Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень
У роботi отримано теорему єдиностi для розв’язку рiвняння середнiх значень, а також теорему, що вказує на точнiсть зазначеної теореми єдиностi.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124092 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 234-242. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124092 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240922017-09-20T03:03:42Z Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень Трофименко, О.Д. У роботi отримано теорему єдиностi для розв’язку рiвняння середнiх значень, а також теорему, що вказує на точнiсть зазначеної теореми єдиностi. В работе получена теорема единственности для решения уравнения средних значений, а также теорема, которая указывает на точность указанной теоремы единственности. A uniqueness theorem for solutions of the mean value equations has been obtained. A theorem, which indicates an exactness of this uniqueness theorem, is obtained as well. 2012 Article Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 234-242. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124092 517.5 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботi отримано теорему єдиностi для розв’язку рiвняння середнiх значень, а також теорему, що вказує на точнiсть зазначеної теореми єдиностi. |
| format |
Article |
| author |
Трофименко, О.Д. |
| spellingShingle |
Трофименко, О.Д. Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Трофименко, О.Д. |
| author_sort |
Трофименко, О.Д. |
| title |
Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_short |
Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_full |
Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_fullStr |
Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_full_unstemmed |
Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_sort |
теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124092 |
| citation_txt |
Теорема єдиності для розв'язків деяких рівнянь середніх значень / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 234-242. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT trofimenkood teoremaêdinostídlârozvâzkívdeâkihrívnânʹseredníhznačenʹ |
| first_indexed |
2025-07-09T00:50:19Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:50:19Z |
| _version_ |
1837128452830920704 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 517.5
c©2012. О.Д. Трофименко
ТЕОРЕМА ЄДИНОСТI ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
ДЕЯКИХ РIВНЯНЬ СЕРЕДНIХ ЗНАЧЕНЬ
У роботi отримано теорему єдиностi для розв’язку рiвняння середнiх значень, а також теорему, що
вказує на точнiсть зазначеної теореми єдиностi.
Ключовi слова: теорема єдиностi, теорема про середнє, сферичнi середнi.
1. Вступ. Одним iз напрямкiв у дослiдженнi класичної теореми про середнє є
опис класiв функцiй, якi задовольняють iнтегральним рiвнянням, що мають, у свою
чергу, певний геометричний сенс. Результати з цього напрямку можна побачити у
роботах М.О. Рiда (див.[1]), В.В. Волчкова (див.[2], [3]), а також у працях [4] та [5].
На шляху з’ясування вигляду функцiї, що є розв’язком наперед заданого рiв-
няння, постає питання єдиностi цього розв’язку.
У данiй роботi отримано теорему єдиностi (див. Теорема 1) для розв’язку рiв-
няння iз середнiм значенням по кругу, до якого входить значення функцiї та деяких
її похiдних у центрi заданого круга. Показано, що Теорема 1 є точною (див. Теорема
2).
Для формулювання основних результатiв роботи нам знадобляться наступнi по-
значення.
Нехай BR – вiдкрите коло радiуса R на C з центром у точцi нуль. Для ζ ∈ C
позначимо ζ = ξ + iη, де ξ = Reζ та η = Imζ. Також s ∈ Z, m ∈ N та 0 ≤ s ≤ m− 1.
Далi введемо для функцiї f ∈ L1,loc(BR) вiдповiдний ряд Фур’є
f(z) ∼
∞∑
k=−∞
fk(ρ)eiϕk, (1)
де ρ = |z|, ϕ = arg z та
fk(ρ) =
1
2π
π∫
−π
f(ρeit)e−itkdt. (2)
Позначимо E ′rad(R2) множину всiх розподiлiв f в R2 iз компактним носiєм таких,
що f(zeiα) = f(z) для кожного α ∈ R1.
2. Формулювання основних результатiв. Теорема єдиностi для функцiй iз
вiдповiдною гладкiстю, що задовольняє iнтегральному рiвнянню, має наступний
вигляд.
Теорема 1. Нехай k ∈ Z, f ∈ C |k|+2(m−1)−s(BR), R > r i f(z) = fk(ρ)eikϕ. Нехай
234
Теорема єдиностi для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
також для |z| < R− r функцiя f задовольняє рiвнянню
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(z) =
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
f(ζ)(ζ − z)sdξdη, (3)
та f = 0 в Br. Тодi f ≡ 0 в BR.
