Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2
Рассматривается нелинейная эллиптическая система высокого порядка дивергентного вида с естественным энергетическим пространством Wmp . Для любого множества весов из Aq, q < 2, с равномерно ограниченной константой Макенхаупта устанавливается априорная оценка решений в Wmp с этими весами, если p до...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124118 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 / Е.А. Калита // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 107-112. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124118 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241182017-09-21T03:03:00Z Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 Калита, Е.А. Рассматривается нелинейная эллиптическая система высокого порядка дивергентного вида с естественным энергетическим пространством Wmp . Для любого множества весов из Aq, q < 2, с равномерно ограниченной константой Макенхаупта устанавливается априорная оценка решений в Wmp с этими весами, если p достаточно близко к 2 и модуль эллиптичности системы достаточно близок к единице. Как следствие, получается оценка в дуальных пространствах Морри на произвольно большом отрезке шкалы. Розглядається нелiнiйна елiптична система високого порядку дивергентного вигляду з природним енергетичним простором Wmp . Для довiльної множини вагових функцiй з Aq, q < 2, з рiвномiрно обмеженою константою Макенхаупта встановлюється апрiорна оцiнка розв’язкiв у Wmp з цими ваговими функцiями, якщо p достатньо близьке до 2 та модуль елiптичностi системи достатньо близький до одиницi. Як наслiдок, отримано оцiнки в дуальних просторах Морi на довiльно великому вiдрiзку шкали. We consider high order nonlinear elliptic systems in divergent form with natural energetic space Wmp. For arbitrary set of weights in Aq, q < 2, with uniformly bounded Muckenhoupt constant, we establish a priori estimate of solutions in Wmp with these weights, if p sufficiently close to 2 and a modulus of ellipticity of system sufficiently close to one. As a consequence it gives a priory estimates in dual Morrey spaces on arbitrary big segment of scale. 2012 Article Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 / Е.А. Калита // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 107-112. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124118 517.956 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается нелинейная эллиптическая система высокого порядка дивергентного вида с естественным энергетическим пространством Wmp . Для любого множества весов из Aq, q < 2, с равномерно ограниченной константой Макенхаупта устанавливается априорная оценка решений в Wmp с этими весами, если p достаточно близко к 2 и модуль эллиптичности системы достаточно близок к единице. Как следствие, получается оценка в дуальных пространствах Морри на произвольно большом отрезке шкалы. |
| format |
Article |
| author |
Калита, Е.А. |
| spellingShingle |
Калита, Е.А. Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Калита, Е.А. |
| author_sort |
Калита, Е.А. |
| title |
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 |
| title_short |
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 |
| title_full |
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 |
| title_fullStr |
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 |
| title_full_unstemmed |
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 |
| title_sort |
весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124118 |
| citation_txt |
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2 / Е.А. Калита // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 107-112. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kalitaea vesovyeocenkirešenijnelinejnyhélliptičeskihsistempripblizkomk2 |
| first_indexed |
2025-07-09T00:52:11Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:52:11Z |
| _version_ |
1837128569004752896 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.956
c©2012. Е.А. Калита
ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ p, БЛИЗКОМ К 2
Рассматривается нелинейная эллиптическая система высокого порядка дивергентного вида с есте-
ственным энергетическим пространством W m
p . Для любого множества весов из Aq, q < 2, с равно-
мерно ограниченной константой Макенхаупта устанавливается априорная оценка решений в W m
p с
этими весами, если p достаточно близко к 2 и модуль эллиптичности системы достаточно близок
к единице. Как следствие, получается оценка в дуальных пространствах Морри на произвольно
большом отрезке шкалы.
Ключевые слова: нелинейные эллиптические системы, высокий порядок, априорные оценки,
класс Макенхаупта, очень слабые решения.
Рассматривается нелинейная эллиптическая система
divmA(x, Dmu) = divmf(x), (1)
x ∈ Rn, n ≥ 2. Здесь u – вектор-функция размерности N ≥ 1; A, f , Dmu – размер-
ности nmN :
Dmu =
(
Dj1 . . . Djmui
)i=1,...N
j1,...jm=1,... n
,
Dj = ∂/∂xj , D = (D1, . . . Dn), так что запись divmA обозначает
divmA =
( n∑
j1,...jm=1
Dj1 . . . DjmAi
j1...jm
)
i=1,...N
.
Функция A удовлетворяет стандартным структурным условиям
(A(x, ξ), ξ) ≥ c1|ξ|p, |A(x, ξ)| ≤ c2|ξ|p−1 (2)
с некоторым p ∈ (1,∞).
