Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле
Плотностные теоремы играют важную роль при изучении распределения нулей дзета-функции и рядов Дирихле. Они дают оценку количества нулей в заданном прямоугольнике внутри критиче- ской полосы и используются во многих проблемах аналитической теории чисел. В работе получена плотностная теорема для части...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124107 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле / Е.А. Баштынская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 16-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124107 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241072017-09-21T03:02:51Z Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле Баштынская, Е.А. Плотностные теоремы играют важную роль при изучении распределения нулей дзета-функции и рядов Дирихле. Они дают оценку количества нулей в заданном прямоугольнике внутри критиче- ской полосы и используются во многих проблемах аналитической теории чисел. В работе получена плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле дзета-функции Римана. Щiльнiснi теореми вiдiграють важливу роль при вивченнi розподiлу нулiв дзета-функцiї та рядiв Дiрiхле. Вони дають оцiнку кiлькостi нулiв у заданому прямокутнику всерединi критичної смуги та використовуються в багатьох проблемах аналiтичної теорiї чисел. У роботi отримано щiльнiсну теорему для часткової суми ряду Дiрiхле дзета-функцiї Рiмана. Density theorems play important role in studying of zero sets of zeta-function and Dirichlet series. It provide an estimate of the quantity of zeros in a given rectangle inside the critical strip. A density theorem for partial sum of Dirichlet series of Riemann zeta-function have been obtained in the work. 2012 Article Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле / Е.А. Баштынская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 16-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124107 511.33 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Плотностные теоремы играют важную роль при изучении распределения нулей дзета-функции и рядов Дирихле. Они дают оценку количества нулей в заданном прямоугольнике внутри критиче- ской полосы и используются во многих проблемах аналитической теории чисел. В работе получена плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле дзета-функции Римана. |
| format |
Article |
| author |
Баштынская, Е.А. |
| spellingShingle |
Баштынская, Е.А. Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Баштынская, Е.А. |
| author_sort |
Баштынская, Е.А. |
| title |
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле |
| title_short |
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле |
| title_full |
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле |
| title_fullStr |
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле |
| title_full_unstemmed |
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле |
| title_sort |
плотностная теорема для частичной суммы ряда дирихле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124107 |
| citation_txt |
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле / Е.А. Баштынская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 16-23. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT baštynskaâea plotnostnaâteoremadlâčastičnojsummyrâdadirihle |
| first_indexed |
2025-07-09T00:51:02Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:51:02Z |
| _version_ |
1837128496822878208 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 511.33
c©2012. Е.А. Баштынская
ПЛОТНОСТНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ
ЧАСТИЧНОЙ СУММЫ РЯДА ДИРИХЛЕ
Плотностные теоремы играют важную роль при изучении распределения нулей дзета-функции и
рядов Дирихле. Они дают оценку количества нулей в заданном прямоугольнике внутри критиче-
ской полосы и используются во многих проблемах аналитической теории чисел. В работе получена
плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле дзета-функции Римана.
Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряды Дирихле, плотностные теоремы, гипотеза Ри-
мана.
1. Введение. Проблема поведения дзета-функции Римана в критической поло-
се, в особенности проблема распределения ее нулей, является одной из труднейших
и интереснейших в математическом анализе. С ее решением тесно связано также ре-
шение центральной проблемы аналитической теории чисел – распределение простых
чисел в натуральном ряде.
В данной работе доказана теорема о плотности нулей внутри полосы Res ∈ (0, 1)
для функции ζ0(s) =
N∑
n=1
1
ns , которая является частичной суммой ряда Дирихле
дзета-функции. Первые теоремы такого рода были получены в середине прошло-
го века в работах Хохайзеля, Титчмарша (см. [3]), Сельберга, Карацубы (см. [1]),
Бомбьери и др.
Приведем пример плотностной теоремы для дзета-функции Римана.
Теорема. При 1
2 6 σ 6 1 имеет место оценка
N(σ, T ) 6 cT 4σ(1−σ)(lnT )12,
где N(σ, T ) – количество нулей функции ζ(s) в прямоугольнике |Ims| 6 T , Res > σ;
c > 0 – абсолютная константа.
Доказательство и подробное описание приведено в [1].
2. Формулировка основного результата. Пусть χ(s) – характеристическая
функция множества нулей функции ζ0(s), то есть
χ(s) =
{
1 если ζ0(s) = 0,
0 если ζ0(s) 6= 0.
Определение. При 0 6 σ 6 1, T > 2 положим
N0(σ, T ) =
∑
|Im s|6T
σ6Re s61
χ(s);
16
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле
другими словами, N0(σ, T ) – число нулей функции ζ0(s) в прямоугольнике |Im s| 6
T , σ 6 Re s 6 1.
