Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях
Изучается допустимая скорость убывания ненулевой функции, имеющей нулевые интегралы по всем шарам фиксированного радиуса. Рассмотрен случай, когда функция задана в области, содержащей полупространство....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124127 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 172-180. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124127 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241272017-09-21T03:03:02Z Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях Очаковская, О.А. Изучается допустимая скорость убывания ненулевой функции, имеющей нулевые интегралы по всем шарам фиксированного радиуса. Рассмотрен случай, когда функция задана в области, содержащей полупространство. Вивчається допустима швидкiсть спадання ненульової функцiї, що має нульовi iнтеграли по всiх кулях фiксованого радiуса. Розглянуто випадок, коли функцiя задана в областi, яка мiстить пiвпростiр. An admissible rate of decrease of a non-trivial function having zero integrals over all balls of fixed radius is studied. The case where a function is determined in a domain containing some half-plane is considered. 2012 Article Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 172-180. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124127 517.444 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучается допустимая скорость убывания ненулевой функции, имеющей нулевые интегралы по всем шарам фиксированного радиуса. Рассмотрен случай, когда функция задана в области, содержащей полупространство. |
| format |
Article |
| author |
Очаковская, О.А. |
| spellingShingle |
Очаковская, О.А. Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Очаковская, О.А. |
| author_sort |
Очаковская, О.А. |
| title |
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях |
| title_short |
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях |
| title_full |
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях |
| title_fullStr |
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях |
| title_full_unstemmed |
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях |
| title_sort |
теоремы об одном радиусе на неограниченных областях |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124127 |
| citation_txt |
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 172-180. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT očakovskaâoa teoremyobodnomradiusenaneograničennyhoblastâh |
| first_indexed |
2025-07-09T00:53:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:53:04Z |
| _version_ |
1837128626567380992 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.444
c©2012. О.А. Очаковская
ТЕОРЕМЫ ОБ ОДНОМ РАДИУСЕ
НА НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Изучается допустимая скорость убывания ненулевой функции, имеющей нулевые интегралы по
всем шарам фиксированного радиуса. Рассмотрен случай, когда функция задана в области, содер-
жащей полупространство.
Ключевые слова: сферические средние, периодичность в среднем.
1. Введение и формулировка основного результата. Пусть Rn – веще-
ственное евклидово пространство размерности n ≥ 2 с евклидовой нормой | · |. Для
всякой области O ⊂ Rn и фиксированного r > 0 символом Vr(O) обозначим множе-
ство всех функций f ∈ L1
loc(O), имеющих нулевые интегралы по всем замкнутым
шарам радиуса r, лежащих в O (если O не содержит таких шаров, то мы полагаем
Vr(O) = L1
loc(O)). Описание классов Vr(O) для различных O было получено в [1,
part 2] (см. также [2], [3] и [4, теорема 16.4.1]). В данной работе рассматривается
следующая проблема (см [1, part 2, problem 4.15]).
Проблема 1. Пусть O – неограниченная область в Rn и r > 0 фиксировано.
Предположим, что f ∈ Vr(O) и для почти всех x ∈ O выполнено неравенство
|f(x)| ≤ F (|x|), (1)
где F – заданная положительная функция на [0, +∞). Для каких F, O, r отсюда
следует, что f = 0?
Первый точный результат в этом направлении был получен Д.Смитом [5] для
случая O = Rn Он установил, что если f ∈ (Vr ∩ C)(Rn) и
lim
t→+∞F (t)t
n−1
2 = 0, (2)
то f = 0. При этом условие (2) нельзя заменить условием
F (t) = O(t
1−n
2 ) при t → +∞, (3)
(см. [5]). Известен также ряд результатов, в которых вместо условия (2) рассматри-
ваются оценки сверху для различных интегральных средних функции F . Например,
если f ∈ Vr(Rn) и при некотором p ∈
[
1,
2n
n− 1
]
∫ +∞
0
tn−1(F (t))pdt < +∞,
172
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях
то f = 0, а при p >
2n
n− 1
это уже не верно (см. [6], где утверждение сформулировано
для сферических средних). Более общие и точные результаты в этом направлении
были получены в [7], где условия убывания F на бесконечности определяются ростом
величины ∫ R
0
tn−1(F (t))pdt
при R → +∞ и p ∈
[
1,
2n
n− 1
]
. Для случая O = Rn рассматривались также аналоги
проблемы 1, в которых поведение функции в правой части неравенства (1) различно
по разным переменным (см. [8]).
