Практическое применение количественных методов прогнозирования

Рассмотрена практика применения количественных методов прогнозирования с помощью программы SPSS. Предложен алгоритм построения, оценки и тестирования широко распространенных моделей. Приведены примеры прогнозирования продаж с использованием описанных моделей на производственном предприятии....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Будаев, П.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2009
Schlagworte:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12412
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Практическое применение количественных методов прогнозирования / П.В. Будаев // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 2. — С. 92-106. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-12412
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-124122013-02-13T02:03:56Z Практическое применение количественных методов прогнозирования Будаев, П.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Рассмотрена практика применения количественных методов прогнозирования с помощью программы SPSS. Предложен алгоритм построения, оценки и тестирования широко распространенных моделей. Приведены примеры прогнозирования продаж с использованием описанных моделей на производственном предприятии. Розглянуто практику застосування кількісних методів прогнозування за допомогою програми SPSS. Запропоновано алгоритм побудови, оцінки і тестування широко розповсюджених моделей. Наведено приклади прогнозування продажів із використанням описаних моделей на виробничому підприємстві. Practice in application of quantitative forecasting methods using the SPSS software is considered. An algorithm for creation estimation and testing of wide-spread models is described. Examples of sale forecast at manufacturing plants using these models are demonstrated. 2009 Article Практическое применение количественных методов прогнозирования / П.В. Будаев // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 2. — С. 92-106. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12412 338.27 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Будаев, П.В. Практическое применение количественных методов прогнозирования
description	Рассмотрена практика применения количественных методов прогнозирования с помощью программы SPSS. Предложен алгоритм построения, оценки и тестирования широко распространенных моделей. Приведены примеры прогнозирования продаж с использованием описанных моделей на производственном предприятии.
format	Article
author	Будаев, П.В.
author_facet	Будаев, П.В.
author_sort	Будаев, П.В.
title	Практическое применение количественных методов прогнозирования
title_short	Практическое применение количественных методов прогнозирования
title_full	Практическое применение количественных методов прогнозирования
title_fullStr	Практическое применение количественных методов прогнозирования
title_full_unstemmed	Практическое применение количественных методов прогнозирования
title_sort	практическое применение количественных методов прогнозирования
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12412
citation_txt	Практическое применение количественных методов прогнозирования / П.В. Будаев // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 2. — С. 92-106. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT budaevpv praktičeskoeprimeneniekoličestvennyhmetodovprognozirovaniâ
first_indexed	2025-07-02T14:32:21Z
last_indexed	2025-07-02T14:32:21Z
_version_	1836545990286376960
fulltext	© П.В. Будаев, 2009 92 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 УДК 338.27 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ П.