Теорема 1. При 1
2 6 σ 6 1, N2(1−σ) 6 T 6 N3−2σ имеет место оценка
N0(σ, T ) 6 cT 2(1−σ)N2(1−σ)(2σ−1)(lnN)8 ln T,
где c > 0 не зависит от T и N .
3. Вспомогательные утверждения.
Теорема 2. Пусть G(s) – целая функция конечного порядка, {sn}∞n=1 – после-
довательность нулей функции G. Если G ограничена на вещественной оси, то она
представима в виде
G(s) = smeA+iBs lim
R→∞
∏
|sn|<R
(
1− s
sn
)
, (1)
(B – вещественное число).
Доказательство подробно описано в [2, глава V].
Лемма 1. Пусть ε – положительное число, для которого
∞∑
n=1
1
n2−ε
< 2.
Тогда все нули функции ζ0(s) содержатся в полосе
− lnN
ln N − ln (N − 1)
< Re s < 2− ε.
Доказательство. Пусть s = σ + it. Покажем, что при σ > 2 − ε при некотором
малом ε > 0 функция ζ0(s) не обращается в нуль. Имеем
|ζ0(s)| > 1−
∣∣∣∣
N∑
n=2
1
ns
∣∣∣∣ > 1−
N∑
n=2
1
nσ
> 1−
N∑
n=2
1
n2−ε
> 0
в силу непрерывности функции ζ0(x) и того, что
∑∞
n=1
1
n2 < 2.
Теперь пусть σ < 0 и ζ0(s) = 0, тогда
1
Nσ
=
∣∣∣∣
1
Nσ+it
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣−
N−1∑
n=1
1
nσ+it
∣∣∣∣ 6
N−1∑
n=1
1
nσ
6 (N − 1)
1
(N − 1)σ
;
(
N − 1
N
)−σ
6 (N − 1);
−σ 6 ln(N − 1)
lnN − ln(N − 1)
<
lnN
ln N − ln(N − 1)
;
17
Е.А. Баштынская
σ > − lnN
lnN − ln(N − 1)
.
¤
Теорема 3. ζ0(s) – целая функция первого порядка, при чем справедлива фор-
мула
ζ0(s) = NeBs
∞∏
n=1
(
1− s
ρn
)
, (2)
где ρn = βn + iγn – нули функции ζ0(s), B > − ln N .
Доказательство. Пусть |s| = r. Оценим |ζ0(s)|. Имеем
|ζ0(reiϕ)| 6
N∑
n=1
n|−reiϕ| =
N∑
n=1
nr 6 N r+1 6 c1e
c2r.
При s = −r < 0 получаем
|ζ0(−r)| =
N∑
n=1
nr > N r = er ln N ,
значит порядок функции ζ0(s) равен 1.
Введем в рассмотрение функцию
f(s) =
N∑
n=1
1
nis
.
Порядок f(s) равен 1. Воспользуемся теоремой 2. При x ∈ R выполнена оценка
|f(x)| 6 N , значит f(s) можно представить в виде (1):
f(s) = smeA+iBs
∞∏
n=1
(
1− s
sn
)
,
где {sn} – последовательность нулей функции f(s).
Заметим, что ζ0(s) = f(−is). Если sn – нуль функции f(s), то isn = ρn – нуль
функции ζ0(s). Тогда, в силу того, что ζ0(0) = N 6= 0, получим
ζ0(s) = eA+Bs
∞∏
n=1
(
1− s
ρn
)
.
Вычислим коэффициенты A и B. Полагая s = 0, находим
eA = ζ0(0) = N.
Теперь из (2)
ζ ′0(s)
ζ0(s)
= B +
∞∑
n=1
1
s− ρn
.
18
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле
Преобразуем последнюю сумму, учитывая, что нули функции ζ0(s) расположены
симметрично относительно действительной оси
∞∑
n=1
1
s− ρn
=
1
2
∞∑
n=1
(
1
s− ρn
+
1
s− ρn
)
=
∞∑
n=1
s− βn
(s− βn)2 + γ2
n
.
Тогда получим, что при s = σ+ it, t = 0, σ → −∞, в силу ограниченности βn (лемма
1)
lim
σ→−∞
∞∑
n=1
1
σ − ρn
= lim
σ→−∞
∞∑
n=1
σ − βn
(σ − βn)2 + γ2
n
6 0.
А значит
lim
σ→−∞
ζ ′0(σ)
ζ0(σ)
= B + lim
σ→−∞
∞∑
n=1
1
σ − ρn
6 B.
С другой стороны, по определению
ζ ′0(s)
ζ0(s)
= −
∑N
n=1
ln n
ns∑N
n=1
1
ns
,
значит
B > − lim
σ→−∞
∑N
n=1(lnn)n−σ
∑N
n=1 n−σ
= − lim
σ→−∞
∑N
n=1(lnn)
(
N
n
)σ
∑N
n=1
(
N
n
)σ = − ln N.