Для областей O, отличных от Rn, проблема 1 исследована мало. Все имеющиеся
результаты касаются случая, когда O содержит внешность шара
UR = {x ∈ Rn : |x| > R}
при некотором R > 0 (см. [1], [3], [9], [10]). Наиболее сильные результаты окончатель-
ного характера для широкого класса таких O получены В.В.Волчковым в [1, part
3], где рассмотрена более общая ситуация, когда класс Vr(O) заменяется простран-
ством решений уравнения свертки специального вида. Следуя [1, part 3, definition
2.1], введем следующее определение.
Определение 1. Область O ⊂ Rn называется r-областью, если выполнены сле-
дующие условия:
а) каждая точка из O лежит в некотором замкнутом шаре радиуса r, содержа-
щемся в O;
б) множество центров всех замкнутых шаров радиуса r, содержащихся в O, яв-
ляется связным.
Результаты работ [1], [3] показывают, в частности, что если O содержит UR при
некотором R > 0 и является r-областью, то для функции f ∈ Vr(O) из условий (1) и
(2) следует, что f = 0. При этом (2) нельзя заменить условием (3). Таким образом,
в случае UR ⊂ O требуется такое же убывание F , как и в случае O = Rn.
В данной работе изучается проблема 1 для широкого класса областей O, содер-
жащих полупространство
H = {x = (x1, ..., xn) ∈ Rn : xn > 0}.
Перейдем к формулировке основного результата. Напомним, что всюду в даль-
нейшем предполагается, что n ≥ 2 и r > 0 фиксировано.
Теорема 1. Пусть O содержит полупространство H и является r-областью.
Пусть также
F (t) = O(exp(−t/ϕ(t))) при t → +∞, (4)
где ϕ – положительная возрастающая функция на [0,+∞), удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
1)
∫ ∞
1
dt
tϕ(t)
= +∞; (5)
173
О.А. Очаковская
2) при t → +∞ ϕ(t) = O
(
ϕ
(
t
ϕ(t)
))
; (6)
3) при любом α > 0 lim
t→+∞
ϕ(αt)
ϕ(t)
= 1. (7)
Тогда для любой f ∈ Vr(O) из условия (1) следует, что f = 0.
Отметим, что условия (5), (6) и (7) имеют место для многих медленно растущих
функций ϕ. Например, они выполнены, если при достаточно больших t функция ϕ
совпадает с произведением логарифма и нескольких его различных итераций.
2. Обозначения и вспомогательные утверждения. Мы используем стан-
дартные обозначения Γ и Jν для гамма-функции и функции Бесселя первого рода
порядка ν соответственно (см., например, [11, §1]). Для z > 0 положим
Iν(z) = Jν(z)z−ν .
Функция Iν допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость.
Из интегрального представления Пуассона для Iν (см. [11, формула (14.6)]) следует,
что для всех z > 0, ν ≥ −1
2
имеют место оценки
|Jν(z)| ≤ C1 (8)
∣∣∣∣
(
d
dz
)q
Iν(αz)
∣∣∣∣ ≤ C2α
q, q ∈ Z+, α > 0, (9)
с постоянными C1, C2 > 0, зависящими только от ν.
Для r > 0, η > 0 рассмотрим функцию
ψη(t) =
(r2 − t2)
n−1
4 Jn−1
2
(
η
√
r2 − t2
)
, |t| < r
0, |t| ≥ r.