В. БУДАЕВ Рассмотрена практика применения количественных методов прогнозирования с помощью программы SPSS. Предложен алгоритм построения, оценки и тес- тирования широко распространенных моделей. Приведены примеры прогно- зирования продаж с использованием описанных моделей на производственном предприятии. В современных условиях любое предприятие, независимо от его географи- ческого расположения и рынков, на которых оно работает, сталкивается с проблемой принятия оптимального решения. Под оптимальным в данном случае понимается решение, которое • принимается на основе полной, объективной и достоверной инфор- мации, получаемой из разных источников достаточно длительный период времени; • соответствует стратегии, маркетинговым и финансовым целям пред- приятия; • выбирается в результате правильной оценки возможных рисков. Как правило, обстоятельства вынуждают действовать в условиях огра- ниченного времени, большой номенклатуры оказываемых услуг, высоких затрат, связанных с подготовкой и динамично меняющейся ситуацией на рынках. Поэтому целесообразно максимально автоматизировать процесс принятия решений. Базисом принятия решения в рамках выбранной стратегии предприятия является прогноз продаж. Прогнозируя и оценивая возможный сбыт, предприятие может планировать свою деятельность и оценивать затраты. Понятно, что чем более высокая точность прогнозирования, тем больше шансов для принятия оптимальных решений, а, следовательно, повышения конкурентоспособности и прибыльности предприятия. Инструментом для принятия оптимального решения служит информа- ционно-аналитическая система предприятия, а ее основой — накопленная информация и методы обработки. В свою очередь, накопленная информация делится на формализованную (статистические данные, отраслевые отчеты, исследования рынка и т.д.), слабо формализованную (новости, новые техно- логии, перспективные разработки и открытия в отрасли) и неформализован- ную (знания, интуиция и опыт экспертов). Соответственно разнятся методы обработки этой информации, условно разделяемые на количественные (для формализованных данных) и качественные (для слабо и неформализован- ных данных). Существует достаточное количество работ, в которых детально описа- ны как количественные [5–8] (наиболее используемые из них — прогнози- Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 93 рование числовых рядов [7, 8]), так и качественные методы [1, 2, 4]. Тем не менее, проблема их практического применения в условиях реально действующего производст- венного предприятия остается актуальной. Цель настоящей статьи — систематизация подхода к выбору количественных методов обработки информации, выбор и оценка мате- матических моделей и методов прогнозирова- ния, а также разработка рекомендаций для их практического применения. На практике процесс прогнозирования представляет собой последовательность дейст- вий (рис. 1). На этапе сбора данных используется ин- формационно-аналитическая система предпри- ятия, а ЛПР (лицо, принимающее решение) должно удостовериться в правильности данных и источнике их происхождения. На этапе постановки задачи определяет- ся предмет прогнозирования и выбираются его параметры — горизонт и шаг. Для кратко- и среднесрочных (от одного до пяти лет) прогно- зов шаг прогнозирования, как правило, выби- рается в один месяц или квартал. Построение и оценка моделей — ключе- вой момент прогнозирования. Классифициру- ются модели в зависимости от горизонта пла- нирования (табл. 1). Т а б л и ц а 1 . Классификация моделей прогнозирования Тип Класс Горизонт планирования Сглаживания Краткосрочный Подгонка кривыми Кратко- и среднесрочный Сезонная модель — // — // — Модели временных рядов Линейная регрессия — // — // — Казуальные модели Парная и множественная регрессии Кратко-, средне- и долгосрочный Тестирование и выбор моделей. После проведения оценки моделей необходимо их протестировать. Наилучший и проверенный на практике ме- тод тестирования — испытание модели на заранее известных результатах. Анализ ошибок позволяет корректировать саму модель. Принятие решения. ЛПР делает выбор в пользу той или иной модели и оценивает возможные последствия своего решения. Мониторинг модели. Сравнение полученных результатов, оценка ошибки прогнозирования, объяснение причины ее возникновения и поиски возможности использования выбранной модели в дальнейшем. Рис. 1. Структура процесса прогнозирования в виде последовательности форма- лизованных действий Тестирование и выбор моделей Постановка задачи Принятие решения Построение и оценка моделей Сбор данных Мониторинг модели П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 94 Рассмотрим использование перечисленных в табл. 1 моделей более подробно на практических примерах. Модели подгонки кривыми (экстраполяция). Суть модели: найти кривую или группу кривых, с достаточной точностью описывающих исто- рическую информацию [5]. С их помощью найти тренд в исходной инфор- мации, т.