Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах
Изучаются некоторые классы функций с нулевыми сферическими средними. Для таких классов получено описание в виде ряда по сферическим гармоникам.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124086 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах / И.М. Савостьянова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 176-182. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124086 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240862017-09-20T03:03:10Z Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах Савостьянова, И.М. Изучаются некоторые классы функций с нулевыми сферическими средними. Для таких классов получено описание в виде ряда по сферическим гармоникам. Вивчаються деякi класи функцiй з нульовими сферичними середнiми. Для таких класiв отримано опис у виглядi ряда за сферичними гармонiками. Some classes of functions with zero spherical averages are investigated. For such classes the description in the form of a number on spherical harmonics is obtained. 2012 Article Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах / И.М. Савостьянова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 176-182. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124086 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучаются некоторые классы функций с нулевыми сферическими средними. Для таких классов получено описание в виде ряда по сферическим гармоникам. |
| format |
Article |
| author |
Савостьянова, И.М. |
| spellingShingle |
Савостьянова, И.М. Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Савостьянова, И.М. |
| author_sort |
Савостьянова, И.М. |
| title |
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах |
| title_short |
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах |
| title_full |
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах |
| title_fullStr |
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах |
| title_full_unstemmed |
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах |
| title_sort |
взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124086 |
| citation_txt |
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах / И.М. Савостьянова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 176-182. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT savostʹânovaim vzvešennyesferičeskiesrednienaevklidovyhprostranstvah |
| first_indexed |
2025-07-09T00:49:42Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:49:42Z |
| _version_ |
1837128414909169664 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 517.5
c©2012. И.М. Савостьянова
ВЗВЕШЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ СРЕДНИЕ
НА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Изучаются некоторые классы функций с нулевыми сферическими средними. Для таких классов
получено описание в виде ряда по сферическим гармоникам.
Ключевые слова: сферические средние, сферические гармоники.
1. Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство размерности
n ≥ 2 с евклидовой нормой | · |, S = {x ∈ Rn : |x| = 1}, U = {x ∈ Rn : |x| > 1},
f - непрерывная функция на U . Предположим, что при всех y ∈ Rn, r > 1 + |y|,
справедливо равенство
∫
S
f(y + rσ)Pj(y + rσ)dσ = 0, (1)
где dσ – нормированная поверхностная мера на S, Pj(x) – произвольный однородный
гармонический многочлен степени не выше j, j ∈ {0, 1, . . .}.
Функции, удовлетворяющие (1.1) при j = 0 изучались С. Хелгасоном [1],
В.В. Волчковым [2] и другими авторами (см. [3], [4], [5]). В частности,хорошо из-
вестна теорема Хелгасона о носителе, утверждающая, что непрерывная функция с
нулевыми интегралами по всем сферам, охватывающим шар |x| ≤ 1, и убывающая
быстрее любой степени на бесконечности, равна нулю при |x| > 1.
В данной работе получено описание пространства решений системы интеграль-
ных уравнений (1) в терминах разложения функции в ряд по сферическим гармо-
никам (см. теорему 1 ниже). Этот результат является обобщением теоремы, полу-
ченной Волчковым В.В. в работе [2] (для единичной весовой функции).
2. Формулировка основного результата. Пусть ρ, σ – полярные координаты
в Rn (для всех x ∈ Rn ρ = |x|, а если x 6= 0, то σ = (σ1, ..., σn) = x/ρ ∈ S ).
Для любых 0 ≤ α < β ≤ ∞ обозначим Kα,β = {x ∈ Rn : α < |x| < β}. Пусть
{Y (k)
l } – фиксированный ортонормированный базис в пространстве Hk сферических
гармоник степени на S (см., например [6, c. 162]), ak – размерность пространства
Hk. При k = 0 имеем ak = 1. Положим Y
(0)
1 = 1/
√
ωn−1 , где ωn−1 – площадь S.
