О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами
Аналитически показана и численно подтверждена возможность стабилизации при помощи вращающихся твердых тел неустойчивого вращения волчка Лагранжа с произвольной осесимметричной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью. Проведены исследования влияния основных параметров вращающихся твердых те...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124137 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами / Т.В. Хомяк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 260-267. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124137 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241372017-09-21T03:03:10Z О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами Хомяк, Т.В. Аналитически показана и численно подтверждена возможность стабилизации при помощи вращающихся твердых тел неустойчивого вращения волчка Лагранжа с произвольной осесимметричной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью. Проведены исследования влияния основных параметров вращающихся твердых тел на эффект стабилизации. Аналiтично показано i чисельно пiдтверджено можливiсть стабiлiзацiї нестiйкого обертання вовчка Лагранжа з довiльною осесиметричною порожниною, повнiстю заповненою iдеальною рiдиною, за допомогою твердих тiл, що обертаються. Проведено дослiдження впливу основних параметрiв твердих тiл, що обертаються, на ефект стабiлiзацiї. Stabilization possibility by means of rigid bodies of unstable rotation on top Lagrange with an arbitrary axisymmetrical cavity, fully filled ideal fluid is shown analytically and numeral proved. Researches of influence of basic parameters of the rigid bodies are conducted on the effect of stabilization. 2012 Article О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами / Т.В. Хомяк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 260-267. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124137 531.36, 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Аналитически показана и численно подтверждена возможность стабилизации при помощи вращающихся твердых тел неустойчивого вращения волчка Лагранжа с произвольной осесимметричной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью. Проведены исследования влияния основных параметров вращающихся твердых тел на эффект стабилизации. |
| format |
Article |
| author |
Хомяк, Т.В. |
| spellingShingle |
Хомяк, Т.В. О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Хомяк, Т.В. |
| author_sort |
Хомяк, Т.В. |
| title |
О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами |
| title_short |
О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами |
| title_full |
О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами |
| title_fullStr |
О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами |
| title_full_unstemmed |
О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами |
| title_sort |
о стабилизации неустойчивого вращения волчка лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124137 |
| citation_txt |
О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с жидкостью вращающимися твердыми телами / Т.В. Хомяк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 260-267. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT homâktv ostabilizaciineustojčivogovraŝeniâvolčkalagranžasžidkostʹûvraŝaûŝimisâtverdymitelami |
| first_indexed |
2025-07-09T00:54:06Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:54:06Z |
| _version_ |
1837128689931780096 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 531.36, 531.38
c©2012. Т.В. Хомяк
О СТАБИЛИЗАЦИИ НЕУСТОЙЧИВОГО ВРАЩЕНИЯ
ВОЛЧКА ЛАГРАНЖА С ЖИДКОСТЬЮ ВРАЩАЮЩИМИСЯ
ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ
Аналитически показана и численно подтверждена возможность стабилизации при помощи враща-
ющихся твердых тел неустойчивого вращения волчка Лагранжа с произвольной осесимметричной
полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью. Проведены исследования влияния основ-
ных параметров вращающихся твердых тел на эффект стабилизации.
Ключевые слова: волчок Лагранжа, идеальная жидкость, устойчивость, пассивная стабили-
зация, эллипсоидальная полость.
1. Введение. Основным вопросом при исследовании движения твердых тел с
полостями, содержащими жидкость, является вопрос устойчивости движения твер-
дого тела, так как относительное движение жидкости в полости оказывает дестаби-
лизирующее воздействие на динамику твердого тела. В этой связи возникает задача
о поиске возможностей стабилизации неустойчивого движения твердого тела с жид-
костью.
Очевидно, что первой возможностью стабилизации яв-
Рис. 1.
ляется ограничение подвижности жидкости путем введе-
ния в полость различных перегородок [1]. Другой возмож-
ностью стабилизации является использование гироскопи-
ческих сил. Например, можно попытаться стабилизировать
неустойчивое вращение твердого тела с жидкостью при по-
мощи вращающихся твердых тел, связанных с телом общи-
ми точками и упругими восстанавливающими моментами.
