1
a1 − a3
(B13 − λ1) ,
e2 =
a2
a2 − a3
(B23 − λ2) , e3 =
a1B22
2a3
, λ0 =
2s3
a3 (B11 + B22)
,
λ1 =
B23 [B22 (2a2 + 3a3) + a3 (2B11 + B33)]
a3 (2B11 + 3B22 + B33)
, λ3 =
a3B33 − a1B11
2a3
,
s1 = λ0 (a1b3 − a3λ1) , s2 = λ0 (a2d3 − a3λ2) , C12 =
a2d3
a3
(a3λ1 − a1b3) ,
C13 = −a2b3
2
(B11 + 2B22) , C23 = −a2d3
2
(B11 + 2B22) ,
C33 − C22 = −a1b
2
3 − a2d3B23 +
a1B11
4
(B22 −B33) ,
C11 − C33 = a1b3B13 + a2d
2
3 +
1
4
B11 (B33 −B11) .
(40)
Инвариантные соотношения (4) в силу условий (40) принимают вид:
x1 =
B11
2
ν1 +
a3
a3 − a1
(B13 − λ1) ν3,
x2 =
a1B11
2a2
ν2 +
a3
a3 − a2
(B23 − λ2) ν3,
x3 = −λ0 +
a1
a1 − a3
(B13 − λ1) ν1 +
a2
a2 − a3
(B23 − λ2) ν2 +
a1B11
2a3
ν3.
(41)
Запишем скалярные уравнения, вытекающие из (37), с учетом равенства n3 = 0,
которое следует из (38), (40):
ν̇1 = −a3λ0ν2 + n1
(
ν2
2 + ν2
3
)− n2ν1ν2,
ν̇2 = a3λ0ν1 + n2
(
ν2
1 + ν2
3
)− n1ν1ν2,
ν̇3 = −ν3 (n1ν1 + n2ν2) .
(42)
Уравнения (42) имеют первые интегралы ν · ν = 1 и
n2ν1 − n1ν2 + a3λ0
ν3
= c, (43)
172
Случай трех инвариантных соотношений
где c – произвольная постоянная.
Второй случай разрешимости уравнений (26)-(28) характеризуется равенствами:
α1 = 0, α2 = 0, α3 = 1, a1B11 = a2B22, B11 + B22 + B33 = 0,
b1 =
B11
2
, b2 =
a2B12
a2 − a1
, b3 =
a3
a3 − a1
(B13 − λ1) , d1 =
a1B12
a1 − a2
,
d2 =
B22
2
, d3 =
a3
a3 − a2
(B23 − λ2) , e1 =
a1
a1 − a3
(B13 − λ1) ,
e2 =
a2
a2 − a3
(B23 − λ2) , e3 =
a1B11
2a3
, λ0 = − 2s3
a3B33
,
λ1 =
B13 [B11 (2a1 + 3a3) + a3 (B22 −B11)]
a3 (2B11 + B22)
, λ3 =
a3B33 − a1B11
2a3
,
λ2 =
B23 [B22 (2a2 + 3a3) + a3 (B11 −B22)]
a3 (2B22 + B11)
, s1 = λ0 (a1b3 − a3λ1) ,
s2 = λ0 (a2d3 − a3λ2) , C12 =
a1b2
2
(2B22 + B33)− a2d3
a3
(a3b3 − a3λ1) ,
C13 = a1b2d3 − a1b3
2
(2B11 + B33) , C23 = −a1b2b3 − a2d3
2
(B11 + 2B22) ,
C33 − C22 = a1
(
b2
2 − b2
3
)− a2d3B23 +
a1B11
4
(B22 −B33) ,
C11 − C33 = a2d
2
3 −
a2
1b
2
2
a2
+
1
4
B11 (B33 −B11) .
(44)
При условиях (44) инвариантные соотношения таковы:
x1 =
B11
2
ν1 +
a1B12
a2 − a1
ν2 +
a3
a3 − a1
(B13 − λ1) ν3,
x2 =
a1B12
a1 − a2
ν1 +
B22
2
ν2 +
a3
a3 − a2
(B23 − λ2) ν3,
x3 = −λ0 +
a1
a1 − a3
(B13 − λ1) ν1 +
a2
a2 − a3
(B23 − λ2) ν2 +
a1B11
2a3
ν3,
(45)
а уравнения (37) принимают более сложный вид, чем уравнения (42):
ν̇1 = −a3λ0ν2 + n1
(
ν2
2 + ν2
3
)− n2ν1ν2 − n3ν1ν3,
ν̇2 = a3λ0ν1 + n2
(
ν2
1 + ν2
3
)− n1ν1ν2 − n3ν2ν3,
ν̇3 = n3
(
ν2
1 + ν2
2
)− n1ν1ν3 − n2ν2ν3.
(46)
Так как в силу (38) и ω0 = (0, 0,−a3λ0) векторы n, ω0 в общем случае не орто-
гональны, то интеграла вида (39) для уравнений (46) не существует.