Любой функции f ∈ C(Kα,β) соответствует ряд Фурье
f(x) =
∞∑
k=0
ak∑
l=1
fkl(ρ)Y (k)
l (σ), (2)
где α < ρ < β,
fkl(ρ) =
∫
S
f(ρσ)Y (k)
l (σ)dσ.
176
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах
Обозначим через Sα,β,j множество непрерывных в Kα,β функций f , для которых
выполнено равенство (1) при всех y ∈ Rn, r > 0 таких, что r + |y| < β, α + |y| < r.
Теорема 1. Пусть f ∈ C(Kα,β). Тогда для того, чтобы f ∈ Sα,β,j, необходимо
и достаточно, чтобы коэффициенты разложения (2) функции f имели вид
fkl(ρ) = 0, 0 ≤ k ≤ j
fkl(ρ) =
k−j−1∑
ν=0
ck,l,ν,jρ
2ν−n−k+2, k > j,
где ck,l,ν,j – комплексные постоянные.
3. Вспомогательные построения.Как обычно, обозначим символами N,Z, Z+
множества натуральных, целых и целых неотрицательных чисел, соответственно.
Пусть SO(n) – группа вращений Rn с нормированной мерой Хаара dτ , T k(τ) – суже-
ние квазирегулярного представления группы SO(n) на пространство Hk [7, c. 426],
{tklp} – матрица представления T k(τ), т.е.
Y
(k)
l (τ−1σ) =
ak∑
p=1
tklp(τ)Y (k)
p (σ), τ ∈ SO(n). (3)
При n = 2 в дальнейшем будет использоваться следующий базис в Hk, k ≥ 1:
Y
(k)
1 (σ) = (σ1 + iσ2)k, Y
(k)
2 (σ) = (σ1 − iσ2)k.
Если τ – вращение на угол θ в R2, то для этого базиса tk11(τ) = e−ikθ, tk22(τ) =
eikθ, tk12(τ) = tk21(τ) = 0.
Если n ≥ 3, то для коэффициентов разложения (2) при всех 1 ≤ l, p ≤ ak имеет
место равенство
fkl(ρ)Y (k)
p (σ) = ak
∫
SO(n)
f(τ−1x)t(k)
lp (τ)dτ (4)
(см. [7, c. 431]).
Введем на пространстве C1(α, β) дифференциальный оператор dk, k ∈ Z, дей-
ствующий по правилу
(dkf)(t) = f ′(t)− k
t
f(t), f ∈ C1(α, β).
4. Свойства функций класса Sα,β,j.
Лемма 1. Пусть f ∈ Sα,β,j. Тогда:
а) f(τx) ∈ Sα,β,j, ∀τ ∈ SO(n);
б) если n = 2 и f = f(x1, x2), то функция g = f(x1,−x2) принадлежит Sα,β,j;
в) если f ∈ C1(Kα,β), то все частные производные первого порядка от f принад-
лежат Sα,β,j.
177
И.М. Савостьянова
Доказательство. Воспользовавшись инвариантностью меры dσ относительно
вращений τ , имеем
∫
S
f(τy + τrσ)Pj(y + rσ)dσ =
∫
S
f(τy + rξ)Pj(y + rτ−1ξ)dξ =
=
∫
S
f(τy + rξ)(Pj ◦ τ−1)(τy + rξ)dξ.
Поскольку (Pj ◦ τ−1) – однородный гармонический многочлен степени не выше j
(см. [7, c. 436]), из (1) получаем утверждение а).
