Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень
У роботi здобуто опис розв’язкiв деяких iнтегральних рiвнянь, а також теорему про два радiуси.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124135 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 243-250. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124135 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241352017-09-21T03:03:13Z Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень Трофименко, О.Д. У роботi здобуто опис розв’язкiв деяких iнтегральних рiвнянь, а також теорему про два радiуси. В работе получены описание решений некоторых интегральных уравнений, а также теорема о двух радиусах. A description of solutions of some integral equations has been obtained. A two-radii theorem is obtained as well. 2012 Article Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 243-250. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124135 517.5 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У роботi здобуто опис розв’язкiв деяких iнтегральних рiвнянь, а також теорему про два радiуси. |
| format |
Article |
| author |
Трофименко, О.Д. |
| spellingShingle |
Трофименко, О.Д. Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Трофименко, О.Д. |
| author_sort |
Трофименко, О.Д. |
| title |
Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_short |
Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_full |
Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_fullStr |
Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_full_unstemmed |
Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень |
| title_sort |
теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124135 |
| citation_txt |
Теорема про два радіуси для розв’язків деяких рівнянь середніх значень / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 243-250. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT trofimenkood teoremaprodvaradíusidlârozvâzkívdeâkihrívnânʹseredníhznačenʹ |
| first_indexed |
2025-07-09T00:53:53Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:53:53Z |
| _version_ |
1837128677322653696 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.5
c©2012. О.Д. Трофименко
ТЕОРЕМА ПРО ДВА РАДIУСИ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
ДЕЯКИХ РIВНЯНЬ СЕРЕДНIХ ЗНАЧЕНЬ
У роботi здобуто опис розв’язкiв деяких iнтегральних рiвнянь, а також теорему про два радiуси.
Ключовi слова: теорема про середнє, сферичнi середнi, теорема про два радiуси.
1. Вступ.Характеризацiя розв’язкiв диференцiальних рiвнянь у термiнах рiзних
iнтегральних середнiх вивчалася багатьма авторами (див. [1]-[9] та бiблiографiю в
цих роботах).
У данiй роботi вивчаються класи функцiй на пiдмножинах компактної площини,
що задовольняють умови вигляду
m−1∑
n=s
r2n+2
2(n− s)!(n + 1)!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(z) =
1
2π
∫ ∫
|ζ−z|≤r
f(ζ)(ζ − z)sdξdη, (1)
де m ∈ N та s ∈ 0, ..., m− 1 – фiксованi, а r є фiксованим або належить заданiй
двоелементнiй множинi.
Iнтерес до рiвняння (1) викликаний тим, що воно виконується для m-аналiтичних
функцiй (див. [10]). Виникає питання про опис функцiй з класу C2m−2−s в деякiй
областi, що задовольняють (1) при всiх припустимих z та r.
Основнi результати даної роботи полягають у наступному:
1) Здобуто опис усiх гладких розв’язкiв (1) у крузi радiуса R > r при одному фiк-
сованому r (див. теорему 1 нижче).
2) Отримано теорему про два радiуси, що характеризує клас розв’язкiв рiвняння
(
∂
∂z
)m−s( ∂
∂z̄
)m
f = 0 (2)
у термiнах рiвняння (1) (див. теорему 2).
Вiдмiтимо, що випадок s ≥ m, що вiдповiдає рiвному нулевi iнтегральному серед-
ньому в правiй частинi (1), вивчався ранiше в роботах Л.Зальцмана та В.В.Волчкова
(див. [3], [11]-[12]). Першi результати, що пов’язанi з теоремою про середнє для полiа-
налiтичних функцiй, мiстяться в [13]-[14].
2. Формулювання основних результатiв. Нехай Jν – функцiя Бесселя пер-
шого роду з iндексом ν. Для ρ ≥ 0, λ ∈ C, k ∈ Z покладемо
Φλ,η,k(ρ) =
(
d
dz
)η
(Jk(zρ)) |z=λ.
243
О.Д. Трофименко
Нехай
gr(z) =
Js+1(rz)
(zr)s+1
−
m−1∑
n=s
(zr)2(n−s)(−1)n−s
(n + 1)!(n− s)!22n−s+1
,
також Z(gr) = {z ∈ C : gr(z) = 0} i Zr = {z ∈ Z(gr) : Rez > 0}∪{z ∈ Z(gr) :
Imz > 0, Rez = 0}. Для λ ∈ Zr символом nλ позначимо кратнiсть нуля λ цiлої
функцiї gr.
