Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами
Получена теорема замыкания и критерий компактности для классов регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124123 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 141-149. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124123 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241232017-09-21T03:03:04Z Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами Ломако, Т.В. Получена теорема замыкания и критерий компактности для классов регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент. Отримано теорему замикання i критерiй компактностi для класiв регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на комплексний коефiцiєнт. The theorem of closure and the criterion of compactness for classes of regular solutions to the degenerate Beltrami equations with constraints of the integral type for the complex coefficient are obtained. 2012 Article Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 141-149. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124123 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получена теорема замыкания и критерий компактности для классов регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент. |
| format |
Article |
| author |
Ломако, Т.В. |
| spellingShingle |
Ломако, Т.В. Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ломако, Т.В. |
| author_sort |
Ломако, Т.В. |
| title |
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами |
| title_short |
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами |
| title_full |
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами |
| title_fullStr |
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами |
| title_full_unstemmed |
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами |
| title_sort |
критерий компактности для одного класса решений уравнения бельтрами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124123 |
| citation_txt |
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 141-149. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT lomakotv kriterijkompaktnostidlâodnogoklassarešenijuravneniâbelʹtrami |
| first_indexed |
2025-07-09T00:52:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:52:40Z |
| _version_ |
1837128601638535168 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.5
c©2012. Т.В. Ломако
КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ БЕЛЬТРАМИ
Получена теорема замыкания и критерий компактности для классов регулярных решений вырож-
денных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на комплексный коэффициент.
Ключевые слова: уравнения Бельтрами, дилатация, критерий компактности, регулярное ре-
шение, классы Соболева.
1. Введение. Недавно был доказан целый ряд новых теорем существования для
вырожденных уравнений Бельтрами, см., например, монографию [1] и обзор [2], что
открыло широкое поле исследований экстремальных задач в современных классах
отображений на плоскости, см., например, монографию [3] и статью [4]. В теории
экстремальных задач важную роль играют теоремы компактности. В предыдущей
работе автора [5], см. также [6], были рассмотрены отображения класса Соболева
W 1,1
loc с ограничениями на дилатацию интегрального типа и найдены достаточные
условия компактности. В данной работе получены условия, которые являются не
только достаточными, но и необходимыми для компактности классов отображений
с интегральными ограничениями.
Пусть D – область в комплексной плоскости C, т.е. связное открытое подмноже-
ство C. Уравнениями Бельтрами называются уравнения вида
fz = µ(z) · fz, (1)
где µ : D → C – измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., fz = ∂f = (fx + ify) /2,
fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+ iy, fx и fy – частные производные отображения f по
x и y, соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициентом и
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
–максимальной локальной дилатацией или просто дилатацией уравнения (1). Урав-
нение Бельтрами (1) называется вырожденным, если Kµ /∈ L∞.
Напомним, что отображение f : D → C называется регулярным в точке z0 ∈ D,
если f в этой точке имеет полный дифференциал и его якобиан Jf (z) = |fz|2−|fz|2 6=
0, см., например, I.1.6 в [7]. В дальнейшем гомеоморфизм f класса Соболева W 1, 1
loc
называется регулярным, если Jf (z) > 0 п.в. Наконец, регулярным решением урав-
нения Бельтрами (1) в области D называется регулярный гомеоморфизм, который
удовлетворяет (1) п.в. в D. Функции µ и Kµ называются комплексной характери-
стикой и дилатацией отображения f . Отметим, что понятие регулярного решения
впервые введено в работе [8].
141
Т.В. Ломако
Напомним также, что функция f : D → C называется абсолютно непрерыв-
ной на линиях, пишут f ∈ ACL, если для любого замкнутого прямоугольника R
в D, стороны которого параллельны координатным осям, f |R является абсолютно
непрерывной на почти всех линейных сегментах в R, параллельных сторонам R,
см., например, [9]. Известно, что f ∈ W 1, 1
loc тогда и только тогда, когда f ∈ ACL и
частные производные локально интегрируемы в D, см., например, 1.1.3 в [10].
Далее через h обозначим сферическое (хордальное) расстояние между точками
z1 и z2 в C:
h(z1, ∞) :=
1√
1 + |z1|2
, h(z1, z2) :=
|z1 − z2|√
1 + |z1|2
√
1 + |z2|2
, z1, z2 6= ∞ .
