Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления

В работе рассмотрен класс нелинейных систем, удовлетворяющих ранговому условию достижимости. Предложена схема решения задачи стабилизации, основанная на применении семейства разрывных функций управления на конечном промежутке времени и непрерывной обратной связи. Данная схема развивает подход A. Ast...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Астахова, Т.Н., Зуев, А.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124105
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления / Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 3-10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124105
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1241052017-09-21T03:02:48Z Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления Астахова, Т.Н. Зуев, А.Л. В работе рассмотрен класс нелинейных систем, удовлетворяющих ранговому условию достижимости. Предложена схема решения задачи стабилизации, основанная на применении семейства разрывных функций управления на конечном промежутке времени и непрерывной обратной связи. Данная схема развивает подход A. Astolfi на случай начальных условий из полной окрестности особой точки. Полученные результаты проиллюстрированы на примере неголономной системы, которая не является стабилизируемой посредством непрерывной обратной связи. У роботi розглянуто клас нелiнiйних систем, якi задовольняють рангову умову досяжностi. Запропоновано схему розв’язання задачi стабiлiзовностi, що грунтується на застосуваннi сiм’ї розривних функцiй керування на скiнченному промiжку часу та неперервного зворотного зв’язку. Ця схема розвиває пiдхiд A. Astolfi на випадок, коли початковi умови лежать у повному околi особливої точки. Отриманi результати проiлюстровано на прикладi неголономної системи, яка не є стабiлiзовною за допомогою неперервного зворотнього зв’язку. Nonlinear systems satisfying the accessibility rank condition are analyzed in this paper. In order to solve the stabilization problem, we propose a scheme based on the application of a family of discontinuous controls in finite time and a continuous feedback afterwards. The proposed scheme extends A. Astolfi’s approach for the case of initial conditions from a complete neighborhood of the equilibrium. Obtained results are illustrated with the help of a nonholonomic system which is not stabilizable by a continuous feedback. 2012 Article Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления / Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 3-10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124105 531.36, 517.977 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе рассмотрен класс нелинейных систем, удовлетворяющих ранговому условию достижимости. Предложена схема решения задачи стабилизации, основанная на применении семейства разрывных функций управления на конечном промежутке времени и непрерывной обратной связи. Данная схема развивает подход A. Astolfi на случай начальных условий из полной окрестности особой точки. Полученные результаты проиллюстрированы на примере неголономной системы, которая не является стабилизируемой посредством непрерывной обратной связи.