Наступною теоремою покажемо, що суттєво посилити умови Теореми 1 немож-
ливо.
Теорема 2. Для будь-якої ε ∈ (0, r) iснує f ∈ C∞(C) iз наступними властиво-
стями:
1. функцiя f задовольняє (3) для z ∈ C;
2. f = 0 в Br−ε;
3. f 6≡ 0.
3. Допомiжнi конструкцiї. Для доведення Теореми 1 нам знадобляться на-
ступнi леми.
Лема 1. Нехай H ∈ Cs[r −R, R− r], H(−x)(−1)s = H(x) та
hs(x) =
π∫
−π
H(x cos t) cos stdt ≡ 0. (4)
Тодi H – полiном степеню не вище s− 1 при s ≥ 1 та H ≡ 0 при s = 0.
Доведення. При s = 0 замiною iнтегральне рiвняння (4) приводиться до рiвняння
Абеля, звiдки H ≡ 0.
Далi при s = 1 за допомогою наступної тотожностi
h′s(x) +
s
x
hs(x) =
π∫
−π
H ′(x cos t) cos(s− 1)tdt.
отримаємо
h′1(x) +
1
x
h1(x) =
π∫
−π
H ′(x cos t)dt = 0,
звiдки H – деяка константа.
Тепер нехай H =
s−1∑
k=0
ckx
s i при iндексi s + 1 маємо
π∫
−π
H ′(x cos t) cos stdt ≡ 0.
235
О.Д. Трофименко
Беручи iнтеграл по x вiд обох частин останньої рiвностi, отримаємо, що
H =
s∑
k=0
ckx
s.
Отже, за iндукцiєю отримаємо шукане твердження Леми 1. ¤
Лема 2. Нехай r > 0, f ∈ C2m−2−s(BR), R > r. I нехай для даної функцiї
на множинi |z| < R − r виконується рiвнiсть (3). Тодi ∀β ∈ [0, 2π] i ∀z ∈ BR−r
виконується рiвнiсть
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(zeiβ) =
=
1
2π
∫ ∫
|ζeiβ−zeiβ |≤r
f(ζ)
(
(ζ − z)eiβ
)s
dξdη.
Доведення. Зробимо замiну ζ ′ = ζeiβ . Тодi (3) має вигляд
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(z) =
=
1
2π
∫ ∫
|ζ′e−iβ−z|≤r
f(ζ ′e−iβ)
(
ζ ′e−iβ − z
)s
dξdη.
Далi, змiнюючи центр на zeiβ , отримаємо
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(zeiβ) =
=
1
2π
∫ ∫
|ζ′−zeiβ |≤r
f(ζ ′e−iβ)
(
ζ ′ − zeiβ
)s
dξdη.
Це i є шукана рiвнiсть. ¤
Лема 3. Нехай функцiя f ∈ Cm(BR), i для неї виконується рiвнiсть (3) при
|z| < R− r. Тодi ця рiвнiсть виконується для кожного доданку ряду Фур’є (1) цiєї
функцiї, i навпаки.
Доведення.
Необхiднiсть.
Помножимо лiву i праву частини рiвностi (3) на e−iβk i проiнтегруємо за β вiд
−π до π. Враховуючи Лему 2, маємо
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
π∫
−π
∞∑
k=−∞
fk(ρ)eikϕeiβke−iβkdβ =
236
Теорема єдиностi для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
=
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
(ζ − z)s
π∫
−π
∞∑
k=−∞
fk(ρ̃)eikγeiβke−iβkdβdξdη,
де ζ = ρ̃eiγ . Тодi
m−1∑
n=s
r2n+2
2(n− s)!(n + 1)!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
fk(ρ)eikϕ =
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
(ζ − z)sfk(ρ̃)eikγdξdη.
Достатнiсть. Нехай
λ(β) =
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
(ζ − z)sf(ρ̃ cos(γ + β), ρ̃ sin(γ + β))dξdη−
−
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(ρ cos(ϕ + β), sin(ϕ + β)).
