Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями
Для систем стохастических дифференциальных уравнений Ито доказывается теорема об асимптотической устойчивости по вероятности относительно части переменных с использованием функции Ляпунова со знакопостоянной производной. Рассмотрены задачи одноосной стабилизации спутника с помощью реактивных двигате...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124109 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями / И.Г. Васильева, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 33-41. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124109 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241092017-09-21T03:01:48Z Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями Васильева, И.Г. Зуев, А.Л. Для систем стохастических дифференциальных уравнений Ито доказывается теорема об асимптотической устойчивости по вероятности относительно части переменных с использованием функции Ляпунова со знакопостоянной производной. Рассмотрены задачи одноосной стабилизации спутника с помощью реактивных двигателей ориентации и одноосной стабилизации спутника с помощью двух маховиков. Для систем стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто доведено теорему про асимптотичну стiйкiсть за ймовiрнiстю вiдносно частини змiнних iз застосуванням функцiї Ляпунова зi знакосталою похiдною. Розглянуто задачi одноосьової стабiлiзацiї супутника за допомогою реактивних двигунiв орiєнтацiї та одноосьової стабiлiзацiї супутника за допомогою двох маховикiв. For systems of Ito stochastic differential equations, a theorem on stability in probability with respect to a part of variables is proven by using a Lyapunov function with semi-definite derivative. We consider the problem of single axis stabilization of a satellite by means of jets and a pair of flywheels. 2012 Article Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями / И.Г. Васильева, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 33-41. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124109 531.36; 519.21 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для систем стохастических дифференциальных уравнений Ито доказывается теорема об асимптотической устойчивости по вероятности относительно части переменных с использованием функции Ляпунова со знакопостоянной производной. Рассмотрены задачи одноосной стабилизации спутника с помощью реактивных двигателей ориентации и одноосной стабилизации спутника с помощью двух маховиков. |
| format |
Article |
| author |
Васильева, И.Г. Зуев, А.Л. |
| spellingShingle |
Васильева, И.Г. Зуев, А.Л. Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Васильева, И.Г. Зуев, А.Л. |
| author_sort |
Васильева, И.Г. |
| title |
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями |
| title_short |
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями |
| title_full |
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями |
| title_fullStr |
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями |
| title_full_unstemmed |
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями |
| title_sort |
частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124109 |
| citation_txt |
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями / И.Г. Васильева, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 33-41. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT vasilʹevaig častičnaâstabilizaciânelinejnyhsistemsoslučajnymivozdejstviâmi AT zueval častičnaâstabilizaciânelinejnyhsistemsoslučajnymivozdejstviâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T00:51:15Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:51:15Z |
| _version_ |
1837128510605361152 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 531.36; 519.21
c©2012. И.Г. Васильева, А.Л. Зуев
ЧАСТИЧНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
Для систем стохастических дифференциальных уравнений Ито доказывается теорема об асимпто-
тической устойчивости по вероятности относительно части переменных с использованием функции
Ляпунова со знакопостоянной производной. Рассмотрены задачи одноосной стабилизации спутни-
ка с помощью реактивных двигателей ориентации и одноосной стабилизации спутника с помощью
двух маховиков.
Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения Ито, устойчивость по веро-
ятности,устойчивость относительно части переменных.
1. Введение. Задача устойчивости движения по отношению к части перемен-
ных была поставлена А.М. Ляпуновым [1] и детально исследована в монографиях
В.В. Румянцева и А.С. Озиранера [2], В.В. Воротникова [3] и других ученых. Та-
кая задача естественным образом возникает в прикладных задачах, если для нор-
мального функционирования системы необходимо обеспечить ее устойчивость лишь
относительно некоторых фазовых переменных.
Эта задача также представляет интерес для класса систем, которые неустойчи-
вы по Ляпунову, и в то же время асимптотически устойчивы относительно части
переменных.
При изучении реальных динамических систем параметры системы и воздей-
ствия на нее часто являются недетерминированными величинами, и приходится
привлекать вероятностные законы для их моделирования. Из потребностей задач
стабилизации движений, подверженных случайным воздействиям, возникла теория
устойчивости стохастических дифференциальных уравнений в работах И.Я. Каца и
Н.Н. Красовского [4], Г. Кушнера [5], Р.З. Хасьминского [6] и др.
В данной работе исследована задача устойчивости стохастических систем по от-
ношению к части переменных с использованием функции Ляпунова со знакопосто-
янной производной.