В дальнейшем dm(z) отвечает мере Лебега в C, а через dS(z)=
(
1 + |z|2)−2
dm(z)
обозначается элемент сферической площади в C, соответственно, через L1
S – класс
всех функций Q : C → R, интегрируемых в C относительно сферической площади.
Через mesE обозначим меру Лебега множества E ⊆ C. Положим также
S(E) =
∫
E
dS(z) .
В дальнейшем непрерывность функции Φ : R+ → R+ понимается относительно
топологии R+ := [0, ∞]. Функция Φ : R+ → R+ называется строго выпуклой, если
она является выпуклой, неубывающей и
lim
t→∞
Φ(t)
t
= ∞ , (2)
см. [11], с. 37.
Пусть Φ : I → R+ – произвольная функция, где I = [1, ∞]. Обозначим через
FΦ
M , M ≥ 0, класс всех регулярных решений f : C → C уравнений Бельтрами (1) с
комплексными коэффициентами µ такими, что
∫
C
Φ(Kµ(z)) dS(z) ≤ M
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞.
Будем говорить, что функция Φ : I → R+ имеет экспоненциальный рост на
бесконечности, если
Φ(t) ≥ βeγt
для всех t ≥ T при некотором T ≥ 1, β > 0, γ > 0. В диссертации [12], см. теорему
8, а также в монографии [3], см. теорему 13.2, была доказана компактность классов
HΦ
M всех регулярных решений f : C→ C уравнения Бельтрами (1) с интегральными
ограничениями вида ∫
C
Φ(Kµ(z)) dm(z) ≤ M
142
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами
и нормировками f(0) = 0, f(1) = 1, f(∞) = ∞ при условии, что функция Φ непре-
рывна, выпукла, не убывает, имеет экспоненциальный рост на ∞ и inf Φ = 0.
В упомянутой выше работе [5], см. теорему 3, была установлена компактность
класса FΦ
M при условии, что функция Φ : I → R+ непрерывна, строго выпукла и
удовлетворяет условию
∞∫
δ
lnΦ(τ)
dτ
τ2
= ∞ (3)
при некотором δ > δ0 := sup
τ∈ I,
Φ(τ)=0
τ . Здесь мы доопределяем δ0 = 1, если Φ(τ) > 0 для
всех τ ∈ I. Заметим, что выпуклая функция Φ : I → R+, удовлетворяющая условию
(3), удовлетворяет и условию (2). Этот факт легко устанавливается рассуждением
от противного, пользуясь тем, что наклон Φ(t)/t не убывает для выпуклых функций
Φ (см., например, предложение I.4.5 в [13]).
В настоящей работе показано, что указанные условия на функцию Φ с некото-
рым ослаблением условия непрерывности являются не только достаточными, но и
необходимыми для компактности классов FΦ
M . Здесь также доказана теорема замы-
кания.
2. Теорема замыкания. Нижней огибающей функции Φ : I → R+ будем назы-
вать функцию
Φ0(t) := sup
ϕ∈Ψ
ϕ(t), t ∈ I,
где Ψ – семейство всех непрерывных неубывающих выпуклых функций ϕ : I → R+
таких, что ϕ(t) ≤ Φ(t), t ∈ I. С подробным геометрическим описанием нижней
огибающей можно ознакомится в диссертации [12], c. 132, и монографии [3], c. 297.
Из общих свойств выпуклых функций, см. [13], с. 56-66, получаем:
Предложение 1. Нижняя огибающая функции Φ : I → R+ представляет собой
наибольшую неубывающую выпуклую функцию Φ0 : I → R+, которая непрерывна
в смысле R+ слева в точке
Q = sup
Φ(t)<∞
t, (4)
и график которой лежит ниже графика Φ. При этом, Φ0(t) ≡ ∞ для всех t > Q и
Φ0(t) < ∞ для всех t < Q.
Предложение 2. Пусть Φ : I → R+ является выпуклой и удовлетворяет условию
(3). Тогда ее нижняя огибающая Φ0 : I → R+ также удовлетворяет условию (3).
Доказательство. Пусть Q = sup
Φ(t)<∞
t. Рассмотрим два случая.
1) Пусть Q < ∞. Положим
ϕ(t) =
{
0, t ∈ [1, Q],
et−Q − 1, t > Q .
Тогда ϕ принадлежит классу Ψ, который определяет Φ0 и, следовательно, Φ0 удо-
влетворяет (3) очевидным образом.