Так, в работах [2, 3] показана возможность стабилиза-
ции неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью
одним вращающимся твердым телом, а в работе [4] рас-
смотрена задача о возможности стабилизации двумя твер-
дыми телами. В данной статье обобщаются результаты ра-
боты [4].
2. Постановка задачи. Рассмотрим несвободное (точ-
ка O1 неподвижна) движение системы связанных твердых
тел (рис. 1). Второе вращающееся тело S2 содержит произвольную осесимметрич-
ную полость, целиком заполненную идеальной, однородной и несжимаемой жид-
костью. Твердые тела S0
1 и S0
3 связаны с телом S2 в точках O2 и O3 при помощи
упругих восстанавливающих сферических шарниров с коэффициентами упругости,
соответственно, k1 и k2 (k1, k2 > 0). В невозмущенном движении твердые тела S0
i
вращаются с угловыми скоростями ω0i вокруг общей оси симметрии.
260
О стабилизации волчка Лагранжа с жидкостью
Поставим задачу о возможности стабилизации неустойчивого несвободного дви-
жения волчка Лагранжа вращающимися твердыми телами S0
1 и S0
3 .
В работе [5] получены уравнения движения системы n упруго связанных твер-
дых тел с полостями, содержащими жидкость. В основе этих уравнений лежат из-
вестные уравнения движения n гиростатов, полученные П.В. Харламовым, а урав-
нения возмущенного движения вращающейся идеальной жидкости взяты из работ
Л.В. Докучаева и Р.В. Рвалова [6], Р.В. Рвалова и В.М. Рогового [7].
Согласно работе [5] частотное уравнение возмущенного движения рассматривае-
мой механической системы имеет вид
F1F2F3 + 2µ2
(
µ1 + k1/λ2
) (
µ3 + k2/λ2
)− µ2
2F2−
− F1
(
µ3 + k2/λ2
)2 − F3
(
µ1 + k1/λ2
)2 = 0,
(1)
где
Fj = A′j +
Cjω0j
λ
+
ajg − kj−1 − kj
λ2
(k0 = k3 = 0, j = 1, 3),
F2 = A′2 +
C2ω02
λ
+
a2g − k1 − k2
λ2
− (λ + ω02)
∞∑
n=1
En
λ + λ̃n
,
A′1 = A1 + (m2 + m3)s2
1, A′2 = A2 + m3s
2
2, A′3 = A3,
µ1 = s1a2, µ2 = s1a3, µ3 = s2a3, λ̃n = (1− λn/ω02) ω02,
a1 = m1c1 + s1(m2 + m3), a2 = m2c2 + s2m3, a3 = m3c3,
(2)
Aj , Cj – соответственно экваториальный и осевой моменты инерции тел S0
1 , S2 и S0
3
относительно точки Oj , ω0j – угловая скорость твердого тела S0
j ; s1 = O1O2,
s2 = O2O3, cj = OjC̃j , C̃j – центр масс тела Sj , mj – масса тела Sj (j = 1, 3).
Если в точках O2 или O3 отсутствует шарнир (жесткое соединение), то возника-
ет задача о стабилизации одним вращающимся твердым телом. Эта задача была
рассмотрена в работах [2, 3].
Как известно, в большинстве случаев основной эффект влияния жидкости на
движение твердого тела можно учесть, рассматривая только основной тон колеба-
ния жидкости (n = 1) [6].
