О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом

Получены два новых решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Первое решение характеризует прецессионно-изоконическое движение общего вида, во втором решении скорости прецессии и собственного вращения удовлетворяют ал...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Котов, Г.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124122
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.А. Котов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 133-140. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124122
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1241222017-09-21T03:03:02Z О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом Котов, Г.А. Получены два новых решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Первое решение характеризует прецессионно-изоконическое движение общего вида, во втором решении скорости прецессии и собственного вращения удовлетворяют алгебраическому линейному уравнению. Отримано два нових розв’язки рiвнянь руху гiростата зi змiнним гiростатичним моментом пiд дiєю потенцiальних та гiроскопiчних сил. Перший розв’язок характеризує прецесiйно-iзоконiчний рух загального вигляду, у другому розв’язку швидкостi прецесiї та власного обертання задовольняють алгебраїчному лiнiйному рiвнянню. The two new solutions for motion’s equations of gyrostat with variable gyrostatic moment under the actions of potential and gyroscopic forces are obtained. The first solution describes precession-isoconic motion of the general form, in the second solution the velocities of precesion and selfmoving satisfy the algebraic linear equation. 2012 Article О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.А. Котов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 133-140. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124122 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Получены два новых решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Первое решение характеризует прецессионно-изоконическое движение общего вида, во втором решении скорости прецессии и собственного вращения удовлетворяют алгебраическому линейному уравнению.
format	Article
author	Котов, Г.А.
spellingShingle	Котов, Г.А. О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Котов, Г.А.
author_sort	Котов, Г.А.
title	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
title_short	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
title_full	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
title_fullStr	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
title_full_unstemmed	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
title_sort	о новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124122
