Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем
Предложен новый метод решения задач стабилизации нелинейных управляемых динамических систем. Метод состоит в выборе управлений таким образом, чтобы произвольное (n - m) – мерное многообразие с заданным граничным условием стало инвариантным и обладало свойством глобального притяжения для всех траекто...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124094 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем / В.Ф. Щербак // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 253-259. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124094 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240942017-09-20T03:03:21Z Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем Щербак, В.Ф. Предложен новый метод решения задач стабилизации нелинейных управляемых динамических систем. Метод состоит в выборе управлений таким образом, чтобы произвольное (n - m) – мерное многообразие с заданным граничным условием стало инвариантным и обладало свойством глобального притяжения для всех траекторий замкнутой системы. Исходная задача стабилизации решается далее на полученном многообразии. При этом в качестве управляющего воздействия используются функции, определяющие вид синтезированного многообразия. С использованием указанной схемы решена задача стабилизации вектора угловой скорости твердого тела с неподвижной точкой, совершающего вращение под действием двумерного управления. Запропоновано новий метод розв’язання задач стабiлiзацiї нелiнiйних керованих динамiчних систем. Метод полягає у виборi керувань таким чином, щоб довiльний (n Ў m) мiрний многовид iз заданою граничною умовою став iнварiантним та мав властивiсть глобального тяжiння для всiх траєкторiй замкнутої системи. Вихiдна задача стабiлiзацiї розв’язується далi на здобутому многовидi. При цьому в якостi керувань використовуються функцiї, що визначають вид синтезованого многовида. З використанням зазначеної схеми розв'язано задачу стабiлiзацiї вектора кутової швидкостi твердого тiла з нерухомою точкою, яка здiйснить обертання пiд дiєю двовимiрного керування A new method for solving the problems of stabilization for nonlinear control systems is proposed. On the first stage control is chosen so that manifold in the phase space become an invariant with the property of the global attraction for all trajectories closed-loop system. The initial problem is solved by further stabilization the resulting manifold. As the appropriate controls can be found for any manifold, then the form of manifolds serve as a new control. Using this scheme theb problem of stabilization of the angular velocity of rigid bodyis by two moments is solved. 2012 Article Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем / В.Ф. Щербак // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 253-259. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124094 62-50,519.7 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложен новый метод решения задач стабилизации нелинейных управляемых динамических систем. Метод состоит в выборе управлений таким образом, чтобы произвольное (n - m) – мерное многообразие с заданным граничным условием стало инвариантным и обладало свойством глобального притяжения для всех траекторий замкнутой системы. Исходная задача стабилизации решается далее на полученном многообразии. При этом в качестве управляющего воздействия используются функции, определяющие вид синтезированного многообразия. С использованием указанной схемы решена задача стабилизации вектора угловой скорости твердого тела с неподвижной точкой, совершающего вращение под действием двумерного управления. |
| format |
Article |
| author |
Щербак, В.Ф. |
| spellingShingle |
Щербак, В.Ф. Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Щербак, В.Ф. |
| author_sort |
Щербак, В.Ф. |
| title |
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем |
| title_short |
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем |
| title_full |
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем |
| title_fullStr |
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем |
| title_full_unstemmed |
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем |
| title_sort |
синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124094 |
| citation_txt |
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем / В.Ф. Щербак // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 253-259. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT ŝerbakvf sintezinvariantnyhmnogoobrazijvzadačestabilizaciidinamičeskihsistem |
| first_indexed |
2025-07-09T00:50:31Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:50:31Z |
| _version_ |
1837128465160077312 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 62-50,519.7
c©2012. В.Ф. Щербак
СИНТЕЗ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ В ЗАДАЧЕ
СТАБИЛИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Предложен новый метод решения задач стабилизации нелинейных управляемых динамических си-
стем. Метод состоит в выборе управлений таким образом, чтобы произвольное (n − m) – мерное
многообразие с заданным граничным условием стало инвариантным и обладало свойством глобаль-
ного притяжения для всех траекторий замкнутой системы. Исходная задача стабилизации решается
далее на полученном многообразии. При этом в качестве управляющего воздействия используются
функции, определяющие вид синтезированного многообразия. С использованием указанной схе-
мы решена задача стабилизации вектора угловой скорости твердого тела с неподвижной точкой,
совершающего вращение под действием двумерного управления.
Ключевые слова: стабилизация нелинейных систем, инвариантные многообразия, управле-
ние, твердое тело с неподвижной точкой.
