Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам
В работе получена новая теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124114 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 77-83. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124114 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241142017-09-21T03:02:59Z Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам Зарайский, Д.А. В работе получена новая теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса. У роботi отримано нову теорему єдиностi для функцiй з нульовими iнтегралами по кулях фiксованого радiуса. A new uniqueness theorem for functions with zero integrals over balls of fixed radius is obtained. 2012 Article Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 77-83. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124114 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе получена новая теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам фиксированного радиуса. |
| format |
Article |
| author |
Зарайский, Д.А. |
| spellingShingle |
Зарайский, Д.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зарайский, Д.А. |
| author_sort |
Зарайский, Д.А. |
| title |
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам |
| title_short |
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам |
| title_full |
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам |
| title_fullStr |
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам |
| title_full_unstemmed |
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам |
| title_sort |
теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124114 |
| citation_txt |
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 77-83. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zarajskijda teoremaedinstvennostidlâfunkcijsnulevymiintegralamipošaram |
| first_indexed |
2025-07-09T00:51:46Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:51:46Z |
| _version_ |
1837128543256969216 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.5
c©2012. Д.А. Зарайский
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
С НУЛЕВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПО ШАРАМ
В работе получена новая теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам
фиксированного радиуса.
Ключевые слова: теоремы единственности.
1. Введение. Обозначим BR(x) и SR(x) – открытый шар и сферу радиуса R с
центром в x в евклидовом пространстве Rn, BR = BR(0), SR = SR(0).
При R > r > 0 пусть Vr(BR(x)) – класс всех распределений f ∈ D ′(BR(x)) таких,
что f∗χBr = 0, χBr – индикатор шара Br (область определения свёртки f ∗ χBr – шар
BR−r(x)). Тогда Vr(BR(x))∩L1
loc(BR(x)) – множество всех локально интегрируемых
функций на BR(x), имеющих нулевой интеграл по замкнутым шарам радиуса r,
целиком лежащим в BR(x).
Теорема единственности Ф. Йона–Дж. Смита–В.B. Волчкова утверждает, что
если f ∈ Vr(BR) и f = 0 на Br+ε, r < r + ε < R, то f = 0 на BR; кроме того, если
f ∈ Vr(BR)∩C∞(BR), единственность имеет место и в предположении, что f = 0 на
Br, причём условие гладкости отбросить в этом случае уже нельзя (см. [1, § 6], [2,
гл. VI] – аналогичный вопрос для сферических средних в R3, и [3, § 14.2, § 14.3] для
общего уравнения свёртки с радиальным распределением). Некоторые более точные
результаты в этом направлении см. также в [1], [3] и [4].
Согласно «теореме о полусфере» для класса Vr, [3, § 14.2], также принадлежащей
В.B. Волчкову, если f ∈ Vr(BR), R > r, гладко в окрестности замкнутой полусферы
S+
r = {x ∈ Rn : |x| = r и x1 > 0}, и f = 0 на Br, то f = 0 на BR.
В работе доказывается следующая теорема единственности, в частном случае
U ⊃ S+
r дающая вышеприведённый результат.
Теорема 1. Пусть R > r > 0 и f ∈ Vr(BR). Предположим, что f = 0 на Br, и
ограничение f на U принадлежит C∞(U) для некоторого открытого множества
U ⊂ BR такого, что
U ∪ −U ⊃ Sr.
Тогда f = 0 на всём BR.
2. Некоторые вспомогательные утверждения. Если U – открытое подмно-
жество Rn, будем обозначать WF (f) ⊂ U × (Rn \ {0}) – волновой фронт распределе-
ния f ∈ D ′(U), Σx(f) = {ξ : (x, ξ) ∈ WF (f)}, см. [5, гл. 8] по поводу определения и
свойств волновых фронтов. В частности, [5, т. 8.2.14], для волнового фронта свёртки
распределений f ∈ D ′(Rn) и g ∈ E ′(Rn) имеет место включение
WF (f ∗ g) ⊂ {(x + y, ξ) : (x, ξ) ∈ WF (f), (y, ξ) ∈ WF (g)} . (1)
77
Д.А. Зарайский
Для многообразий WF (f) является подмножеством кокасательного расслоения
к U , для областей в Rn это выражено в поведении WF (f) относительно замены
переменных. Если φ : U → V – субмерсия, U ⊂ Rn, V ⊂ Rm, то для f ∈ D ′(V)
WF (f(φ(·))) = φ∗WF (f), (2)
где f(φ(·)) понимается как обратный образ f относительно φ, а φ∗ в правой части
равенства обозначает определённое φ отображение кокасательных расслоений, дей-
ствующее в слое над φ(p) как линейное отображение, сопряжённое дифференциалу
φ, т. е. φ∗(φ(p), η) = (p, (dφ)∗pη), см. [5, т. 8.2.4, т. 8.2.12].