citation_txt	О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом / Г.А. Котов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 133-140. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT kotovga onovyhklassahdviženijgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentom
first_indexed	2025-07-09T00:52:33Z
last_indexed	2025-07-09T00:52:33Z
_version_	1837128595578814464
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25 УДК 531.38 c©2012. Г.А. Котов О НОВЫХ КЛАССАХ ДВИЖЕНИЙ ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ Получены два новых решения уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Первое решение характеризу- ет прецессионно-изоконическое движение общего вида, во втором решении скорости прецессии и собственного вращения удовлетворяют алгебраическому линейному уравнению. Ключевые слова: гиростат, прецессионные, изоконические движения. 1. Введение. Прецессионные движения, обладающие свойством постоянства уг- ла между двумя прямыми, фиксированными, соответственно, в теле и пространстве, нашли применение не только в динамике одного твердого тела, но и в динамике систем твердых тел [1]. Метод исследования прецессионных движений гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гиро- скопических сил предложен в [2]. Его применение позволило получить замкнутую систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений относительно величины гиростатического момента и скоростей прецессии и собственного вращения. Прос- тейшие классы прецессионных движений изучались и в задаче о движении гиростата под действием силы тяжести (см., например, [3-5]). Одним из наглядных классов движения гиростата является класс изоконических движений, который характеризуется симметричностью подвижного и неподвижно- го годографов угловой скорости относительно касательной к ним плоскости. Ес- ли движения тела обладают и свойством изоконичности и свойством прецессионно- сти, то они называются прецессионно-изоконическими (этот класс движений введен Г.В. Горром [1]). Другим классом прецессионных движений, представляющим инте- рес для приложений, служит класс, для которого скорости прецессии и собственного вращения связаны между собой линейной зависимостью. В данной работе исследованы условия существования указанных выше классов прецессий гиростата, получены два новых решения уравнений движений. 2. Постановка задачи. Пусть гиростат намагничен, несет на себе электричес- кие заряды и находится под действием электрических, магнитных, ньютоновских и лоренцевых сил. Тогда уравнения движения гиростата можно записать в виде: (см. [2, 7, 8]) Aω̇ = Aω × ω − Lα + ω × ( Bν − λ(t)α ) + ν × (Cν − s), (1) ν̇ = ν × ω, λ̇ = L. (2) Здесь ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единич- ный вектор оси симметрии силовых полей; L – функция, характеризующая вза- имодействие тел гиростата; α = (α1, α2, α3) – единичный вектор, характеризующий 133 Г.