Тодi маємо наступне
π∫
−π
λ(β)e−iβkdβ =
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
(ζ − z)s
π∫
−π
f(ρ̃ cosβ, ρ̃ sinβ)e−iβkdβeikγdξdη−
−
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
π∫
−π
f(ρ cosβ, sinβ)e−iβkdβeikϕ.
Отже, рiвнiсть λ(β) = 0 завершує доведення Леми 3. ¤
Лема 4. Нехай f ∈ Cs+1(BR), R > r. Нехай також f – радiальна, задовольняє
рiвнянню (3) для |z| < R− r та f = 0 в Br. Тодi f = 0 в BR.
Доведення. За наслiдком з [2, ч. 1, гл. 8] iснує така функцiя g ∈ Cs(−R,R), що
g = 0 в [−r, r] та f(ρ) =
π∫
−π
g(ρ cosϕ)dϕ.
Тепер достатньо показати, що g ≡ 0 в (−R, R). Нехай
Ψ(z, α) =
∫
|ζ|≤r
G(ζ + z)Φα(ζ)dξdη, (5)
де z ∈ C, α ∈ R1, а також g([ζ]) = G(ζ), ζ ∈ C, де [ζ] = Reζ = ξ та Φα(ζ) = (ζe−iα)s.
Далi з (5) маємо
Ψ(z, α + η) =
∫
|ζ−z|≤r
G(ζ)Φα+η(ζ − z)dξdη =
∫
|ζ−z|≤r
G(ζ)Φα(ζ − z)e−iηdξdη.
237
О.Д. Трофименко
Нарештi
Ψ(z, α + η) =
∫
|ζ−ze−iη|≤r
G(ζeiη)Φα(ζ − ze−iη)dξdη,
а також
Ψ(zeiη, α + η) =
∫
|ζ−z|≤r
G(ζeiη)Φα(ζ − z)dξdη.
Проiнтегруємо здобутий вираз
π∫
−π
Ψ(zeiη, α + η)dη =
∫
|ζ−z|≤r
π∫
−π
G(ζeiη)dηΦα(ζ − z)dξdη.
Тодi маємо
π∫
−π
g([ζeiη])dη =
π∫
−π
g(ρ cos(ϕ + η))dη = 0
i
π∫
−π
Ψ(zeiη, α + η)dη = 0,
де |z| < R− r, z = ρeiϕ.
Тепер позначимо Ψ(z, α) = H([z])e−iαs, тодi
π∫
−π
H([zeiη])e−i(α+η)sdη = 0.
Враховуючи замiну t = ϕ + η, отримаємо
π∫
−π
H(ρ cos t)e−itsdt = 0,
де 0 ≤ ρ < R− r.
Тодi маємо, що
π∫
−π
H(ρ cos t) cos(ts)dt = 0.
Отже, H ∈ Cs[r −R, R− r] i за Лемою 1 отримаємо, що
H(u) =
s−1∑
ν=0
cνu
ν .
Тодi
(
d
du
)s
H(u) ≡ 0, а при умовi, що z = x, маємо
(
d
dx
)s
H(x) ≡ 0 i
(
d
dx
)s
H(x)e−iαs =
(
d
dx
)s
Ψ(x, α) =
∫
|ζ|≤r
g(s)([ζ] + x)Φα(ζ)dξdη = 0.
238
Теорема єдиностi для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
Звiдси g(s) = 0 при r − R < x < R − r. Тодi, враховуючи умови на функцiю g,
отримаємо, що g ≡ 0. ¤
Для доведення Теореми 2 знадобляться наступнi конструкцiї.
Нехай
T (z) = Js+1(z)−
m−1∑
n=s
z2n−s+1(−1)n−s−1
(2n + 2)(n− s)!n!22n−s
,
де Js+1(z) – функцiя Бесселя.
Позначимо через ZT – множину всiх нулiв функцiї T (z). З асимптотики функцiй
Бесселя маємо, що
|Imλ| ≤ b1 ln(|λ|+ 2), (6)
де b1 – деяка додатня константа.
Нехай також Φλ(z) = Φ0,1
λ,η(z) =
(
d
dλ
)η
(Jk(λρ)), де λ ∈ ZT , η = 0, ..., nλ − 1 (nλ –
кратнiсть λ).