(10)
Ее преобразование Фурье
ψ̂η(z) =
∫ r
−r
ψη(t)e−iztdt, z ∈ C, (11)
является четной целой функцией экспоненциального типа, удовлетворяющей оценке
|ψ̂η(z)| ≤ C3e
r|Imz|, z ∈ C, (12)
где C3 не зависит от z. Используя (10) и формулу Сонина (см. [11, формула (20.10)]),
из (11) находим
ψ̂η(z) =
√
2πrn−1η
n−1
2 In
2
(
r
√
η2 + z2
)
. (13)
Далее в этом параграфе предполагается, что n ≥ 3. Пусть Sn−2 = {x ∈ Rn−1 :
|x| = 1}, ωn−2 – площадь сферы Sn−2, ρ, σ – полярные координаты в Rn−1 (для лю-
бых x ∈ Rn−1 имеем ρ = |x| =
√
x2
1 + ... + x2
n−1, а если x 6= 0, то σ = x/ρ ∈ Sn−2).
174
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях
Обозначим Hk – пространство сферических гармоник степени k на Sn−2, рассматри-
ваемое как пространство L2(Sn−2) (см. [12, гл. 4, §2]), dk – размерностьHk,
{
Y
(k)
l
}dk
l=1
– фиксированный ортонормированный базис в Hk. В частности, для k = 0 имеем
d0 = 1 и Y
(0)
1 (σ) = ω
−1/2
n−2 для всех σ ∈ Sn−2. При n = 3, k ≥ 1 в дальнейшем
используется следующий базис в Hk:
Y
(k)
1 (σ) =
1√
2π
(σ1 + iσ2)k, Y
(k)
2 (σ) =
1√
2π
(σ1 − iσ2)k, (14)
(в этом случае dk = 2 для всех k ≥ 1).
Всякой функции f ∈ L1
loc(H) соответствует ряд Фурье
f ∼
∞∑
k=0
gk∑
l=1
fk,l, (15)
где fk,l(x) = fk,l(ρ, xn)Y (k)
l (z) и
fk,l(ρ, xn) =
∫
Sn−2
f(ρσ1, ..., ρσn−1, xn)Y (k)
l (σ)dω(σ), (16)
dω – поверхностная мера на Sn−2. Если для почти всех (по мере Лебега) xn > 0
функция f принадлежит классу L(Rn−1) по переменным x1, ..., xn−1, то из (16) и
теореме Фубини имеем ∫ ∞
0
ρn−1|fk,l(ρ, xn)|dρ < +∞. (17)
Для возрастающей функции ϕ : [0,+∞) → (0, +∞), удовлетворяющей условиям
(5)-(7), обозначим через Vr,ϕ(H) множество всех f ∈ Vr(H) таких, что выполнены
условия (1) и (4). Из (6) и (7) следует, что
ϕ(t) = O(tε) при t → +∞ (18)
для любого ε > 0 (см, [13]). В частности, всякая функция f ∈ Vr,ϕ(H) принадлежит
классу L(Rn−1) по переменным x1, ..., xn−1 для почти всех xn > 0 и выполнено
условие (17).
Далее нам потребуются некоторые свойства класса Vr,ϕ(H).
Лемма 1. Пусть f ∈ Vr,ϕ(H), t > 0 и Mq(t) = 1 +
∫∞
0 ρn+k+q−2|fk,l(ρ, t)|dρ,
q ∈ N. Тогда
∞∑
m=1
(
inf
q≥m
(Mq(t))1/q
)−1
= +∞. (19)
Доказательство. Используя [13, теорема 12], получаем, что существует число
C1 > 1 такое, что при всех t ≥ C1 имеет место равенство
ϕ(t) = exp
(∫ t
C1
u(ζ)
ζ
dζ + V (t)
)
, (20)
175
О.А. Очаковская
где u ∈ C([C1,+∞)), u(ζ) → 0 при ζ → +∞, и V – ограниченная функция на
[C1, +∞), для которой существует предел lim
t→+∞V (t). Положим
g(t) = exp
(∫ t
C1
u(ζ)
ζ
dζ
)
, t ≥ C1. (21)
Тогда g ∈ C1([C1, +∞)), g > 0 и
fg′(t) = o(g(t)) при t → +∞. (22)
Кроме того, из (20), (21) и свойств V следует, что существуют постоянные C2, C3 > 0
такие, что
C2ϕ(t) ≤ g(t) ≤ C3ϕ(t) для всех t ≥ C1. (23)
Далее имеем
|Mq(t)| ≤ 1 + Cq
1
∫ C1
0
ρn+k−2|fk,l(ρ, t)|dρ + Gq(t), (24)
где Gq(t) =
∫∞
C1
ρn+k+q−2|fk,l(ρ, t)|dρ.