format	Article
author	Астахова, Т.Н. Зуев, А.Л.
spellingShingle	Астахова, Т.Н. Зуев, А.Л. Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Астахова, Т.Н. Зуев, А.Л.
author_sort	Астахова, Т.Н.
title	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления
title_short	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления
title_full	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления
title_fullStr	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления
title_full_unstemmed	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления
title_sort	экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124105
citation_txt	Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления / Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 3-10. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT astahovatn éksponencialʹnaâstabilizaciâklassanelinejnyhsistemspomoŝʹûgibridnogozakonaupravleniâ AT zueval éksponencialʹnaâstabilizaciâklassanelinejnyhsistemspomoŝʹûgibridnogozakonaupravleniâ
first_indexed	2025-07-09T00:50:50Z
last_indexed	2025-07-09T00:50:50Z
_version_	1837128484067999744
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25 УДК 531.36, 517.977 c©2012. Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ ГИБРИДНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ В работе рассмотрен класс нелинейных систем, удовлетворяющих ранговому условию достижимо- сти. Предложена схема решения задачи стабилизации, основанная на применении семейства раз- рывных функций управления на конечном промежутке времени и непрерывной обратной связи. Данная схема развивает подход A. Astolfi на случай начальных условий из полной окрестности особой точки. Полученные результаты проиллюстрированы на примере неголономной системы, ко- торая не является стабилизируемой посредством непрерывной обратной связи. Ключевые слова: нелинейная система, достижимость, управляемость, стабилизируемость. 1. Введение. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида: ẋ = f(x, u), x ∈ D ⊆ Rn, u ∈ U ⊆ Rm, (1) где x – фазовый вектор, u – вектор управления, D ⊆ Rn – область, f ∈ C1(D × U), 0 ∈ D, 0 ∈ U , f(0, 0) = 0. В статье [1] предложены разрывные законы управления, которые гарантируют экспоненциальную сходимость решений к нулю в открытом и плотном множестве Ω ⊆ D, которое, вообще говоря, не является связным. Целью данной работы явля- ется распространение такого подхода на случай произвольных начальных условий, чтобы обеспечить сходимость к нулю решений системы (1) при условии x(0) ∈ D/Ω. Для этого рассмотрим сначала двухточечную задачу управления для начального (x\|t=0 = ξ) и конечного (x\|t=τ = y) состояний системы из некоторой ∆-окрестности нуля. Предложенный в следующем разделе закон управления будет использован для переведения состояния системы (1) из множества D в Ω с последующей экспонен- циальной стабилизацией посредством обратной связи. 