Можна зазначити, що ∃Λ : nλ = 1 при |λ| > Λ.
4. Доведення основних результатiв. Доведемо Теорему 1.
Доведення. Достатньо довести, враховуючи Лему 3, що fk(ρ) = 0 для будь-якого
k ∈ Z.
При k = 0 це випливає з Леми 4.
Нехай k > 0. Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що теорема є вiрною
при iндексах 0, ..., k − 1.
З [5] маємо, що
(
f ′k(ρ) + k fk(ρ)
ρ
)
ei(k−1)ϕ задовольняє (3) i дорiвнює нулевi в Br.
За нашим припущенням f ′k(ρ) + k fk(ρ)
ρ = 0 i fk(ρ) = 0 при ρ ∈ (0, r) (див.(2)).
Тодi fk(ρ) = 0 на (0, R).
Аналогiчно розглядається випадок k < 0.
Таким чином, Теорема 1 доведена. ¤
Тепер доведемо Теорему 2.
Доведення. Вiзьмемо радiальну функцiю g1 ∈ C∞(Br). Нехай g1 = 0 в Br−ε+δ,
де δ < ε
2 , а також g1 6≡ 0.
Маємо наступне (див.[2, наслiдок 3.5.3])
∣∣∣∂βΦλ(z)
∣∣∣ ≤ b2e
|Imλ||z| ≤ b2e
|Imλ|(r+α),
де α > δ, а b2 – деяка додатня константа.
Далi з нерiвностi (6)
∣∣∣∂βΦλ(z)
∣∣∣ ≤ b2e
(r+α)c1 ln(|λ|+2) = b2(|λ|+ 2)(r+α)b1 . (7)
Згiдно з [3, Лема 3.2.2] iснує hλ,η ∈ E ′rad(Rn): supphλ,η ⊂ Br i
〈h,∆νg1〉 = 0, (8)
де ν = 0, ..., N , а N ∈ N.
239
О.Д. Трофименко
Позначимо g =
(
N+1∑
i=0
γi|z|2i
)
g1(|z|), де γi ∈ C i
N+1∑
i=0
|γi| 6= 0.
Не обмежуючи загальностi, можна вважати, враховуючи (8), що
〈h,∆νg〉 =
N+1∑
i=0
γi〈h,∆νgi〉 = 0,
для виконання цього маємо γi у кiлькостi N + 2, а рiвнянь – у кiлькостi N + 1.
У крузi |z| ≤ r iз [2, доведення Леми 3.2.11] маємо
g(z) =
∑
λ∈ZT
cλΦλ(z) + p0(|z|), (9)
де p0(|z|) – деякий полiном.
До того ж, виходячи з нерiвностi (7), маємо
cλ = O
(
1
λq0
)
,
де q0 > (r + α)c1 + 1 (див. [2], роздiл 3).
Тодi ряд у рiвностi (9) збiгається рiвномiрно в |z| ≤ r + α.
Також nλ = 1 при |λ| > Λ маємо
g(z) =
∑
|λ|>Λ
cλΦ0,1
λ,0(z) + G(z), (10)
де G(z) =
∑
0<|λ|<Λ
cλΦλ(z) + p0(|z|).
Звiдси g ∈ C(Kr+α), де Kr+α = {z ∈ C : r ≤ |z| ≤ r + α}.
Нехай також ϕ = ϕ0(|z|), ϕ ∈ C∞(C), i ϕ = 0 поза кругом B δ
2
та ϕ 6≡ 0.
Тодi позначаємо
g = g ∗ ϕ =
∫ ∫
|z−ω|≤ δ
2
g(ω)ϕ(z − ω)dudv =
∫ ∫
|ω|≤ δ
2
ϕ(ω)g(z − ω)dudv, (11)
де ω = u + iv.
Тодi з (10), [2, наслiдок 3.5.2], та [2, рiвностi (3.7.8)-(3.7.10)] маємо
g =
∑
|λ|>Λ
cλϕ̃(λ)Φλ(z) + G ∗ ϕ,
де ϕ̃(λ) – сферичне перетворення ϕ та доданок (G ∗ ϕ) ∈ C∞(C).
Далi з [2, доведення Леми 3.2.2] отримаємо ϕ̃(z) = 1
(iz)2k ∆̃kϕ(z) для всiх k ∈ N.
