Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
В работе найдено новое решение уравнений движения гиростата, описываемое дифференциальными уравнениями Кирхгофа. Основные переменные задачи представлены в виде многочленов по вспомогательной переменной, зависящей от одной из компонент вектора угловой скорости и определяются функциями, полученными в...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124116 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 92-99. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124116 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241162017-09-21T03:02:56Z Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Зыза, А.В. В работе найдено новое решение уравнений движения гиростата, описываемое дифференциальными уравнениями Кирхгофа. Основные переменные задачи представлены в виде многочленов по вспомогательной переменной, зависящей от одной из компонент вектора угловой скорости и определяются функциями, полученными в результате обращения гиперэллиптических интегралов. У роботi знайдено новий розв’язок рiвнянь руху гiростата, який описується диференцiальними рiвняннями Кiрхгофа. Основнi змiннi задачi зображено у виглядi многочленiв вiд однiєї з компонент вектора кутової швидкостi й визначено функцiями, отриманими в результатi обернення гiперелiптичних iнтегралiв. A new solution to the equation of gurostat movement has been found in the paper, which is described by Kirchhoff s equation. The main variables of the task are presented as polynomials of one of the components of anqualar velocity vector and are defined by the functions obtained as a result of huperelliptic integral inversion. 2012 Article Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 92-99. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124116 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе найдено новое решение уравнений движения гиростата, описываемое дифференциальными уравнениями Кирхгофа. Основные переменные задачи представлены в виде многочленов по вспомогательной переменной, зависящей от одной из компонент вектора угловой скорости и определяются функциями, полученными в результате обращения гиперэллиптических интегралов. |
| format |
Article |
| author |
Зыза, А.В. |
| spellingShingle |
Зыза, А.В. Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зыза, А.В. |
| author_sort |
Зыза, А.В. |
| title |
Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short |
Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full |
Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr |
Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed |
Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort |
новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124116 |
| citation_txt |
Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 92-99. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zyzaav novoerešenieuravnenijdviženiâgirostatapoddejstviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil |
| first_indexed |
2025-07-09T00:51:59Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:51:59Z |
| _version_ |
1837128556302303232 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 531.38
c©2012. А.В. Зыза
НОВОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
В работе найдено новое решение уравнений движения гиростата, описываемое дифференциальны-
ми уравнениями Кирхгофа. Основные переменные задачи представлены в виде многочленов по
вспомогательной переменной, зависящей от одной из компонент вектора угловой скорости и опре-
деляются функциями, полученными в результате обращения гиперэллиптических интегралов.
Ключевые слова: гиростат, полиномиальные решения, уравнения Кирхгофа, первые интегралы,
потенциальные и гироскопические силы.
Введение. В работах В.А.Стеклова [1], Н.Ковалевского [2], Д.Н.Горячева [3]
установлены новые решения уравнений Эйлера-Пуассона, обладающие полиноми-
альной структурой относительно компонент вектора угловой скорости тяжелого
твердого тела. П.В.Харламов показал [4], что решения В.А.Стеклова и Н.Ковалевс-
кого можно обобщить в задаче о движении гиростата под действием силы тяжести.
А.И.Докшевич [5] также рассматривал условия существования полиномиальных ре-
шений, которые по структуре отличны от выше перечисленных решений.
Обобщение полиномиальных решений указанных выше классов в задаче о дви-
жении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил существен-
но усложняется, так как в процессе исследования этих решений редукция уравне-
ний Кирхгофа-Пуассона к уравнениям класса Ковалевского-Харламова возможна
только в частных случаях [6]. Тем не менее на основе полуобратного метода най-
дены новые решения уравнений Кирхгофа-Пуассона не только класса Стеклова-
Ковалевского-Горячева [7, 8], но и класса Докшевича [9].
Данная работа посвящена исследованию условий существования решения, кото-
рое характеризуется следующим свойством: первая компонента вектора угловой ско-
рости является квадратом новой переменной, вторая компонента и квадрат третьей
являются многочленами по вспомогательной переменной, первая и вторая компо-
ненты единичного вектора вертикали – полиномы по вспомогательной переменной,
а третья компонента – алгебраическая функция вспомогательной переменной.