е. выявить общую тенденцию в изменении данных, на основании которой можно предполагать наличие прогнозируемых данных на найден- ном тренде. Прогнозирование с использованием этого метода применяется в случае стабильных во времени продаж с ярко выраженным трендом для то- варов с неэластичным спросом. Основные 11 уравнений кривых для прогнозирования приведены в табл. 2. Т а б л и ц а 2 . Уравнения основных типов кривых Наименование Уравнение Линейная tbby 21 += Парабола 2 321 tbtbby ++= Логарифмическая )(ln21 tbby += Многочлен третьей степени 3 4 2 321 tbtbtbby +++= Экспоненциальная )(exp 21 tbby = График степенной функции )( 2 1 btby = Гипербола t bby 2 1 += S-кривая )exp( 2 1 t bby += Обратная t bby 1 0 += Составная tbby 10 *= Логистическая )(1 1 32 1 tbbb y + = Для прогнозирования методом подгонки кривых рекомендуется ис- пользовать специализированное программное обеспечение, например, SPSS (12-я версия и выше русифицированы). В процессе автоматизированного построения кривых с помощью этого пакета применен принцип минимиза- ции среднеквадратичной ошибки MSE (mean squared error) [5]. n e MSE i∑= 2 , где iii YYe ˆ−= — разность между имеющимся значением и значением, на- ходящимся на кривой подгонки (так называемый остаток). Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 95 По имеющимся значениям продаж SPSS достаточно легко строит все перечисленные кривые, а также рассчитывает основной критерий оценки выбора — коэффициент детерминации )(ar 12 YV MSER −= , где ∑ −= 2)()(ar YYYV i . Из определения видно, что равенство 12 =R возможно в том случае, если процесс поведения данных в точности описывается моделью. Т.е., чем ближе значение 2R к единице, тем более точно кривая описывает поведение данных. На практике для оценки выбора той или иной модели применяют также другой показатель — MAPE (mean absolute persent error) [5]. Имея данные продаж ( прV ) некой номенклатурной единицы, произво- димой предприятием, необходимо сделать прогноз продаж на следующий квартал — 21, 22 и 23-й месяцы. Для этого по имеющимся исходным дан- ным (табл. 3) с помощью программного пакета SPSS построены 11 кривых подгонки, рассчитаны значения 2R для каждой модели и получены прогно- зы значения объема продаж на следующий квартал. Задача состоит в выборе модели, прогноз которой наиболее точен. Остановимся на двух моделях с максимальным значением 2R — куби- ческой и квадратичной. Рассчитанные SPSS значения этого параметра равны 0,871 у кубической модели и 0,860 — у квадратичной. Теперь нам понадобится сравнить значения MAPE этих моделей. Т а б л и ц а 3 . Сравнение квадратичной и кубической моделей Квадратичная модель Кубическая модель Месяц Vпр, Y Y e MAPE, % Y e MAPE,% 1 2698 2200,44 497,56 22,61 2736,14 –38,13789 –1,39 2 2962 2690,12 271,88 10,11 2887,48 74,52076 2,58 3 2720 3171,68 –451,68 –14,24 3124,69 –404,68961 –12,95 4 1948 3645,13 –1697,13 –46,56 3436,71 –1488,7124 –43,32 5 5667 4110,47 1556,53 37,87 3812,49 1854,50901 48,64 6 4619 4567,69 51,31 1,12 4240,97 378,03124 8,91 7 5569 5016,8 552,2 11,01 4711,09 857,91091 18,21 8 5797 5457,81 339,19 6,21 5211,8 585,20463 11,23 9 6023 5890,69 132,31 2,25 5732,03 290,96902 5,08 10 4348 6315,47 –1967,47 –31,15 6260,74 –1912,7393 –30,55 11 6261 6732,13 –471,13 –7,00 6786,86 –525,86371 –7,75 12 6701 7140,69 –439,69 –6,16 7299,35 –598,34761 –8,20 13 7690 7541,12 148,88 1,97 7787,13 –97,13436 –1,25 14 7247 7933,45 –686,45 –8,65 8239,17 –992,16737 –12,04 15 8994 8317,67 676,33 8,13 8644,39 349,61 4,04 16 11041 8693,77 2347,23 27,00 8991,75 2049,25436 22,79 17 9521 9061,76 459,24 5,07 9270,18 250,82232 2,71 18 9740 9421,64 318,36 3,38 9468,63 271,3705 2,87 19 9212 9773,41 –561,41 –5,74 9576,04 –364,04448 –3,80 20 9041 10117,06 –1076,06 –10,64 9581,37 –540,36601 –5,64 П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 96 Особый интерес представляет поведение модели в последние месяцы. Очевидно, что наши данные более точно описывает кубическая модель. Тем не менее, для окончательного выбора той или иной модели необходимо про- вести ее тестирование. Предпочтительней с практической точки зрения ме- тод тестирования ex-post-прогнозирование [5]. Он применяется следую- щим образом. 