2. Приближенное решение двухточечной задачи управления. Пусть при некотором τ > 0 имеется семейство функций управления u = v(t, a) ∈ U , t ∈ [0, τ ], зависящих от параметра a ∈ G ⊆ Rp, p ≥ n. Обозначим через x(t; ξ, v(·, a)) решение задачи Коши ẋ = f(x, v(t, a)), t ∈ [0, τ ], (2) x\|t=0 = ξ ∈ D. (3) Далее будем предполагать, что при всех ξ ∈ D и a ∈ G выполнены условия су- ществования, единственности и дифференцируемости по (ξ, a) решения x(t; ξ, v(·, a)) задачи Коши (2)-(3). Достаточные условия дифференцируемости решений по на- чальным условиям и параметрам описаны, например, в книге [2, с. 119]. Далее рас- смотрим вопрос о приближенной разрешимости двухточечной задачи управления. 3 Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев Следуя работе [3], предположим, что существуют τ > 0, a∗ ∈ G, для которых вы- полнены условия: x(τ ; 0, v(·, a∗)) = 0, rank ( ∂x(τ ; 0, v(·, a)) ∂a )∣∣∣∣ a=a∗ = n. (4) Обозначим F (ξ, ã) = x(τ ; ξ, v(·, a∗+ã)), и будем предполагать, что F дифференциру- ема в нуле, F (0, 0) = 0 и rank ( ∂F ∂ã )∣∣∣∣ ξ=0,ã=0 = n. При таких условиях справедлива следующая теорема. Теорема 1. Предположим, что решение x(t;x0, v(·, a)) задачи Коши (2)-(3) удо- влетворяет условиям (4) при некоторых τ > 0, a∗ ∈ G. Тогда для всякого ε > 0 существует ∆ > 0 такое, что для всех ‖ξ‖ < ∆ и ‖y‖ < ∆ выполняется условие: ‖x(τ ; ξ, v(·, a∗ + ã))− y‖ < ∆ε, (5) где ã = (M2(τ))+[y −M1(τ)ξ], (6) а M1(τ), M2(τ) – матрицы Якоби размерностей n× n и n× p, соответственно: M1(τ) = ∂F (ξ, ã) ∂ξ ∣∣∣∣ ξ=0,ã=0 , M2(τ) = ∂F (ξ, ã) ∂ã ∣∣∣∣ ξ=0,ã=0 . Здесь символ + обозначает псевдообратную матрицу [4]. Доказательство. Так как F дифференцируема в нуле, то воспользовавшись фор- мулой Тейлора, получим F (ξ, ã) = F (0, 0) + M1(τ)ξ + M2(τ)ã + R(ξ, ã), где остаточный член R(ξ, ã) обладает свойством ‖R(ξ, ã)‖ ≤ α(ξ, ã)(‖ξ‖+‖ã‖), α(ξ, ã) → 0 при ξ → 0, ã → 0. Для фиксированных ξ, y ∈ Rn рассмотрим нелинейное уравнение относительно ã: F (ξ, ã) = y. (7) Отбросим в уравнении нелинейные члены и найдем решение линеаризованного уравнения M1(τ)ξ + M2(τ)ã = y. В результате получим ã = (M2(τ))+[y −M1(τ)ξ]. (8) Оценим невязку в нелинейном уравнении (7) при таком выборе ã, полагая, что ‖ξ‖ < ∆, ‖y‖ < ∆: ‖F (ξ, ã)− y‖ = ‖M1(τ)ξ + M2(τ)(M2(τ))+[y −M1(τ)ξ] + R(ξ, ã)− y‖ = 4 Экспоненциальная стабилизация нелинейных систем с помощью гибридного управления = ‖R(ξ, (M2(τ))+[y −M1(τ)ξ])‖ ≤ α(ξ, ã) (‖ξ‖+ ‖(M2(τ))+‖(‖y‖+ ‖M1(τ)‖‖ξ‖)) ≤ ≤ α(ξ, ã) ( ∆ + ‖(M2(τ))+‖(∆ + ‖M1(τ)‖∆) ) . (9) В силу свойств функции α(ξ, ã), для всякого ε > 0 найдется такое число ε1(ε) > 0: α(ξ, ã) ≤ ε 1 + ‖(M2(τ))+‖(1 + ‖M1(τ)‖) , при ‖ξ‖ < ε1, ‖ã‖ < ε1. Выберем ∆ > 0 из условий    ∆ ≤ ε1; ‖(M2(τ))+‖(∆ + ‖M1(τ)‖∆) ≤ ε1; ∆ ≤ ε1 ‖(M2(τ))+‖(1 + ‖M1(τ)‖) . Таким образом, можно положить ∆ = ε1 min { 1, 1 ‖(M2(τ))+‖(1 + ‖M1(τ)‖) } . По ε > 0 находим ε1 > 0 и ∆ > 0, тогда для произвольного ε > 0 при таком ∆ > 0 из неравенства (9) следует ‖F (ξ, ã)− y‖ < ∆ε для любых ‖ξ‖ < ∆, ‖y‖ < ∆. ¤ Лемма. При выполнении условий теоремы 1 матрицы M1(τ) и M2(τ) обладают следующими свойствами: ‖M1(t)‖ ≤ √ neK1tξ, ‖M2(t)‖ ≤ K2 K1 (1 + eK1t), t ∈ [0, τ ], (10) где K1,K2 – положительные константы. Доказательство. Обозначим Jx(t) = ∂f(x, v(t, a∗)) ∂x ∣∣∣∣ x=x(t;0,v(·,a∗)) , Ju(t) = ∂f(x(t; 0, v(·, a)), v(t, a)) ∂a ∣∣∣∣ a=a∗ . (11) Определим константы K1, K2 > 0 из условия: ‖Jx(t)‖ ≤ K1, ‖Ju(t)‖ ≤ K2, ∀t ∈ [0, τ ]. При введенных обозначениях ∂F (ξ, ã) ∂ξ = M1(τ), 5 Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев где M1(τ) – решение задачи Коши [2, с. 119] вида dM1(t) dt = Jx(t)M1(t), M1(0) = I, где I – единичная матрица. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Ṁ1(t) = Jx(t)\|x=x(t;0,v(·,a∗)) M1(t). (12) Введем функцию w1(M1(t)) = 1 2 ‖M1(t)‖2 (13) и продифференцируем её в силу уравнения (12): d dt w1(M1(t)) = (Jx(t)M1(t), M1(t)) ≤ ‖Jx(t)‖‖M1(t)‖‖M1(t)‖ ≤ ≤ 2‖Jx(t)‖w1(M1(t)) ≤ 2K1w1(M1(t)). Напишем уравнение сравнения для полученного дифференциального неравен- ства ẇ1(t) = 2K1w1(t). Общее решение этого уравнения имеет вид w1(t) = w0 1e 2K1t, w1(0) = w0 1 ≥ 0. Полу- чим оценку решения дифференциального уравнения (12). Из равенства (13) получим ‖M1(t)‖2 = 2w1(M1(t) и w0 1 = w1(0) = 1 2‖M1(0)‖2, ‖M1(t)‖2 = 2w0 1e 2K1t = 2 · 1 2‖M1(0)‖2 · e2K1t = e2K1t. Следовательно, ∥∥∥∥∥ ∂F (ξ, ã) ∂ξ ∣∣∣∣ ξ=0,ã=a∗ ∥∥∥∥∥ = ∥∥∥∥∥∥ n∑ k=1 ∂F (ξ, ã) ∂ξk ∣∣∣∣∣ ξk=0,ã=a∗ · ξk ∥∥∥∥∥∥ ≤ ≤ n∑ k=1 {∥∥∥∥∥ ∂F (ξ, ã)) ∂ξk ∣∣∣∣ ξk=0,ã=a∗ ∥∥∥∥∥ · ‖ξk‖ } ≤ eK1t n∑ k=1 \|ξk\| = √ neK1tξ. Далее рассмотрим M2 = ∂F (ξ, ã) ∂a – n× p матрицу, t ∈ [0, τ ], которая удовлетво- ряет дифференциальному уравнению d dt M2(t) = Jx(t)M2(t) + Ju(t), (14) с начальными условиями M2(0) = 0, где Ju(t) введено в (11), и ‖Ju(t)‖ ≤ K2. Введем функцию w2(t) = 1 2 ‖M2(t)‖2, (15) 6 Экспоненциальная стабилизация нелинейных систем с помощью гибридного управления тогда d dt w2(M2(t)) = (Jx(t)M2(t) + Ju(t),M2(t)) ≤ ≤ ‖Jx(t)‖‖M2(t)‖2 + ‖Ju(t)‖‖M2(t)‖ ≤ 2K1w2(t) + K2 √ 2w2(t). Теперь напишем уравнение сравнения: ẇ2(t) = 2K1w2(t) + K2 √ 2w2(t). Решение этого дифференциального уравнения можно записать в виде: w2(t) = ( − √ 2 2 K2 K1 + (√ w0 2 + √ 2 2 K2 K1 ) eK1t )2 , w2(0) = w0 2 ≥ 0. Напишем оценку решения дифференциального уравнения (14). Из равенства (15) следует, что ‖M2(t)‖2 = 2 ( − √ 2 2 K2 K1 + (√ 1 2 ‖M2(0)‖2 + √ 2 2 K2 K1 ) eK1t )2 . Из теоремы 3.1 [2] имеем, что ‖M2(0)‖ = 0, таким образом ‖M2(t)‖ ≤ K2 K1 (1 + eK1t). ¤ Проиллюстрируем схему управления, описанную в теореме 1, на следующем при- мере. 3. Стабилизация модельной неголономной системы. В качестве примера рассмотрим систему дифференциальных уравнений    ẋ1 = u1 cosx3, ẋ2 = u1 sinx3, ẋ3 = u2, (16) где x = (x1, x2, x3) ∈ R3 – вектор состояния, u = (u1, u2) ∈ R2 – управление. Система (16) является кинематической моделью качения колеса по плоскости в случае управления скоростью [5, c. 184]. Известно [6], что система (16) может быть приведена к виду    ż1 = l1, ż2 = l2, ż3 = z2l1 − z1l2 (17) посредством преобразования z1 = x3, z2 = x1 cosx3 + x2 sinx3, z3 = 2(x1 sinx3 − x2 cosx3)− x3(x1 cosx3 + x2 sinx3), l1 = u2, l2 = u1 − u2(x1 sinx3 − x2 cosx3). (18) 7 Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев Система вида (17) известна в литературе как интегратор Брокетта [7] или систе- ма Гейзенберга [5]. Поскольку система (17) не удовлетворяет необходимому