1. Задача стабилизации динамических систем. Задача синтеза управле-
ний, стабилизирующих отклонения от тривиального решения нелинейной системы
дифференциальных уравнений, является одной из основных в теории управления.
В работе предлагается общий метод ее решения, состоящий в использовании управ-
лений для синтеза дополнительных алгебраических соотношений, связывающих пе-
ременные исходной системы. Из полученных соотношений выбирается семейство,
обеспечивающее глобальное притяжений траекторий к соответствующему многооб-
разию в фазовом пространстве. Тем самым решение задачи проводится на множе-
стве меньшей размерности. Если подобные построения могут быть проведены для
любого многообразия рассматриваемого семейства, то такие алгебраические связи
могут быть использованы в качестве нового управления уже для редуцированной
динамической системы. Подобный прием был использован ранее для решения задач
наблюдения, синхронизации решений нелинейных динамических систем, где инва-
риантные многообразия для системы уравнений в отклонениях формировали до-
полнительные алгебраические уравнения для определения неизвестных компонент
фазового вектора [1], [2].
Будем считать, что динамика управляемого объекта описывается системой обык-
новенных дифференциальных уравнений, правые части которой зависят от управля-
ющих воздействий – вектора u ∈ Rm, который может быть произвольной функцией
фазового вектора x ∈ Rn. Представим x в виде двух подвекторов x = (x1, x2)T , где
x1 = (x1, x2, . . . , xm)T , x2 = (xm+1, xm+2, . . . , xn)T и запишем уравнения системы в
виде:
ẋ1 = f1(x1, x2, u),
ẋ2 = f2(x1, x2, u).
(1)
Работа выполнена при поддержке проекта украинско-австрийского сотрудничества (гос. рег.
№ 0111U007275).
253
В.Ф. Щербак
Предполагается, что система дифференциальных уравнений (1) допускает три-
виальное решение x(t) ≡ 0. Управления u(x1, x2) будем считать допустимыми, если
после их подстановки в правые части (1) для полученной замкнутой системы вы-
полнены условия существования и единственности решений в некоторой области
x ∈ D ⊆ Rn.
В работе рассматривается задача синтеза управлений для стабилизации систе-
мы (1). Она состоит в нахождении такой функции u(x1, x2), при которой нулевое
решение замкнутой системы становится асимптотически устойчивым.
2. Синтез инвариантных многообразий. Редукция динамической си-
стемы. Как уже было отмечено, предлагаемая схема решения заключается в уста-
новлении соответствия между множеством допустимых управлений и семейством
синтезируемых с их помощью инвариантных многообразий для траекторий систе-
мы дифференциальных уравнений (1). Функции, определяющие эти многообразия,
будут рассматриваться далее в качестве новых управлений.
Для этого на первом шаге выберем управление u(x1, x2) таким, чтобы некое
многообразие, задаваемое с помощью m алгебраических равенств
M = {(x1, x2) : x1 = Ψ(x2)} (2)
стало инвариантным для некоторых траекторий системы (1). Здесь Ψ(x2) – неопре-
деленная пока вектор-функция размерности m, для которой будем полагать выпол-
ненным
Предположение. В рассматриваемой области D функция Ψ(x2) является диф-
ференцируемой. Кроме того, якобиева матрица Ψ′ = ∂Ψ
∂x2
является невырожденной
и имеет ограниченную норму.
При сделанном предположении равенства x1 = Ψ(x2) определяют в фазовом про-
странстве переменных x1, x2 многообразие размерности n − m. Выберем функцию
u(x1, x2) такой, чтобы M стало инвариантным многообразием системы дифферен-
циальных уравнений (1). Для этого сделаем замену переменных x1 по формуле
x1 = Ψ(x2) + η, (3)
где η характеризует отклонение траекторий системы (1) от многообразия M . В ре-
зультате система (1) примет вид:
η̇ = f1(Ψ + η, x2, u)−Ψ′f2(Ψ + η, x2, u),
ẋ2 = f2(Ψ + η, x2, u).
(4)
Для того, чтобы многообразие M стало инвариантным для некоторых траекто-
рий системы (1), достаточно, чтобы система (4) допускала ограниченное решение
вида η ≡ 0, x2 = x2(t). Такие решения у системы (4) будут существовать, если мы
потребуем, чтобы первая группа уравнений, после подстановки некоторого допусти-
мого управления u(x1, x2), имела бы вид
η̇ = λη + F (η, x2), (5)
254
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем
где F (η, x2) неопределенная пока функция с граничным условием F (0, x2) = 0.