Оценим Gq(t) сверху. Используя (16), (4) и (23), получаем
Gq(t) ≤
∫ ∞
C1
ρn+k+q−2 exp
(
−C4
ρ
g(ρ)
)
dρ, (25)
где C4 > 0 не зависит от q. Положим
Uq(ρ) = (n + k + q) ln ρ− C4
ρ
g(ρ)
, ρ ≥ C1. (26)
Из (23) и (18) видно, что Uq(ρ) → +∞ при ρ → +∞. Если Uq(ρ) ≤ Uq(C1) для всех
ρ ≥ C1, то из (25) следует, что
Gq(t) ≤ C5C
q
1 , (27)
где C5 > 0 не зависит от q. В противном случае существует хотя бы одна точка
ρq ∈ (C1,+∞), в которой функция Uq достигает максимума на [C1,+∞). Тогда
U ′
q(ρq) = 0, то есть
(n + k + q) =
C4ρq
g(ρq)
(
1− g′(ρq)
g(ρq)
)
.
Из этого равенства и (22) вытекает, что ρq → +∞ при q →∞ и
C4ρq ∼ qg(ρq) при q →∞. (28)
Кроме того, из определения ρq и (26) имеем
Uq(ρ) ≤ (n + k + q) ln ρq − C4
ρq
g(ρq)
, ρ ≥ C1.
176
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях
Учитывая (6) и (7), отсюда и из (28), (23), (27) находим
Gq(t) ≤ (C6qϕ(q))q, q ∈ N,
где C6 > 0 не зависит от q. Используя монотонность ϕ, из последнего неравенства
и (24) получаем утверждение леммы 1. ¤
Далее, пусть f ∈ Vr,ϕ(H), k ∈ Z+, l ∈ {1, ..., dk}. Для любого η > 0 и почти всех
t ∈ (0, +∞) положим
Φ(η, t) =
∫ ∞
0
ρk+n−2fk,l(ρ, t)In−3
2
+k(ρη)dρ. (29)
Оценки (8) и (17) показывают, что Φ непрерывна на (0, +∞) по переменной η для
почти всех t > 0.
Лемма 2. Для любых η > 0, h > r выполнено равенство
∫ r
−r
Φ(η, t + h)ψ2(t)dt = 0.
Доказательство. Из определения fk,l и Vr,ϕ получаем, что fk,l ∈ Vr,ϕ(H). Сле-
довательно, ∫
|x|≤r
fk,l(x1 + ξ1, ..., xn−1 + ξn−1, xn + h)dx = 0 (30)
для любых ξ = (ξ1, ..., ξn−1) ∈ Rn−1, h > r. Пусть η > 0, λ = (λ1, ..., λn−1) ∈ Rn−1,
λ2
1 + ...+λ2
n−1 = η2, (λ, ξ) = λ1ξ1 + ...+λn−1ξn−1. Для x = (x1, ..., xn) ∈ Rn обозначим
x′ = (x1, ..., xn−1). Умножим равенство (30) на ei(λ,ξ) и проинтегрируем его по ξ
на Rn−1. После перемены порядка интегрирования и элементарных преобразований
находим ∫
|x|≤r
e−i(λ,x′)gλ(xn + h)dx = 0, (31)
где
gλ(t) =
∫
Rn−1
fk,l(x′, xn)ei(λ,x′)dx′, t > 0.
Переходя в (31) к повторному интегрированию, получаем
∫ r
−r
gλ(xn + h)
∫
|x′|≤r2−x2
n
ei(λ,x′)dx′dxn = 0.