Получены условия существования данного решения и приведен пример их раз-
решимости. Решение представлено функциями, которые получаются обращением
гиперэллиптических интегралов от вспомогательной переменной.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение заряженного и намагниченно-
го гиростата с неподвижной точкой в поле потенциальных и гироскопических сил.
Потенциальные силы возникают при взаимодействии магнитов с постоянным маг-
нитным полем, электрических зарядов с электрическим полем и ньютоновском при-
тяжении масс. Центры ньютоновского и кулоновского притяжений лежат на оси,
проходящей через неподвижную точку и параллельной вектору, характеризующе-
92
Новое решение уравнений движения гиростата
му направление постоянного магнитного поля. Гироскопические силы определяются
лоренцевым взаимодействием магнитного поля на движущиеся в пространстве элек-
трические заряды и циклическим движением роторов в теле-носителе. Движение та-
кого гиростата описывается дифференциальными уравнениями класса Г.Кирхгофа
[10]
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + ν × (Cν − s),
ν̇ = ν × ω.
(1)
Эти уравнения допускают три первых интеграла
Aω · ω − 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E0, (Aω + λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k0,
ν · ν = 1.
(2)
Здесь ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3) – еди-
ничный вектор, характеризующий направление оси симметрии силовых полей; λ =
(λ1, λ2, 0) – гиростатический момент; s = (s1, s2, 0) – вектор обобщенного центра
масс; A – тензор инерции гиростата, построенный в неподвижной точке; B и C –
симметричные матрицы третьего порядка; точка над переменными обозначает от-
носительную производную; E0 и k0 – постоянные интегралов.
Запишем уравнения (1) и первые интегралы (2) в скалярном виде, полагая A =
diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3):
A1ω̇1 = (A2 −A3)ω2ω3 + λ2ω3 + B3ω2ν3 −B2ω3ν2 + s2ν3 + (C3 − C2)ν2ν3;
A2ω̇2 = (A3 −A1)ω1ω3 − λ1ω3 + B1ω3ν1 −B3ω1ν3 − s1ν3 + (C1 − C3)ν1ν3;
A3ω̇3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1 + B2ω1ν2 −B1ω2ν1 + s1ν2 − s2ν1+
+ (C2 − C1)ν1ν2;
(3)
ν̇1 = ω3ν2 − ω2ν3, ν̇2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν̇3 = ω2ν1 − ω1ν2; (4)
A1ω
2
1 + A2ω
2
2 + A3ω
2
3 − 2(s1ν1 + s2ν2) + C1ν
2
1 + C2ν
2
2 + C2ν
2
3 = 2E0;
(A1ω1 + λ1)ν1 + (A2ω2 + λ2)ν2 + A3ω3ν3 − 1
2
(
B1ν
2
1 + B2ν
2
2 + B3ν
2
3
)
= k0;
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1.
(5)
Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений (3), (4)
решений вида
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) =
n∑
k=0
bkσ
k, ω2
3 = R(σ) =
m∑
i=0
ciσ
i,
ν1 = ϕ(σ) =
l∑
j=0
ajσ
j , ν2 = ψ(σ) =
n1∑
i=0
giσ
i, ν3 =
κ(σ)
σ
ω3,
κ(σ) =
m1∑
j=0
fjσ
j ,
(6)
93
А.В. Зыза
где n, m, l, n1, m1 – натуральные числа или нули; bk, ci, aj , gi, fj – неизвестные посто-
янные, подлежащие определению.
