Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата

Исследованы специальные классы вращений вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с фиксированным направлением гиростатического момента. Показано, что если уравнения движения гиростата допускают два линейных по компонентам угловой скорости инвариантных соотношения, то будет выполняться по крайней...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Волкова, О.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124111
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата / О.С. Волкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 50-62. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124111
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1241112017-09-21T03:02:55Z Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата Волкова, О.С. Исследованы специальные классы вращений вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с фиксированным направлением гиростатического момента. Показано, что если уравнения движения гиростата допускают два линейных по компонентам угловой скорости инвариантных соотношения, то будет выполняться по крайней мере одно линейное по компонентам суммарного момента количества движения соотношение. Изучены случаи, когда выполняются два или три таких соотношения. Дослiджено спецiальнi класи обертань навколо нерухомої точки важкого гiростата з фiксованим напрямком гiростатичного момента. Показано, що якщо рiвняння руху гiростата допускають два лiнiйних за компонентами кутової швидкостi iнварiантних спiввiдношення, то повинно виконуватися ще хоча б одне лiнiйне за моментом кiлькостi руху спiввiдношення. Вивчено випадки, коли система допускає два або три таких спiввiдношення. The special kinds of rotation about a fixed point are studied for a heavy nonautonomous gyrostat in the case of fixed gyrostatic momentum direction. If the motion equations admit two linear in angular velocity invariant relations it is shown that there exists at least one invariant relation which is linear in total angular momentum components. The cases of two or three such relations are investigated. 2012 Article Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата / О.С. Волкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 50-62. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124111 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследованы специальные классы вращений вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с фиксированным направлением гиростатического момента. Показано, что если уравнения движения гиростата допускают два линейных по компонентам угловой скорости инвариантных соотношения, то будет выполняться по крайней мере одно линейное по компонентам суммарного момента количества движения соотношение. Изучены случаи, когда выполняются два или три таких соотношения.
format	Article
author	Волкова, О.С.
spellingShingle	Волкова, О.С. Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Волкова, О.С.
author_sort	Волкова, О.С.
title	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата
title_short	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата
title_full	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата
title_fullStr	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата
title_full_unstemmed	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата
title_sort	два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124111
citation_txt	Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата / О.С. Волкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 50-62. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT volkovaos dvalinejnyhinvariantnyhsootnošeniâuravnenijdviženiâneavtonomnogogirostata
first_indexed	2025-07-09T00:51:28Z
last_indexed	2025-07-09T00:51:28Z
_version_	1837128524238946304