2. Постановка задачи. Предположим, что возмущенное движение системы
представляет собой марковский процесс, описываемый системой стохастических диф-
ференциальных уравнений Ито
dx(t) = f(x)dt + σ(x)dW (t), f(0) = 0, σ(0) = 0. (1)
Здесь x ∈ Rn – вещественный n-мерный вектор состояния системы, вещественные n-
мерная функция f(x) и матрица σ размера n×k удовлетворяют условиям Липшица
на всяком ограниченном подмножестве в Rn, W (t) – k-мерный винеровский процесс,
компоненты wj(t) (j = 1, 2, ..., k) которого являются независимыми одномерными
винеровскими процессами, причем Mwj(t) = 0, Mw2
j (t) = 2t.
33
И.Г. Васильева, А.Л. Зуев
При этих условиях существует единственный строго марковский процесс xξ,s(t) с
непрерывными почти наверное траекториями и фелеровской переходной функцией
[7], который является решением уравнения (1) при начальном условии xξ,s(s) = ξ и
с которым связан оператор
L =
n∑
i=1
fi(x)
∂
∂xi
+
1
2
n∑
i=1
ai,j(x)
∂2
∂xi∂xj
, [ai,j ] = σσT . (2)
Для определенности будем изучать устойчивость решения x(t) ≡ 0 системы (1)
при t ∈ R+ = [0, +∞) по отношению к переменным x1, x2, ..., xm, 0 < m ≤ n. Обо-
значим эти переменные через yi = xi (i = 1, 2, ..., m), а остальные – через zj = xm+j
(j = 1, ..., n−m).
Будем пользоваться следующими определениями [8]:
Определение 1. Тривиальное решение x(t) ≡ 0 системы (1) y-устойчиво по ве-
роятности, если для всех s ∈ R+, ε > 0, γ > 0 можно указать такое δ > 0, что при
каждом ‖ξ‖ < δ выполнено неравенство
Pξ,s{sup
t≥s
‖yξ,s(t)‖ > ε} < γ. (3)
Здесь Pξ,s – вероятностная мера, порожденная процессом xξ,s,
‖y‖ =
(
m∑
i=1
y2
i
)1/2
= (y, y)1/2.
Определение 2. Тривиальное решение x(t) ≡ 0 системы (1) асимптотически y-
устойчиво по вероятности, если оно y-устойчиво по вероятности и, кроме того,
lim
ξ→0
Pξ,s{ lim
t→∞ ‖y
ξ,s(t)‖ = 0} = 1. (4)
Будем рассматривать непрерывные функции V (x) : Rn → R+, V (0) = 0, которые
дважды непрерывно дифференцируемы всюду, за исключением, быть может, точки
x = 0.
Также введем в рассмотрение класс K Хана, состоящий из всех непрерывных
строго возрастающих функций α : R+ → R+, α(0) = 0.
Следующая теорема распространяет результат К. Ризито [9] на класс систем со
случайными воздействиями.
Теорема 1. Предположим, что
1) существует функция V (x) : Rn → R+ такая, что V (0) = 0, LV (x) ≤ 0,
α1(‖y‖) ≤ V (x) для некоторой функции α1 ∈ K;
2) решения системы (1), начинающиеся в некоторой окрестности точки x = 0,
ограничены почти наверное;
34
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями
3) множество M = {x : y = 0} инвариантно;
4) множество Mv\M не содержит целых полутраекторий системы (1), где
Mv = {x : LV (x) = 0}.
Тогда решение x(t) ≡ 0 асимптотически у-устойчиво по вероятности.
Доказательство. Возьмем произвольное ε > 0. Пусть ‖ξ‖ < ε, и пусть
τε = inf t : ‖yξ,s(t)‖ > ε, τε(t) = min(τε, t).
Тогда, используя один частный случай формулы Дынкина [5], получим
Mξ,sV (xξ,s(τε(t))) = V (ξ) + Mξ,s
∫ τε(t)
s
LV (xξ,s(u))du,
где Mξ,s – математическое ожидание по вероятностной мере Pξ,s. В силу того, что
LV ≤ 0, отсюда вытекает неравенство
Mξ,sV (xξ,s(τε(t))) ≤ V (ξ), t ≥ s,
которое можно переписать в виде
∫
τε<t
α1(‖yξ,s(τε)‖)Pξ,s(dω) +
∫
τε≥t
α1(‖yξ,s(t)‖)Pξ,s(dω) ≤ V (ξ).