Подставим выражения (6) в уравнения (3), (4) и геометрический интеграл из (5):
σ̇ = (ϕ′(σ))−1(ψ(σ)−Q(σ)κ(σ)σ−1)
√
R(σ); (7)
ψ′(σ)(ψ(σ)σ −Q(σ)κ(σ)) = ϕ′(σ)σΦ(σ), Φ(σ) = σκ(σ)− ϕ(σ);
(R(σ)(κ(σ)σ−1)2)′σΦ(σ) = 2ψ′(σ)κ(σ)(Q(σ)ϕ(σ)− ψ(σ)σ2);
}
(8)
2A1σ
2Φ(σ) = ψ′(σ)[κ(σ){(C3 − C2)ψ(σ) + B3Q(σ) + s2}+
+ {(A2 −A3)Q(σ)−B2ψ(σ) + λ2}σ];
(9)
A2Q
′(σ)σΦ(σ) = ψ′(σ)[κ(σ){(C1 − C3)ϕ(σ)−B3σ
2 − s1}+
+ {(A3 −A1)σ2 + B1ϕ(σ)− λ1}σ];
A3R
′(σ)Φ(σ) = 2ψ′(σ)[ψ(σ){(C2 − C1)ϕ(σ) + B2σ
2 + s1}+
+ Q(σ){(A1 −A2)σ2 −B1ϕ(σ) + λ1} − λ2σ
2 − s2ϕ(σ)];
(10)
(ϕ2(σ) + ψ2(σ)− 1)σ2 + R(σ)κ2(σ) = 0. (11)
В уравнениях (7)-(10) штрихом обозначена производная по вспомогательной пе-
ременной σ. После интегрирования уравнений (8)-(10) зависимость σ от времени t
находим из уравнения (7).
2. Новое частное решение. Рассмотрим случай, когда максимальные степени
полиномов из (6) таковы: n = 3, m = 6, l = 2, n1 = 4, m1 = 2. Тогда
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) = b3σ
3 + b2σ
2 + b1σ + b0,
ω2
3 = R(σ) = c6σ
6 + c5σ
5 + c4σ
4 + c3σ
3 + c2σ
2 + c1σ + c0,
ν1 = ϕ(σ) = a2σ
2 + a1σ + a0,
ν2 = ψ(σ) = g4σ
4 + g3σ
3 + g2σ
2 + g1σ + g0,
ν3 = κ(σ)σ−1
√
R(σ), κ(σ) = f2σ
2 + f1σ + f0.
(12)
Подставим значения для компонент векторов ω и ν из (12) в первое кинемати-
ческое уравнение из (8) и динамическое уравнение (9). Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях многочленов, стоящих в левых и правых частях этих урав-
нений, заключаем, что уравнение (9) при g1 6= 0, g2 6= 0, g3 6= 0, f0 = 0 может быть
тождеством по σ только при выполнении условий
A2 = A3, B2 = B3, C2 − C3 = 0,
(B3b0 + s2)f1 −B3g0 + λ2 = 0.
(13)
Тогда в силу (13) динамическое уравнение (9) упрощается
Φ(σ) = ψ′(σ)(2A1)−1µ, µ = f2s2 + B3(f1b1 − g1). (14)
94
Новое решение уравнений движения гиростата
Соотношения (14) позволяют упростить другие уравнения исследуемой системы
(8)-(10). Исключим функцию Φ(σ) из уравнений(8), (10). Затем подставим в упро-
щенные уравнения и уравнения (11), (14) полиномы из (12). Требование того, чтобы
полученные равенства при условиях (13) были тождествами по σ, приводит к сле-
дующей системе уравнений на параметры задачи и коэффициенты решения (12):
g4 − b3f2 = 0, g3 − b3f1 − b2f2 = 0, g2 − b2f1 − b1f2 = 0,
2A1g0 − a1µ = 0, A1(g1 − b1f1)− a2µ = 0,
b0 = 0, 2A1(f1 − a2)− 3g3µ = 0, A1f2 − 2g4µ = 0,
g2µ + A1a1 = 0, g1µ + 2A1a0 = 0, 2c6f2µ + A1g4 = 0,
µ(6c6f1 + 7c5f2) + 4A1(g3 − b3a2) = 0,
µ(5c5f1 + 6c4f2) + 4A1(g2 − b3a1 − b2a2) = 0,
µ(4c4f1 + 5c3f2) + 4A1(g1 − b3a0 − b2a1 − b1a2) = 0,
µ(3c3f1 + 4c2f2) + 4A1(g0 − b2a0 − b1a1) = 0,
µ(2c2f1 + 3c1f2)− 4A1b1a0 = 0, c1f1 + 2c0f2 = 0,
β = C1 − C3, B3 − βa2 = 0, ξ0 = B1a2 + A3 −A1, ξ1 = βa0 − s1,
ξ2 = B1a0 − λ1, 3µA3b3 − 2A1(βf2a1 + ξ0) = 0,
µA3b2 −A1(ξ1f2 + βa1f1 + B1a1) = 0, µA3b1 − 2A1(ξ1f1 + ξ2) = 0,
3µA3c6 + 2A1(βg4a1 + ξ0b3) = 0,
5µA3c5 + 4A1(ξ1g4 + βg3a1 + B1a1b3 + ξ0b2) = 0,
µA3c4 + A1(ξ1g3 + βg2a1 + B1a1b2 + ξ0b1 + ξ2b3) = 0,
3µA3c3 + 4A1(ξ1g2 + βg1a1 + B1a1b1 + ξ2b2 + s2a2 + λ2) = 0,
µA3c2 + 2A1(ξ1g1 + βg0a1 + ξ2b1 + s2a1) = 0,
µA3c1 + 4A1(ξ1g0 + s2a0) = 0, a0 + g2
0 + c0f
2
1 − 1 = 0.
