Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса
Найдены необходимые и достаточные условия существования решений линейной нетеровой краевой задачи для системы обычных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124093 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса / С.М. Чуйко, П.В. Кулиш // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 243-252. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124093 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240932017-09-20T03:03:39Z Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса Чуйко, С.М. Кулиш, П.В. Найдены необходимые и достаточные условия существования решений линейной нетеровой краевой задачи для системы обычных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса. Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв лiнiйної нетерової крайової задачi для системи звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку параметричного резонансу. We construct necessary and sufficient conditions for the existence of solution of Noether linear boundary value problem for a parametric excitation system of ordinary differential equations. 2012 Article Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса / С.М. Чуйко, П.В. Кулиш // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 243-252. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124093 517.9 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдены необходимые и достаточные условия существования решений линейной нетеровой краевой задачи для системы обычных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса. |
| format |
Article |
| author |
Чуйко, С.М. Кулиш, П.В. |
| spellingShingle |
Чуйко, С.М. Кулиш, П.В. Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Чуйко, С.М. Кулиш, П.В. |
| author_sort |
Чуйко, С.М. |
| title |
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса |
| title_short |
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса |
| title_full |
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса |
| title_fullStr |
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса |
| title_full_unstemmed |
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса |
| title_sort |
линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124093 |
| citation_txt |
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса / С.М. Чуйко, П.В. Кулиш // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 243-252. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT čujkosm linejnaâneterovakraevaâzadačavslučaeparametričeskogorezonansa AT kulišpv linejnaâneterovakraevaâzadačavslučaeparametričeskogorezonansa |
| first_indexed |
2025-07-09T00:50:25Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:50:25Z |
| _version_ |
1837128459187388416 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 517.9
c©2012. С.М. Чуйко, П.В. Кулиш
ЛИНЕЙНАЯ НЕТЕРОВА КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
В СЛУЧАЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА
Найдены необходимые и достаточные условия существования решений линейной нетеровой краевой
задачи для системы обычных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса.
Ключевые слова: краевая задача, дифференциальные уравнения, параметрический резонанс.
1. Постановка задачи. Исследована задача о построении решения z(t, ε) :
z(·, ε) ∈ C1[a, b], z(t, ·) ∈ C[0, ε0] нетеровой (m 6= n) краевой задачи [1]
dz/dt = A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), `z(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε) (1)
в малой окрестности решения порождающей задачи
dz0/dt = A(t)z0 + f(t), `z0(·) = α, α ∈ Rm. (2)
Здесь A(t)− (n×n)− мерная матрица и f(t)− n− мерный вектор-столбец, элементы
которых – непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, `z(·) – линейный
ограниченный векторный функционал `z(·) : C[a, b] → Rm. Положим
Z(z, t, ε) := W (t, µ(ε))z(t, ε), J(z(·, ε), ε) := $(µ(ε))z(·, ε),
где W (t, µ(ε)) – непрерывная по t на отрезке [a, b] (n × n)− матрица, $(µ(ε))z(·, ε)
– линейный функционал. Считаем неизвестную µ(ε) ∈ R1 непрерывной функцией
малого параметра ε. Исследуем критический случай (PQ∗ 6= 0); при условии
PQ∗
{
α− `K
[
f(s)
]
(·)
}
= 0, Q := `X(·) ∈ Rm×n (3)
порождающая задача (2) имеет (r = n− n1)− параметрическое семейство решений
z0(t, c0) = Xr(t)c0 + G
[
f(s);α
]
(t), Xr(t) := X(t)PQr , c0 ∈ Rr.