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25 УДК 531.38 c©2012. О.С. Волкова ДВА ЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕАВТОНОМНОГО ГИРОСТАТА Исследованы специальные классы вращений вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с фик- сированным направлением гиростатического момента. Показано, что если уравнения движения ги- ростата допускают два линейных по компонентам угловой скорости инвариантных соотношения, то будет выполняться по крайней мере одно линейное по компонентам суммарного момента количе- ства движения соотношение. Изучены случаи, когда выполняются два или три таких соотношения. Ключевые слова: гиростат с неподвижной точкой, переменный гиростатический момент, ин- вариантное соотношение. Введение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из тела-носителя S, имеющего неподвижную точку, и закрепленных на нем тел Si, i = 1, 2, .., n. Пусть система {S, S1, .., Sn} удовлетворяет определению гиростата П.В. Харламова [1]. В этом случае динамические характеристики носителя не зависят от вращения присо- единенных тел, а уравнения движения имеют вид Jω̇ + λ̇ = (Jω + λ)× ω + e× ν, ν̇ = ν × ω, (1) где J – обобщенный тензор инерции; ω – угловая скорость гиростата в подвижном базисе; ν – орт вертикали; e – орт радиус-вектора центра масс; λ – переменный ги- ростатический момент. Считаем, что симметричный тензор J приведен к главным осям: J = diag(J1, J2, J3). При λ 6= const известны два первых интеграла уравнений движения: (Jω + λ, ν) = g, \|ν\|2 = 1. (2) Предположим, что направление гиростатического момента фиксировано в связан- ном с корпусом гиростата базисе: λ = λ(t)α, \|α\| = 1, где λ(t) – непрерывно диффе- ренцируемая ограниченная функция времени. Обозначим Jω + λ(t)α = K. Исследуем движения гиростата, характеризующиеся двумя линейными по ω ин- вариантными соотношениями. В [2] показано, что всегда можно выбрать β1, β2 так, чтобы (ω, β1) = c, (ω, β2) = 0, β1 ⊥ β2, \|β1\| = \|β2\| = 1, (3) где c = const; тогда для вектора угловой скорости справедливо разложение ω = cβ1 + ω (β1 × β2), где ω = (ω, β1 × β2). (4) Поскольку движения с перманентной осью вращения для гиростата с гиростатиче- ским моментом λ(t)α изучались ранее в [3-6] и других работах, здесь будем пред- полагать, что ω = ω(t) 6= const и c 6= 0. 50 Движение неавтономного гиростата В задаче о движении твердого тела двум линейным соотношениям вида (3) со- ответствуют решение Бобылева–Стеклова [7, 8] и решение задачи о движении фи- зического маятника (при c = 0). В случае λ = const решение системы (1) с соотно- шениями (3) получено П.В. Харламовым [9]. Для гиростата с λ = λ(t)α, находяще- гося под действием общих потенциальных и гироскопических сил, два линейных по ω, ν инвариантных соотношения изучались в [10] в предположении, что λ – линей- ная функция компонент вектора ν. Поиску решений, допускающих два линейных по ω соотношения и соответствующих немаятниковым движениям неавтономного гиростата, посвящены работы [2], [11]. В [2] изучен вопрос существования решений системы (1) с соотношениями (3) в случае, когда проекция суммарного момента количества движения на барицен- трическую ось постоянна: (K, e) = const. Выписаны условия на параметры, при которых существуют решения с указанными свойствами. Полученные в [2] условия детально проанализированы в п. 1 данной работы, ис- следованы также соответствующие квадратуры для определения зависимости ω, ν и λ от времени. В п. 2 продолжено исследование существования решений с соотно- шениями (3) без предположения о постоянстве барицентрической проекции вектора K. Завершающий п. 3 содержит сопоставление результатов работ [2], [11]. Замена независимой переменной. Кинематические уравнения системы (1) с учетом разложения (4) могут быть представлены в виде (ν̇,β1) = ω (ν, β2), (ν̇,β1 × β2) = −c(ν, β2), (ν̇,β2) = c(ν,β1 × β2)− ω (ν,β1). (5) Отметим, что (ν, β2) не тождественный ноль, иначе из (5) следовало бы ν̇ = 0 и ω(t) = const. На промежутках знакопостоянства функции (ν, β2) введем вспомога- тельную переменную τ : τ̇ = (ν, β2); тогда система (5) сведется к уравнениям (ν,β1 × β2) = −cτ, (ν,β1) = ∫ ω(τ)dτ, (6) τ̇ = ± √ 1− c2τ2 − (∫ ω(τ)dτ )2 . (7) Зависимость ω(τ) предстоит найти из условий разрешимости динамических урав- нений системы (1) относительно функции λ(τ). После исключения λ(τ) из (1) си- стема сводится к двум интегродифференциальным уравнениям для функции ω(τ). Как следствие, можно получить два алгебраических соотношения вида M1(ω, τ)=0, M2(ω, τ)=0, где M1, M2 – многочлены с коэффициентами, сложным образом завися- щими от параметров. Значит, необходимым условием совместности системы (1) при условиях (3) будет R(τ) ≡ 0, где R(τ) – результант M1 и M2 как многочленов от ω. Указанное тождество приводит к системе алгебраических условий на параметры гиростата и начальные условия движения. Проверка разрешимости такой системы в общем случае требует громоздких выкладок. 