С учетом основного тона колебания жидкости (n = 1) уравнение (1) запишется
в виде полинома 7-ой степени
b0λ
7 + b1λ
6 + b2λ
5 + b3λ
4 + b4λ
3 + b5λ
2 + b6λ + b7 = 0, (3)
где
b0 = b∗0(E1), bj = b∗j−1(0)λ̃1 + b∗j (j = 1, 7), b∗0(E1) = A′1A
∗
2A
′
3 −A′1µ
2
3−
−A∗2µ
2
2 −A′3µ
2
1 + 2µ1µ2µ3, b∗1(E1) = (A∗2A
′
3 − µ2
3)C̃1 + (A′1A
′
3 − µ2
2)C
∗
2+
+ (A′1A
∗
2 − µ2
1)C̃3, b∗2(E1) = [(µ2 + µ3)2 − (A′1 + A∗2 + 2µ1)A′3]k1 + [(µ1+
+ µ2)2 − (A∗2 + A′3 + 2µ3)A′1]k2 + C̃1C
∗
2A′3 + C̃1C̃3A
∗
2 + C∗
2 C̃3A
′
1 + [(A∗2A
′
3−
− µ2
3)a1 + (A′1A
′
3 − µ2
2)a2 + (A′1A
∗
2 − µ2
1)a3]g, b∗3(E1) = C̃1C
∗
2 C̃3 − [(A′1+
+ A∗2 + 2µ1)C̃3 + (C̃1 + C∗
2 )A′3]k1 − [(A∗2 + A′3 + 2µ3)C̃1 + (C∗
2 + C̃3)A′1]k2+
261
Т.В. Хомяк
+ [(C∗
2A′3 + C̃3A
∗
2)a1 + (C̃1A
′
3 + C̃3A
′
1)a2 + (C̃1A
∗
2 + C∗
2A′1)a3]g, b∗4(E1) =
= (A′1 + A∗2 + A′3 + 2µ1 + 2µ2 + 2µ3)k1k2 − [(C̃1 + C∗
2 )C̃3 + g(A′1 + A∗2+
+ 2µ1)a3 + g(a1 + a2)A′3]k1 − [(C∗
2 + C̃3)C̃1 + g(A∗2 + A′3 + 2µ3)a1 + g(a2+
+ a3)A′1]k2 + [C∗
2 C̃3a1 + C̃1C̃3a2 + C̃1C
∗
2a3 + g(A′1a2a3 + A∗2a1a3 + A′3a1a2)]g,
b∗5(E1) = (C̃1 + C∗
2 + C̃3)k1k2 − g[(C̃1 + C∗
2 )a3 + (a1 + a2)C̃3]k1 − g[(C∗
2+
+ C̃3)a1 + (a2 + a3)C̃1]k2 + g2(C̃1a2a3 + C∗
2a1a3 + C̃3a1a2), b∗6(E1) = [(a1+
+ a2 + a3)k1k2 − (a1 + a2)a3k1g − (a2 + a3)a1k2g + a1a2a3g
2]g, Ẽ1 = E1ω01,
C∗
2 = C̃2 − Ẽ1, A∗2 = A′2 − E1, b∗7 = 0, C̃j = Cjω0j (j = 1, 3).
(4)
3. Метод исследования. Необходимым условием устойчивости и пассивной
стабилизации механической системы является условие действительности всех кор-
ней полученного уравнения (3). В настоящее время известен ряд критериев дейст-
вительности всех корней уравнений n-ой степени. Однако для поставленой задачи
стабилизации из-за многопараметричности и сложности коэффициентов частотного
уравнения необходимы более удобные критерии. Для рассматриваемого класса задач
наиболее удобным является критерий, предложенный в работе [8].
Стабилизировать неустойчивое вращение волчка Лагранжа с жидкостью можно
при помощи угловых скоростей вращающихся твердых тел ω01 и ω03, коэффициен-
тов упругости шарниров k1 и k2, а также при помощи параметров твердых тел A1,
A3, C1, C3, m1, m3, c1, c3.