Здесь X(t)− нормальная (X(a) = In) фундаментальная матрица однородной части
системы (2), rank Q := n1, PQr− (n × r)− матрица, составленная из r− линейно-
независимых столбцов (n × n)− матрицы-ортопроектора PQ : Rn → N(Q) и PQ∗−
(m×m)− матрица-ортопроектор PQ∗ : Rm → N(Q∗) ,
G
[
f(s);α
]
(t) = X(t)Q+
{
α− `K
[
f(s)
]
(·)
}
+ K
[
f(s)
]
(t)
243
С.М. Чуйко, П.В. Кулиш
– обобщенный оператор Грина краевой задачи (2),
K
[
f(s)
]
(t) = X(t)
∫ t
a
X−1(s)f(s)ds
– оператор Грина задачи Коши для системы (2), Q+− псевдообратная матрица по
Муру-Пенроузу [1]. Представим неизвестную функцию µ(ε) в виде
µ(ε) := µ0 + ν(ε), µ0 := µ(0)
и зафиксируем вектор c∗0 ∈ Rr, определяющий порождающее решение z0(t, c∗0). Пред-
положим матрицу
W (t, µ) := V (t)µ(ε) + W (t, 0), W (t, µ(ε)) ∈ Rr×r
и линейный функционал
$(µ(ε))z(·, ε) := θz(·, ε) · µ(ε) + ϑz(·, ε), θz(·, ε), ϑz(·, ε) : C[a, b] → Rm
линейными однородными функциями неизвестной µ(ε); здесь θz(·, ε) и ϑ(z0(·, c∗0)) –
линейные векторные функционалы θz(·, ε), ϑ(z0(·, c∗0)) : C[a, b] → Rm. Поставленная
задача обобщает традиционные периодические краевые задачи в случае параметри-
ческого резонанса, исследованные в монографиях [3, 4, 5].
2. Условия существования решения. Предположим, что задача (1) имеет
решение, обращающееся при ε = 0 в порождающее z0(t, c∗0). Оставляя ρ линейно
независимых строк необходимого условия [1], приходим к уравнению
F(c∗0, µ0) := D0 · µ0 + PQ∗ρ
{
ϑz0(·, c∗0)− `K
[
W (s, 0)z0(s, c∗0)
]
(·)
}
= 0, (4)
где
D0 := PQ∗ρ
{
θz0(·, c∗0)− `K
[
V (s)z0(s, c∗0)
]
(·)
}
∈ Rρ×1.
Здесь PD0− (1× 1)− мерная матрица-ортопроектор: R1 → N(D0); аналогично PD∗0−
(ρ × ρ)− мерная матрица-ортопроектор: Rρ → N(D∗
0), PQ∗ρ ∈ Rρ×m – матри-
ца, составленная из ρ линейно независимых строк ортопроектора PQ∗ . В случае
PD∗0PQ∗ρ = 0, PD0 = 0 последнее уравнение имеет единственное решение
µ∗0 = −D+
0 · PQ∗ρ
{
ϑz0(·, c∗0)− `K
[
W (s, 0)z0(s, c∗0)
]
(·)
}
.
Необходимые условия существования решения нетеровой краевой задачи (1) в слу-
чае параметрического резонанса определяет следующая лемма.
Лемма. Пусть краевая задача (1) представляет критический (PQ∗ 6= 0) случай
и выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Предположим
244
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса
также, что задача (1) имеет решение, обращающееся при ε = 0 в порождающее
z0(t, c∗0) и существует непрерывная функция µ(ε) : µ(0) := µ∗0. Тогда F(c∗0, µ
∗
0) = 0;
при условии PD∗0PQ∗ρ = 0, PD0 = 0 имеет место равенство
µ∗0 = −D+
0 · PQ∗ρ
{
ϑz0(·, c∗0)− `K
[
W (s, 0)z0(s, c∗0)
]
(·)
}
.
В случае PD∗0PQ∗ρ = 0, PD0 = 0 для фиксированного вектора c∗0 ∈ Rr константа
µ∗0 определяет порождающее решение z0(t, c∗0), в малой окрестности которого мо-
гут существовать искомые решения исходной задачи (1). По аналогии с нетеровыми
слабонелинейными краевыми задачами в критическом случае [1], а также периоди-
ческими краевыми задачами [2], уравнение F(c∗0, µ0) = 0 будем называть уравне-
нием для порождающих констант задачи (1) в случае параметрического резонанса.
Фиксируя одно из решений c∗0 ∈ Rr, µ∗0 ∈ R1 уравнения (4), приходим к задаче об
отыскании решения z(t, ε) = z0(t, c∗0)+x(t, ε) задачи (1) в окрестности порождающе-
го решения z0(t, c∗0), а также функции ν(ε) ∈ C[0, ε0]. Отклонение от порождающего
решения определяет краевая задача
dx(t, ε)/dt = A(t)x(t, ε) + εZ(z0(t, c∗0) + x(t, ε), t, ε), (5)
` x(·, ε) = εJ(z0(·, c∗0) + x(·, ε), ε), (6)
разрешимая тогда и только тогда, когда
D0 · ν(ε) = −PQ∗ρ
{
µ(ε) · θx(·, ε) + ϑx(·, ε)− `K
[
µ(ε)V (s)x(s, ε) + W (s, 0)x(s, ε)
]
(·)
}
.