условию стабилизируе- мости Брокетта [7], то не существует непрерывной функции обратной связи, реша- ющей задачу стабилизации системы (17). Для стабилизации системы (17) рассмотрим закон управления, описанный в ра- боте [1, c. 51]:    l1 = −µz1 − g bzn−1 2 azn 1 + bzn 2 z3, l2 = −µz2 + g azn−1 1 azn 1 + bzn 2 z3, (19) где \|a\|+ \|b\| > 0, a, b, g ∈ R, µ > 0. Множество, где закон управления (19) разрывен, задается следующим образом: H0 = {z ∈ R3\| azn 1 + bzn 2 = 0}. Положим n = 2, µ = 1 2 , g = 1, a = b = 1, и преобразуем управление (19) в функцию обратной связи исходной системы (16): u2 = α2(x(t)) = −1 2 x3 − x1 cosx3 + x2 sinx3 x3 2 + (x1 cosx3 + x2 sinx3)2 × ×[2(x1 sinx3 − x2 cosx3)− x3(x1 cosx3 + x2 sinx3)]; (20) u1(t) = α1(x(t)) = α2(x(t))(x1 sinx3 − x2 cosx3)− 1 2 (x1 cosx3 + x2 sinx3)+ + x3 x2 3 + (x1 cosx3 + x2 sinx3)2 [2(x1 sinx3 − x2 cosx3)− x3(x1 cosx3 + x2 sinx3)]. (21) Для системы (16) множество точек разрыва функции обратной связи (20), (21) имеет вид H = {x ∈ R3\| x3 2 + (x1 cosx3 + x2 sinx3)2 = 0}. Для стабилизации тривиального решения системы (16) применим гибридный за- кон управления, состоящий из комбинации функций управления с переключениями в теореме 1 и обратной связи, обеспечивающей экспоненциальную сходимость реше- ний к нулю в R3 \H. Пусть ν – единичная нормаль к поверхности H в точке x1 = x2 = x3 = 0. В условиях теоремы 1 положим y = kν. Тогда при достаточно малых x0, k решение системы (16) с управлением u = v(t, a∗ + ã), где ã задается формулой (6), удовле- творяет условию ‖x(τ ; x0, v(·, a∗ + ã))− y‖ < ∆ε. Отсюда получаем, что x(τ ; x0, v(·, a0 + ã)) /∈ H при ε < 1 2 , ‖y‖ < ∆(ε), ‖x0‖ < ∆(ε). В момент времени t = τ применим обратную связь (20)-(21). Таким образом, предлагаемый закон управления может быть представлен следующим образом: u(t) = { v(t, a∗ + ã), t ≤ τ ; α(x(t)), t > τ. (22) 8 Экспоненциальная стабилизация нелинейных систем с помощью гибридного управления Как было отмечено выше, x(τ ; x0, v(·, a∗ + ã)) /∈ H, следовательно, управле- ние (22) обеспечивает экспоненциальную сходимость x(t) к 0 при t → +∞ для любых начальных условий ‖x0‖ < ∆(ε). Проиллюстрируем предложенную схему стабилизации на примере системы (16) c управлением v(t, a) =    +1, если t ∈ S1 ∪ S3; −1, если t ∈ S2 ∪ S4; 0, иначе, (23) где Sj = [∑j−1 i=1 ai, ∑j i=1 ai ) для j = 2, 3, 4 и вектора a = (a1, a2, a3, a4) с положи- тельными компонентами. В случае j = 1 положим S1 = [0, a1). При a = a∗ ≈ (4.42, 1.07, 3.91, 7.17) семейство управлений (23) удовлетворяет условиям теоремы 1. Для вычислений положим k = 0.1, x0 = (0, 1 2 , 0) ∈ H, τ ≈ 16.57. Тогда x(τ) = (0.1, 0.0037, 0.066) /∈ H. Результаты численного интегрирования системы (16) c управлением (22) при t ≥ τ показаны на рис. 1. Рис. 1. Решение системы (16) c управлением (22). Заключение. В данной работе предложена гибридная схема управления, кото- рая обеспечивает экспоненциальную сходимость решений нелинейной системы к осо- бой точке. Используемая схема сочетает функции управления с переключениями на конечном промежутке времени с функцией обратной связи, которая определена на плотном подмножестве фазового пространства. Рассмотренный пример неголоном- ной системы подтверждает возможность стабилизации системы с конструктивным 9 Т.