Пусть dτ – нормированная условием
∫
O(n) dτ = 1 мера Хаара на ортогональной
группе O(n). Для f ∈ D ′(BR), ψ ∈ C∞(O(n)), можно определить распределение
g =
∫
O(n)
f(τ−1x)ψ(τ) dτ (3)
как прямой образ распределения ψ(τ)f(τ−1x) на многообразии O(n)×BR при проек-
ции на второй множитель (f(τ−1x) определено корректно, т.к. отображение (τ, x) 7→
7→ τ−1x является субмерсией). Более конкретным образом, при фиксированном ψ,
если f ∈ L1
loc(BR), ϕ ∈ D(BR), то
〈g, ϕ〉 =
∫
O(n)
∫
BR
f(x)ϕ(τx)ψ(τ) dx dτ =
〈
f,
∫
O(n)
ϕ(τ ·)ψ(τ) dτ
〉
. (4)
При f ∈ D ′(BR) правая часть (4) задаёт, очевидно, непрерывный линейный функ-
ционал от ϕ ∈ D(BR). Отображение f 7→ g будет при этом непрерывным из D ′(BR)
в D ′(BR) в ∗-слабой топологии. Далее будем понимать интеграл (3) в указанном
смысле.
Лемма 1. Волновой фронт распределения
∫
O(n)
f(τ−1x)ψ(τ) dτ (5)
содержится во множестве
{(τx, τξ) : τ ∈ suppψ; (x, ξ) ∈ WF (f); x и ξ коллинеарны} . (6)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда носитель функции ψ лежит
в открытом множестве, диффеоморфном некоторой открытой области U евклидова
пространства Rn(n−1)/2, и обозначим φ : U → φ(U) ⊂ O(n) соответствующий диф-
феоморфизм. Мере Хаара dτ при отображении φ−1 соответствует мера w(y)dy, где
w – некоторая гладкая функция на U . Определим функцию ψφ(y) = ψ(φ(y))w(y)
(лежащую в D(U) ⊂ D(Rn(n−1)/2)). Имеем
∫
O(n)
f(τ−1x)ψ(τ) dτ =
∫
Rn(n−1)/2
f
(
φ(y)−1x
)
ψφ(y) dy, (7)
78
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам
для f ∈ L1
loc(BR) п. в., а, значит, по непрерывности, и для f ∈ D ′(BR), где правая
часть понимается как оператор с ядром f
(
φ(y)−1x
)
[5, § 5.2], применённый к ψφ(y).
Итак, пусть (x0, ξ0) принадлежит волновому фронту распределения (5). Тогда
по теореме 8.2.12 из [5]
(x0, y0, ξ0, 0) ∈ WF
(
f
(
φ(y)−1x
))
(8)
для некоторого y0 ∈ suppψφ (т. е. такого, что φ(y0) ∈ suppψ). Таким образом, из (8)
и (2) следует, что (ξ0, 0) ∈ Rn × Rn(n−1)/2 лежит в образе множества Σφ(y0)−1x0
(f)
при отображении, сопряжённом к дифференциалу отображения (x, y) 7→ φ(y)−1x в
точке (x0, y0). Значит для некоторого η0 ∈ Rn такого, что (φ(y0)−1x0, η0) ∈ WF (f),
〈u, ξ0〉 = 〈(u, v), (ξ0, 0)〉 =
〈
(u, v),
(
d(φ(y)−1x)
)∗
(x0,y0)
η0
〉
=
=
〈(
d(φ(y)−1x)
)
(x0,y0)
· (u, v), η0
〉
, для всяких u ∈ Rn, v ∈ Rn(n−1)/2.
Учитывая ортогональность матрицы φ(y) (обратной к матрице φ(y) будет её
транспонированная φ(y)>) и билинейность операции умножения вектора на матри-
цу, имеем
(
d(φ(y)−1x)
) · (u, v) = (φ′(y) · v)>x + φ(y)−1u, u ∈ Rn, v ∈ Rn(n−1)/2.