Используя (10) и [12, глава 4, теорема 4.15], отсюда имеем
∫ r
−r
gλ(t + h)ψη(t)dt = 0.
Из последнего равенства и (29) следует (см. [2]) утверждение леммы 2. ¤
177
О.А. Очаковская
3. Доказательство теоремы 1. Пусть r – область O содержит полупростран-
ство H. Предположим, что f ∈ Vr(O) и выполнены условия (1) и (4), где ϕ – поло-
жительная возрастающая функция на [0, +∞), удовлетворяющая (5)-(7). Докажем,
что f = 0. Сначала рассмотрим случай n ≥ 3. Из равенства (13) следует, что суще-
ствует ε > 0 такое, что при η ∈ (0, ε) все нули функции ψ̂r являются вещественными
и простыми (см. [11]). Обозначим Zη = {z ∈ R1 : ψ̂η(z) = 0}. Для любого λ ∈ Zη из
оценки (11) и теоремы Пэли-Винера следует, что существует функция ψη,λ ∈ L2(R1)
с носителем на [−r, r] такая, что
ψ̂η,λ(z)(z − λ) = ψ̂λ(z), z ∈ C.
Последнее равенство означает, что
(
−i
d
dt
− λ
)
ψη,λ = ψη, (32)
где дифференцирование понимается в смысле распределений. Решая уравнение (32),
находим
ψη,λ(t) =
∫ t
−r
ψη(ξ)eiλ(t−ξ)dξ, t ∈ R1. (33)
Отсюда, в частности, следует, что ψη,λ ∈ C2(R1). Далее, пусть k ∈ Z+, l ∈ {1, ..., dk}.
Для η ∈ (0, ε) и λ ∈ Zη рассмотрим функцию
gλ,η(h) =
∫ r
−r
Φ(η, t + h)ψη,λ(t)dt, h > r,
где Φ определяется равенством (29). Из (33) имеем ig′λ,η + λgλ,r = 0. Это означает,
что gλ,η(h) = C1e
iλh, где постоянная C1 ∈ C не зависит от h. Поскольку λ ∈ R1,
отсюда и из (29) получаем
|C1| = |gλ,η(h)| ≤
∫ r
−r
|ψη,λ(t)|
∫ ∞
0
ρn+k−2|fk,l(ρ, t + h)|
∣∣∣In−3
2
+k(ρη)
∣∣∣ dρdt. (34)
Из (16) и (18) следует, что
|fk,l(ρ, t + h)| ≤ C2 exp
(
−(ρ2 + (h− r)2)1/3
)
при h →∞,
где C2 > 0 не зависит от ρ > 0, t ∈ [−r, r]. Переходя в (34) к пределу при h → +∞ и
используя теорему Лебега о мажорированной сходимости, получаем C1 = 0. Таким
образом, ∫ r
−r
Φ(η, t + h)ψη,λ(t)dt = 0 (35)
при любых η ∈ (0, ε), λ ∈ Zη, h > r. Пусть теперь Λ ⊂ (0, ε) – счетное множество,
всюду плотное на (0, ε). Из (35), (33) и [14] следует, что для любого η ∈ Λ существует
множество Aη ⊂ (0, +∞) с ненулевой лебеговой мерой такое, что Φ(η, t) = 0 при всех
178
Теоремы об одном радиусе на неограниченных областях
t ∈ (0, +∞) \ Aη. Полагая A = (0, +∞) \
(⋃
η∈Λ Aη
)
, имеем Φ(η, t) = 0 при любых
η ∈ Λ, t ∈ A. В силу свойств Λ и непрерывности функции Φ по переменной η ∈ (0, ε)
при всех t ∈ A (см. (29), (17) и (8) имеем
Φ(η, t) = 0 (36)
при всех η ∈ (0, ε), t ∈ A.