51 О.С. Волкова 1. Исследование решений, соответствующих случаю (K, e) = const. Слу- чай (K,e)=const рассмотрен в [2]: показано, что e ⊥ β2 и (K,β2) = 0; приведены дополнительные условия на параметры системы (1), обеспечивающие существова- ние решений с соотношениями (3). Для каждого из трех наборов условий выпишем и проанализируем квадратуры, связывающие t со вспомогательной переменной τ , и укажем зависимости от τ фазовых переменных. A) α ⊥ e ⊥ β2 ‖ Jβ2 ⊥ α ‖ J(β1 × β2), (8) зависимость гиростатического момента от τ имеет вид λ(τ) = −(J(β1 × β2), α)ω(τ) + (α× e,β2)τ + λ0, λ0 = const, а функция ω(τ) удовлетворяет уравнению [(α× e, β2)τ + λ0](α× β2, ω) + c(Jβ1 × β2, ω) = (e,β1 × β2) ∫ ωdτ + (e, β1)cτ. (9) Решения уравнения (9) определяют два различных семейства движений гиростата. i) При e ∦ β1 из (9) получаем ω(τ)= ω0 L2(τ) − c(e,β1) (e, β1× β2) , L(τ) = (e, β1× β2)τ − c(Jβ1, β1)− λ0(α, β1), функция λ(τ), необходимая для реализации заданного движения, имеет вид λ(τ) = −ω0(Jα, β1 × β2) L2(τ) − L(τ) (α,β1) + c(Jβ1× e, β2) (α, β1)(e, β1 × β2) , ω0 = const 6= 0, компоненты ν выражаются через τ согласно формулам (6)-(7): (ν, β1× β2) = −cτ , (ν,β1) = −ω0 (e, β1 × β2)L(τ) − c(e, β1)τ (e, β1 × β2) − c2(Jβ1, e) (e,β1× β2)2 , (ν,β2) = τ̇ , а функция L(τ(t)) связана с t эллиптической квадратурой dL(τ) = ± √ −c2L4(τ)− 2kc2L3(τ) + k2L2(τ) + k1L(τ)− ω2 0(e, β1× β2)2 (e, β1× β2)L(τ) dt, (10) где k = λ0(α, β1) + c(Jβ1,β1) + c(Jβ1,e)(e, β1), k1 = −2cω0(e, β1× β2)[(e, β1× β2)2(Jβ1,e)c + (e, β1)k], k2 = −c4(e, β1× β2)2(Jβ1, e)2 − c2k2 − 2cω0(e, β1× β2)(e, β1) + (e, β1× β2)4. Отметим, что нечетные степени L(τ) в (10) одновременно не исчезают: Jβ16⊥e, по- скольку при условиях (8) выполняется Je ‖ β1. Обозначим через M4(L) многочлен от L(τ) под радикалом в (10). С учетом того, что старший коэффициент и свобод- ный член M4(L) строго отрицательны, заключаем, что условие M4(L) ≥ 0 требует ограниченности L(τ) и 1 L(τ) . Но тогда и λ, ω, ν будут ограничены. 52 Движение неавтономного гиростата В качестве примера укажем случай, когда уравнение (10) интегрируется в эле- ментарных функциях. При c4 = (e,β1× β2)2 (Jβ1, e)2 всегда существует такое ω0, что M4(L) имеет хотя бы один кратный (возможно, комплексный) корень: требуемое значе- ние ω0 находится из кубического уравнения с коэффициентами, зависящими от c, k, J , e, β1, β2. Но возможны случаи, когда при выбранном наборе параметров M4(L) ≤ 0 для всех L. При k = c(Jβ1, e)[(e, β1) ± 1] кубическое уравнение для ω0 вырождается в квадратное. Для определенности положим k = c(Jβ1,e)[(e, β1)+1], тогда при ω0 = −(e, β1× β2) 2c [ (e, β1) + 2 √ 2− 2(e,β1)− 3 ] многочлен M4(L) имеет двукратный корень вида L1 = c(Jβ1, e) 2 [ (ẽ− 3)(ẽ2 − 30ẽ + 33) √ 2 + 4(3ẽ− 5)(ẽ− 7) √ 1− ẽ ] (5ẽ2 − 30ẽ + 29) √ 2− (ẽ2 − 22ẽ + 41)] √ 1− ẽ 6= 0, где ẽ = (e, β1), и два других действительных корня L2, L3 – такие, что L2 < L3, (L3 − L1)(L1 − L2) > 0. Соответственно, функция L(t) на интервалах монотонности задается уравнением (e,β1× β2) dL dt = ± ∣∣∣∣ c(L− L1) L ∣∣∣∣ √ (L− L2)(L3 − L), которое интегрируется в виде ∓ εcχ(t− t0) (e, β1×β2) = χ arcsin ( 2L−L2−L3 L2−L3 ) + + L1 2 ln (2χ √ (L−L2)(L3−L) +(L2+L3)(L +L1)− 2(L1L+L2L3))2 (L− L1)2 , (11) где ε = sgn{c(L − L1)L}, χ = √ (L3−L1)(L1−L2). Cоотношение (11) неявно задает зависимость L(t) такую, что ∃ lim t→∞L(t) = L1. Следовательно, движение гироста- та будет асимптотически равномерным вращением, причем абсолютная величина гиростатического момента также будет стремиться к постоянной. ii) При e ‖ β1 уравнение (9) вырождается в алгебраическое. Кроме того, из (8) следует, что векторы β1, β2, β1× β2 направлены по главным осям. Тогда ω(τ)= [ 2e1τ + λ0 ]/J1, λ(τ)= [ (J1 − 2J3)e1τ + λ0(J1 − J3)]/(J1α3), (ν,β1) = [ e1τ 2 + λ0τ + ν0 ]/J1, (ν,β1× β2)=−cτ, (ν, β2) = τ̇ , ν0 = const, τ̇ = ±1 J1 √ −τ4 − 2λ0e1τ3 − [J2 1 c2 + 2e1ν0 + λ2 0 ]τ2 − 2λ0ν0τ + J2 1 − ν2 0 . (12) 53 О.