Последнее уравнение при условии PD∗0PQ∗ρ = 0, PD0 = 0 разрешимо, при этом задача
(5), (6) имеет единственное решение, которое определяет операторная система
x(t, ε) = εG
{
W (s, µ(ε))
[
z0(s, c∗0) + x(s, ε)
]
; $(µ(ε))
[
z0(·, c∗0) + x(·, ε)
]}
(t),
µ(ε) = µ∗0 −D+
0 · PQ∗ρ
{
µ(ε) · θx(·, ε) + ϑx(·, ε)− (7)
−`K
[
µ(ε)V (s)x(s, ε) + W (s, 0)x(s, ε)
]
(·)
}
.
Для построения решения системы (7) в случае PD∗0PQ∗ρ = 0, PD0 = 0 применим
метод простых итераций [1, 2]. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Пусть для краевой задачи (1) имеет место критический случай
PQ∗ 6= 0 и выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Тогда для
каждого корня c∗0 ∈ Rr, µ∗0 ∈ R1 уравнения (4) при условиях PD∗0PQ∗ρ = 0 и PD0 = 0
245
С.М. Чуйко, П.В. Кулиш
задача (5), (6) имеет единственное решение x(t, ε) ∈ C1[a, b], C[0, ε0], определяемое
операторной системой (7), и существует непрерывная функция µ(ε) : µ(0) := µ∗0.
При этом нетерова задача (1) имеет единственное решение z(t, ε) : z(·, ε) ∈
C1[a, b], z(t, ·) ∈ C[0, ε0], z(t, 0) = z0(t, c∗0). Для построения решения операторной
системы (7) для ε ∈ [0, ε∗] применима итерационная схема
xk+1(t, ε) = εG
{
W (s, µk(ε))
[
z0(s, c∗0) + xk(s, ε)
]
; $(µk(ε))
[
z0(·, c∗0) + xk(·, ε)
]}
(t),
µk+1(ε) = µ∗0 −D+
0 · PQ∗ρ
{
µk(ε) · θxk+1(·, ε) + ϑxk+1(·, ε)−
−`K
[
µk(ε)V (s)xk+1(s, ε) + W (s, 0)xk+1(s, ε)
]
(·)
}
, k = 0, 1, 2, ... .
Длина отрезка [0, ε∗], на котором применим метод простых итераций, может быть
оценена, как посредством мажорирующих уравнений Ляпунова [1, 2], так и из усло-
вия сжимаемости оператора, определяемого системой (7) аналогично [8].
3. Периодическая задача для уравнения Матье. Условия доказанной тео-
ремы выполняются в случае 2π-периодической задачи [2] для уравнения Матье
y′′ +
(
h(ε) + ε cos 2t
)
· y = 0. (8)
Решения y(t, ε) : y(·, ε) ∈ C2[0, 2π], y(t, ·) ∈ C[0, ε0] периодической задачи для
уравнения (8) ищем в малой окрестности решения порождающей 2π-периодической
задачи для уравнения y′′0 + k2y0 = 0, k ∈ N. Нами предложена двухшаговая ите-
рационная схема, построенная по схеме метода наименьших квадратов [6, 7], при
фиксированном k ∈ N определяющая последовательные приближения к функции
h(ε) : h(·) ∈ C[0, ε0], h(0) = k2 и соответствующей функции Матье y(t, ε). Положим
k = 1. Согласно принятым обозначениям, приходим к задаче о нахождении 2π−
периодического решения
z(t, ε) = col
(
z(a)(t, ε), z(b)(t, ε)
)
, z(a)(t, ε), z(b)(t, ε) ∈ C1[0, 2π], C[0, ε0]
дифференциального уравнения (8); здесь
A =
[
0 1
−1 0
]
, f(t) =
[
0
0
]
, Z(z, ε) =
0(
µ(ε)− cos 2t
)
z(a)
,
а также J(z(·, ε), ε) ≡ 0, h(ε) := 1− εµ(ε), α = 0. Поскольку Q = 0, постольку имеет
место критический случай. Уравнение для порождающих амплитуд в случае 2π-
периодической задачи для уравнения Матье при фиксированном 2µ0 ± 1 6= 0 имеет
246
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса
единственное тривиальное решение c0 = 0, которому в свою очередь отвечает только
тривиальное решение периодической задачи для уравнения Матье (8). Положим
c∗0 =
[
1
0
]
, µ∗0 =
1
2
.