Пусть теперь n = 2 и f = f(x1, x2). Используя инвариантность меры dσ относи-
тельно симметрий (σ1, σ2) → (σ1,−σ2), имеем
∫
S
f(y1 + rσ1,−y2 − rσ2)Pj(y1 + rσ1, y2 + rσ2)dσ =
=
∫
S
f(y1 + rσ1,−y2 + rσ2)Pj(y1 + rσ1, y2 − rσ2)dσ =
=
∫
S
f(y1 + rσ1,−y2 + rσ2)Qj(y1 + rσ1,−y2 + rσ2)dσ,
где Qj(x1, x2) = Pj(x1,−x2). Отсюда и (1) получаем утверждение б). Перейдем к
доказательству утверждения в). Продифференцируем равенство (1) по каждой ко-
ординате вектора y ∈ Rn. Получаем
∫
S
(
f(y + rσ)
∂Pj(y + rσ)
∂yi
+ Pj(y + rσ)
∂f(y + rσ)
∂yi
)
dσ = 0.
Поскольку ∂Pj(y+rσ)
∂yi
многочлен степени j − 1, то
∫
S
f(y + rσ)
∂Pj(y + rσ)
∂yi
dσ = 0.
Отсюда следует ∫
S
Pj(y + rσ)
∂f(y + rσ)
∂yi
dσ = 0,
что и требовалось доказать. ¤
Лемма 2. Пусть f ∈ Sα,β,j. Тогда каждое слагаемое в разложении (2) принад-
лежит Sα,β,j.
Доказательство. Пусть n = 2. Разложим f в ряд Фурье:
f(ρeiϕ) =
∑
m∈Z
fm(ρ)eimϕ.
Тогда
∫ 2π
0
f
(
ρei(ϕ+α)
)
e−ikαdα =
∑
m∈Z
fm(ρ)
∫ 2π
0
eimϕei(m−k)αdα = 2πfk(ρ)eikϕ. (5)
178
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах
Из равенства (1) и утверждения а) леммы 1 имеем
∫ 2π
0
f
(
yeiα + rei(ϕ+α)
)
Pj(y + reiϕ)dϕ = 0.
Домножим данное равенство на e−ikα, проинтегрируем его по α на [0; 2π] и поменяем
порядок интегрирования. Получаем
∫ 2π
0
∫ 2π
0
f
(
yeiα + rei(ϕ+α)
)
e−ikαdαPj(y + reiϕ)dϕ = 0.
Учитывая (5), замечаем, что
∫ 2π
0
fk(|y + reiϕ|)
(
y + reiϕ
|y + reiϕ|
)k
Pj(y + reiϕ)dϕ = 0.
Отсюда следует, что fk(ρ)eikϕ ∈ Sα,β,j .
Пусть теперь n ≥ 3. Применив к (1) утверждение а) леммы 1, при любом τ ∈
SO(n) получаем ∫
S
f(τ−1y + rτ−1σ)Pj(y + rσ)dσ = 0.
После умножения указаного равенства на tklp(τ), проинтегрируем его на SO(n)
∫
SO(n)
∫
S
f(τ−1y + rτ−1σ)tklp(τ)Pj(y + rσ)dσdτ = 0.
Поменяв порядок интегрирования и воспользовавшись формулой (4), получим
утверждение леммы 2. ¤
Лемма 3. Пусть f ∈ C1(α, β), k ∈ Z+ – фиксировано и при некотором Y ∈ Hk
функция f(ρ)Y (σ) принадлежит Sα,β,j Тогда:
а) (dkf)(ρ)Y (k+1)
l (σ) ∈ Sα,β,j, при всех 1 ≤ l ≤ ak+1;
б) если k ≥ 1, то (d2−k−nf)(ρ)Y (k−1)
l (σ) ∈ Sα,β,j, при всех 1 ≤ l ≤ ak−1.
Доказательство. Пусть n = 2. По условию f(ρ)eikϕ ∈ C1(α, β). По лемме 1 имеем
(f(ρ)eikϕ)′x1
∈ Sα,β,j . Поскольку
(f(ρ)eikϕ)′x1
=
(
f ′(ρ) + kρ−1f(ρ)
)
ei(k−1)ϕ +
(
f ′(ρ)− kρ−1f(ρ)
)
ei(k+1)ϕ,
отсюда и из леммы 1 получаем утверждения а), б).