С. Волкова Уравнение (12) интегрируется в эллиптических функциях; тип функции τ(t) зави- сит от значений произвольных постоянных λ0, c, ν0. Здесь так же, как в i), старший коэффициент многочлена M4(τ) отрицателен, поэтому функция τ(t) ограничена. Условие ∃ τ : M4(τ) > 0 выполняется в четырех различных случаях: I) M4(τ) имеет один трехкратный корень и один простой; II) M4(τ) имеет один двукратный и два простых вещественных корня; III)M4(τ) имеет пару комплексных и два простых вещественных корня; IV) все корни многочлена M4(τ) вещественны и различны. Для случая ii) нетрудно привести примеры выполнения каждого из условий I)-IV). Положим для определенности e1 = +1, тогда I) ν0 = 0, J1 = 2 3 √ 3c2 , λ2 0 = 32 27c2 ; II) ν0 = −J2 1 c2 2 , J1 = √ 141− 39 √ 13 3c2 , λ2 0 = −35 + 13 √ 13 18c2 ; III) ν0 = −J1 = −2 c2 , λ0 6= 0; IV) ν0 = −J2 1 c2 2 , J1 = √ 141− 39 √ 13 3c2 , λ2 0 = 1 c2 . Соответствующие наборам параметров I) − IV) решения дифференциального уравнения (12) здесь не приводим. Отметим только, что движения гиростата с па- раметрами из пунктов I)− II) этого примера будут асимптотически равномерными вращениями, а в пунктах III) − IV) зависимость фазовых переменных от времени будет периодической. При σ 6= 0 указанные в [2] решения можно объединить одной формой записи: B) e ‖ β1, α ⊥ β2 ‖ Jβ2, \|σ\| = \|J(β1× β2)×α\| 6= 0, (13) C) e ‖ β1, σ ⊥ (β1× β2), (Jβ1 ×α, β1× β2)=−2(σ,β1) 6= 0 (14) и выполняются общие условия (Jβk, β1×β2)(α, βk) 6= 0, ω(τ) = ω̃1τ + ω̃0, λ(τ) = −(Jβk, β1× β2)ω̃1 (α, βk) τ + λ0, (15) где k = 1 в случае B), k = 2 в случае C), а λ0 однозначно выражается через ω̃1, ω̃0: λ0 = 2(e, β1) ω̃1 [(α,β1× β2)ω̃0 + (α, β1)c]− (Jα, β1× β2)ω̃0 − c(Jβ1,α). Зависимости от τ компонент орта вертикали определяются равенствами (ν, β1) = ω̃1 2 τ2 + ω̃0τ + ν0, (ν, β1× β2) = −cτ, (ν,β2) = τ̇ , ν0 = const, τ̇ = ± √ 1− c2τ2 − ( ω̃1 2 τ2 + ω̃0τ + ν0 )2 . (16) Для набора B) условий на параметры гиростата постоянные ω̃1, ω̃0 задаются так: ω̃1 = (α, e) (σ, β2) , ω̃0 = c ( 2(α, β1× β2) (α,β1) + (Jβ1 ×α, β2) (σ, β2) ) , 54 Движение неавтономного гиростата а в случае C) соответствующие выражения имеют вид ω̃1 = −(e, β1)(α, β2) (σ, β1) , ω̃0 = c(Jβ1 ×α, β1) (σ, β1) . Так же, как в случае A)ii), при условиях B) и C) функция ω(τ) линейна, уравне- ние (16) определяет эллиптическую зависимость τ(t) и исследуется подобным (12) образом. Но, в отличие от (12), здесь только две произвольных постоянных: c, ν0. Каждый из наборов условий A), B), очевидно, не противоречив. Проверки тре- бует совместность условий C). Пусть векторы α и β1 заданы, причем α ∦ β1. Тогда β1×β2 – единичный вектор, который принадлежит пересечению конуса (Jy×y, α) = 0 с плоскостью (Jβ1 × α + 2J(α × β1), y) = 0, проходящей через начало коорди- нат, и не принадлежит плоскостям (α × β1, y) = 0, (J(α × β1),y) = 0 и конусу (Jy × y, β1) = 0. Обозначим β1 = β, Jβ ×α + 2J(α× β) = η. Если α лежит в главной плоскости и α2 1(J2 − J3)2 + α2 2(J1 − J3)2 + α2 3(J1 − J2)2 6= 0, (17) то конус распадается на пару перпендикулярных плоскостей, пересекающих плос- кость (η, y) = 0. Пусть, к примеру, α1 = 0, тогда имеем объединение плоскостей y1 = 0 и (J1 − J2)α3y2 + (J3 − J1)α2y3 = 0. Условия существования вектора y и направляющие векторы допустимых осей при α1 = 0 таковы: 1) α2α3β1(J2 − J3) 6= 0 : y ‖ (0, α2(J1 − 2J3), α3(J1 − 2J2)) , 2J2 6= J1 6= 2J3; y ‖ (J1β1(J2 − J3)α2α3, (J3 − J1)α2Θ, (J2 − J1)α3Θ), где Θ = 2J1(α× β)1 + (Jβ ×α)1, Θ 6= J1(α× β)1, Θ 6= 0, J2 6= J1 6= J3; 2) α2 = 0, β1 6= 0, J1 = 2J2 6= 2J3, y1 = 0, y2y3 6= 0; 3) β1 = 0, (α× β)1 6= 0, Θ = 0, (J1 − J2)α3y2 = (J1 − J3)α2y3 6= 0, y1 6= 0; 4) J2 = J3 = 2J1, (α× β)1 6= 0, α3y2 − α2y3 = 0, y1y2y3 6= 0. Если (17) не выполняется, то (Jy×y,α)≡0, но плоскости (η, y)=0, (α×β,y)=0 и (J(α×β), y) = 0 совпадают; следовательно, при таких параметрах движение гиро- стата не является допустимым. Пусть теперь α не лежит в главной плоскости. Равенство Jβ×α = 2J(β×α) в таком случае невозможно, то есть η 6= 0. Взаимное расположение плоскости (η, y) = = 0 и конуса (Jy × y, α) = 0 определяется знаком выражения d = (Jα×α, Jβ)2 − 8α1α2α3(J2 − J3)(J3 − J1)(J1 − J2)(Jβ × β, α) : при d> 0 в пересечении лежат две образующих конуса, при d = 0 – одна, а при d< 0 допустимых y не существует. В частности, d > 0 при Jβ ‖ β, и допустимая ось существует всегда, когда 2J2 6= J1 6= 2J3. Несложно указать и случаи с d ≤ 0. Положим β1 = (α× β)1 = 0, J1 = 1, J2 = 3/2. Если дополнительно задать J3 = 3/4, 55 О.