Для определения такого управления рассмотрим равенства (5) как алгебраиче-
ские уравнения относительно u(x1, x2). Записав их в исходных переменных, с учетом
того, что производная по времени взята в силу системы (1), получаем
f1(x1, x2, u)−Ψ′(x2)f2(x1, x2, u) = λ(x1 −Ψ(x2)) + F (x1 −Ψ(x2), x2). (6)
В случае невырожденности якобиевой матрицы
∂f1(x1, x2, u)
∂u
−Ψ′(x2)
∂f2(x1, x2, u)
∂u
для всех (x1, x2) ∈ D решение алгебраической системы (6) существует и задается
однозначной функцией u = U(x1, x2, Ψ, Ψ′) в некоторой области. Предположим, что
эта область включает в себя D.
Подставляя найденное решение в систему дифференциальных уравнений (4),
получаем систему:
η̇ = λη + F (η, x2),
ẋ2 = f2(Ψ + η, x2, U(x1, x2,Ψ,Ψ′)), (7)
которая, в случае допустимости U(x1, x2, Ψ, Ψ′), очевидно имеет решения, у которых
компоненты η ≡ 0.
Таким образом, показано, что для достаточно широкого класса функций Ψ(x2)
соответствующие им многообразия M становятся инвариантными для траекторий
исходной системы (1) с управлением U(x1, x2, Ψ, Ψ′).
Замечание 1. После фиксации U(x1, x2, Ψ, Ψ′) система (1) преобразуется в систе-
му (7). В общем случае, для решения задач управления системой (7) в нашем распо-
ряжении оказываются 2m свободных функций: функции Ψ(x2), удовлетворяющие
перечисленным выше ограничениям и функции F (η, x2) с m граничными условиями
F (0, x2) = 0.
Замечание 2. Для редукции фазового пространства в окрестность многообразия
M требуется наличие у последнего свойства глобального притяжения для всех тра-
екторий (1). Достаточным условием для этого является свойство асимптотической
устойчивости тривиального решения системы (7) относительно части переменных
η. Его можно обеспечить, например, полагая в (7) λ < 0 и F (η, x2) ≡ 0. В этом слу-
чае получаем, что управляемая динамика описывается неавтономной подсистемой
системы дифференциальных уравнений (7)
ẋ2 = f2(Ψ + η0 exp(λt), x2, U(x1, x2,Ψ,Ψ′)). (8)
Для дифференциальных уравнений (8) можно повторить описанную процедуру
выделения новой подсистемы типа (5) с управлением Ψ′(x2). Отличие от первого
шага состоит в том, что, в общем случае, на втором шаге декомпозиции алгебраиче-
ские уравнения вида (6) содержат U(x1, x2, Ψ, Ψ′) и являются системой уравнений в
частных производных относительно Ψ(x2).
255
В.Ф. Щербак
Если же в исходной системе (1) правые части f2 не зависят от управления u (как
в рассмотренной ниже задаче стабилизации вращений твердого тела), то дополни-
тельных дифференциальных связей на функцию Ψ(x2) не возникает.
3. Схема решения задачи стабилизации. Основная идея предлагаемого спо-
соба синтеза стабилизирующих управлений состоит в том, что в качестве управлений
для преобразованной системы (7) могут быть использованы остающиеся пока сво-
бодными функции Ψ(x2) и F (η, x2). Их выбор должен обеспечить асимптотическое
стремление к нулю переменных x1, x2. Как известно, нахождение условий асимп-
тотической устойчивости тривиального решения системы дифференциальных урав-
нений, в особенности по части переменных, является сложной проблемой. Поэтому
в работе этот вопрос не рассматривается. Для каждой конкретной динамической
системы алгоритм синтеза стабилизирующего управления подразумевает отдельное
рассмотрение этой проблемы. В зависимости от способа ее решения можно конструи-
ровать различные законы управления в задаче стабилизации тривиального решения
системы (7).
В данной работе предлагается следущая схема, которая реализована в рассмот-
ренной ниже задаче стабилизации вращений твердого тела. Для стабилизации реше-
ний системы (1) достаточно выбрать функции Ψ(x2) и F (η, x2) такими, чтобы были
выполнены условия:
1) Тривиальное решение системы дифференциальных уравнений (7) является
асимптотически устойчивым.