Нехай DR = {z ∈ C : |z| < R}. Будь-якiй функцiї f ∈ C(DR) вiдповiдає ряд Фур’є
f(z) ∼
∞∑
k=−∞
fk(ρ)eikϕ, (3)
де
fk(ρ) =
1
2π
π∫
−π
f(ρeit)e−iktdt (4)
та 0 ≤ ρ < R.
Наступний результат дає опис усiх розвязкiв (1) у класi C∞(DR) при одному
фiксованому r < R.
Теорема 1. Нехай r > 0, m ∈ N та s ∈ 0, ...,m− 1 – фiксованi. Нехай також
R > r та функцiя f належить C∞(DR). Тодi наступнi твердження є еквiвалент-
ними:
1) При |z| < R− r виконується рiвнiсть (1).
2) Для будь-якого k ∈ Z на [0, R) має мiсце рiвнiсть
fk(ρ) =
∑
0≤p≤s−1
p+k≥0
ak,pρ
2p+k +
m−s−1∑
p=0
bk,pρ
2p+s+|k+s| +
∑
λ∈Zr
nλ−1∑
η=0
cλ,η,kΦλ,η,k(ρ), (5)
де ak,p ∈ C, bk,p ∈ C, cλ,η,k ∈ C та
cλ,η,k = O(|λ|−α) (6)
при λ →∞ та будь-якому фiксованому α > 0.
Вiдмiтимо, що аналоги теореми 1 для iнших рiвнянь, пов’язаних з кульовими
середнiми, вперше були отриманi В.В.Волчковим (див. [5]-[6] та бiблiографiю в цих
роботах).
Далi покладемо Z(r1, r2) = Zr1 ∩ Zr2 .
Сформулюємо тепер локальну теорему про два радiуси для рiвняння (1).
Теорема 2. Нехай r1, r2 > 0, m ∈ N та s ∈ 0, ..., m− 1 – фiксованi. Тодi:
1) якщо R > r1 +r2, Z(r1, r2) = Ø, f ∈ C2m−2−s(DR) та при |z| < R−r виконується
(1), то f ∈ C∞(DR) та задовольняє (2);
2) якщо max{r1, r2} < R < r1 + r2 та Z(r1, r2) 6= Ø, то iснує f ∈ C∞(DR), що
задовольняє (1) при |z| < R− r та не задовольняє (2).
244
Теорема про два радiуси для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
Що стосується iнших теорем про два радiуси, див. роботи [1]-[9] та бiблiографiю,
що там мається.
3. Допомiжнi твердження. У цьому параграфi ми отримаємо деякi допомiжнi
твердження, необхiднi для доведення основних результатiв.
Перш за все, вiдмiтимо, що функцiя gr є парною цiлою функцiєю експоненцiаль-
ного типу, що зростає як многочлен на дiйснiй осi (див., наприклад, [15], § 29). Звiдси
та з теореми Адамара випливає, що множина Zr нескiнченна.
Лема 1. Нехай λ ∈ Zr та |λ| > 4/r. Тодi
|Imλ| ≤ c1 ln(1 + |λ|), (7)
де стала c1 не залежить вiд λ.
Крiм цього, для всiх достатньо великих за модулем λ
|g′r(λ)| > c2
|λ| , (8)
де c2 > 0 не залежить вiд λ. Зокрема, всi достатньо великi за модулем нулi gr є
простими.
Доведення. З умови gr(λ) = 0 та асимптотики розкладу для Js+1(λr) при λ →∞
(див. [15], § 29) маємо
√
2
πλr
(
cos(λr − πs
2
− 3π
4
)− 4(s2 + 2s + 1)− 1
8λr
sin(λr − πs
2
− 3π
4
)
)
+
+O
(
(λr)−2e|Im(λr)|
)
= (λr)s+1
m−1∑
n=s
(λr)2n−2s(−1)n−s−1
(2n + 2)(n− s)!n!22n−s
.
Враховуючи, що λ ∈ Zr, звiдси отримаємо
ei(λr−πs
2
−π
4
)
2i
+ O
(
e|Im(λr)|
λr
)
=
√
πλr
2
m−1∑
n=s
(λr)2n−s+1(−1)n−s−1
(2n + 2)(n− s)!n!22n−s
.
Якщо позначити через p1(λr) полiном з правої частини цього рiвняння, одержимо
ei(λr−πs
2
−π
4
) = 2ip1(λr) + O
(
2ie|Im(λr)|
λr
)
.
Отже, зробимо оцiнку
e|Im(λr)| ≤ |2ip1(λr)|+ |2i|e|Im(λr)|
λr
≤ |2ip1(λr)|+ |i|e|Im(λr)|
2
.