Поэтому при (u, v) ∈ Rn × Rn(n−1)/2:
〈(
d(φ(y)−1x)
)
(x0,y0)
· (u, v), η0
〉
=
〈
(φ′(y0) · v)>x0, η0
〉
+
〈
φ(y0)−1u, η0
〉
=
=
〈
x0, (φ′(y0) · v)η0
〉
+ 〈u, φ(y0)η0〉 , и, значит,
〈u, ξ0〉 =
〈
x0, (φ′(y0) · v)η0
〉
+ 〈u, φ(y0)η0〉 , для u ∈ Rn, v ∈ Rn(n−1)/2,
откуда, в силу произвольности u и v, во-первых, ξ0 = φ(y0)η0, а во-вторых,
〈
x0, (φ′(y0) · v)φ(y0)−1ξ0
〉
= 0, для v ∈ Rn(n−1)/2. (9)
Но отображение φy0(y) = φ(y)φ(y0)−1 является диффеоморфизмом окрестности y0
в Rn(n−1)/2 на некоторую окрестность единичного элемента I в O(n). Кроме того,
φy0(y0) = I и φ′y0
(y0) · v = (φ′(y0) · v)φ(y0)−1. Поэтому когда v пробегает Rn(n−1)/2,
(φ′(y0) · v)φ(y0)−1 пробегает всё множество so(n) кососимметрических матриц n×n.
Если x0 и ξ0 не коллинеарны, то когда (φ′(y0) · v)φ(y0)−1 является генератором по-
ворота в плоскости, порождённой x0 и ξ0, равенство (9) не может выполняться.
Таким образом, x0 и ξ0 коллинеарны и, поскольку φ(y0) ∈ suppψ, (x0, ξ0) принад-
лежит множеству (6) (можно положить τ = φ(y0), x = φ(y0)−1x0, ξ = η0, тогда
(x, ξ) ∈ WF (f)).
В общем случае с помощью разбиения единицы представим ψ в виде суммы
ψ =
N∑
j=1
ψj , suppψj ⊂ suppψ,
79
Д.А. Зарайский
где все ψj охватываются уже рассмотренным случаем. Тогда
WF
(∫
O(n)
f(τ−1x)ψ(τ) dτ
)
⊂
N⋃
j=1
WF
(∫
O(n)
f(τ−1x)ψj(τ) dτ
)
,
и правая часть, по доказанному, содержится во множестве (6). ¤
Пусть Hk = Hk(Sn−1) – пространство однородных гармонических полиномов в
Rn степени k (см., например, [3]), рассматриваемое как подпространство L2(Sn−1, dσ),
{Y (k)
l (σ)}dk
l=1 – некоторый ортонормированный базис в Hk. Будем обозначать (ρ, σ) –
полярные координаты в Rn \ {0}, ρ(x) = |x|, σ(x) = x/|x|. Функции f ∈ L1
loc(BR)
можно сопоставить ряд Фурье по сферическим гармоникам
f(x) ∼
∞∑
k=0
dk∑
l=1
fk,l(ρ)Y (k)
l (σ).
Отображение f 7→ fk,l(ρ)Y (k)
l (σ) продолжается до ∗-слабо непрерывного отображе-
ния f 7→ fk,l из D ′(BR) в D ′(BR), причём
fk,l = dk
∫
O(n)
f
(
τ−1x
)
tkl,l(τ) dτ, (10)
для f ∈ L1
loc(BR) п. в., [3, § 9.1], а, значит, по непрерывности и для f ∈ D ′(BR), где
tki,j(τ) – гладкие функции на O(n), определяемые по представлению группы O(n)
в Hk, τY = Y (τ−1·), и базису {Y (k)
l }dk
l=1. Радиализация f , f \, определяется как
f \ = f0,1 =
∫
O(n)
f
(
τ−1·) dτ.
Лемма 2. Пусть f ∈ D ′(BR), 0 < r < R, и
(x, cx) /∈ WF (f), для x ∈ Sr, c = ±1. (11)
Тогда ограничение fk,l на некоторую открытую окрестность сферы Sr принад-
лежит C∞.