2) Функция Ψ(x2) удовлетворяет граничному условию Ψ(0) = 0.
Действительно, в этом случае слагаемые η(t) и Ψ(x2(t)) в правой части равенств
(3) (последнее в силу непрерывности) асимптотически стремятся к нулю, значит к
нулю стремится и их сумма – переменная x1(t). При этом, в силу ограниченности
F (η, x2), сохраняется свойство устойчивости для переменной x1(t).
4. Синтез управлений в задаче стабилизации угловой скорости твер-
дого тела с неподвижной точкой. В качестве приложения изложенного подхода
рассмотрим задачу стабилизации вектора угловой скорости твердого тела, вращаю-
щегося вокруг неподвижной точки под действием двумерного управления. Рассмат-
риваемая система существенно нелинейна и является удобным объектом апробации
для многих методов решения тех или иных задач управления. В частности, необ-
ходимые в данном случае свойства управляемости и стабилизируемости подробно
изучены в [3]. Уравнения Эйлера, описывающие угловую скорость вращения, име-
ют вид:
ω̇1 = a1ω2ω3 + u1,
ω̇2 = a2ω1ω3 + u2, (9)
ω̇3 = a3ω1ω2.
Здесь ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости твердого тела, управления u1, u2
характеризуют моменты сил, приложенные к телу, коэффициенты a1 = A2−A3
A1
, a2 =
A3−A1
A2
, a3 = A1−A2
A3
, параметры A1, A2, A3 – моменты инерции тела относительно
256
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем
главных осей. Предпалогается, что тело не является симметричным, т.е. ai 6= 0, i =
1, 2, 3.
Задачей является нахождение функций (синтез управлений) u1(ω), u2(ω), при
которых любое решение системы дифференциальных уравнений (9) асимптотически
стремится в начало координат. В соответствии с изложенной методикой, на первом
этапе сделаем замену переменных
ω1 = Ψ1(ω3) + η1, ω2 = Ψ2(ω3) + η2, (10)
где функции Ψ1(ω3),Ψ2(ω3) характеризуют инвариантные многообразия замкнутой
системы и будут использованы далее в качестве новых управлений.
Выберем u1(ω), u2(ω) таким образом, чтобы после их подстановки в уравнения
Эйлера (9) последние приняли бы вид:
η̇1 = λη1 + F1(η1, η2, ω3),
η̇2 = λη2 + F2(η1, η2, ω3), (11)
ω̇3 = a3(Ψ1 + η1)(Ψ2 + η2),
где F1(η1, η2, ω3), F2(η1, η2, ω3) неопределенные пока функции с граничным условием
F1(0, 0, ω3) = F2(0, 0, ω3) = 0.
Составляя для рассматриваемой системы алгебраические уравнения (6) относи-
тельно u1(ω), u2(ω), находим искомые управления:
u1 = −a1ω2ω3 + a3Ψ́1ω1ω2 + λ(ω1 −Ψ1) + F1(η1, η2, ω3),
u2 = −a2ω1ω3 + a3Ψ́2ω1ω2 + λ(ω2 −Ψ2) + F2(η1, η2, ω3).
(12)
Таким образом, для любых непрерывно дифференцируемых функций Ψ1(ω3), Ψ2(ω3)
с ограниченной в области D производной соответствующее им многообразие
M = {(ω) : ω1 = Ψ1(ω3), ω2 = Ψ2(ω3)} (13)
становится инвариантным для некоторых траекторий системы (9) после подстанов-
ки в нее управлений (12).
Для нахождения таких управлений (12), которые стабилизируют решения (9),
потребуем выполнения следующих условий:
а) функции Ψ1(ω3),Ψ2(ω3), в дополнение к требованиям непрерывной диф-
ференцируемости и ограниченности, должны удовлетворять граничным условиям
Ψ1(0) = Ψ2(0) = 0;
б) рассматриваемое семейство многообразий M должно обладать свойством гло-
бального притяжения, т.е. limt→∞ η(t) = 0;
в) функции Ψ1(ω3), Ψ2(ω3), F1(η1, η2, ω3), F2(η1, η2, ω3) должны быть выбраны та-
кими, чтобы limt→∞ ω3(t) = 0.
Тогда, в соответствии с равенствами (10) и в силу непрерывности Ψ1(ω3), Ψ2(ω3),
получаем, что limt→∞ ωi(t) = 0, i = 1, 2.