¤
Следствие. Справедлива формула
ζ ′0(s)
ζ0(s)
= B +
∞∑
n=1
1
s− ρn
. (3)
Теорема 4. Пусть ρn = βn+iγn – нули функции ζ0(s), T > 2. Тогда справедлива
оценка
∞∑
n=1
1
(2− βn)2 + (T − γn)2
6 c lnN.
Доказательство. Положим s = 2 + iT . Тогда
−Reζ ′0(s)
ζ0(s)
= −B − Re
∞∑
n=1
1
s− ρn
6 ln N − Re
∞∑
n=1
1
s− ρn
. (4)
Кроме того,
|ζ ′0(s)| 6
N∑
n=1
lnN
n2
6 ln N
∞∑
n=1
1
n2
= c1 lnN,
19
Е.А. Баштынская
а также
|ζ0(s)| > 1−
N∑
n=2
1
|n2+iT | > 2−
∞∑
n=1
1
n2
= 2− π2
6
= c2.
Итак, получили ∣∣∣∣
ζ ′0(s)
ζ0(s)
∣∣∣∣ 6 c1
c2
ln N = c3 lnN,
а значит
Re
ζ ′0(s)
ζ0(s)
6 c3 ln N. (5)
Теперь из (4) и (5) найдем
Re
∞∑
n=1
1
s− ρn
6 c4 lnN. (6)
Далее оценим левую часть неравенства (6), учитывая, что βn < 2− ε (лемма 1):
Re
∞∑
n=1
1
s− ρn
=
∞∑
n=1
2− βn
(2− βn)2 + (T − γn)2
>
∞∑
n=1
ε
(2− βn)2 + (T − γn)2
.
Тогда (6) можно переписать в виде
∞∑
n=1
ε
(2− βn)2 + (T − γn)2
6 Re
∞∑
n=1
1
s− ρn
6 c4 ln N,
откуда
∞∑
n=1
1
(2− βn)2 + (T − γn)2
6 c4
ε
lnN = c lnN.
¤
Следствие. Число нулей ρn функции ζ0(s), для которых 0 < βn < 1, T 6 |γn| 6
T + 1, не превосходит c5 lnN .
Доказательство.
c ln N >
∞∑
n=1
1
(2− βn)2 + (T − γn)2
>
∑
0<βn<1
T6γn6T+1
1
(2− βn)2 + (T − γn)2
>
>
∑
0<Re s<1
T6Im s6T+1
1
5
χ(s).
В силу симметричности нулей функции ζ0(s) относительно действительной оси, име-
ем ∑
0<Re s<1
T6Im s6T+1
χ(s) 6 10c lnN = c5 ln N.
¤
20
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле
Лемма 2. Справедлива следующая оценка:
∑
ρ
′′
∣∣∣∣
∑
Y <n62Y
bn
nρ
∣∣∣∣
2
6 c(T1Y
1−2σ + Y 2−2σ) ln6 Y, (7)
где c – абсолютная положительная константа, bn – произвольные числа с условием
|bn| 6 τ(n) (τ(n) – число натуральных делителей n), Y > 1 – любое целое число,
суммирование в сумме
∑
ρ
′′ ведется по нулям ρ функции ζ0(s), T1 6 |Im ρ| 6 2T1 6
T , σ 6 Re ρ 6 1, |Im ρ − Im ρ′| > ln T − 1 (т.е. расстояние между мнимыми
частями нулей, по которым ведется суммирование, не меньше (lnT − 1)).
Для доказательства достаточно повторить рассуждения из [1] с использованием
леммы из [1, глава VII].
4. Доказательство основного результата. Пусть T > 2, |t| 6 T . Умножим
равенство
ζ0(s) =
N∑
n=1
1
ns
на
MX(s) =
∑
n6X
µ(n)
ns
, X = TN2σ−2,
где µ(n) – функция Мёбиуса. Получим
ζ0(s)MX(s) =
∑
n6X
µ(n)
ns
N∑
n=1
1
ns
=
∑
n6NX
αn
ns
, (8)
где
αn =
∑
n/m∈Z
n/m6N
m6X6N
µ(m) =
{
1, если n = 1,
0, если 1 < n 6 X. (9)
Кроме того, |αn| 6 τ(n), где τ(n) – число натуральных делителей n.
Пусть теперь s = ρ – нуль функции ζ0(s). Тогда
0 = ζ0(ρ)MX(ρ) =
∑
n6NX
αn
nρ
=
∑
n6X
αn
nρ
+
∑
X<n6NX
αn
nρ
= 1 +
∑
X<n6NX
αn
nρ
.