Уравнение для порождающих амплитуд в случае 2π-периодической задачи для урав-
нения Матье при зафиксированном нами векторе c∗0 имеет единственную линейно
независимую строку, при этом уравнение F(c∗0, µ0) = 0 становится скалярным. В
свою очередь и матрица D0 = −π представляет собой скаляр, при этом условия
PD∗0PQ∗ρ = 0, PD0 = 0 выполнены, следовательно 2π-периодическая задача для урав-
нения Матье (8) имеет единственное решение. Примем в качестве нулевого прибли-
жения h0(ε) к неизвестной функции h(ε) значение h0(ε) = h(0) = k2 := 1. Пусть
ϕ(1)(t), ϕ(2)(t), ϕ(3)(t), ... − система линейно-независимых 2π− периодических два-
жды непрерывно-дифференцируемых скалярных функций. Обозначим матрицы
ϕj(t) =
[
ϕ(1)(t) ϕ(2)(t) ... ϕ(kj)(t)
]
∈ R1×kj , j = 0, 1, 2, ... .
Первое приближение y1(t, ε) к периодическому решению уравнения (8) ищем в виде
y1(t, ε) = y0(t, c∗0) + ξ1(t, ε), ξ1(t, ε) = ϕ1(t)c1(ε), как 2π− периодическое решение
уравнения
d2y1(t, ε)
dt2
+
[
h0(ε) + ε cos 2t
]
y1(t, ε) = 0.
Потребуем
F (c1(ε)) =
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ϕ
′′
1(t)c1(ε) +
[
h0(ε) + ε cos 2t
]
ϕ1(t)c1(ε)+
+y′′0(t, c∗0) +
[
h0(ε) + ε cos 2t
]
y0(t, c∗0)
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
2
L2[0,2π]
→ min .
Для фиксированной матрицы ϕ1(t) минимум функции F (c1(ε)) существует, посколь-
ку непрерывная неотрицательная функция достигает минимума. Необходимое усло-
вие минимизации функции F (c1(ε)) приводит к уравнению
Γ0
(
ϕ1(·), ε
)
· c1(ε) = −
∫ 2π
0
Φ∗0(t, ε)
{
y′′0(t, c∗0) +
[
h0(ε) + ε cos 2t
]
y0(t, c∗0)
}
dt,
однозначно разрешимому относительно вектора c1(ε) ∈ Rk1 при условии невырож-
денности (k1 × k1)− матрицы Грама
Γ0
(
ϕ1(·), ε
)
=
∫ 2π
0
Φ∗0(t, ε) · Φ0(t, ε)dt, Φ0(t, ε) :=
{
ϕ′′1(t) +
[
h0(ε) + ε cos 2t
]
ϕ1(t)
}
.
247
С.М. Чуйко, П.В. Кулиш
Таким образом, при условии det Γ0
(
ϕ1(·), ε
)
6= 0 находим вектор
c1(ε) = −
[
Γ0
(
ϕ1(·), ε
)]−1
·
∫ 2π
0
Φ∗0(t, ε)
{
y′′0(t, c∗0) +
[
h0(ε) + ε cos 2t
]
y0(t)
}
dt,
определяющий первое приближение y1(t, ε) = y0(t, c∗0) + ϕ1(t) · c1(ε) периодическому
решению уравнения (8), а также первое приближение µ1(ε) к функции µ(ε) :
µ1(ε) = µ∗0 + D+
0 · PQ∗ρ
{
`K
[
µ∗0 · V (s)x1(s, ε) + W (s, 0)x1(s, ε)
]
(·)
}
.
Второе приближение
y2(t, ε) = y0(t, c∗0) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε), ξ2(t, ε) = ϕ2(t) · c2(ε), c2(ε) ∈ Rk2
к периодическому решению уравнения (8) ищем, как 2π− периодическое решение
уравнения
d2y2(t, ε)
dt2
+
[
h1(ε) + ε cos 2t
]
y2(t, ε) = 0.