Звiдси
e|Im(λr)| ≤ 4|p1(λr)|,
245
О.Д. Трофименко
i нерiвнiсть (7) доведена. Доведення другої нерiвностi проводиться аналогiчно, з
використанням [15, формула (6.3)]. ¤
Лема 2. Нехай λ ∈ C, f(z) = eiλ(x cos α+y sin α), r > 0, тодi для z ∈ C маємо
∫ ∫
|ζ−z|≤r
f(ζ)(ζ − z)sdξdη −
m−1∑
n=s
2πr2n+2
2(n− s)!(n + 1)!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n
f(z) =
= 2πgr(λ)eiαsis+2 rs+1
λ
eiλ(x cos α+y sin α).
Доведення. Пiдставимо функцiю eiλ(x cos α+y sin α) окремо до правої частини рiв-
няня (1).
Спочатку здобудемо
∫∫
|w|≤r
f(w + z)wsdudv =
∫∫
|w|≤r
eiλ((x+u) cos α+(y+v) sin α)wsdudv =
= eiλ(x cos α+y sin α)
π∫
−π
r∫
0
(
ρeiϕ
)s
eiλρ cos(ϕ−α)ρdϕdρ.
Зробимо замiну t = ϕ− α, тодi
eiλ(x cos α+y sin α)eiαs
π∫
−π
r∫
0
ρs+1eitseiλρ cos tdtdρ =
= eiλ(x cos α+y sin α)eiαs×
×
r∫
0
ρs+1(−1)
π∫
−π
e−i(t+π
2
)sei π
2
seiλρ sin(π
2
+t)d
(π
2
+ t
)
dρ.
Продовжуючи мiркування, отримаємо, що
eiλ(x cos α+y sin α)eiαs
π∫
−π
r∫
0
ρs+1eitseiλρ cos tdtdρ =
= eiλ(x cos α+y sin α)eiαsis2π(−1)
r∫
0
ρs+1Js(λρ)dρ.
Тепер, враховуючи властивостi функцiї Бесселя Js(z), маємо
eiλ(x cos α+y sin α)eiαsis(−2π)
1
λs+2
r∫
0
(λρ)s+1Js(λρ)d(λρ) =
246
Теорема про два радiуси для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
= eiλ(x cos α+y sin α)eiαsis
(−2π)
λ
rs+1Js+1(λ).
Далi пiдставимо задану функцiю до лiвої частини вихiдного рiвняння
2π
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
(
∂
∂z
)n−s( ∂
∂z̄
)n (
eiλ(x cos α+y sin α)
)
=
= 2π
m−1∑
n=s
r2n+2
(2n + 2)(n− s)!n!
i2n−s
22n−s
λ2n−seiαseiλ(x cos α+y sin α).
Очевидно, що рiзниця здобутих виразiв для правої та лiвої частин має вигляд
функцiї
2πgr(λ)eiαsis+2 rs+1
λ
eiλ(x cos α+y sin α).
¤
Наслiдок 1. Нехай λ ∈ Zr, η ∈ {0, ..., nλ − 1}, α ∈ R1. Тодi функцiя
(
∂
∂z
)η
eiλ(x cos α+y sin α)
задовольняє (1) при всiх z ∈ C.
Аналогiчне твердження є вiрним для функцiї Φλ,η,k(ρ)eikϕ при будь-якому k ∈
Z.
Доведення. Доведення випливає з леми 2 та [5, формула (1.5.29)]. ¤
Лема 3. Нехай m ∈ N та s ∈ {0, .., m − 1} – фiксованi. Тодi f ∈ C2m−s(DR)
задовiльняє (2) в тому i тiльки тому випадку, коли при всiх k ∈ Z та [0, R) вико-
нується рiвнiсть
fk(ρ) =
∑
0≤p≤s−1
p+k≥0
ak,pρ
2p+k +
m−s−1∑
p=0
bk,pρ
2p+s+|k+s|, (9)
де ak,p ∈ C та bk,p ∈ C.
Доведення. У випадку, коли bk,p = 0 та замiсть рiвностi (2) розглядається рiв-
нiсть
(
∂
∂z̄
)m
f = 0, подiбне твердження було доведено в [10]. Для даного випадку
доведення проводиться аналогiчно. ¤
Лема 4.Нехай m ∈ N та s ∈ {0, .., m−1} – фiксованi. Нехай також f ∈ C∞(DR)
та задовольняє (1) при фiксованому r < R та всiх z ∈ DR−r.
Тодi, якщо f ≡ 0 в Dr, то f ≡ 0.
Доведення. Твердження леми 4 є частковим випадком теореми, доведеної в [16].