В [1] для векторного p-лапласиана div(|Du|p−2Du) было показано, что интервал
значений q ∈ (q1, q2), при которых есть априорная оценка решения в W 1
q , неограни-
ченно приближается к (1,∞) когда p стремится к 2. Заметка [1] фактически явля-
ется уточнением работы [2], где для общих дивергентных систем второго порядка
устанавливались оценки в W 1
q при q ∈ (p − ε, p). Мы получаем аналогичный [1] ре-
зультат для оценок в Wm
p с макенхауптовскими весами. Используются идеи работы
[2] с уточнением [1].
Отметим, что стандартные условия (2) эквивалентны следующему условию: для
функции B, определяемой равенством
divm(|Dmu|p−2Dmu) + divmB(x,Dmu) = κ divmA(x,Dmu)
107
Е.А. Калита
при подходящем нормирующем множителе κ, выполнено
|B(x, ξ)| ≤ K|ξ|p−1, K < 1. (3)
Легко видеть, что из (2) следует (3) с K = (1−c2
1/c2
2)
1/2 (при κ = c1/c2
2), и наоборот,
из (3) следуют условия (2) с c1/c2 ≥ (1−K)/2. Мы будем предполагать выполненным
(3), поскольку эта форма для нас удобнее. Далее для краткости κ = 1.
Обозначим Aq, q ∈ (1,∞) – класс Макенхаупта – множество неотрицательных
функций ω в Rn таких, что
[ω]q = sup
B
1
|B|
∫
B
ωdx
(
1
|B|
∫
B
ω−q′/qdx
)q/q′
< ∞,
супремум берется по шарам B = BR(x0) = {x ∈ Rn : |x − x0| < R}, x0 ∈ Rn, R ∈
(0,∞), q′ – сопряженный показатель: 1/q +1/q′ = 1. Обозначим Lp,ω – пространство
с нормой
‖f‖p,ω =
(∫
Rn
|f |pωdx
)1/p
,
Wm
p,ω – пространство функций u таких, что Dmu ∈ Lp,ω.
Основной результат работы составляет следующая теорема.
Теорема. Пусть заданы q < 2, cw < ∞. Существует ε > 0, зависящее только
от n, m, q, cw, такое, что если |p − 2| < ε, K < ε, ω, ν ∈ Aq, [ω]q, [ν]q < cw,
f ∈ Lp′,ω, u ∈ Wm
p,ν – решение системы (1), то u ∈ Wm
p,ω и выполнена оценка
‖Dmu‖p
p,ω ≤ c‖f‖p′
p′,ω. (4)
Доказательство. Докажем сначала оценку (4) в предположении, что u ∈ Wm
p,ω.
Рассмотрим оператор T = Dm∆−mdivm – векторное преобразование Рисса по-
рядка 2m, действующее на функциях размерности nm. Обозначим ‖T‖s,ω – его норма
в пространстве Ls,ω (строго говоря, в декартовой степени этого пространства).
Поскольку T – преобразование Рисса, норма ‖T‖s,ω оценивается величиной, за-
висящей от s и константы Макенхаупта [ω]s. Поэтому будут конечными величины
cT,q = sup{‖T‖q,ω : [ω]q ≤ cw},
cT,q′ = sup{‖T‖q′,ω : [ω]q ≤ cw}
с учетом [ω]s ≤ [ω]q при s > q. По интерполяционной теореме Рисса-Торина получа-
ем
sup{‖T‖s,ω : q ≤ s ≤ q′, [ω]q < cw} ≤ max{cT,q, cT,q′} = cT .
Предполагая ε < 2− q, имеем p′ > q, так что ω ∈ Ap′ . По двойственности ω1−p ∈ Ap,
поэтому для функции v = ∆−mdivm(ωDmu) имеем Dmv = T (ωDmu) ∈ Lp,ω1−p . Сле-
довательно, v является допустимой пробной функцией в интегральном тождестве,
108
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2
если f ∈ Lp′,ω, u ∈ Wm
p,ω. Подставляя v в интегральное тождество, имеем
∫
T (|Dmu|p−2Dmu)ωDmudx +
∫
TBωDmudx =
∫
TfωDmudx, (5)
где B удовлетворяет (3).