С другой стороны, для любых q ∈ Z+, η ∈ (0, +∞) из (29) и (9) получаем
∣∣∣∣
(
d
dη
)q
Φ(η, t)
∣∣∣∣ ≤ C3
∫ ∞
0
ρn+k−2+q|fk,l(ρ, t)|dρ,
где C3 > 0 не зависит от q. По теореме Данжуа-Карлемана (см. [15]), отсюда и из
леммы 1 следует, что для почти всех t > 0 функция Φ(η, t) принадлежит квазиана-
литическому классу функций по переменной η на любом отрезке [a, b] ⊂ (0, +∞).
Тогда равенство (36) показывает, что Φ(η, t) = 0 для всех η > 0 и почти всех t > 0.
В силу (29) и произвольности k, l это означает, что f = 0 в H. Применяя теперь
теорему единственности для класса Vr(O) (см. [1]), получаем f = 0 в O. Тем самым
требуемое утверждение доказано при n ≥ 3.
Пусть теперь n = 2. В этом случае положим
Φ(η, t) =
∫ ∞
0
f(x1, t)eiηx1dx, η > 0, t > 0. (37)
Доказательство леммы 2 показывает, что
∫ r
r
Φ(η, t + h)ψη(t)dt = 0 при всех η > 0, h > r.
Далее, пусть
Mq(t) = 1 +
∫ ∞
0
xq
1|f(x1, t)|dx1.
Из доказательства леммы 1 видно, что выполнено условие (19). Повторяя теперь
приведенные выше рассуждения для случая n > 2 с функцией Φ, определенной в
(37), получаем утверждение теоремы 1 и при n = 2.
1. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Kluwer Academic Publishers.
Dordrecht / Boston / London. – 2003. – 454 p.
2. Йон Ф.Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям
с частными производными. – М.: ИЛ. – 1958г. – 159 c.
3. Волчков В.В. Решение проблемы носителя для некоторых классов функций // Мат. сб. – 1997.
– Т. 188. – № 9. – С. 13-30.
4. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4-х т. – Т. 2. – М.: Мир, 1986.
5. Smith I.D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn // Proc. Cambridge Philos. Soc. –
1972. – V. 72. – P. 403-416.
6. Thangavelu S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J.Anal. Math. – 1994.
– V. 63. – P. 255-286.
179
О.А. Очаковская
7. Волчков В.В. Теоремы единственности для некоторых классов функций с нулевыми сфериче-
скими средними // Мат. заметки. – 1997. – T. 62. – № 1. – C. 59-65.
8. Очаковская О.А. Теоремы типа Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам
фиксированного радиуса // ДАН России. – 2007. – Т. 415. – № 2. – С. 171-173
9. Sitaram A. Fourier analysis and determining sets for Radon measures on Rn // Illinois J. Math. –
1984. – V. 28. – P. 339-347.
10. Shahshahani M. and Sitaram A. The Pompeiu problem in exterior domains in symmetric spaces //
Contemp. Math. – 1987. – V. 63. – P. 267-277.
11. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука. – 1971. – 288 c.
12. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир.
– 1974. – 335 с.
13. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука. – 1985. – 144 с.
14. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Сonvolution equations and the local Pompeiu property on symmetric
spaces and on phase space associated to the Heisenberg group // Journal D’Analyse Mathematique.
– V. 105. – P. 43-123. – 2008.
15. Бадалян Г.В. Квазистепенной ряд и квазианалитические классы функций. – М.: Наука, 1990.
O.A. Ochakovskaja
One-radius theorems on unbounded domains.
An admissible rate of decrease of a non-trivial function having zero integrals over all balls of fixed radius
is studied. The case where a function is determined in a domain containing some half-plane is considered.
Keywords: spherical means, mean periodisity.
О.О. Очаковська
Теореми про один радiус на необмежених областях.
Вивчається допустима швидкiсть спадання ненульової функцiї, що має нульовi iнтеграли по всiх
кулях фiксованого радiуса. Розглянуто випадок, коли функцiя задана в областi, яка мiстить пiв-
простiр.
Ключовi слова: сферичнi середнi, перiодичнiсть у середньому.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ochakovskaja@yandex.ua
Получено 02.11.12
180
|