143
Т.В. Ломако
2) Пусть Q = ∞. В силу условия (3) и выпуклости Φ найдется T ≥ 1 такое, что
Φ(t) возрастает на [T, ∞). Выберем T ∗ ≥ T так, чтобы
Φ(T ∗) = Φ′(T ∗)(T ∗ − T ) . (5)
В силу выпуклости и возрастания Φ такое T ∗ всегда существует (см., например, с.
43 в [14]).
Заметим, что при t = T ∗ касательная к графику функции Φ(t) проходит через
точку (Φ, t) = (0, T ∗), что эквивалентно (5), и поэтому функция
ϕ(t) =
0, t ∈ [1, T ],
Φ′(T ∗)(t− T ), t ∈ [T, T ∗],
Φ(t), t ∈ [T ∗,∞]
принадлежит классу Ψ, который определяет Φ0 и, следовательно, имеет место (3).
¤
Предложение 3. Пусть Φ : I → R+ – неубывающая выпуклая функция такая,
что Q < ∞ и Φ(Q) < ∞, где Q определено в (4). Тогда найдется последовательность
непрерывных строго выпуклых функций Φm : I → R+ таких, что Φm(t) ≤ Φ(t) для
всех m = 1, 2, . . . и t ∈ I и Φm(t) → Φ(t) при m →∞ для всех t ∈ I.
Доказательство. Действительно, если Q = 1 и Φ(1) < ∞, то в качестве Φm
можно взять последовательность функций Φm(t) = Φ(1) + emt − em. Пусть теперь
Q ∈ (1, ∞). Тогда найдется возрастающая последовательность точек tm ∈ (1, Q)
такая, что tm → Q при m → ∞, в которых существуют производные Φ′(tm), m =
1, 2, . . . , см., например, следствие 2 в I.4.3 [13]. Полагаем, Φm(t) = Φ(t), t ∈ [1, tm],
Φm(t) = Φ(tm)+Φ′(tm)(t−tm), t ∈ (tm, Q], и Φm(t) = Φ(tm)+Φ′(tm)(Q−tm)+emt−emQ
при t ∈ (Q, ∞]. Очевидно, что функции Φm непрерывны и строго выпуклы и, кроме
того, Φm(t) ≤ Φ(t) для всех m = 1, 2, . . . и t ∈ I, см., например, следствие 7 в I.4.3
[13]. Остается заметить, что Φm(t) → Φ(t) при m →∞ для всех t ∈ I. ¤
Прототип следующей теоремы для функций Φ с экспоненциальным ростом на
бесконечности можно найти в диссертации [12], теорема 7, и монографии [3], теорема
13.1.
Теорема 1. Пусть для нижней огибающей Φ0 : I → R+ функции Φ : I →
R+ выполнено условие вида (3). Тогда в топологии равномерной сходимости в C
относительно сферической метрики:
FΦ
M ⊆ FΦ0
M ∀M ∈ R+ := [0, ∞). (6)
Доказательство. Прежде всего заметим, что, если Φ(t) ≡ ∞ ≡ Φ0(t), то класс
FΦ
M пуст для любого M ∈ R+, а тогда включение (6) очевидно. Напомним также, что
класс FΦ0
M является компактным по теореме 3 из работы [5], если Φ0 – непрерывная
в смысле R+. Если же Q < ∞ и Φ0(Q) < ∞, то это верно по предложению 3.
Докажем на этой основе включение (6). Действительно, по определению нижней
144
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами
огибающей Φ0(t) ≤ Φ(t), t ∈ I. Кроме того, в силу предложения 1, функция Φ0
измерима по Борелю, т.е. прообраз всякого борелевского множества есть борелевское
множество. Следовательно, Φ0 суперпозиционно измерима, см., например, с. 84 в
[15]. Таким образом, если Kµ – дилатация отображения f ∈ FΦ
M , то суперпозиция
Φ0(Kµ(z)) является измеримой функцией и 0 ≤ Φ0(Kµ(z)) ≤ Φ(Kµ(z)), т.е. f ∈
FΦ0
M . Следовательно, FΦ
M ⊆ FΦ0
M , а потому и FΦ
M ⊆ FΦ0
M . Наконец, FΦ0
M = FΦ0
M в силу
компактности класса FΦ0
M и, таким образом, мы получаем (6). ¤
3. Критерий компактности. Для доказательства критерия компактности нам
понадобятся следующие леммы.
