Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью
Построение бифуркационных диаграмм одна из основных задач анализа динамических систем и основным инструментом для этих целей, в последние десятилетия, является метод точечных отображений, восходящий к Пуанкаре. В работе развивается традиционный для 50-х годов подход, основанный на методе гармоническ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124150 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью / В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 12-20. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124150 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241502017-09-22T03:02:41Z Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью Беловодский, В.Н. Сухоруков, М.Ю. Построение бифуркационных диаграмм одна из основных задач анализа динамических систем и основным инструментом для этих целей, в последние десятилетия, является метод точечных отображений, восходящий к Пуанкаре. В работе развивается традиционный для 50-х годов подход, основанный на методе гармонического баланса. Изложены концептуальные особенности его применения при учете большого количества гармоник, приводятся результаты его использования к анализу колебательной системы с одной степенью свободы и полиномиальной упругой и диссипативной характеристиками. Проведен анализ колебаний системы в зонах суб- и супергармонических резонансов, отмечены некоторые новые особенности в их возбуждении. Побудова бiфуркацiйних дiаграм є однiєю з основних задач аналiзу динамiчних систем i основним iнструментом для цих цiлей, в останнi десятилiття, є метод точкових вiдображень, висхiдний до Пуанкаре. У роботi розвивається традицiйний для 50-х рокiв пiдхiд, заснований на методi гармонiчного балансу. Викладено концептуальнi особливостi його застосування при облiку великої кiлькостi гармонiк, наводяться результати його використання до аналiзу коливальної системи з одним ступенем свободи i полiномiальною пружною i дисипативною характеристиками. Проведено аналiз коливань системи в зонах суб- i супергармонiчних резонансiв, вiдзначено деякi новi особливостi в їх збудженнi. Plotting of the bifurcation diagrams is one of the important problems in the analysis of dynamical systems. In recent decades the main instrument for this purpose is the method of point transformations, which goes back to Poincare. In paper we develop a traditional for 50’ies approach based on the harmonic balance method. The conceptual features of its application, taking into account a large number of harmonics, are considered, the results of its use for analysis of the oscillatory system with one degree of freedom and polynomial elastic and dissipative characteristics are presented. Oscillations of the system in areas of sub- and superharmonic resonances are studied, new features in their behavior are discovered. 2013 Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью / В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 12-20. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124150 534.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Построение бифуркационных диаграмм одна из основных задач анализа динамических систем и основным инструментом для этих целей, в последние десятилетия, является метод точечных отображений, восходящий к Пуанкаре. В работе развивается традиционный для 50-х годов подход, основанный на методе гармонического баланса. Изложены концептуальные особенности его применения при учете большого количества гармоник, приводятся результаты его использования к анализу колебательной системы с одной степенью свободы и полиномиальной упругой и диссипативной характеристиками. Проведен анализ колебаний системы в зонах суб- и супергармонических резонансов, отмечены некоторые новые особенности в их возбуждении. |
| author |
Беловодский, В.Н. Сухоруков, М.Ю. |
| spellingShingle |
Беловодский, В.Н. Сухоруков, М.Ю. Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Беловодский, В.Н. Сухоруков, М.Ю. |
| author_sort |
Беловодский, В.Н. |
| title |
Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью |
| title_short |
Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью |
| title_full |
Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью |
| title_fullStr |
Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью |
| title_full_unstemmed |
Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью |
| title_sort |
метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124150 |
| citation_txt |
Метод гармонического баланса применительно к построению бифуркационных диаграмм колебательных систем с полиномиальной нелинейностью / В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 12-20. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT belovodskijvn metodgarmoničeskogobalansaprimenitelʹnokpostroeniûbifurkacionnyhdiagrammkolebatelʹnyhsistemspolinomialʹnojnelinejnostʹû AT suhorukovmû metodgarmoničeskogobalansaprimenitelʹnokpostroeniûbifurkacionnyhdiagrammkolebatelʹnyhsistemspolinomialʹnojnelinejnostʹû |
| first_indexed |
2025-07-09T00:54:31Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:54:31Z |
| _version_ |
1837128715388059648 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 26
УДК 534.38
c©2013. В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков
МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К
ПОСТРОЕНИЮ БИФУРКАЦИОННЫХ ДИАГРАММ КОЛЕБАТЕЛЬ-
НЫХ СИСТЕМ С ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Построение бифуркационных диаграмм – одна из основных задач анализа динамических систем
и основным инструментом для этих целей, в последние десятилетия, является метод точечных
отображений, восходящий к Пуанкаре. В работе развивается традиционный для 50-х годов подход,
основанный на методе гармонического баланса. Изложены концептуальные особенности его при-
менения при учете большого количества гармоник, приводятся результаты его использования к
анализу колебательной системы с одной степенью свободы и полиномиальной упругой и диссипа-
тивной характеристиками. Проведен анализ колебаний системы в зонах суб- и супергармонических
резонансов, отмечены некоторые новые особенности в их возбуждении.