Откуда следует α1(ε)Pξ,s{τε < t} ≤ V (ξ). Из последнего равенства в силу непрерыв-
ности функции V (x) и равенства V (0) = 0 получаем соотношение
lim
ξ→0
Pξ,s{τε < t} = 0,
которое, очевидно, влечет за собой выполнение (3).
Таким образом, нам осталось доказать, что
lim
ξ→0
Pξ,s{ lim
t→∞ ‖y
ξ,s(t)‖ = 0} = 1.
Из множества выборочных траекторий процесса xξ,s(t) выделим подмножество
В выборочных траекторий таких, что для каждой компоненты yξ,s
i (t) (i = 1, ...,m)
процесса xξ,s(t) выполняется равенство τε(t) = t, t ∈ R+. Тогда из доказанного выше
следует соотношение
lim
x→0
Pξ,s{В} = 1. (5)
По условию 2) теоремы существует такое δ > 0, что все решения xξ,s(t) систе-
мы (1) c ‖ξ‖ < δ ограничены при t ≥ s. Пусть ‖ξ‖ < δ, покажем, что
lim
t→∞ ‖y
ξ,s(t)‖ = 0.
35
И.Г. Васильева, А.Л. Зуев
В силу ограниченности xξ,s(t) существует последовательность tk →∞ :
xξ,s(tk) → x∗ = (y∗, z∗) ∈ Γ+,
где Γ+ 6= ∅ – множество ω-предельных точек решения xξ,s(t). Так как условия,
необходимые для использования стохастической версии принципа инвариантности
Ла-Салля [8] выполнены, то Γ+ ⊂ Mv.
Нам необходимо показать, что y∗ = 0. В силу инвариантности множества Γ+
получим, что xx∗,s(t) ∈ Γ+ при всех t ≥ s. Предположим, что y∗ 6= 0. Поскольку
множество M инвариантно и x∗ ∈ Γ+ ⊂ Mv, то xx∗,s(t) ∈ Mv\M , t ≥ s. Получено
противоречие с условием 4) теоремы. Таким образом, y∗ = 0, значит
lim
t→∞ ‖y
ξ,s(t)‖ = 0. (6)
Из равенства (6) с учетом (5) вытекает утверждение теоремы. ¤
3. Одноосная стабилизация спутника с помощью реактивных двига-
телей ориентации. Рассмотрим задачу о движении тела вокруг центра масс под
действием реактивных управляющих моментов без учета изменения массы. Урав-
нения движения могут быть записаны в форме Эйлера-Пуассона со случайными
добавками при управлении
dω1 = (A2−A3
A1
ω2ω3 + u1)dt + ω1σdW (t),
dω2 = (A3−A1
A2
ω1ω3 + u2)dt + ω2σdW (t),
dω3 = (A1−A2
A3
ω1ω2)dt,
dν1 = (ω3ν2 − ω2ν3)dt,
dν2 = (ω1ν3 − ω3ν1)dt,
dν3 = (ω2ν1 − ω1ν2)dt,
(7)
где ω1, ω2, ω3 – проекции вектора угловой скорости ω на соответствующие главные
оси инерции тела; ν1, ν2, ν3 – проекции неподвижного орта ν на соответствующие
главные оси инерции; A1, A2, A3 – главные центральные моменты инерции тела;
u1, u2 – управляющие моменты. При дальнейшем анализе буде считать все вели-
чины безразмерными.
Система (7) при u1 = u2 = 0 допускает следующее частное решение:
ω1 = ω2 = ω3 = 0,
ν1 = ν2 = 0, ν3 = 1.
(8)
Решение (8) соответствует положению равновесия, при котором третья главная
ось инерции тела направлена по вектору ν. Применим сформулированную выше
теорему для стабилизации решения (8) системы (7) по переменным ω1, ω2, ν1, ν2.
Такой выбор переменных соответствует задаче об одноосной стабилизации твер-
дого тела, т.е. проекции ν1, ν2 и их производные ν̇1, ν̇2 должны быть ”малыми“ и
стремящимися к нулю при t → ∞, при этом остальные компоненты решения пред-
полагаются ограниченными [10].
36
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями
Функцию V (x) зададим формулой V = 1
2(A1ω
2
1 + A2ω
2
2) + 1
2(ν2
1 + ν2
2).