А. Котов направление вектора гиростатического момента λ(t)α; λ(t) – ограниченная, диффе- ренцируемая функция времени; s = (s1, s2, s3) – вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; A = (Aij) – тензор инерции гиростата; B = (Bij) и C = (Cij) – симметричные постоянные матрицы третьего порядка; точка над пе- ременными ν, ω, λ обозначает относительную производную по времени t. Уравнения (1), (2) имеют два первых интеграла ν · ν = 1, (Aω + λα) · ν − 1 2 (Bν · ν) = k, (3) где k – произвольная постоянная. Рассмотрим класс движений гиростата, для которого в процессе движения угол между единичным вектором a, неизменно связанным с телом, и единичным векто- ром ν постоянен и равен θ0. Подвижную систему координат свяжем с вектором a таким образом, чтобы a = (0, 0, 1). Тогда имеет место инвариантное соотношение a · ν = a0, (a0 = cos θ0). (4) Согласно методу исследования прецессий, указанному в [1], векторы ν и ω могут быть представлены в виде ν = (a′0 sinϕ, a′0 cosϕ, a0), ω = ϕ̇(t)a + ψ̇(t)ν, (5) где a′0 = sin θ0, ϕ и ψ – новые переменные. Отметим, что уравнение Пуассона из (2) при подстановке в него равенств (5) дает тождество, поэтому в [2] исследовано динамическое уравнение (1) при наличии соотношений (5), и задача исследования прецессий для уравнений (1) и (2) сведена к нахождению решения уравнений: α3λ̇(t)− a′0(α1 cosϕ− α2 sinϕ)ψ̇λ(t) + A33ϕ̈ + (A1 cosϕ + A′1 sinϕ + a0A33)ψ̈+ + (A2 sin 2ϕ−A′2 cos 2ϕ + a0A1 sinϕ− a0A ′ 1 cosϕ)ψ̇2 + (B′ 2 cos 2ϕ−B2 sin 2ϕ+ + a0B ′ 1 cosϕ− a0B1 sinϕ)ψ̇ + (C ′ 2 cos 2ϕ− C2 sin 2ϕ− κ′1 cosϕ + κ1 sinϕ) = 0, (6) (α1a ′ 0 sinϕ + α2a ′ 0 cosϕ + a0α3)λ̇(t) + a′0(α1 cosϕ− α2 sinϕ)ϕ̇λ(t) + (A1 cosϕ+ + A′1 sinϕ + a0A33)ϕ̈ + (A′1 cosϕ−A1 sinϕ)ϕ̇2 + (A2 cos 2ϕ + A′2 sin 2ϕ+ + 2a0A1 cosϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ + A0)ψ̈ + 2(A′2 cos 2ϕ−A2 sin 2ϕ + a0A ′ 1 cosϕ− − a0A1 sinϕ)ϕ̇ψ̈ − (B′ 2 cos 2ϕ−B2 sin 2ϕ + a0B ′ 1 cosϕ− a0B1 sinϕ)ϕ̇ = 0, (7) a′0(α1 cosϕ− α2 sinϕ)λ̇(t) + a′0 [ (α3a ′ 0 − α1a0 sinϕ− α2a0 cosϕ)ψ̇ − (α1 sinϕ + α2 cosϕ)ϕ̇ ] λ(t) + (A′1 cosϕ−A1 sinϕ)ϕ̈ + (A′2 cos 2ϕ−A2 sin 2ϕ + a0A ′ 1 cosϕ − a0A1 sinϕ)ψ̈ − (2A2 cos 2ϕ + 2A′2 sin 2ϕ + 2a0A1 cosϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ− a′20 A33)ϕ̇ψ̇ − (a0A2 cos 2ϕ + a0A ′ 2 sin 2ϕ + κ0A1 cosϕ + κ0A ′ 1 sinϕ + a0D0)ψ̇2− − (A1 cosϕ + A′1 sinϕ)ϕ̇2 + (B2 cos 2ϕ + B′ 2 sin 2ϕ + a0B1 cosϕ + a0B ′ 1 sinϕ− −B∗ 0)ϕ̇ + (a0B2 cos 2ϕ + a0B ′ 2 sin 2ϕ + κ0B1 cosϕ + κ0B ′ 1 sinϕ + a0E0)ψ̇+ + (a0C2 cos 2ϕ + a0C ′ 2 sin 2ϕ + δ′1 sinϕ + δ1 cosϕ + G0) = 0. (8) 134 О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом В дифференциальных уравнениях (6)-(8) введены следующие обозначения: A1 = a′0A23, A′1 = a′0A13, B1 = a′0B23, B′ 1 = a′0B13, κ0 = a2 0−a′20 , κ1 = a′0s2−a0a ′ 0C23, κ′1 = a′0s1 − a0a ′ 0C13, δ1 = (2a2 0 − 1)a′0C23 − a0a ′ 0s2, δ′1 = (2a2 0 − 1)a′0C13 − a0a ′ 0s1, A2 = a′20 (A22−A11)/2, A′2 = a′20 A12, A0 = [ a′20 (A11+A22)+2a2 0A33 ] /2, B2 = a′20 (B22−B11)/2, B′ 2 = a′0B12, B0 = [ a′20 (B11 + B22) + 2a2 0B33 ] /2, C2 = a′20 (C22 − C11)/2, C ′ 2 = a′20 C12, D0 = a′20 (A11 +A22− 2A33)/2, E0 = a′20 (B11 +B22− 2B33)/2, B∗ 0 = −a′20 (B11 +B22)/2. G0 = a′20 [ 2s3 + a0(C11 + C22 − 2C33) ] /2. Уравнения (6)-(8) допускают интеграл (α1a ′ 0 sinϕ + α2a ′ 0 cosϕ + a0α3)λ(t) + (A1 cosϕ + A′1 sinϕ + a0A33)ϕ̇+ + (A2 cos 2ϕ + A′2 sin 2ϕ + 2a0A1 cosϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ + A0)ψ̇− − (B2 cos 2ϕ + B′ 2 sin 2ϕ + 2a0B1 cosϕ + 2a0B ′ 1 sinϕ + B0)/2 = k. (9) 3. Прецессионно-изоконическое движение гиростата. Рассмотрим класс прецессионно-изоконических движений общего вида [1] ψ̇ = ϕ̇ γ0 + γ1 sinϕ , где γ0, γ1 – постоянные, удовлетворяющие условию γ2 0 = 1 + γ2 1 . Пусть величина ги- ростатического момента во все время движения равна λ(t) = λ0+λ1 sinϕ, а скорость собственного вращения ϕ̇ = β0 + β1 sinϕ, где λ0, λ1, β0, β1 – некоторые константы. В общем случае получение условий существования затруднительно, поэтому по- ложим A12 = A23 = 0, B12 = B23 = 0, C12 = C23 = 0, s2 = 0. Поворотом системы координат добьемся α2 = 0. Уравнения (6), (9) и (8) примут вид: α3λ1(γ1 sinϕ + γ0)2 − a′0α1(λ1 sinϕ + λ0)(γ1 sinϕ + γ0) + β1A33(γ1 sinϕ + γ0)2 + ε0(A′1 sinϕ + a0A33) + (2A2 sinϕ− a0A ′ 1)(β1 sinϕ + β0)− (2B2 sinϕ− a0B ′ 1)(γ1 sinϕ + γ0)− µ(γ1 sinϕ + γ0)2 = 0, (α1a ′ 0 sinϕ + a0α3)(λ1 sinϕ + λ0) + (A′1 sinϕ + a0A33)(β1 sinϕ + β0) + (h1 sinϕ + h0)(β1 sinϕ + β0)− 1 2(−2B2 sin2 ϕ + 2a0B ′ 1 sinϕ + B0 + B2) = k, (γ1 sinϕ + γ0)2(−a′0α1λ1 sin2 ϕ + a′0α1λ1 − β1A ′ 1 sin2 ϕ + β1A ′ 1 −A′1(β1 sinϕ + β0) sin ϕ− − 2B2 sin2 ϕ + a0B ′ 1 sinϕ + a′20 B22 + g1 sinϕ + g0) + (γ1 sinϕ + γ0) [ (a′0λ1 sinϕ + a′0λ0)· · (a′0α3 − a0α1 sinϕ)− (β1 sinϕ + β0)(−4A2 sin2 ϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ + 2A00)− 2a0B2 sin2 ϕ+ + κ0B ′ 1 sinϕ + a0(E0 + B2) ] + ε0(1− sin2 ϕ)(−2A2 sinϕ + a0A ′ 1)− − (β1 sinϕ + β0)(−2a0A2 sin2 ϕ + κ0A ′ 1 sinϕ + a0(D0 + A2)) = 0, где ε0 = γ0β1 − β0γ1, A00 = a′20 2 (A22 −A11 −A33). 135 Г.А. Котов Группируя в выше приведенных уравнениях слагаемые по степеням sinϕ, полу- чим многочлены, которые должны обращаться в ноль для любых значений ϕ. Это требование приводит к следующей системе уравнений: 2C2 sinϕ + κ′1 = µ(β1 sinϕ + β0), (h1 sinϕ + h0)(γ1 sinϕ + γ0) = −2A2 sin2 ϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ + A0 + A2, (g1 sinϕ + g0)(β1 sinϕ + β0) = −2a0C2 sin2 ϕ + δ′1 sinϕ + G0 + a0C2, − 2A2γ0 + γ1A ′ 1(γ0 − a0)− γ2 1a0A33 = 0, γ2 1(a′20 A22 + a2 0A33)− 2γ2 0A2 = 2γ1γ0a0A ′ 1, γ1(α3λ1 + β1A33 − µ)− a′0α1λ1 − h1β1 − 2B2 = 0, γ2 0(α3λ1 + β1A33 − µ)− a′0α1λ0γ0 + ε0a0A33 − a0β0A ′ 1 + a0γ0B ′ 1 = 0, α1a ′ 0λ1 + β1A ′ 1 + h1β1 + B2 = 0, α1a ′ 0λ0 + a0α3λ1 + β0A ′ 1 + β1a0A33 + h1β0 + h0β1 − a0B ′ 1 = 0, a0α3λ0 + β0a0A33 + h0β0 − 1 2 (a′20 B22 + a2 0B33)− k = 0, β1s3 + a0β1(C22 − C33) + β0a ′ 0C13 = 0, − h1(a0β1 + 2β1γ0 + 2γ1β0 + ε0)− 4γ0β1A ′ 1 − γ1β0A ′ 1 − 2a0β1A ′ 1− − 2B2(a0 + 2γ0) + a0γ1B ′ 1 − 4a′0α1λ1γ0 − a0a ′ 0α1λ1 + γ1g1 − a′0α1λ0γ1 = 0, γ2 1(a′0α1λ1 + β1A ′ 1 + g0 + a′20 B22)− 2γ2 0(a′0α1λ1 + B2 + β1A ′ 1) + 2γ1γ0(g1+ + a0B ′ 1 − a′0α1λ0 − β0A ′ 1) + γ1(a′20 α3λ1 − 2a0β0A ′ 1 − 2β1A00 + κ0B ′ 1− − a0a ′ 0α1λ0)− γ0(2a0B2 + 2a0β1A ′ 1 − 4β0A2 + a0a ′ 0α1λ1)− ε0a0A ′ 1− − κ0β1A ′ 1 + 2a0β0A2 = 0, γ2 0(a0B ′ 1 + g1 − β0A ′ 1 − a′0α1λ0) + 2γ1γ0(a′0α1λ1 + g0 + β1A ′ 1 + a′20 B22)+ + γ0(a′20 α3λ1 − a0a ′ 0α1λ0 + κ0B ′ 1 − 2β1A00 − 2a0β0A ′ 1) + γ1(a′20 α3λ0+ + a0a ′2 0 (B22 −B33)− 2β0A00)− 2ε0A2 − a0β1a ′2 0 (A22 −A33)− κ0β0A ′ 1 = 0, γ2 0(a′0α1λ1 + β1A ′ 1 + g0 + a′20 B22) + γ0(a′20 α3λ0 − 2β0A00 + a0a ′2 0 (B22 −B33))+ + a0ε0A ′ 1 − β0a0a ′2 0 (A22 −A33) = 0. (10) В данной статье приведем случай разрешимости системы уравнений (10). Положим A11 = A22 = 4ρ, A33 = 5ρ, A13 = 2ρ, тогда a0 = 2 √ 17 17 , a′0 = √ 221 17 , γ1 = √ 221 34 , γ0 = 9 √ 17 34 , α1 = 2 √ 85 85 , α3 = 9 √ 85 85 β1 = −4 √ 221C2 221B2 , λ1 = (8ρC2−17B2 2) √ 65 26B2 , λ0 = (32ρC2+153B2 2−26 √ 17ρβ0B2+2 √ 17 √ 13B2B′1) √ 5 26B2 B′ 1 = − (52B22−65B11−17g0) √ 221 442 , β0 = 16C2 2 (128ρC2−153B2 2+B2(143B22−26B33)) √ 17 221B2(64ρC2 2+117 √ 13C13B2 2) g0 = −169β0C13B2 2 √ 221 272C2 2 , s3 = 8 √ 17C2(C33−C22)+221β0C13B2 68C2 , s1 = √ 17(4C13−17 √ 17β0B2) 34 136 О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом k = − 1 34(13B22 + 4B33) + 1 85( √ 5λ0 + 130 √ 17β0). Дополнительно дадим параметрам следующие значения: B11 = ξ, B22 = 3ξ, B33 = 4ξ, C11 = 3η, C22 = 2η, C33 = η, C13 = 5η, тогда получим решение системы уравнений (10): a0 = 2 √ 17 17 , a′0 = √ 221 17 , γ1 = √ 221 34 , γ0 = 9 √ 17 34 , α1 = 2 √ 85 85 , α3 = 9 √ 85 85 , β1 = 2 √ 221η 221ξ , β0 = 64η(13ξ2 − 4ηρ) √ 17 221ξ(16ηρ + 585 √ 13ξ2) , λ1 = −(4ηρ + 13ξ2) √ 65 26ξ , B′ 1 = −ξ(28η + 65 √ 221ξβ0) √ 221 136ξ , s1 = − √ 17(13ξβ0 √ 17− 20η) 34 λ0 = (−16ηρ + 117ξ2 − 26 √ 17ρξβ0 + 2 √ 221ξB′ 1) √ 5 26ξ , s3 = −4 √ 17η + 1105ξβ0 34 k = −288ηρ + 1391ξ2 + 208ξρβ0 √ 17 + 36ξB′ 1 √ 221 442ξ . (11) Таким образом, при выполнении A12 = A23 = 0, B12 = B23 = 0, C12 = C23 = 0, s2 = 0, α2 = 0. и условий (11) решение уравнений (1), (2) таково (ϕ(0) = 0, β2 0 > β2 1 , ψ(0) = 0): ν = (a′0 sinϕ; a′0 cosϕ; a0), λ(t) = λ0 + λ1 sinϕ, ϕ̇ = β0 + β1 sinϕ, ψ̇ = ϕ̇ γ0 + γ1 sinϕ , ω = ϕ̇ ( a + 1 γ0 + γ1 sinϕ ν ) , ψ(ϕ) = 2arctg ( tg ϕ 2 γ0 + γ1tg ϕ 2 ) , ϕ(t) = 2arctg (√ β2 0 − β2 1 β0 − β1 tg √ β2 0 − β2 1 2 t ) . (12) 4. Случай ψ̇ = ρ1ϕ̇+ρ0. Рассмотрим класс прецессионных движений, в котором скорость прецессии и скорость собственного вращения связаны соотношением ψ̇ = ρ1ϕ̇ + ρ0. При условиях A23 = 0, B12 = B23 = 0, C12 = C23 = 0, s2 = 0 и α2 = 0 уравнения (9), (6), (8) примут вид: (α1a ′ 0 sinϕ + a0α3)(λ1 sinϕ + λ0) + (A′1 sinϕ + a0A33)(β1 sinϕ + β0) + (A2(1− 2 sin2 ϕ) + 2A′2 sinϕ cosϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ + A0)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)− 1 2B2(1− 2 sin2 ϕ)− a0B ′ 1 sinϕ− 1 2B0 − k = 0 α3λ1 cosϕ(β1 sinϕ + β0)− a′0α1 cosϕ(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)(λ1 sinϕ + λ0) + A33β1 cosϕ(β1 sinϕ + β0) + (A′1 sinϕ + a0A33)ρ1β1 cosϕ(β1 sinϕ + β0) + (A2 sin 2ϕ− A′2 cos 2ϕ− a0A ′ 1 cosϕ)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)2 + (−B2 sin 2ϕ + a0B ′ 1 cosϕ)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)− C2 sin 2ϕ− κ′1 cosϕ = 0 137 Г.А. Котов a′0α1(1− sin2 ϕ)λ1(β1 sinϕ + β0) + a′0((a ′ 0α3 − a0α1 sinϕ)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)− α1 sinϕ(β1 sinϕ + β0))(λ1 sinϕ + λ0) + A′1(1− sin2 ϕ)β1(β1 sinϕ + β0) + (A′2 cos 2ϕ− A2 sin 2ϕ + a0A ′ 1 cosϕ) cos ϕρ1β1(β1 sinϕ + β0)− (2A2(1− 2 sin2 ϕ) + 2A′2 sin 2ϕ + 2a0A ′ 1 sinϕ− a′20 A33)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)(β1 sinϕ + β0)− (a0A2(1− 2 sin2 ϕ) + a0A ′ 2 sin 2ϕ + κ0A ′ 1 sinϕ + a0D0)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)2 −A′1 sinϕ(β1 sinϕ + β0)2 + (−2B2 sin2 ϕ + a0B ′ 1 sinϕ−B∗ 0 + B2)(β1 sinϕ + β0) + (−2a0B2 sin2 ϕ + κ0B ′ 1 sinϕ + a0E0 + a0B2)(ρ1(β1 sinϕ + β0) + ρ0)− 2a0C2 sin2 ϕ + δ′1 sinϕ + G0 + a0C2 = 0. По аналогии со случаем прецессионно-изоконических движений вышеприведенные уравнения можно представить в виде многочленов по sinϕ. Из интеграла (9) сразу же находим A12 = 0, A11 = A22 и далее получаем условия существования решений уравнений (6), (8), (9) в виде следующей системы: α1a ′ 0λ1 + A′1β1(1 + 2a0ρ1) + B2 = 0, α3a0λ1 + α1a ′ 0λ0 + A′1β0(1 + 2a0ρ1) + 2a0ρ0A ′ 1 + β1(a0A33 + A0ρ1)− a0B ′ 1 = 0 α3a0λ0 + A0π + a0β0A33 − 1 2 (B2 + B0)− k = 0, α1a ′ 0λ1 + A′1β1(a0ρ1 − 1) + 2B2 = 0, α3λ1β1 − α1a ′ 0ρ1β1λ0 − α1a ′ 0λ1π + ρ1β1A ′ 1(β0 − 2a0π) + A33β 2 1(1 + a0ρ1)− − 2B2π + a0ρ1β1B ′ 1 − 2C2 = 0, α3λ1β0 − α1a ′ 0λ0π − a0A ′ 1π 2 + a0B ′ 1π + β1β0A33(1 + a0ρ1)− κ′1 = 0, 2α1a ′ 0λ1 + A′1β1(2 + 3a0ρ1) + κ0ρ 2 1β1A ′ 1 + 2B2 + 2a0ρ1B2 + a0a ′ 0α1ρ1λ1 = 0, − a′0α1λ1(a0π + 2β0) + a′20 α3ρ1β1λ1 − a′0α1β1λ0(1 + a0ρ1)− β1A ′ 1(3β0+ + 5a0ρ1β0 + 2a0ρ0 + 2κ0ρ1π) + B′ 1β1(a0 + κ0ρ1)− 2B2(β0 + a0π)− − 2a0C2 + (a′20 A33 − a0ρ1D0)ρ1β 2 1 = 0, α1a ′ 0λ1β1 + a′20 α3λ1π + a′20 α3ρ1β1λ0 − a′0α1λ0(β0 + a0π) + A′1(β 2 1(1 + a0ρ1)− − κ0π 2 − 2a0β0π − β2 0) + B2β1(1 + a0ρ1) + B′ 1(a0β0 + κ0π) + 2πβ1(a′20 A33− − a0ρ1D0)− a′20 A33ρ0β1 + β1(a0ρ1E0 −B∗ 0) + δ′1 = 0, a′0α1β0λ1 + a′20 α3λ0π + a0E0π + B2(β0 + a0π)− β0B ∗ 0 + A′1β1β0(1 + a0ρ1)− − a0D0π 2 + a′20 β0π + A33 + a0C2 + G0 = 0, (13) где π = ρ1β0 + ρ0. Приведем пример разрешимости системы (13): α1 = α2 = 0, α3 = 1; A11 = A22, A12 = 0, A23 = 0, A13 = 0; B22 = B11, B12 = 0, B23 = 0; C12 = 0, C23 = 0; s2 = 0; ρ1 = a0; a′0A11β 2 1 −B13(1 + a2 0)β1 + a′0(C22 − C11) = 0, ( β1,2 = B13(1 + a2 0)± √ B2 13(1 + a2 0)2 − 4a′20 A11(C22 − C11) 2a′0A11 ) ; λ1 = a′0B13 − β1 ( a′20 A11 + (1 + a2 0)A33 ) ; 138 О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом β0 = a0C13 + a0ρ0B13 − s1 a′0β1A11 −B13(1 + a2 0) , ( A11β1(a′0β1A11 −B13) ) ρ2 0 + ( A11β1(C13 − a0s1)−B11β1 ( a′0β1A11− −B13(1 + a2 0) )− a′0C13B13 ) ρ0 + a0a ′ 0C13(a0C13 − s1) + β1 ( a0s3 + a2 0(C22− − C33) )( a′0β1A11 −B13(1 + a2 0) ) = 0, a0λ0 = 1 2 ( a′20 B11 + a2 0B33 ) + k − a′20 A11(a0β0 + ρ0)− − a0A33 ( β0 + a0(a0β0 + ρ0) ) , k = A11(a0β0 + 2ρ0) + a′0C13 β1 − 1 2 ( B11(a2 0 + 3)− a2 0B33 ) . (14) Выпишем решение уравнений (1), (2): ν = (a′0 sinϕ; a′0 cosϕ; a0), ω = ϕ̇a + (ρ1ϕ̇ + ρ0)ν, λ(t) = λ0 + λ1 sinϕ, ϕ̇ = β0 + β1 sinϕ, ψ̇ = ρ1ϕ̇ + ρ0. (15) Таким образом, в статье получены решения уравнений (1), (2), которые харак- теризуются соотношениями (12) и (15) и имеют место при выполнении условий (11) и (14). 1. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела и в динамике систем связных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222 с. 2. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 91-104. 3. Волкова О.С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего маховик // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 80-86. 4. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Труды ИПММ НАН Украины. – 2009. – Т. 19. – С. 30-35. 5. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным ги- ростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 42-49. 6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 364 с. 7. Yehia H.M. On the motion of rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces, I: The equations of motion and their transformations // J. Mecan. Theor. Appl. – 1986. – 5. – N 5. – P. 742-745. 8. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52-73. 139 Г.А. Котов G.A. Kotov About new classes of gyrostat’s motions with variable gyrostatic moment. The two new solutions for motion’s equations of gyrostat with variable gyrostatic moment under the actions of potential and gyroscopic forces are obtained. The first solution describes precession-isoconic motion of the general form, in the second solution the velocities of precesion and selfmoving satisfy the algebraic linear equation. Keywords: gyrostat, precessional, isoconic motions. Г.О. Котов Про новi класи рухiв гiростата зi змiнним гiростатичним моментом. Отримано два нових розв’язки рiвнянь руху гiростата зi змiнним гiростатичним моментом пiд дiєю потенцiальних та гiроскопiчних сил. Перший розв’язок характеризує прецесiйно-iзоконiчний рух загального вигляду, у другому розв’язку швидкостi прецесiї та власного обертання задовольняють алгебраїчному лiнiйному рiвнянню. Ключовi слова: гiростат, прецесiйнi, iзоконiчнi рухи. Донбасская нац-ная академия строительства и архитектуры kotov ga@rambler.ru Получено 26.11.12 140

О новых классах движений гиростата с переменным гиростатическим моментом

Репозитарії

Схожі ресурси