При условии невырожденности (k2 × k2)− матрицы Грама
Γ1
(
ϕ2(·), ε
)
=
∫ 2π
0
Φ∗1(t, ε) · Φ1(t, ε)dt, Φ1(t, ε) :=
{
ϕ′′2(t) +
[
h1(ε) + ε cos 2t
]
ϕ2(t)
}
находим вектор
c2(ε) = −
[
Γ1
(
ϕ2(·), ε
)]−1
·
∫ 2π
0
Φ∗1(t, ε)
{
y′′1(t, ε) +
[
h1(ε) + ε cos 2t
]
y1(t, ε)
}
dt,
а также второе приближение µ2(ε) к функции µ(ε) :
µ2(ε) = µ∗0 + D+
0 · PQ∗ρ
{
`K
[
µ∗1 · V (s)x2(s, ε) + W (s, 0)x2(s, ε)
]
(·)
}
.
Обозначим (1× kj+1)− матрицу
Φj(t, ε) =
{
ϕ′′j+1(t) +
[
hj(ε) + ε cos 2t
]
ϕj+1(t)
}
, j = 0, 1, 2, ... .
Продолжая рассуждения, при условии
det Γj
(
ϕj+1(·), ε
)
6= 0, Γj
(
ϕj+1(·), ε
)
:=
∫ 2π
0
Φ∗j (t, ε) · Φj(t, ε)dt
248
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса
приходим к следующей итерационной схеме:
yj+1(t, ε) = y0(t, c∗0) + ξ1(t, ε) + ξ2(t, ε) + ... + ξj+1(t, ε), ξj+1(t, ε) = ϕj+1(t) · cj+1(ε),
cj+1(ε) = −
[
Γj
(
ϕj+1(·), ε
)]−1
·
∫ 2π
0
Φ∗j (t, ε)
{
y′′j (t) +
[
hj(ε) + ε cos 2t
]
yj(t)
}
dt,
µj+1(ε) = µ∗0 + D+
0 · PQ∗ρ
{
`K
[
µ∗j · V (s)xj+1 + W (s, 0)xj+1
]
(·)
}
, ... , j = 0, 1, 2, ... .
Итерационная схема задает последовательность отображений, определяемую опе-
ратором Υ :
(
yj+1(t, ε), hj+1(ε)
)
= Υ
(
yj(t, ε), hj(ε)
)
. Если оператор Υ является
сжимающим, приведенная итерационная схема сходится к искомому 2π – периоди-
ческому решению y(t, ε) уравнения (8). Скорость сходимости определяется выбором
матриц ϕj(t), а также величин ε и k. Примем в качестве нулевого приближения
h0(ε) к неизвестной функции h(ε) зависимость h0(ε) = 1 − ε · µ∗0 и зафиксируем
вектор-строку ϕ1(t) = [cos 3t cos 5t cos 7t cos 9t cos 11t ]. Первое приближение к 2π
– периодическому решению уравнения (8)
y1(t, ε) = cos t +
1
16
ε cos 3t +
1
768
ε2
(
− 3 cos 3t + cos 5t
)
+
1
73 728
ε3
(
6 cos 3t−
−8 cos 5t + cos 7t
)
+
1
11 796 480
ε4
(
220 cos 3t + 30 cos 5t− 15 cos 7t + cos 9t
)
определяет первое приближение h1(ε) к функции h(ε) :
h1(ε) = 1− ε
2
− ε2
32
+
ε3
512
− ε4
24 576
+
11ε5
1 179 648
.