Стабилизация при помощи угловой скорости вращения и осевого мо-
мента инерции твердых тел. Так как эти величины в коэффициенты уравне-
ния (3) входят в виде произведения (кинетического момента), то для простоты за-
писи введем следующие обозначения ω10 = C1ω01, ω30 = C3ω03. Для исследования
влияния параметров ω10 и ω30 на возможность стабилизации представим коэффици-
енты (4) в виде: b1 = a11ω10 + a13ω30 + b̃1, b2 = a21ω10 + a23ω30 + a213ω10ω30 + b̃2,
b3 = a31ω10 + a33ω30 + a313ω10ω30 + b̃3, b4 = a41ω10 + a43ω30 + a413ω10ω30 + b̃4, b5 =
= a51ω10 + a53ω30 + a513ω10ω30 + b̃5, b6 = a61ω10 + a63ω30 + b̃6. После подстановки
этих соотношений в условия действительности корней уравнения 7-ой степени [4, 8]
получается система шести неравенств 2-ой, 4-ой, 6-ой, 8-ой, 10-ой и 12-ой степени
относительно ω10 и ω30. Ввиду громоздкости полученных неравенств рассмотрим
частный случай, когда ω10 = ω30 = ω0 и k1 = k2 = k, тогда условия устойчивости
запишутся таким образом:
d12ω
2
0 + d11ω0 + d10 > 0,
d26ω
6
0 + d25ω
5
0 + ... + d21ω0 + d20 > 0,
d310ω
10
0 + d39ω
9
0 + ... + d31ω0 + d30 > 0,
d414ω
14
0 + d413ω
13
0 + ... + d41ω0 + d40 > 0,
d518ω
18
0 + d517ω
17
0 + ... + d51ω0 + d50 > 0,
d620ω
20
0 + d619ω
19
0 + ... + d61ω0 + d60 > 0,
(5)
262
О стабилизации волчка Лагранжа с жидкостью
где
d12 = 2(3a2
11 − 7b0a22), d26 = 35a2
22(a
2
11 − 4b0a22), a22 = A∗2, d310 = d̃31k + d̃30k,
d̃31 = 980a3
22(a
2
11 − 4b0a22), a11 = A∗2A
′
3 − µ2
3 + A′1A
∗
2 − µ2
1, d414 = d̃43k
3 + d̃42k
2+
+d̃41k + d̃40, d̃43 = 32928a3
22(a
2
11 − 4b0a22), d518 = d̃55k
5 + d̃54k
4 + ... + d̃51k + d̃50,
d̃55 = 614656a3
22λ̃
2
1(a
2
11 − 4b0a22), d620 = d̃69k
9 + d̃68k
8 + ... + d̃61k + d̃60, d̃69 =
= 8605184a3
22λ̃
4
1(a
2
11 − 4b0a22), b0 = A′1A
∗
2A
′
3 −A′1µ
2
3 −A∗2µ
2
2 −A′3µ
2
1 + 2µ1µ2µ3.
В обозначении dij : i – номер неравенства, j – степень параметра ω0 (i = 1, 6; j =
= 1, 20).
Коэффициенты d12 и d26 не зависят от k и будут положительными при выполне-
нии неравенств
3a2
11 − 7b0a22 > 0, a2
11 − 4b0a22 > 0. (6)
Из второго неравенства (6) следует выполнение первого. Подставив во второе
неравенство (6) значения a11, a22, b0 из соотношений (5), получим
(A∗2A
′
3 − µ2
3 + A′1A
∗
2 − µ2
1)
2 − 4(A′1A
∗
2A
′
3 −A′1µ
2
3 −A∗2µ
2
2 −A′3µ
2
1 + 2µ1µ2µ3)A∗2 > 0. (7)
С учетом значений A′1, A′3, µ1, µ2, µ3 из формул (2) неравенство (7) записывается
в виде
x2A
∗2
2 + x1A
∗
2 + x0 > 0, (8)
где
x2 = (A1 −A3 + s2
1(m2 + m3))2 + 4s4
1m
2
3c
2
3, x1 = 2[−s4
1m
3
2 − s2
1y1m
2
2 + 4s2
1m3y2m2+
+4m3y1y3]c2
2, x0 = [s4
1m
4
2 − 8s2
1m3y2m
2
2 + 16m2
3y
2
3]c
4
2, y1 = A1 −A3 + m3s
2
1,
y2 = A1 −A3 −m3c
2
3, y3 = A1 −A3 + m3c
2
3.