¤
247
О.Д. Трофименко
4. Доведення теореми 1.
Достатнiсть.
Нехай спочатку f ∈ C∞(DR) та для будь-якого k ∈ Z на [0, R) виконується рiв-
нiсть (5) з коефiцiєнтами, що задовольняють (6). З леми 3 та наслiдка 1 отримаємо,
що функцiя fk(ρ)eikϕ задовольняє (1) при |z| < R − r. В силу довiльностi k ∈ Z
звiдси та з (3), (4) робимо висновок (див., наприклад, [5, роздiл 1.5.2]), що функцiя
f також задовольняє (1) при |z| < R− r. Таким чином, iмплiкацiю 2)→ 1) доведено.
Доведемо зворотнє твердження. E ′\(C) позначимо простiр радiальних розподiлень
на C з компактним носiєм. Нехай f ∈ C∞(DR) та при |z| < R−r виконується рiвнiсть
(1). За [5, твердження 1.5.6] функцiї Fk(z) = fk(ρ)eikϕ також задовольняють цю
умову. Використовуючи теорему Пелi-Вiнера для сферичного перетворення (див.
[5, роздiл 3.2.1 та теорема 1.6.5]), визначимо розподiл T ∈ E ′\(C) з носiєм в Dr за
допомогою формули
T̃ (z) = gr(z), z ∈ C.
Обчислення показують, що виконання рiвностi (1) для функцiї Fk при |z| < R − r
еквiвалентно наступному рiвнянню згортки:
Fk ∗
(
∂
∂z
)m−s( ∂
∂z̄
)m
T = 0 в DR−r.
Розв’язуючи дане рiвняння з використанням лем 1-4, отримаємо (див. [5, роздiл
3.2.4]) твердження 2).
Таким чином, теорему 1 доведено.
5. Доведення теореми 2. Нехай R > r1 + r2, Z(r1, r2) = ∅, f ∈ C2m−2−s(DR)
та рiвнiсть (1) виконується при |z| < R− r. Доведемо, що f задовольняє (2) в DR.
Не обмежуючи загальностi, можна сказати, що f ∈ C∞(DR) (загальний випадок
отримується звiдси стандартним згладжуванням, див. [5, роздiл 1.3.3]).
За теоремою 1 для будь-яких k ∈ Z, ρ ∈ [0, R) виконується рiвнiсть
fk(ρ)eikϕ =
∑
0≤p≤s−1
p+k≥0
ak,pρ
2p+keikϕ +
m−s−1∑
p=0
bk,pρ
2p+s+|k+s|eikϕ+
+
∑
λ∈Zr1
nλ−1∑
η=0
cλ,η,kΦλ,η,k(ρ)eikϕ, (10)
в якiй ak,p ∈ C, bk,p ∈ C та сталi cλ,η,k задовольняють умову (6).
З цiєї умови випливає (див. [5, лема 3.2.7]), що ряд в (10) збiгається в просторi
C∞(DR).
Покладемо
Fk(z) =
(
∂
∂z
)m−s( ∂
∂z̄
)m (
fk(ρ)eikϕ
)
=
=
∑
λ∈Zr1
nλ−1∑
η=0
cλ,η,k
(
∂
∂z
)m−s( ∂
∂z̄
)m
Φλ,η,k(ρ)eikϕ. (11)
248
Теорема про два радiуси для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень
З (11) випливає, що Fk ∗ T1 = 0 в DR−r1 , де розподiл T1 ∈ E ′\(C) з носiєм в Dr1
визначається рiвнiстю T̃1(z) = gr1(z) (див. [5, теорема 1.6.5]).
Аналогiчно, використовуючи теорему 1 для r = r2, робимо висновок, що Fk∗T2 =
0 в DR−r2 , де T2 ∈ E ′\(C) з носiєм в Dr2 визначається рiвнiстю T̃2(z) = gr2(z).
Оскiльки Z(r1, r2) = ∅, з [5, теорема 3.4.1] випливає, що Fk = 0.
Звiдси та з (11) маємо, що функцiя fk(ρ)eikϕ задовольняє (2) при всiх k ∈ Z.
Це означає (див. [5, доведення леми 2.1.4]), що f також задовольняє (2) i перше
твердження теореми 2 доведено.
Доведемо друге твердження.
Якщо iснує λ ∈ Z(r1, r2), то функцiя f(z) = Φλ,0,0(|z|) не задовольняє (2) та
задовольняє (1) при всiх z ∈ C та r = r1, r2 (див. наслiдок 1). Тому далi будемо
припускати, що Z(r1, r2) = ∅.