(15)
Система алгебраических уравнений (13), (15) разрешима относительно ненуле-
вых параметров A1, A3, B3, β. Считая α = B2
3 + βA1 > 0, запишем решение системы
(13), (15) в виде:
C2 = C3, A2 = A3, B2 = B3,
B1 =
A1β(4A1 −A3) + 2A3B3(B3 −
√
α)
4A1B3
,
δ = −8A3
1A
2
3(4A1 −A3)β3 −A2
1B3[(16(4A1 + 3A3)A2
1 − (20A1 + 11A3)A2
3)B3−
− 16(4A2
1 + A1A3 −A2
3)A3
√
α]β2 −A1B
3
3 [(32(4A1 + A3)A2
1 − (60A1 − 13A3)A2
3)B3−
− (4A1 −A3)(12A1 − 11A3)A3
√
α]β − 4B5
3 [(4(4A1 −A3)A2
1−
(2A1 −A3)A2
3)B3 + (4A2
1 + 2A1A3 −A2
3)A3
√
α,
95
А.В. Зыза
λ1 = − 1
32A1βb2
3
{
4A2
1β −A3((
√
α + B3)2 − 4B2
3) + δ−1[256A5
1α
2βB2
3+
+ 64A3
1A3B3α
3/2(2(α− 4B2
3)B3
√
α + 4A1αβ + (11α− 5B2
3)B2
3)+
+ 16(A1A3)2B3α((20A1αβ + 3(21α−B2
3)B2
3)B3 − (32A1αβ + 3(7α + 13B2
3)B2
3
√
α)−
− 12A1A
3
3B3
√
α(2(α + B2
3)(5α + 9B2
3)B3
√
α− α(4A1αβ+
+ (19α + 34B2
3)B2
3)− 3B6
3)− 9A4
3B
2
3
√
α((A1αβ − (5α + 11B2
3)B2
3)
√
α−
−B3(A1αβ − (13α + 3B2
3)B2
3))]
}
,
λ2 = −(4(A1 −A3)α + A3(
√
α + B3)2)B3
8A1β2f2b3
,
s1 =
1
8b2
3
{−B3 + δ−1[−64(A1B3)3α2 + 16A2
1A3α
3/2(−7B3
3
√
α + 8A1αβ+
+ (12α− 5B2
3)B2
3) + 4A1A
2
3α((37α− 3B2
3)B3
3 − 2
√
α(4A1αβ+
+ (6α + 11B2
3)B2
3))− 9(A3B3)3
√
α((α + 3B2
3)
√
α− (3α + B2
3)B3)]},
s2 =
α
2βf2b3
,
f2 =
√
2δb3
8A
3/2
1 αβ
, f1 =
(3A3B3 + (4A1 − 3A3)
√
α)B3
4A1β
√
α
,
c6 = −b2
3, c5 =
((4A1 + A3)
√
α−A3B3)B3b
2
3
2A1βf2
√
α
,
c4 = − B3b
2
3
16(A1βf2)2α
[α(24A1B3(2A1 + A3)−A3(5A3B3 + 32A1
√
α))+
+ A3B
2
3(2
√
α(4A1 + 5A3)− 5A3B3)],
c3 =
B3
32(A1βf2)3α2
{16(αA1)2((4A1 + 3A3)(B3b3)2 − 2A1(βf2)2)+
+ αA3B3b
2
3(4A1A3B3(3α− 5B2
3)− 3A2
3B3(α + 3B2
3)− 16A2
1
√
α(3α + A1β)−