Определим управление с обратной связью следующим образом:
u1 = ω2ω3 − 1
A1
ν2ν3 − { |A1−A2|
2A1
|ω3|+ A1h + 1
2σσT }ω1,
u2 = −ω1ω3 + 1
A2
ν1ν3 − { |A1−A2|
2A2
|ω3|+ A2h + 1
2σσT }ω2,
(9)
где функция h будет определена ниже.
Проведя вычисления, имеем
LV = −|A1 −A2|
2
|ω3|ω2
1 −
|A1 −A2|
2
|ω3|ω2
2 −A2
1hω2
1 −A2
2hω2
2 ≤ 0.
Таким образом, первое условие теоремы 1 выполнено.
Все решения системы (7) ограничены по переменным νi благодаря наличию гео-
метрического интеграла ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = const. Остается проверить ограниченность
решений по переменным ωi. Для этого воспользуемся теоремой 39.1 из монографии
[2]. Согласно этой теореме, для ограниченности решений по ωi достаточно, чтобы
существовала определенно-положительная по ωi функция W0(x), которая не убы-
вает на решениях замкнутой системы (7), (9) и удовлетворяет условию W0(x) →∞
при ωi →∞. В качестве такой функции выберем
W0(x) =
1
2
(A1ω
2
1 + A2ω
2
2 + A3ω
2
3) +
1
2
(ν2
1 + ν2
2).
Тогда
LW0(x) = (A1 −A2)ω1ω2ω3 − |A1 −A2|
2
|ω3|(ω2
1 + ω2
2)− h(A2
1ω
2
1 + A2
2ω
2
2).
Согласно теореме об ограниченности решений, для ωi-ограниченности достаточно,
чтобы выполнялось неравенство LW0(x) ≤ 0, т.е. чтобы функция h(x) > 0 удовле-
творяла следующему условию:
h(x)(A2
1ω
2
1 + A2
2ω
2
2) ≥ (A1 −A2)ω1ω2ω3. (10)
Используя неравенство 2A1A2ω1ω2 ≤ A2
1ω
2
1+A2
2ω
2
2, получим, что для выполнения
(10) достаточно положить
h(x) =
∣∣∣∣
A1 −A2
2A1A2
ω3
∣∣∣∣ + ε, (11)
где ε – произвольное положительное число.
Проверим инвариантность множества M , которое имеет вид
M = {(ω1, ω2, ω3, ν1, ν2, ν3) : ν1 = ν2 = ω1 = ω2 = 0}.
Достаточно показать, что система (7), (9) на множестве M разрешима для любых
начальных условий.
37
И.Г. Васильева, А.Л. Зуев
Перепишем систему (7), (9), подставив в нее ν1 = ν2 = ω1 = ω2 = 0
{
dω3 = 0,
dν3 = 0.
(12)
Очевидно, решением системы будет
{
ω3(t) = const,
ν3(t) = const.
(13)
Таким образом, условие 3) теоремы 1 выполнено.
Осталось показать, что и четвертое условие выполняется. Множество Mv имеет
вид:
Mv = {ω1 = ω2 = 0},
x(t) ∈ Mv :
dν1 = ω3ν2dt,
dν2 = −ω3ν1dt,
0 = − 1
A1
ν2ν3dt,
0 = 1
A2
ν1ν3,
dω3 = 0.
(14)
Нетрудно проверить, что для достаточно близких к (8) начальных условиях все
целые траектории системы (7) с управлением (9) удовлетворяют свойству ν1 = ν2 =
0. При этом решением системы (14) является ν1(t) = 0, ν2(t) = 0, ω3(t) = const,
ν3(t) = const. Это же решение удовлетворяет системе (12). Итак, Mv\M не содержит
целых полутраекторий.
Все условия теоремы 1 выполнены, значит решение (8) системы (7) асимптоти-
чески y-устойчиво по вероятности.