Нехай T1, T2 ∈ E ′\(C) визначається як i вище. Оскiльки R < r1 + r2, з [5, теорема
3.4.9] випливає, що iснує ненульова радiальна функцiя f ∈ C∞(DR), що задовольняє
умову f ∗ T1 = 0 в DR−r1 та f ∗ T2 = 0 в DR−r2 .
Використовуючи [5, теорема 3.2.3], отримаємо, що при r = r1, r2 виконується
рiвнiсть
f(z) =
∑
λ∈Zr
nλ−1∑
η=0
cλ,η(r)Φλ,η,0(|z|),
z ∈ DR, в якiй сталi cλ,η(r) задовольняють (5) та не всi рiвнi нулевi.
З цiєї рiвностi та наслiдку 1 випливає, що f задовольняє (1) при |z| < R − r,
r = r1, r2.
Припустимо, що f задовольняє (2). Тодi f(z) =
∑
0≤p≤s−1
ap|z|2p +
m−s−1∑
p=0
bp|z|2p+2s в
DR та згортки f ∗ T1, f ∗ T2 є многочленами. Це означає, що f ∗ T1 = f ∗ T2 = 0 в C.
Оскiльки Z(r1, r2) = ∅, звiдси та з [5, теорема 3.4.1] випливає, що f = 0, що є
протирiччям її означенню. Отже, функцiя f задовольняє всi вимоги другого твер-
дження теореми 2.
1. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem, in: B.Fuglede et al. (ads.) // Approxima-
tion by Solutions of Partial Differential Equations, Kluwer Academic Publishers: Dordrecht. – 1992.
– P. 185-194.
2. Zalcman L. Supplementary bibliography to ’A bibliographic survey of the Pompeiu problem’ //
Radon Transforms and Tomography, Contemp. Math. – 278. – 2001. – P. 69-74.
3. Zalcman L. Mean values and differential equations // Israel J. Math. – 14. – 1973. – P. 339-352.
4. Zalcman L. Offbeat integral geometry // Amer. Math. Monthly. – 87, № 3. – 1980. – P. 161-175.
5. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equation. Dordrecht-Boston-London: Kluwer
Academic Publishers, 2003. – 454 p.
6. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric spaces
and the Heisenberg Group. – Series: Springer Monographs in Mathematics, 2009. – 671 p.
7. Berenstein C.A. and Struppa D.C. Complex analysis and convolution equations, in ’Several Complex
Variables, V’, (G.M.Henkin, Ed.) // Encyclopedia of Math. Sciences. – 54. – 1993. – P. 1-108.
8. Netuka I. and Vesely J. Mean value property and harmonic functions // Classical and Modern
Potential Theory and Applications, Kluwer Acad. Publ. – 1994. – P. 359-398.
249
О.Д. Трофименко
9. Delsarte J. Lectures on Topics in Mean Periodic Functions and the Two-Radius Theorem. Tata
Institute: Bombay. – 1961.
10. Трофименко О.Д. Узагальнення теореми про середнє для полiаналiтичних функцiй у випадках
кола та круга // Вiсник Донецького нацiонального унiверситету, №1, серiя А. – Донецьк. – 2009.
– C. 20-28.
11. Zalcman L. Analyticity and the Pompeiu problem // Arch. Rat. Anal. Mech. – 47. – 1972. – P. 237-
254.
12. Волчков В.В. Новые теоремы о среднем для полианалитических функций // Математические
заметки. – 56, № 13. – 1994. – P. 20-28.
13. Maxwell O.Reade A theorem of Fedoroff // Duke Math.J. – 18. – 1951. – P. 105-109.
14. Ramsey T. and Weit Y. Mean values and classes of harmonic functions // Math. Proc. Camb. Dhil.
Soc. – 96. – 1984. – P. 501-505.
15. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.
16. Трофименко О.Д. Теорема єдиностi для розв’язкiв деяких рiвнянь середнiх значень // Труды
ИПММ НАН Украины. – 24. – 2012. – C. 234-242.
O.D. Trofymenko
A two-radii theorem for solutions of some mean value equations.
A description of solutions of some integral equations has been obtained. A two-radii theorem is obtained
as well.
Keywords: mean value theorem, spherical means, two-radii theorem.
О.Д. Трофименко
Теорема о двух радиусах для решений некоторых уравнений средних значений.
В работе получены описание решений некоторых интегральных уравнений, а также теорема о двух
радиусах.
Ключевые слова: теорема о среднем, сферические средние, теорема о двух радиусах.
Донецький нацiональний ун-т
odtrofimenko@gmail.com
Получено 14.11.12
250
|