− 8A1A3
√
α(2α− 3B2
3)) + 3(A3B3)3
√
α(3α + B2
3)b2
3},
c2 = − B3
256(A1βf2)4α2
[64A3
1α
3/2(βf2)2((A3 − 4A1)B3
√
α + A3(α− 2B2
3))+
+ b2
3{256A3
1B
2
3α3/2((A1 + A3)B3
√
α−A3(2α−B2
3)) + (A1A3)2B3(32α(8A1αβ−
− (α + B2
3)B2
3)− 64B3(4α− 5B2
3)α3/2 + 9(A3B3β)2) + 48A1A
3
3B
2
3(2A1αβ+
+ (5α−B2
3)(B3 −
√
α)B3)
√
α− 36(A3B3)4(
√
α−B3)2
√
α}],
c1 = − B2
3
16A2
1(βf2)3α
[8A1((2A1 −A3)B3
√
α−A3(α− 2B2
3))
√
α−
−A2
3((α− 3B2
3)B3 − 2(α− 2B2
3)
√
α)],
(16)
96
Новое решение уравнений движения гиростата
c0 =
δ1
b4
3
, δ1 =
8(A1B3)3α2
δ2
((4A1 − 3A3)α + 3A3B3
√
α)(16A2
1B3α−
− 8A1A3(B3
√
α + (α− 2B2
3))
√
α + A2
3(2(α− 2B2
3)
√
α−B3(α− 3B2
3))),
g4 = b3f2, g3 = −(
√
α−B3)A3B3b3
A1
√
αβ
, g2 =
(B3 −
√
α)A3B3b3
A1β2f2
,
g0 =
δ2
b2
3
, δ2 =
√
A1A3B3(
√
α−B3)α
β
√
2δ
, g1 =
δ3
b3
,
δ3 =
B3
2β
[1 + δ−1{64A3
1(B3α)2 − 16A2
1A3B3α
3/2((
√
α− 5B3)B3+
+ 4α) + 12A1A
2
3B3α((B2
3 − 7α)B3 + 2(2α + B2
3)
√
α)+
+ 9A3
3B
2
3(α(α + 3B2
3)− (3α + B2
3)B3
√
α)}],
a2 =
B3
β
, a1 =
(
√
α−B3)A3B3
2A1β2f2
, a0 = − δ3
4b2
3
,
b2 =
(A3B3 − (4A1 + A3)
√
α)B3b3
4A1
√
αβf2
,
b1 =
B3b3
16(A1βf2)2α
[8A1
√
α((2A1 + A3)B3
√
α + (B2
3 − 2α)A3)−
− 3A2
3B3(
√
α−B3)2], b0 = 0.
Здесь b3 – корень уравнения
b4
3 = δ1f
2
1 + δ2
2 +
δ2
3
16
.
Решение (12) при условиях (16) будет действительным, если
δ > 0, δ1 > 0. (17)
Зависимость σ от времени находим из (7)
σ̇ =
1
4b3
√
R(σ). (18)
Рассмотрим численный пример решения (12), (13), (16), (18) дифференциальных
уравнений (3), (4) при условиях (17).
Пусть
A1 =
19
20
A3, A2 = A3 = a,
B1 = −(33 + 10
√
5)
190
B3, B2 = B3 = b, C2 = C3, β = −b2
a
,
(a > 0, b > 0).