Следовательно,
1 =
∣∣∣∣
∑
X<n6NX
an
nρ
∣∣∣∣.
Теперь, возводя в квадрат последнее равенство, будем иметь
1 =
∣∣∣∣
∑
X<n6NX
an
nρ
∣∣∣∣
2
.
21
Е.А. Баштынская
Просуммируем обе части полученного соотношения по всем нулям функции ζ0(s) из
прямоугольника σ 6 Reρ 6 1, |Imρ| 6 T . Найдем
N0(σ, T ) =
∑
ρ
∣∣∣∣
∑
X<n6NX
an
nρ
∣∣∣∣
2
.
Преобразуем сумму по ρ. Возьмем A = [lnT ] и разобьем отрезок [−T ; T ] на отрезки
длины 1 вида
Am + n, n = 1, . . . , A; |m| < TA−1 + 1.
Тогда схематически можно записать
∑
ρ
=
∑
|m|<TA−1+1
A∑
n=1
∑
σ6Reρ61
Am+n−1<Imρ6Am+n
=
A∑
n=1
∑
|m|<TA−1+1
∑
σ6Reρ61
Am+n−1<Imρ6Am+n
6
6 A max
16n6A
∑
|m|<TA−1+1
∑
σ6Reρ61
Am+n−1<Imρ6Am+n
.
По следствию из теоремы 3 количество нулей ρ в каждом прямоугольнике Am +
n − 1 < Imρ 6 Am + n не превосходит c2 lnN . Тогда выбирая по одному нулю из
каждого такого прямоугольника, получим не более c3 ln N сумм. Обозначим через∑
ρ
′ наибольшую из них и получим
∑
ρ
¿ ln2 N
∑
ρ
′
.
Теперь, разбивая сумму
∑
ρ
′ на не более чем c4 ln T сумм, объединяя в одну сумму
слагаемые, у которых T1 6 |Imρ| 6 2T1 6 T , найдем
N(σ, T ) ¿ ln2 N lnT
∑
ρ
′′
∣∣∣∣
∑
X<n6NX
an
nρ
∣∣∣∣
2
, (10)
причем суммирование в сумме
∑
ρ
′′ ведется по нулям ρ функции ζ0(s), T1 6 |Imρ| 6
2T1 6 T , σ 6 Reρ 6 1, |Imρ− Imρ′| > lnT − 1.
Применим оценку (7) из леммы 2. Имеем
∑
ρ
′′
∣∣∣∣
∑
Y <n62Y
bn
nρ
∣∣∣∣
2
¿ (T1Y
1−2σ + Y 2−2σ) ln6 Y.
Теперь, разбивая в (10) сумму на ¿ lnT сумм и применяя оценку (7) (заметим,
что в этом случае X 6 Y 6 XN), найдем
∑
ρ
′′
∣∣∣∣
∑
X<n6XN
an
nρ
∣∣∣∣
2
¿ (TY 1−2σ + Y 2−2σ)(lnY )6 ¿
¿ (TX1−2σ + (NX)2−2σ)(ln(NX))6 ¿ T 2(1−σ)N2(1−σ)(2σ−1)(lnN)6.
22
Плотностная теорема для частичной суммы ряда Дирихле
Итак из (10) получим
N(σ, T ) ¿ T 2(1−σ)N2(1−σ)(2σ−1)(lnN)8 ln T.
1. Карацуба А.Л. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука, 1983. – 240 с.
2. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. – М.: Техтеолит, 1956. – 632 с.
3. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. – М.: ИЛ, 1953. – 407 с.
E.A. Bashtynskaya
A density theorem for partial sum of Dirichlet series.
Density theorems play important role in studying of zero sets of zeta-function and Dirichlet series. It
provide an estimate of the quantity of zeros in a given rectangle inside the critical strip. A density
theorem for partial sum of Dirichlet series of Riemann zeta-function have been obtained in the work.
Keywords: Riemann zeta-function, Dirichlet series, density theorem, Riemann’s conjecture.
Є.О. Баштинська
Щiльнiсна теорема для часткової суми ряду Дiрiхле.
Щiльнiснi теореми вiдiграють важливу роль при вивченнi розподiлу нулiв дзета-функцiї та рядiв
Дiрiхле. Вони дають оцiнку кiлькостi нулiв у заданому прямокутнику всерединi критичної смуги
та використовуються в багатьох проблемах аналiтичної теорiї чисел. У роботi отримано щiльнiсну
теорему для часткової суми ряду Дiрiхле дзета-функцiї Рiмана.
Ключовi слова: дзета-функцiя Рiмана, ряди Дiрiхле, щiльнiснi теореми, гiпотеза Рiмана.
Донецкий национальный ун-т
bashtynskaya.evgeniya@gmail.com
Получено 21.07.12
23
|