С. Волкова то d = 0, а если J3 ∈ (1/2; 3/4), то d < 0. Поскольку при J3 = 3/4 пересечение (η,y) = 0 и (Jy × y, α) = 0 принадлежит конусу (Jy × y, β) = 0, то для всех J3 из интервала (1/2; 3/4] искомого y не существует. Итак, в случае C) условия существования вектора y = β1× β2 изучены при всех значениях параметров. Замечание. Условия C) без учета неравенства (σ, β1) 6= 0, но при дополнитель- ном ограничении J(β1× β2) ‖ β1× β2 ⊥ e соответствуют условиям П.В. Харла- мова [9] существования решения с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении гиростата с λ = const. В упомянутой задаче это решение как частный слу- чай содержит решение Бобылева – Стеклова. В решении A)ii) данной работы при J1 = 2J3 параметры также удовлетворяют условиям Бобылева – Стеклова, а функ- ция λ(τ) вырождается в постоянную. Соответствующие пунктам A)ii) и C) решения задачи о движении неавтономного гиростата содержат разное число произвольных постоянных. 2. Линейные по компонентам вектора K соотношения. Если система (1) допускает линейные по ω инвариантные соотношения (3), то из разложения (4) сле- дует, что K = ωJ(β1 × β2) + λα + cJβ1. (18) Значит, должно выполняться хотя бы одно линейное по K соотношение: (K, σ) = c(Jβ1,σ) при σ = J(β1 × β2)×α 6= 0; (19) (K, ri) = c(Jβ1, ri) при ri ⊥ J(β1 × β2) ‖ α, i = 1, 2. (20) Рассмотрим случаи, когда проекция вектора K на некую фиксированную в подвиж- ном базисе плоскость постоянна. 2.1. Три линейных по K соотношения. Покажем, что момент количества движения гиростата не может оставаться неизменным, если ω̇c 6= 0. Аналогичное утверждение было принято в [2] без доказательства как вспомогательное, поэтому доказательство проведем, не опираясь на список решений A)-C) с (K, e) = const. Предложение 1. Если во время движения тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом выполняются условия (3) и K̇ = 0, то это движение может быть только вращением вокруг перманентной оси. Доказательство. Пусть K = K0 – постоянный вектор, тогда динамическое уравнение сводится к ω ×K0 = e× ν. (21) Возможность K0 = 0 приводит к ν ‖ e, откуда с учетом геометрического интеграла получаем ν̇ = 0, ν ‖ ω, то есть ось вращения перманентна. Пусть далее K0 6= 0, тогда интеграл (2) дает линейное по ν соотношение (K0, ν) = g. Спроектируем (21) на ω, получим второе линейное по ν соотношение (e, ν) = const. Если K0 6 ‖ e, то интеграл \|ν\|2 = 1 снова приводит к ν̇ = 0, ν ‖ ω. Рассмотрим оставшийся вариант K0 ‖ e. Умножим (21) скалярно на e× ν: (e, ω)g − (K0, e)(ν, ω) = \|e× ν\|2 = 1− (e,ν)2. (22) 56 Движение неавтономного гиростата Принимая во внимание формулы (6), запишем (ν, ω) = c( ∫ ω(τ)dτ − ωτ). Продиф- ференцируем (22) по τ : [(e, β1× β2)g + c(K0,e)τ ] ω′τ = 0, откуда ω′τ = 0 , либо (e,β1× β2)2g2 + c2 = 0; то есть ω = const либо c = 0 , и ось вращения сохраняет неизменное направление. Доказательство завершено. ¤ Таким образом, при условии постоянства вектора K движения гиростата с уг- ловой скоростью (4), где ω̇ 6= 0, c 6= 0, невозможны. Далее считаем, что K̇ 6= 0. Рассмотрим случаи, когда выполняются ровно два линейных по K соотношения. 2.2. Два линейных по K соотношения при α ∦ J(β1 × β2). Проверим, возможно ли в случае α ∦ J(β1× β2) дополнительное к (19) линейное соотношение (K,κκκ) = const. Без ограничения общности положим κκκ ⊥ σ; будем также считать, что (κκκ,α) 6= 0 и (κκκ,J(β1× β2)) 6= 0, иначе из (J(β1× β2),κκκ)ω + (α,κκκ)λ = const следовало бы ω̇ = 0 либо λ̇ = 0. Покажем, что рассматриваемый случай не приводит к новым решениям. Предложение 2. Если во время движения гиростата с переменным λ=λα вы- полняются соотношения (3), (19) и (K̇,κκκ) = 0, где κκκ удовлетворяет перечисленным выше требованиям, то (κκκ × σ, e) = 0 и (K, e) = const . Доказательство. При выполнении соотношений (3) из (K,κκκ) = const можно выразить λ через ω, тогда (18) примет вид K = ω (α,κκκ) (κκκ × σ) + K0, K0 = const. (23) Спроектируем динамическое уравнение системы (1) на векторы σ,κκκ и (κκκ × σ). С учетом (23) получим (e× ν, σ) = −σ2ω (ω,κκκ)(α,κκκ)−1 − (K0 × ω,σ), (e× ν,κκκ) = κκκ2ω (ω, σ)(α,κκκ)−1 − (K0 × ω,κκκ), (e× ν,κκκ × σ) = (κκκ × σ)2ω̇ (α,κκκ)−1 − (K0 × ω,κκκ × σ). (24) Для исключения ω̇ из последнего уравнения воспользуемся соотношением (κκκ × σ, e) ω̇ = ω(κκκ × σ, ω × e) + (K0 × ω,e)(α,κκκ), (25) полученным проектированием динамического уравнения на вектор e. Итак, пусть (κκκ × σ, e) 6= 0, тогда подстановка ω̇ из (25) в (24) даст зависимость (e× ν,κκκ × σ) от ω. Поскольку λ = λ(ω), система (1) допускает аналог интеграла энергии (e, ν) + h = ∫ (κκκ × σ, ω) (α,κκκ) dω = (κκκ × σ, β1 × β2) 2(α,κκκ) ω2 + c(κκκ × σ, β1) ω (α,κκκ) . (26) Подставим в тождество (e× ν, σ)2 σ2 + (e× ν,κκκ)2 κκκ2 + (e× ν,κκκ × σ)2 κκκ2σ2 + (e,ν)2 = 1 найденные зависимости скалярных произведений от ω. Слева получим многочлен 57 О.