1. Разбиваем исходные данные на две группы (первая — 85% данных, вторая — 15). 2. Производим имитацию процесса прогнозирования на один шаг, что- бы провести оценку работоспособности модели при сопоставлении с исход- ными данными. 3. Определяем разницу между смоделированным и прогнозным значе- ниями (ошибкой прогнозирования). 4. Оцениваем ошибку прогнозирования. 5. Повторяем пп. 2–4 до последнего значения исходных данных. 6. Делаем выводы и принимаем решение в пользу одной из моделей, среднее значение MAPE которой минимально. Рассмотрим применение этого метода на предыдущем примере, прове- дя оценку результатов ex-post-прогнозирования обеих моделей для значений 18, 19 и 20-го месяцев. Для этого по значениям 17-ти месяцев построим про- гнозное значение на 18-й месяц, по значениям 18-ти месяцев спрогнозируем 19-й месяц и т.д. (табл. 4). Т а б л и ц а 4 . Результаты оценки моделей подгонки кривыми Исторические данные Квадратичная модель Кубическая модель Месяц Vпр, Y Y e MAPE, % Y e MAPE,% 18 9740 10768,75 –1028,75 10,56 11556,54 –1816,54 18,65 19 9212 10957,82 –1745,82 18,95 11170,05 –1958,05 21,26 20 9041 10751,15 –1710,15 18,92 10275,5 –1234,5 13,65 16,14 17,85 Из полученных результатов можно сделать вывод: для прогнозирова- ния будущих значений целесообразно выбрать квадратичную модель, сред- нее значение MAPE которой за последние три месяца меньше, чем у куби- ческой модели. Модели сглаживания применяются для построения краткосрочных прогнозов для временных рядов, не имеющих тренда. Здесь игнорируются изменения, вызванные случайными факторами, а последним исходным зна- чениям придается больший вес по сравнению с ранними значениями. При этом подразумевается, что все основные факторы, влияющие на исследуе- мый показатель, продолжают свое действие на горизонте прогнозирования, и определенная тенденция останется в силе на ближайший период. Такие модели целесообразно применять для зрелых рынков со сложившимся ба- лансом сил и низкой вероятностью качественных изменений, которые могли бы повлиять на ситуацию. Модель скользящего среднего (moving average model) [3] — наиболее простая и часто применяемая модель. Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 97 k YYYY Y ktttt t )...(ˆ 321 −−−− ++++ = , где Ŷ — прогнозируемое значение; t — шаг прогнозирования; k — поря- док скользящего среднего; tY — истинные значения. Термин «скользящее среднее» используется потому, что новое среднее значение вычисляется и служит в качестве прогноза каждый раз, когда мы его производим. При прогнозировании следующего значения метод сколь- зящего среднего придает равные веса каждому из последних значений. Наи- более удобным для практического применения этого метода является MS EXEL. Используя функцию пакета СРЗНАЧ (Ячейка NN:Ячейка MM), где NN и MM — ячейки с историческими данными, можно получить среднее значение для имеющихся данных. Важно отметить, что минимальное значе- ние используемых данных — три (меньшее количество не отражает тенден- цию, большое — ее сглаживает). Метод является очень быстрым, но очень неточным способом получения прогноза. Модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (ex- ponentially weighted moving average (EWMA) [3] — разновидность метода скользящего среднего. Суть метода: • каждое новое значение определяется совокупностью всех предыду- щих значений; • влияние предыдущих данных ослабевает в геометрической прогрес- сии kt n tttt YYYYY − − −−− ++++= 1 3 2 21 ...ˆ ααα при 10 ≤≤ α , а в случае, если ∞→n , 11)1( −− +−= ttt YYY αα . Основной задачей, существенно влияющей на эффективность исполь- зования данного метода, является выбор так называемой константы сглажи- вания α в диапазоне от нуля до единицы. Высокие значения α придают больший вес последним наблюдениям и меньший — более давним. Число )1( α− называется константой сглаживания. В случае использования пакета SPSS значение α предлагается выбрать по сетке с указанным шагом, а наи- более подходящее значение α определяется на этапе тестирования и выбора модели через ex-post-прогнозирование. Двойное экспоненциальное сглаживание (double exponential smooth- ing model) [3] получается посредством двойного применения модели экспо- ненциального сглаживания. Т. е. сначала модель экспоненциального сгла- живания применяется к исходным данным, а затем к смоделированным значениям, полученным на первом этапе. При повторном моделировании возможно изменение константы )1( α− . Перечисленные модели сглажива- ния применимы к данным, не имеющим тренда. Модель Холта [5] применяют, если необходимо учитывать тренд. Ос- новная идея метода: добавление значения тренда к прогнозируемому моде- лью экспоненциального сглаживания значению 111)1( −−− ++−= tttt TYYY αα , (1) П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 98 где 11)ˆˆ)(1( −− +−−= tttt TYYT ββ при 10 ≤≤ β . (2) Чтобы найти прогнозное значение tŶ с использованием модели Холта, необходимо выполнить следующие процедуры. 