Пусть n ≥ 3. Из условия и леммы 1 имеем ∂(f(ρ)Y (σ))
∂x1
∈ Sα,β,j . Дифференцируя,
находим
∂(f(ρ)Y (σ))
∂x1
=
∂(f(|x|))
∂x1
Y (x)
|x|k +
∂
∂x1
(
Y (x)
|x|k
)
f(|x|) =
= f ′(|x|)Y (x)
|x|k
xi
|x| + f(|x|)Y
′
x1
(x)
|x|k − kf(|x|) Y (x)
|x|k+1
x1
|x| =
179
И.М. Савостьянова
= |x|−1f(|x|)Y ′
x1
(
x
|x|
)
+ (dkf)(|x|) x1
|x|Y
(
x
|x|
)
=
= ρ−1f(ρ)U(σ) + (dkf)(ρ)σ1Y (σ),
где U(σ) = 0 при k = 0 и U(σ) = ρ1−k ∂(ρkY (σ))
∂x1
∈ Hk−1 при k ≥ 1. Имея ввиду, что
при k = 0 σ1Y (σ) ∈ H1, а при k ≥ 1 σ1Y (σ) = U0(σ) + U1(σ), где U0 ∈ Hk−1,
U1 ∈ Hk+1 (см. лемму 3.4 [6, c. 253]), получаем
∂(f(ρ)Y (σ))
∂x1
= (dkf)(ρ)U1(σ) + ρ−1f(ρ)U2(σ) + f ′(ρ)U3(σ), (6)
где U2, U3 ∈ Hk−1 при k ≥ 1 и равны нулю при k = 0. Отсюда и лемм 1, 2 следует
утверждение а) леммы 3. Докажем утверждение б). Положим
V1(σ) = (σ1 + iσ2)k, Vm(σ) = (σ1 + iσ2)k−1σm,
где k ≥ 1, 2 ≤ m ≤ n− 1. Рассмотрим функцию Fm(x) = f(ρ)Vm(σ), m = 1, ..., n− 1.
Учитывая, что Vm ∈ Hk, из леммы 2, получаем, что Fm ∈ Sα,β,j . Тогда по лемме 1,
имеем
∂F1
∂x1
− i
∂F1
∂x2
+
n−1∑
m=2
∂Fm
∂xm
∈ Sα,β,j .
Из определения Fm(x) находим
∂F1
∂x1
− i
∂F1
∂x2
+
n−1∑
m=2
∂Fm
∂xm
=
∂
∂x1
(
f(|x|)
(
x1 + ix2
|x|
)k
)
− i
∂
∂x2
(
f(|x|)
(
x1 + ix2
|x|
)k
)
+
+
n−1∑
m=2
∂
∂xm
(
f(|x|)xm
|x|
(
x1 + ix2
|x|
)k−1
)
=
(
x1 + ix2
|x|
)k−1
f ′(|x|)×
×
{(
x1 + ix2
|x|
)(
x1 − ix2
|x|
)
+
n−1∑
m=2
x2
m
|x|2
}
+
(
x1 + ix2
|x|
)k−1 f(|x|)
|x| ×
×
{
2k + n− 2− k
x2
1 + x2
2
|x|2 − k
n−1∑
m=2
x2
m
|x|2
}
= (d2−k−nf)(ρ)(σ1 + iσ2)k−1.
Поскольку (σ1 + iσ2)k−1 ∈ Hk−1, из леммы 2, получаем утверждение б). ¤
5. Доказательство основного результата.