С. Волкова четвертой степени, старший коэффициент которого исчезает, только если векторы σ, κκκ, κκκ × σ и (κκκ × σ) × e одновременно ортогональны вектору β1× β2. Но из σ ⊥ (β1× β2), κκκ ⊥ (β1× β2) и σ ∦ κκκ следует (κκκ × σ) ‖ (β1× β2), что вступает в противоречие с (κκκ×σ) ⊥ (β1×β2). Значит, предположение (κκκ×σ, e) 6= 0 было не верно. Из компланарности κκκ, σ, e и соотношений (K̇,κκκ) = (K̇,σ) = 0 заключаем, что (K̇,e) = 0. ¤ Таким образом, случай сводится к исследованному ранее. 2.3. Два линейных по K соотношения при α ‖ J(β1×β2). Изучим случай λ = λ(t)α ‖ J(β1 × β2), когда K удовлетворяет линейным соотношениям (20) и K = pα + cJβ1, где p = (J(β1× β2),α)ω + λ. (27) Пусть (K, e) 6= const и, соответственно, (α, e) 6= 0. Сформулируем необходимое условие существования решений. Предложение 3. Если уравнения движения гиростата с λ(t) ‖ J(β1 × β2) до- пускают решения с соотношениями (3), то многочлен 14-го порядка R(p) с коэф- фициентами, зависящими от параметров гиростата и начальных условий 1, должен тождественно обращаться в ноль. Доказательство. Умножим динамическое уравнение системы (1) скалярно на ε1 = α× β2 и ε2 = α× ε1, получим зависимости (ν, ε1 × e) и (ν, ε2 × e) от ω, p: (ν, ε1 × e) = ((α, β2)p + c(Jβ1, β2)) (ω,α) =: F1(ω, p) (28) (ν, ε2 × e) = c(Jβ1 ×α, β2)(ω, α)− (p + c(Jβ1,α)) (ω, ε1) =: F2(ω, p). (29) Очевидно, что ε1 6= 0, иначе J(β1×β2) ‖ β2 ⊥ (β1×β2). Компланарность векторов ε1 × e, ε2 × e, e × (ε1× e) позволяет записать не содержащее ṗ выражение и для (ν, e× (ε1× e)): (ν, e× (ε1× e)) = (ε1, e)(ε2, e)F1(ω, p) + (ε1× e)2F2(ω, p) \|ε1\|2(α,e) := F ∗ 2 (ω, p). (30) При (α, e) 6= 0 всегда ε1× e 6= 0, и векторы e, ε1× e, e×(ε1× e) образуют ортого- нальный базис. Разложим по нему β1, β2, β1× β2. С учетом (6), (7) запишем τ̇ = (e, β2)(ν, e) + (ε1× e,β2)F1 + (e× (ε1× e),β2)F ∗ 2 \|ε1× e\|2 , (31) τ = −1 c [ (e,β1× β2)(ν, e) + (ε1× e, β1× β2)F1 + (e× (ε1× e),β1× β2)F ∗ 2 \|ε1× e\|2 ] , (32) ∫ ω(τ)dτ = (e,β1)(ν, e) + (ε1× e,β1)F1 + (e× (ε1× e),β1)F ∗ 2 \|ε1× e\|2 . (33) Отметим, что (ν, e) выражается через F1(ω, p), F ∗ 2 (ω, p) из интеграла \|ν\|2 = 1: (ν,e) = ± √ 1− \|ε1× e\|−2[F 2 1 + F ∗ 2 2]. (34) 1 Разрешающий многочлен R(p) будет выписан ниже, в процессе доказательства. 58 Движение неавтономного гиростата Обозначим правые части (31)-(33) соответственно через ϕ1, ϕ2, ϕ3: ϕi = ϕi(ω, p), i = 1, 3. Согласно Предложению1, p 6= const, поэтому будем считать, что ω = ω(p). Функции ϕ2(ω, p), ϕ3(ω, p) по определению удовлетворяют уравнению ∂ϕ3 ∂p − ω ∂ϕ2 ∂p + ( ∂ϕ3 ∂ω − ω ∂ϕ2 ∂ω ) dω dp = 0. (35) При ε1 6= 0 векторы ω, ε1, ε2 не компланарны, дополним систему (28), (29) проек- цией (1) на ω: (ω, α)ṗ = (ν̇, e), откуда (ω, α) = ∂(ν, e) ∂p + ∂(ν, e) ∂ω dω dp . (36) Исключая dω dp из (35) и (36), получим соотношение ( ∂ϕ3 ∂ω − ω ∂ϕ2 ∂ω )[ (ω, α)− ∂(ν, e) ∂p ] + ( ∂ϕ3 ∂p − ω ∂ϕ2 ∂p ) ∂(ν,e) ∂ω = 0. (37) Учитывая в (37) известные зависимости от ω, p и избавляясь от радикала, заключа- ем, что необходимым условием существования решений с соотношениями (3) будет равенство нулю многочлена M(ω, p), степень которого по каждой из переменных равна четырем. Зададимся целью получить более простые алгебраические соотно- шения между ω и p. Поскольку (K, e) 6= const, выразим (ν,e) из интеграла кине- тического момента (2), записанного в проекциях на e, ε1× e, e× (ε1× e): (ν, e) = g̃ − (K, ε1× e)F1− (K, e× (ε1× e))F ∗ 2 \|ε1× e\|2(K,e) , (38) где g̃ = g \|ε1×e\|2, K удовлетворяет разложению (27), F1, F ∗ 2 определены в (28),(30). Подставим в (38) (ν, e) из (34) и возведем в квадрат, получим \|ε1× e\|2 [ \|ε1× e\|2− F 2 1 − F ∗ 2 2 ] (K, e)2− [(K, ε1× e)F1 + (K,e× (ε1× e))F ∗ 2− g̃ ]2=0. (39) По ω (39) есть многочлен второй степени, а по p – четвертой; обозначим его N(ω, p). Отметим, что