Ключевые слова: бифуркация, многорежимность, резонанс, полигармоническое колебание, пе-
риодический режим, численный анализ.
Введение. Еще 50-60 лет назад метод гармонического баланса (МГБ) был одним
из основных инструментов исследования различных колебательных систем, широ-
ко использовался для нахождения их бифуркационных, в частности, амплитудно-
и фазочастотных диаграмм [1, 2]. В последующие годы центр тяжести исследова-
ний нелинейных систем переместился в область более глубокого изучения явлений
многорежимности, в частности, построения областей притяжения [2], изучения ха-
отических аттракторов [3] и разработки подходов к классификации периодических
режимов [4]. Это востребовало использование различных вариантов стробоскопиче-
ских методов или, отображений Пуанкаре по современной терминологии, которые, в
настоящее время, и являются доминирующими при исследовании нелинейных дина-
мических систем [5]. Вместе с тем, МГБ позволяет свести решение системы диффе-
ренциальных уравнений к системе полиномиальных, а это позволяет, использовав
теорему Берштейна [6, 7], определить число решений таких систем. А последующее
применение для их анализа подходов тропической геометрии и развивающихся в
ней методов продолжения к решению полиномиальных уравнений [8], или же ме-
тодов интервальной арифметики [9], открывает реальную перспективу выполнения
глобального динамического анализа нелинейных систем с полиномиальной нели-
нейностью. Первым шагом в этом направлении представляется построение систем
полиномиальных уравнений, что для динамических систем с таким типом нели-
нейности успешно реализуется с использованием комплексной версии МГБ. Ниже
демонстрируется его применение к исследованию реальной динамической системы.
12
Метод гармонического баланса для построения бифуркационных диаграмм
Описание подхода, построение системы полиномиальных уравнений.
Рассмотрим уравнение
d2ξ
dτ2
+ µω0(1 + βξ + γξ2)
dξ
dτ
+ (1 + βξ + γξ2)ξ = P cos ητ , (1)
которое в безразмерной форме описывает движение одномассной вибромашины с
силовым или кинематическим возбуждением [10]. В данном случае предполагает-
ся кубический характер упругой характеристики и коэффициент сопротивления в
системе, пропорциональный коэффициенту жесткости упругих связей [11].
Полагая решение в виде
ξ(τ) =
N∑
n=−N
cneinητ , (2)
где N – число учитываемых гармоник, cn = c−n. После подстановки (2) в (1), выпол-
нения операций дифференцирования, возведения в степень и последующего срав-
нения коэффициентов при равных степенях einητ , получаем систему нелинейных
алгебраических уравнений
(
1 + iµω0n
1
qη − n2 1
q2 η2
)
cn + β
∑N
k=−N ckcn−k
(
1 + iµω0(n− k)1
qη
)
+
+γ
∑N
k=−N
∑N
m=−N ckcmcn−k−m
(
1 + iµω0(n− k −m)1
qη
)
=
=
{
P/2, n = ±q
0, n 6= ±q
,
(3)
где n, n − k, n − k −m ∈ [−N, N ], а q – управляющий параметр. Если q = 1, тогда
анализируются режимы периода T , т.е. основные и супергармонические, если же q =
2, 3, ..., – субгармонические режимы порядка 1 : q. Предполагая тригонометрическую
форму решения (2) в виде
ξ(τ) =
N∑
n=0
An cos (nητ − ϕn), (4)
получим, что амплитуда n-ой гармоники An = 2√cnc−n, а начальная фаза ϕn =
arccos cn+c−n
2
√
cnc−n
или ϕn = − arccos cn+c−n
2
√
cnc−n
, если = c−n < 0, где ϕn ∈ [−π, π).