Рассмотрим интегрирование уравнений (42). Введем новые переменные
ν1 = sin θ cosϕ, ν2 = sin θ sinϕ, ν3 = cos θ. (47)
173
А.В. Мазнев
Тогда равенство ν · ν = 1 становится тождеством. Подставим выражения (47) в
уравнение (42) и интеграл (43). В результате несложных преобразований получим
θ̇ = ctg θ ·
√
µ2
0 sin2 θ − (c cos θ + a3λ0)
2, (48)
ϕ = −α0 + arccos
c cos θ + a3λ0
µ0 sin θ
, (49)
где µ0 =
√
n2
1 + n2
2, α0 = arctg n1
n2
.
Таким образом, из уравнения (48) вытекает, что θ = θ(t) – элементарная функ-
ция времени. После ее нахождения ϕ = ϕ(t) определим из формулы (49). Подста-
новка найденных функций θ(t), ϕ(t) в равенства (47) дает возможность установить
зависимости νi (i = 1, 3) от времени. Тогда соотношения (7), (41) позволяют опре-
делить основные переменные задачи от времени. Функция L(t) = λ̇(t) находится на
основании формул (7) и (47).
Рассмотрим второй случай. Пусть параметры задачи и инвариантных соотно-
шений удовлетворяют условиям (44). Тогда инвариантные соотношения принимают
вид (45). Интегрирование уравнений (46) проведем при λ0 = 0. Из условий (44) вы-
текает, что si = 0 (i = 1, 3), то есть центр масс гиростата неподвижен. Запишем
уравнения (46) в симметричной форме
ν̇i = ni − νi (n1ν1 + n2ν2 + n3ν3) . (50)
Пусть ν(0) – начальные значения переменных νi. Выберем их так, чтобы вектор
n был ортогонален вектору ν(0) =
(
ν
(0)
1 , ν
(0)
2 , ν
(0)
3
)
. Это позволяет записать решение
уравнений (50) в виде
νi(t) =
nν
(0)
i + ni shn(t− t0)
n chn(t− t0)
, (51)
где n =
√
n2
1 + n2
2 + n2
3. Как и первом случае функции (51) дают возможность по-
строить решение уравнений (1), (2), которые выражаются элементарными функци-
ями времени.
5. Вывод. Установлены условия существования трех инвариантных соотноше-
ний уравнений Кирхгофа-Пуассона в случае переменного гиростатического момента.
Найдены новые решения этих уравнений.
1. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta. Math. – 1899. – 22. – P. 201-358.
2. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной ка-
пельной жидкостью. – Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат. – 1949. – 2. – С. 152-309.
3. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. –
1972. – Вып. 4. – С. 52-73.
4. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. –
Киев: Наук. думка. – 1978. – 296 с.
5. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами // Вестн.
Моск. ун-та. Математика, механика. – 1970. – № 2. – С. 83-96.
6. Ковалев А.М. Нелинейные задачи и наблюдения в теории динамических систем // Киев: Наук.
думка. – 1980. – 175 с.
174
Случай трех инвариантных соотношений
7. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата //
Прикл. математика и механика. – 1999.– Т. 63, вып. 5. – С. 825-826.
8. Ковалева Л.М., Позднякович Е.В. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела
с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 100-105.
9. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего махо-
вик // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 80-86.
10. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным ги-
ростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 42-49.
11. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом
под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2010. –
Вып. 40. – С. 91-104.
12. Мазнев А.В. О прецессии сферического гиростата с переменным гиростатическим моментом в
поле силы тяжести // Вестник ДонНУ. Серия А: Естественные науки. – 2011. – № 1. – С. 14-18.
13. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The
equations of motion and their transformations. // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. – 5. – № 5. –
P. 747-754.
14. Горр Г.В., Узбек Е.К. Об интегрировании уравнений Пуассона в случае трех линейных инва-
риантных соотношений // Прикл. математика и механика. – 2002. – 66, вып. 3. – С. 418-426.
O.V. Maznyev
The case of the three invariant correlations non-autonomous gyrostat motion equations.
The terms of three invariant correlations existence of gyrostat motion equations under the action of
potential and gyroscopic forces in the case of a variable gyrostatic moment are got. The new solutions
of these equations, which are expressed by elementary functions on time are found.
Keywords: gyrostat, gyrostatic moment, invariant correlation.
О.В. Мазнєв
Випадок трьох iнварiантних спiввiдношень рiвнянь руху неавтономного гiростата.
Отримано умови iснування трьох iнварiантних спiввiдношень рiвнянь руху гiростата пiд дiєю потен-
цiальних i гiроскопiчних сил у випадку змiнного гiростатичного моменту. Знайдено новий розв’язок
вказаних рiвнянь, який виражається елементарними функцiями часу.
Ключовi слова: гiростат, гiростатичний момент, iнварiантне спiввiдношення.
Донецкий национальный ун-т
maznev_av@rambler.ru
Получено 18.03.12
175
|