соотношения (34), (37), (39) могут быть функционально зависимыми, поэтому удовлетворяющую им ω(p) нужно подставить в (35). Алгебраическое соотношение еще меньшей степени можно получить из (37) и (38): правая часть (38) – известная функция от ω и p, вычислив ∂(ν, e) ∂ω , ∂(ν, e) ∂p и учтя их в (37), получим равенство S(ω, p) = 0, где S(ω, p) – полином второго порядка по ω и третьего по p. Необходимым условием существования решений будет тождественное равенство нулю результанта N и S как полиномов относительно ω: R(p) ≡ 0. Пусть N(ω, p) = Aω2 + Bω + C, S(ω, p) = Eω2 + Fω + G, где A = A0p 4 + A1p 3 + A2p 2 + A3p + A4, E = E0p 3 + E1p 2 + E2p + E3; 59 О.С. Волкова для многочленов 4-й степени B(p), C(p) и многочленов 3-й степени F (p), G(p) коэф- фициенты определяются аналогично. Тогда результант R(p) = (AG− EC)2 + (AF −EB)(CF −BG), (40) где правая часть – многочлен 14-й степени по p. Доказательство завершено. ¤ Вычисления показали, что A2 0 + A2 2 > 0, то есть A 6= 0. Тождество A2R(p) ≡ 0 может быть представлено в виде (2A(AG−EC)−B(AF −EB))2 + (AF −EB)2(4CA−B2) ≡ 0. (41) Подсчитаем в (41) старший коэффициент по p : он сохранит форму записи (41), но все величины нужно заменить соответствующими с нулевым индексом. Выпишем A0 = −[(α,β1)2 + (α, β2)2]k, B0 = 2c (α, β1)(α, β1× β2)k, C0 = −c2[(α, β1× β2)2 + (α,β2)2]k, где k = (α, e)2\|ε1× e\|4\|ε1\|8 > 0. Отсюда (4C0A0 −B2 0) = 4c2k2(α, β2)2 > 0, то есть (41) разлагается на сумму квад- ратов. Имеем такие возможности: A0 (2A0G0 + 2E0C0 −B0F0) = 0, (α, β2) = 0, (42) A0F0 −E0B0 = 0, A0G0 − E0C0 = 0, (α, β2) 6= 0, (43) поэтому варианты α ‖ (β1× β2), α ⊥ β2, α 6⊥β1 и α 6⊥β2 требуют отдельного изучения в предположении (α, e) 6= 0. Варианты β2 ⊥ α 6⊥β1, α 6⊥β2 оставим для дальнейших исследований, здесь же рассмотрим простейший случай α ‖ (β1× β2). Результант R(p), заданный фор- мулой (40), будет уже многочленом 10-й степени со старшим коэффициентом (Jβ1, β2)2(α, e)8 [ (α, e)2 + (e, β2)2 ]8 [(Jβ1,β1)2 + (Jβ1,β2)2] c8. При сделанных допущениях это выражение обратится в ноль только при Jβ1⊥ β2, но тогда коэффициент R(p) при p8 строго отрицателен: −(Jβ1, β1)4 c6 (α, e)10 [ (α, e)2 + (e, β2)2 ]8 < 0. Значит, решений при α ‖ (β1×β2) ‖ J(β1×β2) 6⊥ e не существует. Таким образом, условие R ≡ 0 позволяет проверять существование решений с соотношениями (3). 3. Об одном решении уравнений движения тяжелого гиростата.В работе [11] исследованы условия существования двух линейных инвариантных соотноше- ний уравнений Кирхгофа – Пуассона в предположении, что гиростатический момент имеет фиксированное направление: λ(t)‖α. В п. 2 рассмотрен случай, когда гиро- стат движется в поле одной только силы тяжести. Приведем обозначения: x = Jω – момент количества движения корпуса ги- ростата, a = J−1– гирационный тензор, s = \|s\|e – радиус-вектор центра масс. Инвариантные соотношения записаны в виде x1 = b, x2 = c. Предполагается, что x3 6= const; координатные оси выбраны так, что α2 = 0. 60 Движение неавтономного гиростата В п. 2.1 работы [11] получено решение, существующее при условиях c = 0, α1 = α2 = 0, α3 = 1, s2 = s3 = 0, a12 = a13 = a23 = 0. (44) В п. 2.2 указано еще одно решение: ограничения на параметры авторы задают в виде α1 = α2 = 0, α3 = 1, s3 = 0, a13 = a23 = 0, b c = s1 s2 = a11 − a22 ± √ (a11 − a22)2 + 4a2 12 2a12 . (45) Очевидно, что в обоих случаях верно (K, s) = (x, s)+(α, s)λ = s1b+s2c = const. Ес- ли равенства (45) записать, избавившись от знаменателей, получим набор условий, объединяющий в себе (44) и (45). Покажем, что он соответствует частному случаю условий A) – условиям A)ii), указанным ранее в работах [2, 12, 13]. Отметим, что в (44) тензор a диагонален, а значит, координатные оси явля- ются главными. Запишем (44) в векторных обозначениях: исходя из (3), положим β1 =(1, 0, 0)T, β2 =(0, 1, 0)T. Несложно убедиться, что равенства (44) представляют собой условия A)ii): α ⊥ s ‖ β1 ⊥ Jβ2 ‖ β2 ⊥ α ‖ J(β1 × β2) ‖ (β1 × β2). (46) Это решение приведено в [2] на с. 46; ранее оно также было представлено в [12, 13]. В [11] величина λ задана дробно-рациональной функцией от ν1, ν3. Но из формул (2.2), (2.4) работы [11] следует равенство λ = [(2a1− a3)s1ν3 + c∗(a1− a3)](a1a3b)−1. Если дополнительно 2a1 = a3, c∗= 0, получаем решение Бобылева – Стеклова. При условиях (45) вычислим \|as× s\|: введем u = s1/s2, тогда \|as× s\| = s2 2 \|a12 u2 + (a22 − a11)u− a12\| = 0. То есть s, α и в этом случае направлены вдоль главных осей. Согласно определению векторов β1,β2, условиями (45) они заданы так: β1 = s/\|s\|, β2 = (α×s)/\|s\|, что вместе с Jα ‖ α ⊥ s ‖ Js снова приводит к условиям (46). Выводы. Исследованы такие классы вращений неавтономного гиростата, что уравнения движения допускают два линейных по ω и два или три линейных по K инвариантных соотношения. При α ‖ J(β1 × β2) задача о существовании реше- ний с соотношениями (3) сведена к определению коэффициентов многочлена R(p) и проверке совместности условий на параметры, полученных из тождества R(p) ≡ 0. Предложенный метод будет использован в дальнейших исследованиях. При α ∦ J(β1×β2) в первую очередь будут рассмотрены условия σ ⊥ (β1×β2), e ⊥ β2, выполненные для наборов параметров B)–C). 1. Харламов П.В. Гиростаты // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. – 1988. – 9. – С. 38–41. 2. Волкова О.С. О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонентам угловой скорости инвариантными соотношениями // Механика твердого тела. – 2011. – 41. – С. 39–50. 3. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата // Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, Вып. 5. – С. 825–826. 61 О.С. Волкова 4. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 100-105. 5. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным ги- ростатическим моментом // Там же. – 2009. – Вып. 39. – С. 42–49. 6. Волкова О.С. Некоторые классы движений тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом: автореф. дисс. ... канд. физ. - мат. наук: 01.02.01; ИПММ НАНУ. – Донецк, 2010. – 19 с. 7. Стеклов В.А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точ- ку // Тр. Отд. физ. наук О–ва любителей естествознания. – 1896. – 8, вып. 2. – С. 19–21. 8. Бобылев Д.К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Там же. – С. 21–25. 9. Харламов П.В. Одно решение задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку // При- кл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 1. – С. 158–159. 10. Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2011. – 41. – С. 51–60. 11. Горр Г.В., Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата в случае переменного гиростатического момента // Динамические системы. – 2012. – Т. 2 (30), № 1–2. – С. 23–32. 12. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Решения с линейными инвариантными соотношениями уравне- ний движения тяжелого гиростата // Сб. тезисов междунар. конференции ICSCD’11. – Донецк: ИПММ НАНУ, 2011. – С. 27-29. 13. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата вокруг непо- движной точки // Современные проблемы математики, механики и информатики. / Под ред. Н.Н. Кизиловой, Г.Н. Жолткевича. – Харьков: Изд-во “Апостроф”, 2011. – С. 74-84. O. S. Volkova Two linear invariant relations in the problem of a nonautonomous gyrostat motion. The special kinds of rotation about a fixed point are studied for a heavy nonautonomous gyrostat in the case of fixed gyrostatic momentum direction. If the motion equations admit two linear in angular velocity invariant relations it is shown that there exists at least one invariant relation which is linear in total angular momentum components. The cases of two or three such relations are investigated. Keywords: gyrostat with fixed point, variable gyrostatic momentum, invariant relation. О.С. Волкова Два лiнiйних iнварiантних спiввiдношення рiвнянь руху неавтономного гiростата. Дослiджено спецiальнi класи обертань навколо нерухомої точки важкого гiростата з фiксованим напрямком гiростатичного момента. Показано, що якщо рiвняння руху гiростата допускають два лiнiйних за компонентами кутової швидкостi iнварiантних спiввiдношення, то повинно виконува- тися ще хоча б одне лiнiйне за моментом кiлькостi руху спiввiдношення. Вивчено випадки, коли система допускає два або три таких спiввiдношення. Ключовi слова: гiростат, змiнний гiростатичний момент, iнварiантне спiввiдношення. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк volkova@iamm.ac.donetsk.ua Получено 30.11.12 62

Два линейных инвариантных соотношения уравнений движения неавтономного гиростата

Репозитарії

Схожі ресурси