Лемма 1. Пусть для функции Φ : [1, Q] → R+, 1 < Q < ∞, не выполнено
хотя бы одно из условий: Φ(t) непрерывна, не убывает и выпукла на [1, Q]. Тогда
найдется последовательность Q-квазиконформных отображений fn, n = 1, 2, . . . ,
плоскости C на себя, сходящаяся равномерно к Q-квазиконформному отображению
f такая, что
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z))Ψ(z) dm(z) <
∫
Ω
Φ(Kµf
(z))Ψ(z) dm(z) (7)
для любого открытого множества Ω ⊆ C с mesΩ < ∞ и любой равномерно непре-
рывной функции Ψ(z) : C → R+ := [0, ∞) такой, что 1/Ψ(z) локально ограничено
в C. При этом, можно дополнительно предполагать, что
1) если существует пара точек 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q и число λ ∈ (0, 1), для которых
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2) < Φ(λ t1 + (1− λ) t2)), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z)) Ψ(z) dm(z) = [λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2)] ν(Ω) ,
∫
Ω
Φ(Kµf
(z))Ψ(z) dm(z) = Φ(λ t1 + (1− λ) t2)) ν(Ω) ;
2) если существуют 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q, для которых Φ(t2) < Φ(t1), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z))Ψ(z) dm(z) = Φ(t2) ν(Ω) ,
∫
Ω
Φ(Kµf
(z))Ψ(z) dm(z) = Φ(t1) ν(Ω) ;
3) если функция Φ(t) не убывает и Φ(Q− 0) < Φ(Q), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z))Ψ(z) dm(z) = Φ(Q− 0) ν(Ω) ,
∫
Ω
Φ(Kµf
(z))Ψ(z) dm(z) = Φ(Q) ν(Ω) ,
где
ν(Ω) =
∫
Ω
Ψ(z) dm(z) .
145
Т.В. Ломако
Доказательство. Ввиду леммы Фату и счетной аддитивности интеграла (см.,
например, теоремы I(12.7) и I(12.10) в [16]), утверждение достаточно доказать для
ограниченных множеств Ω. На таком множестве по условию леммы функция Ψ(z)
ограничена сверху и Ψ(z) ≥ C > 0 для всех z ∈ Ω. Без ограничения общности
можно считать также, что правая часть в (7) конечна и, следовательно, конечна
левая часть в (7) с Ψ(z) ≡ 1 в силу соотношения (19) из леммы 2 работы [17].
Пусть K(z, h) ⊂ Ω – квадрат с центром в точке z и длиной стороны h, ребра
которого ориентированы параллельно осям координат. Из равномерной непрерыв-
ности Ψ(z) следует, что для каждого ε > 0 существует такое δ(ε) > 0, что для любых
z, z′ ∈ Ω из того, что z ∈ K(z′, h), h < δ(ε), следует неравенство |Ψ(z)−Ψ(z′)| < ε.
Система квадратов K(z, h), z ∈ Ω, h < δ(ε), образует покрытие множества Ω в
смысле Витали и по теореме Витали (см., например, теорему IV(3.1) в [16]) мож-
но выбрать последовательность непересекающихся квадратов Em = K(zm, hm) ⊆
Ω, m = 1, 2, ..., из указанного покрытия такую, что mes {Ω\ ∪ Em} = 0.
Согласно лемме 2 в [17], при ε < C, получаем, что
∫
Em
Φ(Kµ(ζ))Ψ(ζ) dm(ζ) >
> (Ψ(zm) + ε)
∫
Em
Φ(Kµ(ζ)) dm(ζ)− 2ε
∫
Em
Φ(Kµ(ζ)) dm(ζ) >
> (Ψ(zm) + ε) lim
n→∞
∫
Em
Φ(Kµn(ζ)) dm(ζ)− 2ε
∫
Em
Φ(Kµ(ζ)) dm(ζ) >
> lim
n→∞
∫
Em
Φ(Kµn(ζ))Ψ(ζ) dm(ζ)− 2ε
∫
Em
Φ(Kµ(ζ)) dm(ζ).
Из последнего неравенства, согласно счетной аддитивности интеграла и лемме Фату,
имеем, что
∫
Ω
Φ(Kµ(z)) (Ψ(z) + 2ε) dm(z) > lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµn(z))Ψ(z) dm(z),
откуда в силу произвольного выбора ε получаем неравенство (7).
Наконец, пункты 1)-3) следуют, аналогично вышеприведенным рассуждениям,
из пунктов 1)-3) леммы 2 в работе [17]. ¤
Для полноты изложения на основе леммы 1 сформулируем аналог леммы 2 из
работы [17] в терминах сферической площади.