1. Определить величину параметров α и β методом минимизации MAPE. 2. Найти начальные значения 1̂Y и 1T как YY =1̂ или 11̂ YY = , а 2 )()( 3412 1 YYYY T −+− = . 3. Попеременно найти tŶ из уравнения (1) и tT из уравнения (2). 4. Сделать прогоноз на m шагов вперед, предполагая, что последнее значение тренда останется неизменным для будущих прогнозов. nnmn mTYP +=+ ˆ . Модель Брауна [5] учитывает тренд двойного экспоненциального сглаживания и дает достаточно точный краткосрочный прогноз. К значению модели добавляется простое экспоненциальное сглаживание разницы в зна- чениях между простым и двойным сглаживанием, умноженное на коэффи- циент, обратно пропорциональный α . α ii it YY YY ′′−′ +′=+ ˆˆ ˆˆ 1 . Прогноз на m шагов вперед определяется формулой α α )1(1)(ˆˆ(ˆ − +′′−′+=+ mYYYP nnnmn . Значения α при этом определяются минимизацией MAPE. В качестве примера применения моделей Холта и Брауна рассмотрим поведение продаж другой номенклатурной единицы (рис. 2). Попытка применить к имеющимся данным метод подгонки кривыми дал очень невысокие значения 2R — от 0,004 до 0,12, что, очевидно, озна- чает отсутствие тренда. Применим модели EWMA, Холта и Брауна к имеющимся значениям. Как всегда, наибольший интерес представляет оценка поведения этих моде- лей методом ex-post-прогнозирования (табл. 5). Очевидно, что в данном случае следует выбрать модель Холта, как на- иболее точно описывающую наши данные. Видно, что среднее значение MAPE этой модели минимально. Перечисленные модели хорошо работают для данных, не имеющих тренда для получения краткосрочного прогноза. Если значения трендов нам не важны, применяются модели скользящего среднего, экспоненциально взвешенного скользящего среднего, двойного экспоненциального сглажива- ния. Для учета тренда, определяемого последними значениями, применяют- ся модели Холта и Брауна. Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 99 Т а б л и ц а 5 . Результаты оценки моделей сглаживания Истори- ческие данные EWMA Холта Брауна Ме- сяц Vпр, Y Y е MAPE, % Y e MAPE, % Y e MAPE, % 18 347 372,18 –25,18 7,26 423,39 –76,39 –22,01 379,49 –32,49 –9,36 19 376 373,34 2,66 0,71 359,49 16,51 4,39 369,04 6,96 1,85 20 550 448,97 101,03 18,37 389,04 160,96 29,27 436,14 113,86 20,70 8,78 3,88 4,40 Сезонные модели служат для получения прогнозов при работе с услу- гами, продажи которых носят сезонный характер. Прогноз в таком случае базируется на факторах тренда и сезонности (повышение или понижение тренда с одинаковыми промежутками времени). Прогнозное значение tŶ определяется как ttt SdY =ˆ , где tS — коэффициент сезонности; td — десезонализированное значение. В случае отсутствия тренда процесс нахождения сезонных коэффици- ентов и прогнозирования с их помощью основавается на предположении, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Месяцы 0 500 1000 1500 2000 Зн ач ен ия п ро да ж Рис. 2. График продаж номенклатурний единицы П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 100 что исходные данные совершают колебания вокруг своего среднего значе- ния, и в будущем этот процесс не изменится. Алгоритм прогнозирования в таком случае достаточно прост. 1. Вычисляется среднее значение за исторический период. 2. Вычисляются коэффициенты сезонности. 3. Прогнозируется среднее значение на горизонт прогнозирования. 