Зафиксируем матрицу ϕ2(t) = [cos 3t cos 5t cos 7t ... cos 19t cos 21t cos 23t ]. Второе
приближение к 2π – периодическому решению уравнения (8)
y2(t, ε) = cos t +
1
16
ε cos 3t− 1
256
ε2 cos 3t +
ε3 cos 3t
12 288
+
11ε4 cos 3t
589 824
− 49ε5 cos 3t
18 874 368
+
+
55ε6 cos 3t
603 979 776
+
83ε7 cos 3t
4 529 848 320
− 12 121ε8 cos 3t
3 865 470 566 400
+
114 299ε9 cos 3t
834 941 642 342 400
+
+
192 151ε10 cos 3t
8 015 439 766 487 040
− 83 513 957ε11 cos 3t
17 954 585 076 930 969 600
+
+
944 750 239ε12 cos 3t
4 021 827 057 232 537 190 400
+
+
1
768
ε2 cos 5t− ε3 cos 5t
9 216
+
ε4 cos 5t
393 216
+
7ε5 cos 5t
12 582 912
− 719ε6 cos 5t
9 059 696 640
+
689ε7 cos 5t
241 591 910 400
+
249
С.М. Чуйко, П.В. Кулиш
+
58 321ε8 cos 5t
104 367 705 292 800
− 121 067ε9 cos 5t
1 252 412 463 513 600
+
1 600 351ε10 cos 5t
374 053 855 769 395 200
+
+
184 607 429ε11 cos 5t
251 364 191 077 033 574 400
− 6 935 404 307ε12 cos 5t
48 261 924 686 790 446 284 800
+
+
ε3 cos 7t
73 728
− ε4 cos 7t
786 432
+
ε5 cos 7t
31 457 280
+
17ε6 cos 7t
2 516 582 400
− 133ε7 cos 7t
135 895 449 600
+
+
233ε8 cos 7t
6 522 981 580 800
+
482 357ε9 cos 7t
70 135 097 956 761 600
− 2 091 619ε10 cos 7t
1 745 584 660 257 177 600
+
+
2 152 109ε11 cos 7t
40 218 270 572 325 371 904
+
583 305 781ε12 cos 7t
64 349 232 915 720 595 046 400
+
+
ε4 cos 9t
11 796 480
− ε5 cos 9t
117 964 800
+
ε6 cos 9t
4 529 848 320
+
ε7 cos 9t
21 743 271 936
− 41ε8 cos 9t
6 088 116 142 080
+
+
2 033ε9 cos 9t
8 182 428 094 955 520
+
296 923ε10 cos 9t
6 284 104 776 925 839 360
−
− 3 327 547ε11 cos 9t
402 182 705 723 253 719 040
+
153 817 543ε12 cos 9t
413 673 640 172 489 539 584 000
+
+
ε5 cos 11t
2 831 155 200
− ε6 cos 11t
27 179 089 920
+
ε7 cos 11t
1 014 686 023 680
+
23ε8 cos 11t
113 644 834 652 160
−
− 391ε9 cos 11t
13 091 884 951 928 832
+
517ε10 cos 11t
465 489 242 735 247 360
+
+
189 377ε11 cos 11t
904 911 087 877 320 867 840
− 547 795ε12 cos 11t
14 892 251 046 209 623 425 024
+
+
ε6 cos 13t
951 268 147 200
− ε7 cos 13t
8 878 502 707 200
+
ε8 cos 13t
324 699 527 577 600
+
+
13ε9 cos 13t
20 780 769 764 966 400
− 2 501ε10 cos 13t
26 931 877 615 396 454 400
+
+
77ε11 cos 13t
22 161 087 866 383 368 192
+
605 039ε12 cos 13t
930 765 690 388 101 464 064 000
+
+
ε7 cos 15t
426 168 129 945 600
− ε8 cos 15t
3 896 394 330 931 200
+
ε9 cos 15t
140 270 195 913 523 200
+
+
29ε10 cos 15t
20 198 908 211 547 340 800
− 173ε11 cos 15t
807 956 328 461 893 632 000
+
+
223ε12 cos 15t
27 701 359 832 979 210 240 000
+
+
ε8 cos 17t
245 472 842 848 665 600
− ε9 cos 17t
2 209 255 585 637 990 400
+
+
ε10 cos 17t
78 551 309 711 572 992 000
+
ε11 cos 17t
392 756 548 557 864 960 000
−
250
Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса
− 271ε12 cos 17t
711 001 569 046 466 396 160 000
+
+
ε9 cos 19t
176 740 446 851 039 232 000
− ε10 cos 19t
1 571 026 194 231 459 840 000
+
+
ε11 cos 19t
55 300 122 036 947 386 368 000
+
ε12 cos 19t
278 080 613 671 506 857 164 800
+
+
ε10 cos 21t
155 531 593 228 914 524 160 000
− ε11 cos 21t
1 368 678 020 414 447 812 608 000
+
+
ε12 cos 21t
47 779 305 439 922 541 821 952 000
+
+
ε11 cos 23t
164 241 362 449 733 737 512 960 000
− ε12 cos 23t
1 433 379 163 197 676 254 658 560 000
определяет второе приближение h2(ε) к функции h(ε)
h2(ε) = 1− ε
2
− ε2
32
+
ε3
512
− ε4
24 576
− 11ε5
1 179 648
+
49ε6
37 748 736
− 55ε7
1 207 959 552
−
− 83ε8
9 059 696 640
+
12 121ε9
7 730 941 132 800
− 114 299ε10
1 669 883 284 684 800
−
− 192 151ε11
16 030 879 532 974 080
+
83 513 957ε12
35 909 170 153 861 939 200
.