Доказательство. Если |x| = r, то, по лемме 1, в силу (10) и (11), (x, ξ) /∈
/∈ WF (fk,l), поэтому множество Σx(fk,l) =
{
ξ : (x, ξ) ∈ WF (fk,l)
}
пусто, т. е. fk,l
является гладкой функцией в некоторой окрестности точки x. ¤
Следующая лемма является аналогом предложения 2.1 из [6] для шаровых сред-
них и C∞-волновых фронтов (в [6] используется техника аналитических волновых
фронтов).
Лемма 3. Пусть f ∈ Vr(BR(x0)), 0 < r < R < ∞, и y0 ∈ Sr. Тогда, если
(x0 − y0, cy0) /∈ WF (f), для c = ±1, (12)
80
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам
то
(x0 + y0, cy0) /∈ WF (f), для c = ±1. (13)
Доказательство. При b > a > 0 обозначим для краткости ϕa,b ∈ C∞(R) чётную
функцию с носителем, содержащимся в (−b, b), и равную 1 в окрестности [−a, a].
Положим σ0 = y0/|y0|. Выберем срезающую функцию ψ ∈ C∞(Sn−1), равную
единице в окрестности σ0 в Sn−1 с носителем, столь близким к {σ0}, что r suppψ ⊂
⊂ B(R−r)/2(y0) и −σ0 /∈ suppψ.
Имеется чётное распределение из H ∈ D ′(R) такое, что
(
H(〈·, σ0〉)
)\ = δ0, δ0 – дельта-функция Дирака.
Явный вид H см. в [2], [7] (H – распределение из формулы обращения преобразова-
ния Радона). Нам потребуется только то свойство H, что оно C∞-гладко вне начала
координат. Пусть
T (t) =
∫
Rn−1
χBr(y + ten) dy =
π
n−1
2
Γ
(
n+1
2
)(r2 − t2)
n−1
2
+ . (14)
Можно показать, см. [4], что T обладает фундаментальным решением E ∈ D ′(R),
E∗T = δ0, с носителем, содержащимся в полупрямой [r,∞), и гладким в ограничении
на множество R \ (r + 2rZ+). Для распределения
h = ϕ2r,3r ·
(
(ϕr,2rH) ∗E
)
, (15)
ограничение h на R \ {r} принадлежит C∞, и h ∗ T = H на (−r, r), т.е.
h ∗ T чётно на (−r, r), и
(
(h ∗ T )
(〈·, σ0〉
))\ = δ0 на Br. (16)
Положим
g(x) =
∫
O(n)
h
(〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ(τσ0) dτ. (17)
Т.к. WF
(
h(〈·, σ0〉)
) ⊂ {(x, cσ0) : 〈x, σ0〉 = r, c ∈ R}, то, по лемме 1,
WF (g) ⊂ {(rσ, cσ) : σ ∈ suppψ, c ∈ R}. (18)
Так как WF (χBr) ⊂ {(x, cx) : |x| = r, c ∈ R},
WF (g ∗ χBr) ⊂ {(x, cσ) : σ ∈ suppψ, c ∈ R; x = 0, или x = 2rσ}. (19)
Мы хотим показать теперь, что
(0,±σ0) /∈ WF (g ∗ χBr − 1
2δ0). (20)
81
Д.А. Зарайский
Заметим сначала, что, поскольку отражение относительно начала координат ле-
жит в центре O(n), для F ∈ L1
loc(R) имеем
∫
O(n)
F
(〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ(−τσ0) dτ =
∫
O(n)
F
(− 〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ(τσ0) dτ.
Положим ψ1(σ) = 1− ψ(σ)− ψ(−σ), тогда выполнено равенство
F
(〈x, σ0〉
)\ =
∫
O(n)
h
(〈
τ−1x, σ0
〉)
dτ =
∫
O(n)
F
(〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ1(τσ0) dτ+
+
∫
O(n)
F
(〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ(τσ0) dτ +
∫
O(n)
F
(− 〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ(τσ0) dτ. (21)
По непрерывности, (21) имеет место для произвольного F ∈ D ′(R). Поскольку ±σ0 /∈
/∈ suppψ1 и WF
(
F (〈·, σ0〉)
) ⊂ {(x, cσ0) : x ∈ Rn, c ∈ R}, то, по лемме 1,
(x,±σ0) /∈ WF
(∫
O(n)
F
(〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ1(τσ0) dτ
)
, при x ∈ Rn. (22)
Из определения T , (14), нетрудно видеть, что
(g ∗ χBr)(x) =
∫
O(n)
(h ∗ T )
(〈
τ−1x, σ0
〉)
ψ(τσ0) dτ.