4. Корректируется среднее значение на коэффициент сезонности. Покажем это на примере номенклатурной единицы, значения данных продаж которой приведены в табл. 6, а график — на рис. 3. Видно, что сред- нее значение продаж в 2006 и 2007 гг. практически не изменилось. Приме- нение коэффициентов сезонности 2006 г. в качестве прогнозных на соответ- ствующий интервал 2007 г. дало неплохие результаты (MAPE = 8,86%). Сделав предположение о среднем значении продаж на 2008 г. в количестве 550 штук и применив соответствующие коэффициенты сезонности 2007 г., получим прогноз продаж на первый квартал 2008 г. по месяцам. Т а б л и ц а 6 . Результаты прогнозирования с помощью сезонной модели без тренда Год Месяц Vпр, Y S Прогнозное значение e MAPE,% 4 491,0 0,90 5 467,0 0,86 6 464,0 0,85 7 628,0 1,16 8 352,0 0,65 9 353,0 0,65 10 739,0 1,36 11 611,0 1,12 12 786,0 1,45 2007 Среднее 543,4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Зн ач ен ия п ро да ж Месяцы Рис. 3. График продаж номенклатурной единицы Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 101 Окончание табл. 6 1 448,0 0,82 2 510,0 0,94 3 588,0 1,08 4 609,0 1,12 491,00 118,00 19,38 5 569,0 1,04 404,80 164,20 28,86 6 497,0 0,91 460,82 36,18 7,28 8 488,0 0,90 531,30 –43,30 –8,87 9 356,0 0,65 550,27 –194,27 –54,57 10 710,0 1,30 514,13 195,87 27,59 11 535,0 0,98 449,07 85,93 16,06 12 680,0 1,25 440,94 239,06 35,16 2008 Среднее 544,5 8,86 1 452 2 515 2009 3 594 Более сложным методом определяются коэффициенты сезонности при наличии тренда (рис. 4). Алгоритм нахождения сезонных коэффициентов и прогноза следую- щий. 1. Находим скользящее среднее td ′ первого порядка для исходного ря- да tY . 2. Находим центрированное скользящее среднее td ′′ второго порядка для ряда td ′ . 3. Находим неусредненные значения коэффициентов сезонности t t d Y S ′′ =′ . 4. Находим окончательные десезонализированные значения. 5. Строим прогнозную модель по десезонализированным значениям. Рис. 4. График продаж номенклатурной единицы 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Зн ач ен ия п ро да ж Месяцы П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 102 6. Корректируем прогнозные значения на соответствующие коэффици- енты сезонности. Результаты вычислений приведены в табл. 7. Т а б л и ц а 7 . Результаты прогнозирования с помощью сезонной модели с трендом Год Месяц Vпр, Y Скользящее среднее d ′ Скользящее среднее d ′′ S Десезонализированное значение d 4 478,0 5 562,0 493,3 6 440,0 461,8 477,5 1,09 405,41 7 367,0 493,3 477,5 1,30 282,07 8 604,0 469,3 481,3 0,80 758,06 9 466,0 451,5 460,4 0,99 471,69 10 369,0 474,8 463,1 1,26 294,00 11 460,0 399,5 437,1 0,95 484,07 2007 12 303,0 350,3 374,9 1,24 244,91 1 269,0 333,0 341,6 1,27 211,81 2 300,0 317,0 325,0 1,08 276,92 3 396,0 299,5 308,3 0,78 508,73 4 233,0 314,5 307,0 1,32 176,84 5 329,0 323,0 318,8 0,97 339,58 6 334,0 285,5 304,3 0,91 366,66 7 246,0 287,3 286,4 1,16 211,32 8 240,0 246,8 267,0 1,11 215,73 9 167,0 227,8 237,3 1,42 117,55 10 258,0 270,8 249,3 0,97 267,06 11 418,0 310,0 2008 12 397,0 Для получения прогноза необходимо на основе десезонализированных значений построить прогнозную модель, например, с помощью одной из кривой подгонки, после чего, выбрав коэффициенты сезонности, скорректи- ровать прогнозные значения на соответствующий коэффициент. Модель линейной регрессии [4] применяется в том случае, когда стабильность прогнозируемого значения нам гораздо важнее точности, на- пример, при прогнозировании финансовых показателей компании. Если ис- пользование предыдущих моделей давало единственное значение про- гнозируемой величины, то теперь результатом прогнозирования является числовой интервал. Прогноз продаж в таком случае выглядит так: «Объем продаж с вероятностью 95% будет находиться в диапазоне 3100–3500 шеке- лей». Единственная сложность заключается в том, чтобы понять, действи- тельно ли наша линейная модель описывает поведение значений. Для этого проводят несколько тестов модели. Наиболее показательным, на наш взгляд, является тест рекурсивной оценки ошибок регрессии. Модель линейной регрессии выглядит так: iiii XY εββ ++= 2 , Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 103 где 2,ββ i — константы модели; nεεεε ,,,, 321 … — нормальные случайные величины с одним и тем же математическим ожиданием, равным нулю и стандартным отклонением σ ; iX — константа. На практике предполагается, что ni ,,2,1 …= соответствуют моментам времени, имеющим одинаковый шаг (неделя, месяц, квартал). Рассмотрим применение этой модели на практическом примере, взяв за основу данные табл. 2. Применив для построения уравнения линейной регрессии про- граммный пакет SPSS, мы можем достаточно легко получить прогноз на ближайшие три месяца. Однако наибольший интерес в данном случае пред- ставляет собой не точность самого прогноза, а адекватность модели, т.