(19)
97
А.В. Зыза
Тогда из (16) получим:
s =
b
160γb2
3
(
−1587950 + 370317
√
5
γ
; 19
√
19; 0
)
,
λ =
a
40γb2
3
(
−11532595 + 3911143
√
5
76γ
; (5
√
5 + 26)
√
19; 0
)
; (20)
ω1 = σ2, ω2 = b3σ
3 +
√
19σ
2γ
(
(5
√
5− 12)σ +
√
19
4γb3
(321
√
5− 512)
)
,
ω2
3 = R(σ) = −b2
3σ
6 − (5
√
5− 12)
√
19b3
γ
σ5 − 57(67
√
5− 81)
4γ2
σ4−
− 513(1258
√
5 + 5489)
√
19
8γ3b3
σ3 +
361(6686614
√
5 + 10849313)
64(γ2b3)2
σ2−
− 361(273
√
5 + 823)
√
19
32(γb3)3
σ +
6859(12891
√
5 + 22121)
128(γb3)4
,
(21)
ν1 =
a
b
(
−σ2 − (
√
5− 10)
√
19
4γb3
σ +
5(6668
√
5 + 31417)
16(γb3)2
)
,
ν2 =
a
b
(
−4
√
19γb2
3
361
σ4 − 20(2
√
5− 1)b3
19
σ3 +
(
√
5− 10)
√
19
2γ
σ2−
−5(6668
√
5 + 31417)
4γ2b3
σ − (
√
5− 10)
√
19
16γb2
3
)
,
ν3 = − 2
19
a
b
(
2γ
√
19b3
19
σ + 15
√
5 + 2
)√
R(σ).
Здесь
γ =
√
20189
√
5 + 67017,
b3 =
√
739(1106746334602− 205863866086
√
5)1/4√a
65032
√
b
.
Функцию σ = σ(t) находим из уравнения (18). Действительность решения (18)-
(21) вытекает из условия, что подкоренная функция ω3(σ) =
√
R(σ) в точке σ = 0
принимает положительное значение. При этом зависимость σ = σ(t) выражается
функциями времени, полученными в результате обращения гиперэллиптических ин-
тегралов.
1. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тяжелого твер-
дого тела, имеющего неподвижную точку // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания.
– 1899. – 10, № 1. – С. 1-3.
98
Новое решение уравнений движения гиростата
2. Kowalewsky N. Eine neue partikulare Lösung der Differenzial Gleichungen der Bewegung eines
schweren starren Körpers um einen festen Punkt // Math. Ann. – 1908. – B. 65. – S. 528-537.
3. Горячев Д.Н. Новое частное решение задачи о движении тяжелого твердого тела вокруг непо-
движной точки // Тр. Отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. – 1899. – 10, № 1. –
С. 23-24.
4. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1965. – 221 c.
5. Докшевич А.И. Новое частное решение уравнений движения гиростата, имеющего неподвиж-
ную точку // Механика твердого тела. – 1970. – Вып. 2. – С. 12-15.
6. Горр Г.В., Зыза А.В. О редукции дифференциальных уравнений в двух задачах динамики
твердого тела // Труды ИПММ НАН Украины. – 2009. – Т. 18. – С. 29-36.
7. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с непо-
движной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 12-21.
8. Зыза А.В. Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа-Пуассона // Механика
твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 103-109.
9. Зыза А.В. Об одном классе полиномиальных решений уравнений Кирхгофа // Вiсник Донець-
кого нац. унiверситету. Сер. А: Природничi науки. – 2006. – Вып. 1. – С. 40-46.
10. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: Изд-во
ДонНУ, 2010. – 364 с.
A.V. Zyza
A new solution to the equation of gurostat movement under the influence of potential and
guroscopic forces.
A new solution to the equation of gurostat movement has been found in the paper, which is described
by Kirchhoff s equation. The main variables of the task are presented as polynomials of one of the
components of anqualar velocity vector and are defined by the functions obtained as a result of huperelliptic
integral inversion.
Keywords: gurostat, polunomial, solution, Kirchhoff s equation, first integrals, potential and guroscopic
forces.
О.В. Зиза
Новий розв’язок рiвнянь руху гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил.
У роботi знайдено новий розв’язок рiвнянь руху гiростата, який описується диференцiальними рiв-
няннями Кiрхгофа. Основнi змiннi задачi зображено у виглядi многочленiв вiд однiєї з компонент
вектора кутової швидкостi й визначено функцiями, отриманими в результатi обернення гiперелiп-
тичних iнтегралiв.
Ключовi слова: гiростат, полiномiальнi розв’язки, рiвняння Кiрхгофа, першi iнтеграли, по-
тенцiальнi i гiроскопiчнi сили.
Донецкий национальный ун-т
3bl3a@mail.ru
Получено 14.11.12
99
|