4. Одноосная стабилизация спутника с помощью двух маховиков. Ди-
намические уравнения движения твердого тела, содержащего пару симметричных
маховиков, со случайными воздействиями при управлении могут быть записаны в
виде
dω1 =
(
A2−A3
A1−I1
ω2ω3 + I2Ω2
A1−I1
ω3 − 1
A1−I1
u1
)
dt + ω1σdW (t),
dω2 =
(
A3−A1
A2−I2
ω1ω3 − I1Ω1
A2−I2
ω3 − 1
A2−I2
u2
)
dt + ω2σdW (t),
dω3 =
(
A1−A2
A3
ω1ω2 + I1Ω1
A3
ω2 − I2Ω2
A3
ω1
)
dt,
dΩ1 =
(
A1
I1(A1−I1)u1 − A2−A3
A1−I1
ω2ω3 − I2Ω2
A1−I1
ω3
)
dt− ω1σdW (t),
dΩ2 =
(
A2
I2(A2−I2)u2 − A3−A1
A2−I2
ω1ω3 + I1Ω1
A2−I2
ω3
)
dt− ω2σdW (t),
dν1 = (ω3ν2 − ω2ν3)dt,
dν2 = (ω1ν3 − ω3ν1)dt,
dν3 = (ω2ν1 − ω1ν2)dt,
(15)
где ωi – координаты вектора угловой скорости тела-носителя в главной системе ко-
ординат; Ω1,Ω2 – относительные угловые скорости первого и второго маховика; Ai –
главные моменты инерции всей системы, состоящей из тела-носителя и маховиков;
38
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями
I1, I2 – осевые моменты инерции первого и второго маховика соответственно (пред-
полагается, что A1 > I1, A2 > I2); u1, u2 – управляющие моменты, приложенные к
первому и второму маховику (см. [10]).
Система уравнений (15) при u1 = u2 = 0 допускает положение равновесия
ωi = 0, Ω1 = const, Ω2 = const,
ν1 = ν2 = 0, ν3 = 1.
(16)
Рассматриваемая механическая система допускает следующие интегралы:
W1 = (A1ω1 + I1Ω1)2 + (A2ω2 + I2Ω2)2 + (A3ω3)2 = const,
W2 = (A1ω1 + I1Ω1)ν1 + (A2ω2 + I2Ω2)ν2 + (A3ω3)ν3 = const,
W3 = ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = const.
Для существования интеграла моментов необходимо на вектор σ, характеризуюший
случайные воздействия, наложить условие σ ∈ N, где N – инвариантное подпро-
странство линейного оператора Q, соответствующее нулевому собственному значе-
нию. Линейный оператор Q задан матрицей Гессе функции W1
Q =
2A2
1 0 0 2A1I1 0
0 2A2
2 0 0 2A2I2
0 0 2A2
3 0 0
2I1A1 0 0 2I2
1 0
0 2I2A2 0 0 2I2
2
. (17)
Найдем собственные значения данной матрицы и собственные векторы, соответству-
ющие нулевому собственному значению. Эти векторы имеют вид
x̄ = (− I1
A1
Ω1,− I2
A2
Ω2, 0,Ω1, Ω2)T .
Таким образом, множество N имеет вид:
N = {(ω1, ω2, ω3, Ω1, Ω2)T : ω1 = − I1
A1
Ω1, ω2 = − I2
A2
Ω2, ω3 = 0}.
Для стабилизации системы (15) по переменным ω1, ω2, ν1, ν2 воспользуемся тео-
ремой 1 со следующей функцией 2V (x) = (A1 − I1)ω2
1 + (A2 − I2)ω2
2 + ν2
1 + ν2
2 .
Зададим функцию обратной связи
u1 = ν2ν3 + (A2ω2 + I2Ω2)ω3 + ω1(h + 1
2σσT (A1 − I1) + |A1−A2|
2 |ω3|),
u2 = −ν1ν3 − (A1ω1 + I1Ω1)ω3 + ω2(h + 1
2σσT (A2 − I2) + |A1−A2|
2 |ω3|),
(18)
где h > 0.
Как и в предыдущем примере, проверим выполнение условий теоремы 1. Имеем
LV (x) = −ω2
1(h +
|A1 −A2|
2
|ω3|)− ω2
2(h +
|A1 −A2|
2
|ω3|) ≤ 0.
39
И.Г. Васильева, А.Л. Зуев
Наличие интегралов W1, W2, W3 и условие LV (x) ≤ 0 обеспечивают ограниченность
решений системы (15) с обратной связью (18).
Система (15) на множестве M примет вид
dω3 = 0,
dΩ1 = I2Ω2ω3
A1−I1
dt,
dΩ2 = − I1Ω1ω3
A2−I2
dt,
dν3 = 0,
(19)
где M = {(ω1, ω2, ω3, Ω1, Ω2, ν1, ν2, ν3) : ν1 = ν2 = ω1 = ω2 = 0}.