е., насколько параметры модели стабильны и соответствуют реальным значе- ниям за последние шесть месяцев. Для этого необходимо протестировать ошибку регрессии e на рекурсивность, проверив ее нахождение в течение интересующего периода с вероятностью 95% в доверительном интервале, последовательно построив модели. Так, по значениям продаж за предыду- щие 14 месяцев строится прогноз на 15-й месяц, по результатам 15 меся- цев — на 16-й и т.д. (табл. 8, рис. 5). Т а б л и ц а 8 . Результаты прогнозирования с помощью модели линейной регрессии Месяц Vпр, Y Y лин. регр. e лин. регр. Нижняя граница 95% Верхняя граница 95% Длина интервала 15 (1) 8994 8264,94 729,06 7651,27 8878,61 613,67 16 (2) 11041 8681,60 2359,40 8013,03 9350,16 668,56 17 (3) 9521 9098,27 422,74 8369,26 9827,27 729,01 18 (4) 9740 9514,93 225,07 8721,20 10308,65 793,72 19 (5) 9212 9931,59 –719,59 9069,84 10793,35 861,76 20 (6) 9041 10348,26 –1307,26 9415,88 11280,63 932,38 Длина доверительного интервала со временем увеличивается, ухудшая тем самым точность прогнозирования. Главное заключается в том, что -1500,00 -1000,00 -500,00 0,00 500,00 1000,00 1500,00 2000,00 2500,00 3000,00 1 2 3 4 5 6О ш иб ка р ег ре сс ии Месяцы Рис. 5. График нахождения ошибки регрессии в доверительном интервале П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 104 ошибка прогнозирования из шести наблюдений только трижды попала в до- верительный интервал. Следовательно, предложенная модель линейной рег- рессии для этих данных не является адекватной и ее не следует использо- вать в таком случае. Модель множественной регрессии. В предыдущей модели мы ис- пользовали два регрессора — время и значения продаж. В модели множест- венной регрессии таких регрессоров может быть несколько — уровень до- ходов потребителей, цены на продукты конкурентов, расходы на рекламу и др. Может быть построена регрессионная модель, уравнение которой имеет вид i k ikiii XXY εβββ +++= )()2( 2 , где 2,ββ i — константы модели; nεεεε ,,,, 321 … — нормальные случайные величины с одним и тем же математическим ожиданием, равным нулю и стандартным отклонением σ ; ni ,,2,1 …= . При 2≥k модель называется моделью множественной регрессии. Все регрессоры можно разделить на контролируемые (например, рас- ходы на рекламу) и неконтролируемые (количество рабочих дней в месяце). С точки зрения практического применения наиболее сложным является нахождение оптимального количества регрессоров — переменных X , опи- сывающих изменения прогнозируемых значений Y . Для этого сначала оп- ределяется набор таких регрессоров, а затем оставляются те, влияние кото- рых на прогнозируемые значения существенно. Рассмотрим применение этого метода на практическом примере, опре- делив в качестве контролируемых регрессоров расходы на рекламу и некон- тролируемых — количество рабочих дней в месяце. В свою очередь, пони- мая, что расходы на рекламу и ее воздействие на потребителя разнесены во времени, добавим в качестве контролируемых регрессоров расходы на рек- ламу с запаздыванием в один и два месяца. На следующем этапе необходимо избавиться от лишних регрессоров. С помощью программы SPSS мы можем, поочередно отбрасывая регрессо- ры, протестировать полученные модели, используя в качестве параметра выбора скорректированный коэффициент детерминации kn Rn R k k − −− −= )1)(1( 1 2 2 , где 2 2 2 )( )ˆ( YY YY R i i k − − = , и стандартную ошибку регрессии kn eee s n − +++ = 22 2 2 1 ... . Результаты анализа наших моделей приведены в табл. 9. a Предикторы: (константа) ЗРеклама1, Реклама, ЗРеклама2, Рабдни, Месяц b Предикторы: (константа) ЗРеклама1, ЗРеклама2, Рабдни, Месяц Практическое применение количественных методов прогнозирования Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 2 105 c Предикторы: (константа) ЗРеклама1, Рабдни, Месяц d Предикторы: (константа) Рабдни, Месяц e Зависимая переменная: Продажи Т а б л и ц а 9 . Анализ моделей множественной регрессии Модель R R2 Скорректирован- ный R2 Стандартная ошибка оценки 1 0,838(a) 0,702 0,454 1625,42105 2 0,838(b) 0,702 0,532 1505,14004 