Квадратное неравенство (8) выполнено, так как его дискриминант
D = −16m2
3c
2
3c
4
2s
2
1((2m3 + m2)(2(A3 −A1)−m2s
2
1)− 4m2
3c
2
3)
2 < 0, x2 > 0.
Следовательно, неравенства (6) выполнены.
Коэффициенты d310, d414, d518 и d620 являются многочленами относительно па-
раметра k с положительными старшими коэффициентами, так как выполнено усло-
вие (6) и a22 > 0. При достаточно больших значениях k указанные коэффициенты
будут положительными. Таким образом, все коэффициенты при старших степенях в
системе неравенств (5) положительные, откуда следует, что при достаточно больших
ω0 эти неравенства всегда будут верными.
Следовательно, при достаточно больших значениях ω0 и k аналитически показа-
на возможность стабилизации при помощи двух вращающихся твердых тел неустой-
чивого вращения волчка Лагранжа с произвольной осесимметричной полостью, со-
держащей идеальную жидкость. Количественная оценка величин ω0 и k, при кото-
рых наблюдается эффект стабилизации, будет установлена при проведении числен-
ных расчетов.
263
Т.В. Хомяк
Влияние коэффициентов упругости сферических шарниров на воз-
можность стабилизации. Для исследования влияния коэффициентов упругости
шарниров k1 и k2 на возможность стабилизации представим коэффициенты (4) та-
ким образом: b2 = a21k1 + a22k2 + b̃2, b3 = a31k1 + a32k2 + b̃3, b4 = a41k1 + a42k2 +
+a412k1k2 + b̃4, b5 = a51k1 + a52k2 + a512k1k2 + b̃5, b6 = a61k1 + a62k2 + a612k1k2 + b̃6,
b7 = a71k1 + a72k2 + a712k1k2 + b̃7. Подставив эти соотношения в условия действи-
тельности корней уравнения 7-ой степени [4, 8], получим систему шести неравенств
1-ой, 3-ой, 5-ой, 7-ой, 9-ой и 11-ой степени относительно k1 и k2. Ввиду громозд-
кости полученных неравенств рассмотрим частный случай, когда k1 = k2 = k и
ω10 = ω30 = ω0, тогда условия устойчивости запишутся в виде
d11k + d10 > 0,
d23k
3 + d22k
2 + d21k + d20 > 0,
d36k
6 + d35k
5 + ... + d31k + d30 > 0,
d410k
10 + d49k
9 + ... + d41k + d40 > 0,
d514k
14 + d513k
13 + ... + d51k + d50 > 0,
d618k
18 + d617k
17 + ... + d61k + d60 > 0.
(9)
Здесь
d11 = −14b0a21, d23 = −28b0a21(5a2
21 − 14b0a42), d36 = 392b0a42(a2
21 − 4b0a42)·
· (5a2
21 − 14b0a42), d410 = 16464b0a
3
42(a
2
21 − 4b0a42)2, d514 = d̃52ω
2
0 + d̃51ω0 + d̃50,
d̃52 = 307328b0a
3
42(a
2
21 − 4b0a42)2, d618 = d̃64ω
4
0 + d̃63ω
3
0 + ... + d̃61ω0 + d̃60, d̃64 =
= 4302592b0a
3
42λ̃
2
1(a
2
21 − 4b0a42)2, b0 = A′1A
∗
2A
′
3 −A′1µ
2
3 −A∗2µ
2
2 −A′3µ
2
1 + 2µ1µ2µ3,
a21 = −[(A′1 + A∗2 + 2µ1)A′3 − (µ2 + µ3)2]− [(A∗2 + A′3 + 2µ3)A′1 − (µ1 + µ2)2],
a42 = A′1 + A∗2 + A′3 + 2µ1 + 2µ2 + 2µ3.