Найдем решение системы (19). Получим
ω3(t) = c1
√
(A1−I1)(A2−I2)
I1I2
6= 0,
ν3(t) = c2,
Ω1(t) = c3 cos(c1t) + c4 sin(c1t),
Ω2(t) =
√
I2(A2−I2)
I1(A1−I1)(c4 cos(c1t)− c3 sin(c1t)).
(20)
или
ω3(t) = 0,
ν3(t) = c2,
Ω1(t) = c3,
Ω2(t) = c4.
Итак, для произвольных начальных условий из множества M , выражения (20) за-
дают решение системы (19) в M , что доказывает инвариантность множества M .
Множество Mv имеет вид: Mv = {ω1 = ω2 = 0},
x(t) ∈ Mv :
dν1 = ω3ν2dt,
dν2 = −ω3ν1dt,
ν2ν3 = 0,
ν1ν3 = 0,
dω3 = 0,
dν3 = 0.
(21)
Для достаточно близких к положению равновесия (16) начальных условий все ре-
шения системы (15) с управлением (18) обладают свойством ν1 = ν2 = 0. Тогда
соответствующее решение системы (21) задается соотношениями ν1(t) = 0, ν2(t) = 0
и (20).
Это же решение удовлетворяет системе (19). Значит, Mv\M не содержит целых
полутраекторий, что означает выполнение четвертого условия теоремы 1.
Тогда по теореме 1, решение (16) системы (15), (18) асимптотически устойчиво
по переменным ν1, ν2, ω1, ω2 по вероятности.
5. Заключение. В работе распространена теорема К. Ризито об асимптотиче-
ской устойчивости по части переменных на случай систем стохастических диффе-
ренциальных уравнений. С помощью этой теоремы решены задачи одноосной ста-
билизации твердого тела с использованием функций обратной связи (9), (18).
40
Частичная стабилизация нелинейных систем со случайными воздействиями
Представляет дальнейший интерес исследование задачи об асимптотической ус-
тойчивости инвариантных множеств и описание аттракторов нелинейных систем со
случайным воздействием.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950. – 472 c.
2. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части
переменных. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
3. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. – М.:
Наука, 1991. – 288 c.
4. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикл.
матем. и мех. – 1960. – Т. 24. – Вып. 5. – С. 809-823.
5. Кушнер Дж. Стохастическая устойчивость и управление. – М.: Мир, 1969. – 199 с.
6. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возму-
щениях их параметров. – М.: Наука, 1969. – 367 с.
7. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. – К.: Наукова дум-
ка, 1968. – 354 с.
8. Xuerong Mao Some contributions to stochastic asymptotic stability and boundedness via multiple
Lyapunov functions // Jornal of mathematical and applications. – 2000. – C. 325-340.
9. Шаров В.Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части пере-
менных // Автоматика и телемеханика. – 1978. – Вып. 11. – С. 63-71.
10. Zuyev A.L. On partial stabilization of nonlinear autonomous systems: sufficient conditions and
examples // Proc of the European Control Conference ECC 2001. – Porto (Portugal). – P. 1918-1922.
11. Risito C. Sulla stabilita asintotica parziale // Ann. Math. Pura Appl. – 1970. – 84. – P. 279-292.
12. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. – М.: Мир, ООО «Издательство
АСТ», 2003. – 408 с.
I.G.Vasylieva, A. L. Zuyev
Partial stabilization of nonlinear systems with random disturbances.
For systems of Ito stochastic differential equations, a theorem on stability in probability with respect to
a part of variables is proven by using a Lyapunov function with semi-definite derivative. We consider the
problem of single axis stabilization of a satellite by means of jets and a pair of flywheels.
Keywords: Ito stochastic differential equations, stability in probability, stability for some of the variables.
I. Г. Васильєва, О.Л. Зуєв
Часткова стабiлiзацiя нелiнiйних систем з випадковими впливами.
Для систем стохастичних диференцiальних рiвнянь Iто доведено теорему про асимптотичну стiй-
кiсть за ймовiрнiстю вiдносно частини змiнних iз застосуванням функцiї Ляпунова зi знакосталою
похiдною. Розглянуто задачi одноосьової стабiлiзацiї супутника за допомогою реактивних двигунiв
орiєнтацiї та одноосьової стабiлiзацiї супутника за допомогою двох маховикiв.
Ключовi слова: Стохастичнi диференцiальнi рiвняння Iто, стiйкiсть за ймовiрнiстю, стiй-
кiсть вiдносно частини змiнних.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
shurko-irina@mail.ru
al_zv@mail.ru
Получено 28.11.12
41
|