3 0,835(c) 0,698 0,585 1417,67654 4 0,783(d) 0,613 0,526 1513,73175 Очевидно, что оптимальной моделью в нашем случае является модель с регрессорами «Количество рабочих дней в месяце» и «Расходы на рекламу» с запаздыванием в один месяц. Прогноз продаж с использованием такой мо- дели при заданных затратах на рекламу приведен в табл. 10. Т а б л и ц а 1 0 . Результаты прогнозирования с помощью модели множест- венной регрессии Месяц Объем продаж, шт. Количество рабочих дней в месяце Расходы на рекламу с запаздыванием в месяц Прогноз продаж, шт. 1 5966 21 0 7928,86 2 8547 19 15394 7184,21 3 7927 21 8571,81 8853,18 4 11119 22 7320,17 9918,75 5 11040 22 12469,79 10380,92 6 9349 20 8445,71 9636,26 7 11543 23 16982,95 11908,65 8 11683 22 4174,02 11767,40 9 12500 19 8641,05 10419,34 10 8845 17 1689,12 9674,69 11 13941 21 0 12550,48 12 10172 20 0 12409,24 13 19 0 12267,99 14 18 0 12126,75 15 20 21000 13795,73 16 22 2000 15464,70 После того как прогноз подготовлен и представлен руководству орга- низации, наступает этап мониторинга и сопоставления полученных прогно- зов с реальными данными, что позволяет своевременно выявлять значитель- ные отклонения в ходе развития событий. Если они могут оказать принципиальное влияние на дальнейший ход событий в принятии важных стратегических решений, то прогноз должен быть подвергнут корректиров- ке. В итоге возникает вопрос оценки качества прогноза апостериорно. На практике в качестве такого критерия оценки точности прогноза применяют среднеквадратичное отклонение истинного значения от прогнозируемого. Величину этого параметра каждое предприятие определяет самостоятельно. П.В. Будаев ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 2 106 В заключение отметим, что список перечисленных моделей (подгонки кривыми, скользящего среднего, экспоненциально взвешенного скользяще- го среднего, двойного экспоненциального сглаживания, Холта, Брауна, се- зонные, линейной и множественной регрессии) не является полным. Приве- дены самые распространенные и широко применяемые модели. Обычно, чем проще модель, тем шире она применяется в прогнозировании. Такой подход объясняется следующими причинами. • Использование более сложных моделей не всегда приводит к повы- шению точности прогнозов. Имея большой опыт, многие события можно «прочувствовать», но практически невозможно просчитать. • Чем сложнее модель, тем больше времени требуется на подготовку данных, расчеты, анализ, численные эксперименты. Следовательно, много- кратно возрастают затраты предприятия. Как результат — чем больше ас- сортимент, тем проще используемые методы прогнозирования. • Конкурентная среда, изменяющиеся рынки, проблемы роста компа- ний и прочие условия при прогнозировании не позволяют рассчитывать на репрезентативные выборки исторических данных. При этом подавляющее большинство моделей прогнозирования так или иначе использует именно эти данные. Тем не менее, грамотное применение научных методов прогнозирова- ния, умение пользоваться математическим и статистическим аппаратами и прикладным программным обеспечением повышают точность прогнозиро- вания, что в итоге приводит к увеличению конкурентного преимущества предприятия. ЛИТЕРАТУРА 1. Беляевский И.К. Маркетинговое исследование: информация, анализ, про- гноз. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 320 с. 2. Круглов В.В., Борисов В.В. Принятие решений на основе нечетких моделей: примеры использования. — М.: Горячая линия «Телеком», 2001. — 458 с. 3. Конрад Карлберг. Бизнес-анализ с помощью Microsoft Excel. — М.: Вильямс, 2006. — 460 с. 4. Згуровский М.З., Панкратова Н.Д. Системный анализ. — Киев: Наук. думка, 2005. —744 с. 5. Слуцкин Л. Курс МВА по прогнозированию в бизнесе. — М.: Альпина Бизнес Букс, 2006. — 276 с. 6. Элвин С. Бернс, Рональд Ф. Буш. Основы маркетинговых исследований с использованием MS EXEL. — М.: Вильямс, 2006. — 694 с. 7. Бидюк П.И., Половцев О.В. Анализ и моделирование экономических процессов переходного периода. — Киев: НТУУ «КПИ», 1999. — 230 с. 8. Бідюк П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових ря- дів // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 3. — С. 88–110. Поступила 08.12.2008

Практическое применение количественных методов прогнозирования

Institution

Ähnliche Einträge