257
В.Ф. Щербак
В частности, для выполнения всех перечисленных требований достаточно, чтобы
нулевое решение системы дифференциальных уравнений (11) было асимптотически
устойчивым. Для того, чтобы оно стало таковым, в нашем распоряжении остает-
ся выбор функций Ψ1(ω3), Ψ2(ω3), F1(η1, η2, ω3), F2(η1, η2, ω3) подчиненных нулевым
граничным условиям.
Для нахождения этих функций рассмотрим функцию Ляпунова
V =
1
2
(η1
2 + η2
2 + ω3
2)
и найдем ее производную в силу системы (11)
V̇ = λη1
2 + λη2
2 + a3ω3Ψ1Ψ2 + (F1 + a3ω3Ψ2)η1 + (F2 + a3ω3Ψ1)η2 + a3η1η2ω3.
Чтобы эта производная стала знакоопределенной, достаточно подчинить свободные
функции следующим ограничениям:
Ψ1(ω3)Ψ2(ω3) =
λ
a3
ω3
2k−1, F1 = −a3ω3(η1 +
η2
2
), F2 = −a3ω3(
η1
2
+ η2). (14)
Здесь k – целое положительное число. Отметим, что при k = 1 не удается по-
добрать функции Ψ1(ω3), Ψ2(ω3), удовлетворяющие нулевым граничным условиям
и имеющие ограниченную производную в области, содержащей начало коорлинат.
Поэтому, полагаем k = 2 и определяем вид функций, формирующих инвариантное
многообразие M
Ψ1(ω3) =
λ
a3
ω3, Ψ2(ω3) = ω3
2. (15)
С учетом (14), (15) производная от функции Ляпунова становится знакоопределен-
ной
V̇ = λ(η1
2 + η2
2 + ω3
4),
что, при λ < 0, по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости, гаранти-
рует асимптотическое стремление к нулю решений η1(t), η2(t), ω3(t) системы (11) с
начальными условиями из рассматриваемой области. Отсюда, с учетом равенств
(10), следует стремление к нулю и переменных ω1(t), ω2(t).
Отметим, что функции (14), (15) удовлетворяют всем приведенным выше огра-
ничениям. Поэтому управления u1, u2 для исходной системы, полученные по форму-
лам (12), являются допустимыми и решают задачу стабилизации угловой скорости
твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
1. Щербак В.Ф. Задача отслеживания состояния нелинейной системы при неполной информации
о движении // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 127-132.
2. Щербак В.Ф. Синхронизация угловых скоростей гиростатов // Там же – 2009. – Вып. 39. –
С. 127-132.
3. Ковалев А.М. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. –
Киев: Наук. думка, 1980. – 175 с.
258
Синтез инвариантных многообразий в задаче стабилизации динамических систем
V.F. Shcherbak
Synthesis of invariant manifolds in the problem of stabilization of dynamical systems.
A new method for solving the problems of stabilization for nonlinear control systems is proposed. On the
first stage control is chosen so that manifold in the phase space become an invariant with the property
of the global attraction for all trajectories closed-loop system. The initial problem is solved by further
stabilization the resulting manifold. As the appropriate controls can be found for any manifold, then the
form of manifolds serve as a new control. Using this scheme theb problem of stabilization of the angular
velocity of rigid bodyis by two moments is solved.
Keywords: stabilization of nonlinear systems, invariant manifolds, control, rigid body with a fixed point.
В.Ф. Щербак
Синтез iнварiантних многовидiв у задачi стабiлiзацiї динамiчних систем.
Запропоновано новий метод розв’язання задач стабiлiзацiї нелiнiйних керованих динамiчних си-
стем. Метод полягає у виборi керувань таким чином, щоб довiльний (n − m) мiрний многовид iз
заданою граничною умовою став iнварiантним та мав властивiсть глобального тяжiння для всiх
траєкторiй замкнутої системи. Вихiдна задача стабiлiзацiї розв’язується далi на здобутому много-
видi. При цьому в якостi керувань використовуються функцiї, що визначають вид синтезованого
многовида. З використанням зазначеної схеми розвэязано задачу стабiлiзацiї вектора кутової швид-
костi твердого тiла з нерухомою точкою, яка здiйснить обертання пiд дiєю двовимiрного керування.
Ключовi слова: стабiлiзацiя нелiнiйних систем, iнварiантнi многовиди, керування, тверде тi-
ло з нерухомою точкою.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
shvf@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 07.02.12
259
|