Как и ранее, введены обозначения dij : i – номер неравенства, j – степень параметра
k (i = 1, 6; j = 1, 18).
Так как a21 < 0, a42 > 0 и b0 > 0, то коэффициенты d11 и d410 – положительные.
Коэффициенты d23 и d36 не зависят от ω0 и будут положительными при выполнении
условий
5a2
21 − 14b0a42 > 0, a2
21 − 4b0a42 > 0. (10)
Из второго неравенства (10) следует выполнение первого. Подставив во второе
неравенство (10) значения a21, a42, b0, получим
((A′1 + A∗2 + 2µ1)A′3 − (µ2 + µ3)2 + (A∗2 + A′3 + 2µ3)A′1−
− (µ1 + µ2)2)2 − 4(A′1 + A∗2 + A′3 + 2µ1 + 2µ2 + 2µ3)·
· (A′1A∗2A′3 −A′1µ
2
3 −A∗2µ
2
2 −A′3µ
2
1 + 2µ1µ2µ3) > 0.
(11)
С учетом значений A′1, A′3, µ1, µ2, µ3 из формул (2) неравенство (11) записывает-
ся в виде (8), у которого старший коэффициент положительный, а дискриминант
264
О стабилизации волчка Лагранжа с жидкостью
отрицательный:
D = −16[s3
1(s1 + c2)(A3 + m3c3c2)m2
2 + s1(2m3c3y1c
2
2 + ((A1 −A3)(A3 + 3m3c3s1)+
+ m3s
2
1(3A3 + m3c3s1))c2 + s1(A3(2A1 −A3) + s2
1m3(2A3 −m3c3)))m2+
+ 4m2
3s1c3(A1 −A3 + m3c
2
3)c
2
2 + 2m3c2[m3s
2
1(s1 − 2c3)y2 + m3c
2
3s1(A1 + A3)+
+ A2
1c3 + A3s1(A1 −A3)−A1c3(A3 −m3s
2
1)] + y1(A1A3 + m3s
2
1y2)]2,
y1 = A1 −A3 + m3s
2
1, y2 = A3 −m3c
2
3.
Следовательно, условия (10) выполнены. Коэффициенты d514 и d618 являются мно-
гочленами относительно ω0 с положительными коэффициентами при старших сте-
пенях и при достаточно больших значениях ω0 будут положительными, а значит
будет справедлива система неравенств (9).
Таким образом, при одновременно достаточно больших значениях ω0 и k полу-
ченные системы неравенств (5) и (9) выполнены, и тем самым аналитически показа-
на возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного волчка Лаг-
ранжа с жидкостью при помощи двух вращающихся твердых тел.
4. Анализ численных результатов. В качестве примера рассмотрим случай
эллипсоидальной полости. Твердое тело S0
2 выбиралось безмассовой (m20 = 0) и
безинерционной оболочкой (A20 = C20 = 0), а вращающиеся твердые тела выбира-
лись тонкими круговыми дисками с центром масс, совпадающим с общими точками
(c1 = c3 = 0). Области устойчивости (закрашенные) представлены в плоскости па-
раметров ω02 и β (β = c/a, где a и c – полуоси эллипсоидальной полости, причем c
– величина полуоси, направленной по оси вращения твердого тела с жидкостью).
а) ω0 = 0 в) ω0 = 103б) ω0 = 102
Рис. 2. Области устойчивости при k1 = k2 = 102
Из рис. 2 видно, что при одновременном увеличении угловой скорости вращения
твердых тел (ω0 = ω01 = ω03) и коэффициентов упругости в сферических шарнирах
область устойчивости увеличивается, а для ω0 ≥ 103 и k1, k2 ≥ 102 – совпада-
ет с аналогичной областью устойчивости для статически уравновешенного волчка
Лагранжа (рис. 2в). Таким образом, гироскопические силы и упругий момент экви-
валентны силам, которые создают восстанавливающий момент, т.е. стабилизируют
механическую систему.