Поэтому, полагая F = h ∗ T в равенстве (21), с учётом (22) и (16), получаем (20).
В силу (18), g гладко вне множества r suppψ ⊂ B(R−r)/2(y0), поэтому для
g0 = ϕ(R−r)/2, R−r (| · −y0|) g
разность g− g0 лежит в C∞(Rn). Но тогда и g ∗χBr − g0 ∗χBr ∈ C∞(Rn), и, согласно
(19), (20),
если (x, cσ0) ∈ WF (g0 ∗ χBr − 1
2δ0), то x = 2y0. (23)
Поскольку supp(g0 ∗ χBr − 1
2δ0) ⊂ BR(y0), то область определения свёртки
f ∗ (g0 ∗ χBr − 1
2δ0) (24)
содержит точку x0 + y0. Если (x0 + y0, cσ0) для c ∈ R лежит в волновом фронте
свёртки (24), то, с учётом включения (1) и (23), получаем, что (x0−y0, c
′σ0) ∈ WF (f)
для некоторого c′ ∈ R.
Так как supp g0 ⊂ BR−r(y0), то в окрестности x0 + y0 имеем
f ∗ (g0 ∗ χBr) = (f ∗ χBr) ∗ g0 = 0.
Поэтому свёртка (24) в окрестности точки x0 + y0 совпадает с −1
2f . Таким образом,
если выполнено (12), то (x0 + y0, cy0), c ∈ R, не принадлежит волновому фронту
функции (24), а, значит, и WF (f), то есть выполнено (13). ¤
82
Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам
3. Доказательство основного результата.Итак, пусть f ∈ Vr(BR) удовлетво-
ряет условиям теоремы 1. Для произвольного x ∈ Sr имеем: либо x ∈ U и f гладко в
окрестности точки x, либо −x ∈ U и то же верно в окрестности точки −x. В послед-
нем случае (−x,−x) /∈ WF (f) и (−x, x) /∈ WF (f), и, по лемме 3, (x,±x) /∈ WF (f).
Таким образом, учитывая коничность WF (f) по второй переменной, если ξ = cx, в
любом случае (x, ξ) не принадлежит волновому фронту f .
Но это означает, что выполнены условия леммы 2. Поэтому fk,l гладко в Br+ε для
некоторого ε > 0. Так как fk,l ∈ Vr(BR), то, применяя к fk,l теорему единственности
Йона-Смита-Волчкова, см. [1, т. 2], [3, т. 14.2], получаем, что fk,l = 0 на Br+ε и,
значит, на BR. Итак, мы показали, что в разложении f ∼
∑∞
k=0
∑dk
l=1 fk,l в ряд
Фурье по сферическим гармоникам все fk,l равны нулю на BR, откуда заключаем,
что f = 0 тождественно, что и доказывает теорему. ¤
1. Волчков В.В. Окончательный вариант локальной теоремы о двух радиусах // Математический
сборник. – 1995. – Том 186. – № 6. – С. 15-34.
2. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям
с частными производными. – М.: ИЛ, 1958. – 159 с.
3. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. – London: Springer, 2009. – 672 p.
4. Зарайский Д.А. Уточнение теоремы единственности для решений уравнения свёртки // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2006. – Том 12. – С. 69-75.
5. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. –
Том 1. – М.: Мир, 1986. – 464 с.
6. Quinto E.T. Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds // Isr. J. Math. –
1993. – V. 84. – P. 353-363.
7. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Обобщённые функции, вып. 5. Интегральная гео-
метрия и связанные с ней вопросы теории представлений. – М.: Физматгиз, 1962. – 656 с.
D.A. Zaraisky
An uniqueness theorem for functions with zero integrals over balls.
A new uniqueness theorem for functions with zero integrals over balls of fixed radius is obtained.
Keywords: uniqueness theorems.
Д.А. Зарайський
Теорема єдиностi для функцiй з нульовими iнтегралами по кулях.
У роботi отримано нову теорему єдиностi для функцiй з нульовими iнтегралами по кулях фiксо-
ваного радiуса.
Ключовi слова: теореми єдиностi.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
d.zaraisky@gmail.com
Получено 17.12.12
83
|