Для оценки первого слагаемого введем функцию
Φ(z) =
∫
T (|Dmu|zDmu)ω|Dmu|p−2−zDmudx,
z – комплексное. Покажем, что Φ ограничена и аналитична в некоторой окрестности
z = 0 при p, достаточно близком к 2. По неравенству Гельдера
|Φ(z)| ≤
(∫
|T (|Dmu|zDmu)|p/(1+τ)ωdx
)(1+τ)/p
‖Dmu‖p−1−τ
p,ω ,
где τ = Rez. Предполагая ε < (2− q)/2, при |τ | ≤ 1/q− 1/2 имеем p/(1 + τ) ∈ (q, q′),
что дает
|Φ(z)| ≤ cT ‖Dmu‖p
p,ω. (6)
Следовательно, Φ аналитична в полосе |Rez| < 1/q−1/2 и непрерывна в замыкании
с оценкой (6), и то же верно для круга |z| < 1/q − 1/2. Отметим Φ(0) = ‖Dmu‖p
p,ω.
По лемме Шварца при |p− 2| < 1/q − 1/2
|Φ(p− 2)− Φ(0)| ≤ |p− 2|
1/q − 1/2
max
|z|=1/q−1/2
|Φ(z)− Φ(0)|
≤ |p− 2|
1/q − 1/2
(cT + 1) ‖Dmu‖p
p,ω.
Из очевидного неравенства
Φ(p− 2) ≥ Φ(0)− |Φ(p− 2)− Φ(0)|
следует
∫
T (|Dmu|p−2Dmu)ωDmudx ≥
(
1− |p− 2| cT + 1
1/q − 1/2
)
‖Dmu‖p
p,ω,
и выбирая ε = (1/q − 1/2)
/
4(cT + 1), при |p− 2| < ε получаем
idem ≥ 3
4
‖Dmu‖p
p,ω.
Во втором слагаемом в (5) находим
∣∣∣∣
∫
TBωDmudx
∣∣∣∣ ≤ ‖TB‖p′,ω‖Dmu‖p,ω
109
Е.А. Калита
и далее, с учетом p′ ∈ (q, q′)
‖TB‖p′,ω ≤ cT ‖B‖p′,ω ≤ cT K‖Dmu‖p−1
p,ω ≤ 1
4
‖Dmu‖p−1
p,ω
при K < ε. Из (5) получаем
1
2
‖Dmu‖p
p,ω ≤
∫
TfωDmudx.
В правой части имеем
∣∣∣∣
∫
TfωDmudx
∣∣∣∣ ≤ ‖Tf‖p′,ω‖Dmu‖p,ω ≤ cT ‖f‖p′,ω‖Dmu‖p,ω,
что приводит к оценке (4).
Покажем теперь, что если f ∈ Lp′,ω, и u ∈ Wm
p,ν – решение, то u ∈ Wm
p,ω. Рассмот-
рим вес ωθ = ((ν/θ)1/(1−q) + ω1/(1−q))1−q, θ ∈ (0, 1). Поскольку
ωθ ≤ min{ν/θ; ω},
имеем f ∈ Lp′,ωθ
, u ∈ Wm
p,ωθ
. Оценим константу Макенхаупта для ωθ:
[ωθ]q =sup
B
1
|B|
∫
B
ωθ dx
(
1
|B|
∫
B
ω
1/(1−q)
θ dx
)q−1
≤ sup
B
1
|B|
∫
B
min{ν/θ, ω}dx
(
1
|B|
∫
B
(
(ν/θ)1/(1−q) + ω1/(1−q)
)
dx
)q−1
≤ sup
B
1
|B|
∫
B
ν
θ
dx
(
1
|B|
∫
B
(ν
θ
)1/(1−q)
dx
)q−1
+ sup
B
1
|B|
∫
ωdx
(
1
|B|
∫
B
ω1/(1−q)dx
)q−1
≤[ν]q + [ω]q ≤ 2cw
при любом θ ∈ (0, 1).
Выбирая ε > 0 по величинам q и 2cw, при |p− 2| < ε, K < ε получаем
‖Dmu‖p
p,ωθ
≤ c‖f‖p′
p′,ωθ
,
константа c не зависит от θ > 0. Поскольку правая часть ограничена равномерно по
θ > 0, при θ → 0 отсюда следует u ∈ Wm
p,ω. ¤
Рассмотрим, что дают наши оценки в случае дуальных пространств Морри. Ду-
альные пространства Морри Ls,a, s ∈ (1,∞), a ∈ (0, n(s− 1)) определим нормой
‖f‖s,a = inf
σ
‖f‖s,ω,
110
Весовые оценки решений нелинейных эллиптических систем при p, близком к 2
ω(x) =
(
1 +
∫
Rn
|x− y|a/(1−s)dσ(y)
)1−s
, (7)
inf берется по неотрицательным борелевским мерам σ с нормировкой σ(Rn) = 1, см.
[3].
Следствие. Пусть a∗ < n, q ∈ (1 + a∗/n, 2). Существует ε > 0 такое, что
если |p − 2| < ε, K < ε, a ∈ (0, a∗), s ≥ q, |f |p′/s ∈ Ls,a, u – решение системы (1) с
|Dmu|p/s ∈ Ls,a, то
‖ |Dmu|p/s‖s,a ≤ c‖ |f |p′/s‖s,a.
Если при этом |f |p′/s ∈ Ls,b с некоторым b, 0 ≤ b < a, то |Dmu|p/s ∈ Ls,b.
Отметим, что из малости ε следует p, p′ > q, и в оценке можно брать, например,
s = p или s = p′.
Утверждение будет немедленно следовать из теоремы, если для весов вида (7)
мы получим оценку константы Макенхаупта [ω]q, равномерную по s ≥ q и по a ≤ a∗
(< n(q − 1)). По определению
[ω]q = sup
B
1
|B|
∫
B
ωdx
(
1
|B|
∫
B
ω1/(1−q)dx
)q−1
,
B = {x ∈ Rn : |x− x0| < R}. В первом множителе, используя оценку
|x− y| ≤ |x− x0|+ |x0 − y| < R + |x0 − y|
для x ∈ B, находим
1
|B|
∫
B
ωdx ≤ sup
x∈B
ω(x) ≤
(
1 +
∫
r
a/(1−s)
B dσ(y)
)1−s
,
где мы обозначим rB = R + |y − x0|. Во втором множителе, обозначая r = |x− y| и
учитывая s ≥ q, имеем
(
1
|B|
∫
B
(
1 +
∫
ra/(1−s)dσ
) s−1
q−1
dx
)q−1
≤
∫ (
1
|B|
∫
B
(
1 + ra/(1−s)
) s−1
q−1
dx
) q−1
s−1
dσ
s−1
≤ 2s−q
(∫ (
1 +
1
|B|
∫
B
ra/(1−q)dx
) q−1
s−1
dσ
)s−1
.
Для интеграла по B имеем
1
|B|
∫
B
ra/(1−q)dx ≤
c(n− a/(q − 1))−1Ra/(1−q), |y − x0| ≤ 2R
c|y − x0|a/(1−q), |y − x0| > 2R,
111
Е.А. Калита
если a < n(q − 1). Это дает
(
1
|B|
∫
B
ω1/(1−q)dx
)q−1
≤ c
(n− a/(q − 1))q−1
(
1 +
∫
r
a/(1−s)
B dx
)s−1
,
и окончательно получаем
[ω]q ≤ c
(n− a/(q − 1))q−1
.
1. Kinnunen I., Zhou S. A note on very weak p-harmonic mappings // Electron. J. Differ. Equ. – 1997.
– 25. – 4 p.
2. Iwaniec T., Sbordone C. Weak minima of variational integrals // J. Reine Angev. Math. – 1994. –
454. – P. 143-161.
3. Калита Е.А. Дуальные пространства Морри // Докл. РАН. – 1998. – Т. 361, № 4. – С. 447-449.
E.A. Kalita
Weighted estimates of solutions of nonlinear elliptic systems for p close to 2.
We consider high order nonlinear elliptic systems in divergent form with natural energetic space W m
p .
For arbitrary set of weights in Aq, q < 2, with uniformly bounded Muckenhoupt constant, we establish
a priori estimate of solutions in W m
p with these weights, if p sufficiently close to 2 and a modulus of
ellipticity of system sufficiently close to one. As a consequence it gives a priory estimates in dual Morrey
spaces on arbitrary big segment of scale.
Keywords: nonlinear elliptic systems, high order, a priory estimates, Muckenhoupt class, very weak
solutions.
Є.О. Калита
Ваговi оцiнки розв’язкiв нелiнiйних елiптичних систем при p, близькому до 2.
Розглядається нелiнiйна елiптична система високого порядку дивергентного вигляду з природним
енергетичним простором W m
p . Для довiльної множини вагових функцiй з Aq, q < 2, з рiвномiр-
но обмеженою константою Макенхаупта встановлюється апрiорна оцiнка розв’язкiв у W m
p з цими
ваговими функцiями, якщо p достатньо близьке до 2 та модуль елiптичностi системи достатньо
близький до одиницi. Як наслiдок, отримано оцiнки в дуальних просторах Морi на довiльно вели-
кому вiдрiзку шкали.
Ключовi слова: нелiнiйнi елiптичнi системи, високий порядок, апрiорнi оцiнки, клас Макенха-
упта, дуже слабкi розв’язки.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ekalita@mail.ru
Получено 25.12.12
112
|