265
Т.В. Хомяк
Быстрее эффект стабилизации наступает в случае вращения волчка с жидкостью
и двух твердых тел в противоположные стороны (ω02 > 0, ω0 < 0), при ω0 = −5 · 103
система стабилизируется.
5. Выводы. В работе получены необходимые условия устойчивости равномер-
ного вращения несвободной системы трех волчков Лагранжа, один из которых со-
держит идеальную жидкость. Аналитически показана возможность стабилизации
при помощи вращающихся твердых тел неустойчивого вращения несвободного волч-
ка Лагранжа с произвольной осесимметричной полостью, содержащей идеальную
жидкость. Результаты аналитических исследований подтверждены проведенными
численными расчетами для эллипсоидальной полости, что дало возможность более
точно оценить влияние основных параметров вращающихся твердых тел на стаби-
лизацию волчка Лагранжа с жидкостью. Установлено, что эффективность стабили-
зации возрастает в случае вращения волчка с жидкостью и твердых тел в противо-
положные стороны.
1. Кононов Ю.Н. О влиянии перегородок в цилиндрической полости на устойчивость равномер-
ного вращения волчка Лагранжа / Ю.Н. Кононов // Матем. физ. и нелин. механика. – 1992.
– Вып. 17 (51). – С. 33-37.
2. Кононов Ю.Н., Хомяк Т.В. Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела
с жидкостью вращающимся твердым телом // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. –
С. 161-169.
3. Kononov Y.N., Khomyak T.V. On the rotation stabilization of the unstable gyroscope containing
fluid by rotating the rigid body // Facta Universitatis. Series Mechanics, Automatic Control and
Robotics. Placecountry-regionSerbia. – 2005. – Vol. 4, № 17. – P. 195-201.
4. Хомяк Т.В. О стабилизации неустойчивого вращения волчка Лагранжа с полостью, содержа-
щей жидкость // Механика машин, механизмов и материалов. – 2008. – № 3 (4). – С. 71-74.
5. Кононов Ю.Н. О движении системы связанных твердых тел с полостями, содержащими жид-
кость // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 207-216.
6. Докучаев Л.В., Рвалов Р.В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с поло-
стью, содержащей жидкость // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1973. – № 2. –
C. 6-14.
7. Рвалов Р.В., Роговой В.М. О вращательном движении тела с полостью, содержащей жидкость
// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1972. – № 3. – С. 15-20.
8. Коваль В.И. О действительности всех корней характеристического многочлена уравнений
первого приближения в динамике твердого тела // Механика твердого тела. – 1999. – Вып. 28.
– С. 130-145.
T.V. Khomyak
About stabilization of the unstable rotation of top Lagrange with fluid by rotating rigid
bodies.
Stabilization possibility by means of rigid bodies of unstable rotation on top Lagrange with an arbitrary
axisymmetrical cavity, fully filled ideal fluid is shown analytically and numeral proved. Researches of
influence of basic parameters of the rigid bodies are conducted on the effect of stabilization.
Keywords: top of Lagrange, ideal fluid, stability, passive stabilization, elliptic cavity.
266
О стабилизации волчка Лагранжа с жидкостью
Т.В. Хом’як
Про стабiлiзацiю нестiйкого обертання вовчка Лагранжа з рiдиною твердими тiлами,
що обертаються.
Аналiтично показано i чисельно пiдтверджено можливiсть стабiлiзацiї нестiйкого обертання вовчка
Лагранжа з довiльною осесиметричною порожниною, повнiстю заповненою iдеальною рiдиною,
за допомогою твердих тiл, що обертаються. Проведено дослiдження впливу основних параметрiв
твердих тiл, що обертаються, на ефект стабiлiзацiї.
Ключовi слова: вовчок Лагранжа, iдеальна рiдина, стiйкiсть, пасивна стабiлiзацiя, елiпсої-
дальна порожнина.
Донецкий национальный ун-т
khomyak-tanya@rambler.ru
Получено 25.11.12
267
|