Лемма 2. Пусть для функции Φ : [1, Q] → R+, 1 < Q < ∞, не выполнено
хотя бы одно из условий: Φ(t) непрерывна, не убывает и выпукла на [1, Q]. Тогда
найдется последовательность Q-квазиконформных отображений fn, n = 1, 2, . . . ,
146
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами
плоскости C на себя, сходящаяся равномерно относительно сферической метрики
в C к Q-квазиконформному отображению f такая, что
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) <
∫
Ω
Φ(Kµf
(z)) dS(z)
для любого открытого множества Ω ⊆ C. При этом, можно дополнительно пред-
полагать, что
1) если существует пара точек 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q и число λ ∈ (0, 1), для которых
λΦ(t1) + (1− λ) Φ(t2) < Φ(λ t1 + (1− λ) t2)), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) = [λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2)]S(Ω) ,
∫
Ω
Φ(Kµf
(z)) dS(z) = Φ(λ t1 + (1− λ) t2))S(Ω) ;
2) если существуют 1 ≤ t1 < t2 ≤ Q, для которых Φ(t2) < Φ(t1), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) = Φ(t2) S(Ω) ,
∫
Ω
Φ(Kµf
(z)) dS(z) = Φ(t1) S(Ω) ;
3) если функция Φ(t) не убывает и Φ(Q− 0) < Φ(Q), то
lim
n→∞
∫
Ω
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) = Φ(Q− 0)S(Ω) ,
∫
Ω
Φ(Kµf
(z)) dS(z) = Φ(Q) S(Ω) .
Наконец, приведем необходимые и достаточные условия компактности для клас-
сов FΦ
M .
Теорема 2. Пусть Φ : I → R+, Φ(∞) = ∞, удовлетворяет условию (3). Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
1) классы FΦ
M компактны в топологии равномерной сходимости в C относи-
тельно сферической метрики;
2) функция Φ непрерывна в смысле R+ слева в точке Q из (4) и строго выпукла.
Доказательство. 2) ⇒ 1). Если функция Φ непрерывна в точке Q, то класс FΦ
M
компактен прямо по теореме 3 работы [5]. Если же Q < ∞ и Φ(Q) < ∞, то это
последует опять же из теоремы 3 работы [5] на основе предложения 3.
1) ⇒ 2). а) Предположим, что функция Φ не является выпуклой на I \{∞}, т.е.,
существуют tl ∈ I \{∞}, l = 1, 2, t1 < t2 и λ ∈ (0, 1) такие, что
λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2) < Φ(λ t1 + (1− λ) t2)) .
Тогда, согласно пункту 1) леммы 2, найдется последовательность квазиконформ-
ных отображений fn : C → C, которая сходится равномерно к квазиконформному
147
Т.В. Ломако
отображению f : C→ C такая, что
lim
n→∞
∫
C
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) <
∫
C
Φ(Kµf
(z)) dS(z)
и
lim
n→∞
∫
C
Φ(Kµfn
(z)) dS(z) = [λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2)] π ,
∫
C
Φ(Kµf
(z)) dS(z) = Φ(λ t1 + (1− λ) t2)) π .
Однако, это противоречит замкнутости и, следовательно, компактности класса FΦ
M
при M = π{λΦ(t1) + (1− λ)Φ(t2)}.
б) Пусть Φ не является неубывающей на I \{∞}, т.е., найдутся точки t1 и t2 ∈
I \{∞}, t1 < t2 такие, что Φ(t1) > Φ(t2). Тогда получаем противоречие аналогично
пункту а) доказательства ввиду пункта 2) леммы 2.
в) Пусть Φ не является непрерывной слева в точке T := sup
Φ(t)<∞
t < ∞. Тогда по-
лучаем противоречие аналогично пункту а) доказательства ввиду пункта 3) леммы
2.
Наконец, пусть T = ∞ и Φ не является непрерывной слева в∞, т.е. Φ(∞−0) < ∞.
Согласно п. а) и п. б) доказательства, мы можем предполагать, что Φ является
неубывающей и выпуклой на I \{∞}. Мы также можем предполагать, что функцию
Φ можно продолжить с I в R+ согласно равенству Φ(t) ≡ Φ(1) для всех t ∈ [0, 1).