Тодi, мiркуючи далi, отримаємо
ϕ̃(z) =
1
(iz)2k
∫
B δ
2
(
∆kϕ
)
(ω)J0(z|ω|)dudv,
240
Теорема єдиностi для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
де |J0(z|ω|)| ≤ e|Imz|ω|| ≤ e|Imz| δ
2 .
Це означає, що
|ϕ̃(z)| ≤ b2
|z|2k
e
δ
2
|Imz|
де b2 – деяка константа.
Нарештi,
ϕ̃(λ) ≤ b2
|λ|2k
e
δ
2
b1(ln |λ|+2),
i ряд
∑
λ
∂β (cλϕ̃(λ)Φλ(z)) для будь-якого β ∈ Z2
+ збiгається локально рiвномiрно в C.
Отже, маємо, що g ∈ C∞(C).
Тепер покажемо, що функцiя g задовольняє рiвностi (3).
З рiвностi (9) та (11) маємо
∫ ∫
|ω|≤ δ
2
m−1∑
n=s
ϕ(ω)r2n+2
2(n− s)!(n + 1)!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
∑
λ∈ZT
cλΦλ(z − ω) + p0(|z − ω|)
dudv =
=
∫ ∫
|ω|≤ δ
2
ϕ(ω)
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
∑
λ∈ZT
cλΦλ(ζ − ω) + p0(|ς − ω|)
(ζ − ω − z)sdξdηdudv.
Функцiя виду Φλ(z) задовольняє рiвнянню (3) (див. [2], глава 3.2). I полiном
p0(|z|) також задовольняє (3) (див.[4, теорема 2]).
Таким чином, рiвнiсть (3) виконується для функцiї g.
Далi, легко побачити, що при z ∈ Br
g =
∫ ∫
|z−ω|≤ δ
2
g(ω)ϕ(z − ω)dudv = 0
в силу умов для g1 та ϕ. Таким чином, g = 0 в Br−ξ.
Нарештi, доведемо, що g 6≡ 0 в C.
Припустимо, що g ∗ ϕ = g1 ∗ ϕ ≡ 0, де нехай
g1 =
{
g, |z| ≤ r,
0, |z| > r.
Переходячи до перетворення Фур’є, отримаємо
ĝ1 ∗ ϕ = ĝ1ϕ̂ ≡ 0,
де функцiя ĝ1 – неперервна, а ϕ̂ – цiла.
Отже, маємо, що ĝ1 ≡ 0 та
g1 ≡ 0.
Таким чином, отримано протирiччя iз означенням g1. Тодi маємо, що g 6≡ 0.
Отже, теорема доведена. ¤
241
О.Д. Трофименко
1. Maxwell O.Reade A theorem of Fedoroff // Duke Math.J, 18. – 1951. – P. 105-109.
2. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equation. Dordrecht-Boston-London: Kluwer
Academic Publishers, 2003. – 454 p.
3. Волчков В.В. Теоремы о среднем для одного класса полиномов // Сибирский математический
журнал, 35, № 4. – 1994. – C. 737-745.
4. Трофименко О.Д. Узагальнення теореми про середнє для полiаналiтичних функцiй у випадках
кола та круга // Вiсник Донецького Нацiонального Унiверситету, № 1, серiя А. – Донецьк. –
2009. – C. 20-28.
5. Трофименко О.Д. Аналог теореми про середнє для полiномiв спецiального виду // Український
математичний журнал, 63. – 2011. – C. 669-707.
O.D. Trofymenko
Uniqueness theorem for solutions of some mean value equations.
A uniqueness theorem for solutions of the mean value equations has been obtained. A theorem, which
indicates an exactness of this uniqueness theorem, is obtained as well.
Keywords: uniqueness theorem, mean value theorem, spherical averages.
О.Д. Трофименко
Теорема единственности для решения некоторых уравнений средних значений.
В работе получена теорема единственности для решения уравнения средних значений, а также
теорема, которая указывает на точность указанной теоремы единственности.
Ключевые слова: теорема единственности, теорема о среднем, сферические средние.
Донецький нацiональний ун-т
odtrofimenko@gmail.com
Получено 24.05.12
242
|