Н. Астахова, А.Л. Зуев определением функции управления. Представляет дальнейший интерес оценка отклонения траекторий от положения равновесия на отрезке t ∈ [0, τ ] при использовании управления (22). 1. Astolfi A. Discontinuous Control of the Brockett Integrator // European Journal of Control. – 1998. – 4. – P. 49-63. 2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М: Мир, 1970. – 720 c. 3. Астахова Т.Н., Зуев А.Л. Стабилизация нелинейных систем в классе функций управления с дискретными переключениями // Ученые записки ТНУ им.В.И. Вернадского. – 2011. – Сер. "Физико-математические науки". – Том 24 (63) №3. – С. 1-9. 4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – 4-е изд. – М.: Наука, 1988. – 552 с. 5. Bloch A. Nonholonomic Mechanics and Control. – New York: Springer, 2003. – 483 p. 6. Sontag E.D. Stability and Stabilization: Discontinuities and the Effect of Disturbances // in: Nonlinear Analysis, Differential Equations and Control (Proc. NATO Advanced Study Institute, Montreal). – Kluwer, 1998. – P. 551-598. 7. Brockett R.W. Asymptotic stability and feedback stabilization // in: Differential Geometric Control Theory (R.W. Brockett, R.S. Millman, and H.J. Sussmann, eds.). – Boston: Birkhäuser, 1983. – P. 181–191. T.N. Astakhova, A. L. Zuyev Exponential stabilization of a class of nonlinear system by means of a hybrid control law. Nonlinear systems satisfying the accessibility rank condition are analyzed in this paper. In order to solve the stabilization problem, we propose a scheme based on the application of a family of discontinuous controls in finite time and a continuous feedback afterwards. The proposed scheme extends A. Astolfi’s approach for the case of initial conditions from a complete neighborhood of the equilibrium. Obtained results are illustrated with the help of a nonholonomic system which is not stabilizable by a continuous feedback. Keywords: nonlinear system, accessibility, controllability, stabilizability. Т.М. Астахова, О.Л. Зуєв Експоненцiальна стабiлiзацiя класу нелiнiйних систем за допомогою гiбридного закону керування. У роботi розглянуто клас нелiнiйних систем, якi задовольняють рангову умову досяжностi. Запро- поновано схему розв’язання задачi стабiлiзовностi, що грунтується на застосуваннi сiм’ї розривних функцiй керування на скiнченному промiжку часу та неперервного зворотного зв’язку. Ця схема розвиває пiдхiд A. Astolfi на випадок, коли початковi умови лежать у повному околi особливої точ- ки. Отриманi результати проiлюстровано на прикладi неголономної системи, яка не є стабiлiзовною за допомогою неперервного зворотнього зв’язку. Ключовi слова: нелiнiйна система, досяжнiсть, керованiсть, стабiлiзовнiсть. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк ctn_af@mail.ru al_zv@mail.ru Получено 20.11.12 10

Экспоненциальная стабилизация класса нелинейных систем с помощью гибридного закона управления

Institution

Ähnliche Einträge