Для проверки точности найденного второго приближения к периодическому реше-
нию уравнения Матье и его собственной функции найдем невязки этого приближе-
ния в самом уравнении Матье
∆2(ε) =
∣∣∣∣
∣∣∣∣y′′2(t, ε) +
(
h2(ε) + ε cos 2t
)
· y′′2(t, ε)
∣∣∣∣
∣∣∣∣
C[0;2π]
,
а также сравним эти невязки с отклонениями
∆r(ε) =
∣∣∣∣
∣∣∣∣y′′h(t, ε) +
(
hr(ε) + ε cos 2t
)
· y′′r (t, ε)
∣∣∣∣
∣∣∣∣
C[0;2π]
,
соответствующими функции [2, c.235], [9]
hh = 1− ε
2
− ε2
32
+
ε3
512
− ε4
24 576
, hr = 1− ε
2
− ε2
32
+
ε3
512
− ε4
24 576
− 11 ε4
1 179 648
и решению уравнения Матье
yr(t, ε) = cos t +
1
16
ε cos 3t +
1
768
ε2
(
− 3 cos 3t + cos 5t
)
+
1
73 728
ε3
(
6 cos 3t−
−8 cos 5t + cos 7t
)
+
1
11 796 480
ε4
(
220 cos 3t + 30 cos 5t− 15 cos 7t + cos 9t
)
,
251
С.М. Чуйко, П.В. Кулиш
полученной в монографии [2, 9]. Вторые приближения к периодическому решению
уравнения Матье y2(t, ε) и его собственной функции h2(ε) значительно превосходят
по точности ранее известные приближения [2, c.235]
∆2(1, 0) ≈ 4, 72 278× 10−13, ∆r(1, 0) ≈ 3, 18 803 · 10−5,
∆2(0, 5) ≈ 5, 43 239× 10−16, ∆r(0, 5) ≈ 9, 89 857 · 10−7,
а также полученные нами ранее приближения [6, 7, 10].
1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value
problems. – Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 pp.
2. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А.Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.: Наука,
1979. – 432 с.
3. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. О параметрическом возбуждении электрических колеба-
ний. Журн. техн. физики. – 1934. – № 3. – С. 5-29.
4. Шмидт Г. Параметрические колебания. – М.: Мир, 1978. – 336 с.
5. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. – М.:
Наука, 1987. – 328 с.
6. Чуйко С.М., Старкова О.В. Двухшаговая итерационная схема для построения функций Матье
// Динамические системы. – 2009. – 26. – С. 103-113.
7. Bojchuk I.А., Starkova O.V., Chujko S.М. Weakly perturbed nonlinear boundary-value problem in
critical case // Studies of the University of Žilina. Math. series. – 2009. – 23, № 1. – P. 1-8.
8. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи
// Нелинейные колебания. – 2005. – 8, № 2. – С. 278-288.
9. Хаяси Т. Вынужденные колебания в нелинейных системах. – М.: Иностр. лит., 1957. – 204 с.
10. Чуйко С.М., Старкова О.В. Двухшаговая итерационная техника для построения функций Ма-
тье // Науковий вiсник Ужгородського унiверситету. Сер. матем. i iнформатика. – 22, № 1. –
2011. – С. 157-172.
S.M. Chuiko P.V. Kulish
Linear Noetherian boundary value problem in the case of parametric resonance.
We construct necessary and sufficient conditions for the existence of solution of Noether linear boundary
value problem for a parametric excitation system of ordinary differential equations.
Keywords: boundary value problem, differential equations, parametric excitation system.
С.М. Чуйко, П.В. Кулiш
Лiнiйна нетерова крайова задача у випадку параметричного резонансу.
Знайдено необхiднi та достатнi умови iснування розв’язкiв лiнiйної нетерової крайової задачi для
системи звичайних диференцiальних рiвнянь у випадку параметричного резонансу.
Ключовi слова: крайова задача, диференцiальнi рiвняння, параметричний резонанс.
Славянский государственный педагогический ун-т
chujko-slav@inbox.ru
Получено 28.05.12
252
|