Таким образом, продолженная функция Φ является неубывающей и выпуклой (см.,
например, предложение I.4.8 в [13]). Поскольку Φ не является константой на I в силу
условия (3), то t0 = sup
Φ(t)=Φ(0)
t < ∞, и выбирая t∗ ∈ (t0,∞), получаем, что
Φ(t)− Φ(0)
t
≥ Φ(t∗)− Φ(0)
t∗
> 0 ∀ t ∈ [t∗,∞)
согласно выпуклости Φ (см., например, предложение I.4.5 в [13]), т.е., Φ(t) ≥ at для
t ≥ t∗, где a = [Φ(t∗)− Φ(0)]/t∗ > 0. Тогда Φ(t) → ∞ при t → ∞, т.е., Φ является
непрерывной в ∞. ¤
Замечание 1. Условие (3) является не только достаточным, но и необходимым
для нормальности и, следовательно, для компактности класса FΦ
M , если Φ непре-
рывна, выпукла и не убывает (см. теорему 5.1 в [18]).
В заключение отметим также, что теоремы компактности имеют важные прило-
жения в теории экстремальных задач и теории вариационного метода. Дело в том,
что в компактных классах всегда гарантируется существование экстремальных ото-
бражений для любых непрерывных, в том числе, нелинейных функционалов. Кроме
того, в компактных классах отображений с интегральными ограничениями множе-
ство комплексных характеристик выпукло, что значительно упрощает построение
вариаций, см., например, [3] и [4].
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation: A Geometric Approach,
Developments in Mathematics. – V. 26. – New York: Springer, 2012. – 301 p.
148
Критерий компактности для одного класса решений уравнения Бельтрами
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On recent advances in the degenerate Beltrami
equations // Укр. мат. вест. – 2010. – T. 7, № 4. – С. 467-515; transl in J. Math. Sci. – 2011. –
V. 175. – P. 413-449.
3. Гутлянский В.Я., Рязанов В.И. Геометрическая и топологическая теория функций и отобра-
жений. – Киев: Наук. думка, 2011. – 425 с.
4. Гутлянский В.Я., Ломако Т.В., Рязанов В.И. К теории вариационного метода для уравнений
Бельтрами // Укр. мат. вест. – 2011. – T. 8, № 4. – C. 513-536.
5. Ломако Т.В. К теории сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Укр. мат. ж.
– 2011. – T. 63, № 3. – C. 341-349.
6. Ломако Т.В. Теоремы сходимости и компактности для уравнений Бельтрами // Доповiдi НАН
України. – 2011. – № 5. – C. 28-31.
7. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane. – New York etc.: Springer, 1973. –
258 p.
8. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics //
Complex Variables and Elliptic Equations – 2009. – V. 54, № 10. – P. 935-950.
9. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969. – 133 с.
10. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. – Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. – 416 c.
11. Рудин У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 c.
12. Рязанов В.И. Топологические аспекты теории квазиконформных отображений: дисс. ... док-
тора физ.-мат. наук: 01.01.01. – Донецк: ИПММ НАН Украины, 1993. – 281 c.
13. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. – М.: Наука, 1965. – 424 с.
14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 c.
15. Халмош П. Теория меры. – М.: ИЛ, 1953. – 291 c.
16. Сакс С. Теория интеграла. – М.: ИЛ, 1949. – 494 c.
17. Гутлянский В.Я., Рязанов В.И. О квазиконформных отображениях с интегральными ограни-
чениями на характеристику Лаврентьева // Сиб. мат. ж. – 1990. – T. 31, № 2. – C. 21-36.
18. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем
отображений // Сиб. мат. ж. – 2011. – T. 52, № 3. – С. 665-679.
T.V. Lomako
A criterion of compactness for one class of solutions to the Beltrami equations.
The theorem of closure and the criterion of compactness for classes of regular solutions to the degenerate
Beltrami equations with constraints of the integral type for the complex coefficient are obtained.
Keywords: Beltrami equations, dilatation, criterion on compactness, regular solution, Sobolev classes.
Т.В. Ломако
Критерiй компактностi для одного класу розв’язкiв рiвнянь Бельтрамi.
Отримано теорему замикання i критерiй компактностi для класiв регулярних розв’язкiв виродже-
них рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на комплексний коефiцiєнт.
Ключовi слова: рiвняння Бельтрамi, дилатацiя, критерiй компактностi, регулярний розв’я-
зок, класи Соболєва.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
tlomako@yandex.ru
Получено 28.11.12
149
|