Лемма 4. Пусть k ∈ N – фиксировано, g ∈ C(α, β) и g(ρ)Y (σ) ∈ Sα,β,j для
некоторого Y ∈ Hk. Тогда
g(ρ) =
k−j−1∑
m=0
cmρ2m−n−k+2, (7)
180
Взвешенные сферические средние на евклидовых пространствах
где cm – комплексные постоянные и сумма считается равной нулю при 0 ≤ k ≤ j.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда g ∈ C∞(α, β). Пусть
0 ≤ k ≤ j. Положим j = k и Pj(x) = Y (x), где Y (x) = |x|kY
(
x
|x|
)
. Из условия
имеем ∫
S
g(|y + rσ|)Y
(
y + rσ
|y + rσ|
)
Y (y + rσ)dσ = 0.
Положив y = 0, получаем
g(r)
∫
S
Y (σ)Y (σ)dσ = 0.
Отсюда g(r) = 0.
Пусть теперь k = j +1. Тогда по лемме 3 функция (d1−n−jg)(ρ)Y (j)
l (σ) принадле-
жит Sα,β,j . По доказанному d1−n−jg = 0. Отсюда g(ρ) = cρ1−n−j , где c – константа.
Продолжая аналогичные рассуждения, индукцией по k получаем, что g имеет вид
(7) для g ∈ C∞(α, β).
Общий случай получается отсюда стандартным приемом сглаживания (см. [2, c.
1313]). ¤
Перейдем к доказательству основного результата.
Доказательство теоремы 1.
Необходимость. Пусть f ∈ Sα,β,j . По лемме 2 имеем fkl(ρ)Y (k)
l (σ) ∈ Sα,β,j . При-
меняя лемму 4 при g(ρ) = fkl(ρ), получаем
fkl(ρ) = 0, 0 ≤ k ≤ j
fkl(ρ) =
k−j−1∑
ν=0
ck,l,ν,jρ
2ν−n−k+2, k > j,
что и требовалось. Докажем достаточность. Учитывая, что
HkHm ⊂ Hk−m + Hk−m+2 + ... + Hk+m
(см.[4, гл. 9, § 2.3]), из условия и леммы 2.1.7 [3] получаем, что fkl(ρ)Y (k)
p (σ) ∈ Sα,β,j
при всех k ≥ 0, 0 ≤ l, p ≤ ak. Положим
F (τ) =
∫
S
f(τ−1y + rτ−1σ)Pj(y + rσ)dσ, τ ∈ SO(n).
Умножая это равенство на tklp(τ) и интегрируя на SO(n), из (4) получаем
∫
SO(n)
F (τ)tklp(τ)dτ = 0.
Учитывая полноту системы tklp(τ) (см. [7, c. 435]) для n ≥ 3 и указанные в п. 3)
формулы для tklp(τ) при n = 2, заключаем, что F = 0 на SO(n). Отсюда f ∈ Sα,β,j .
Таким образом, теорема 1 доказана. ¤
181
И.М. Савостьянова
1. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 c.
2. Волчков В.В. Сферические средние на евклидовых пространствах // Укр. мат. журн.– 1998. –
Вып. 50, № 10. – С. 1310-1315.
3. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations.– Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 2003. – 454 pp.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces
and the Heisenberg group. – London: Springer, 2009. – 671 pp.
5. Rawat R., Srivastava. Spherical means in annular regions in the n-dimensional real hyperbolic spaces,
Proc. Indian Acad. Sci.(Math. Sci.) – 2011. – V. 121, № 3. – P. 311-325.
6. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир,
1974. – 336 c.
7. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. – М.: Наука, 1991. – 576 c.
I.M. Savostyanova
The weighed spherical averages on Euclid’s spaces.
Some classes of functions with zero spherical averages are investigated. For such classes the description
in the form of a number on spherical harmonics is obtained.
Keywords: spherical averages, spherical harmonics.
I.М. Савостьянова
Зваженi сферичнi середнi на евклiдових просторах.
Вивчаються деякi класи функцiй з нульовими сферичними середнiми. Для таких класiв отримано
опис у виглядi ряда за сферичними гармонiками.
Ключовi слова: сферичнi середнi, сферичнi гармонiки.
Донецкий национальный ун-т
cavost@mail.ru
Получено 15.12.11
182
|