Количество уравнений и неизвестных cn, c−n в системе (3) равно (2N +1). Даль-
нейшее численное ее решение при последовательном изменении частоты η или иного
параметра системы, далее – бифуркационного, и позволяет получить бифуркацион-
ную диаграмму.
Бифуркационные диаграммы. Особенности программной реализации.
Инструментом исследования является численное моделирование с использованием
разработанных приложений среды MATLAB для построения бифуркационных, в
частности, амплитудно- и фазочастотных (АЧХ и ФЧХ) характеристик, анализа
13
В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков
спектрального и фазового состава стационарных колебаний, определения областей
притяжения периодических режимов [12]. Быстродействие программных средств
MATLAB сильно зависит от использования в программах матричных операций. По
этим соображениям, для описания левых частей системы уравнений использован
специальный вид матрицы Теплица. Дело в том, что уравнения, получаемые в ре-
зультате применения МГБ, например, система (3), содержат ресурсоемкие операции
суммирования. При описании таких сумм в виде вложенных программных циклов,
время выполнения программы заметно увеличивается и, в ряде случаев пример-
но в 300 раз может превышать время работы алгоритма, использующего матрицы
Теплица.
В настоящей версии пакета для получения решений в области поиска использует-
ся метод мультистарта, что обеспечивается определенным объемом начальных проб-
ных точек, формирование которых производится с использованием Quasi-Random
LpTau последовательности [13]. Предположительные точки бифуркации диаграмм
устанавливаются путем контроля смены знака якобиана системы уравнений (3) или
потери устойчивости отслеживаемого режима, что, в свою очередь, устанавливается
по величине модулей мультипликаторов его уравнения в вариациях [14]. Программа
спектрального и фазового анализа базируется на численном решении задачи Ко-
ши для уравнения (1), определении его стационарных решений и последующем их
численном разложении в конечные ряды Фурье вида (4).
Результаты, анализ. На рис. 1-4 представлены полученные результаты. В раз-
ложениях (2) учитывались пять гармонических составляющих и при визуализации
на рисунках указаны лишь те из них, амплитуды которых составляли не менее 1%
от наибольшей. Отметим некоторые особенности.
Прежде всего, обратим внимание на ярко выраженный полигармонический ха-
рактер колебаний в зонах супергармонических резонансов. В частности, при резо-
нансе порядка 2 : 1 амплитуда бигармонической составляющей может составлять
до половины основной (см. рис. 1). Несомненно, эта особенность в поведении рас-
сматриваемой системы могла бы быть изучена с учетом дополнительных факторов,
однако, уже и это количественное соотношение свидетельствует об определенном
практическом подтексте [14], и могла бы учитываться при разработке вибрацион-
ных машин технологического назначения.
При данном уровне сопротивления и симметричной характеристике упругой си-
лы (β = 0) из числа младших удалось обнаружить лишь субрезонансы порядка
1 : 3 (см. рис. 1а, 1б). Характерным является наличие трех пар субгармонических
режимов, причем режимы каждой группы (устойчивые, – сплошная линия, неустой-
чивые, – пунктирная) отличаются лишь сдвигом фаз составляющих гармоник и сов-
падают при параллельном переносе, т.е. ξ(τ) = ξ(τ − s). Элементарный анализ дает
основания для обобщения этой особенности и позволяет сформулировать следую-
щее предположительное заключение: В нелинейной системе (1) множество субгар-
монических режимов порядка 1 : n может быть разделено на один или несколько
непересекающихся классов. Каждый класс содержит по 2n режимов, из которых
только n являются устойчивыми. Режимы устойчивых и неустойчивых групп иден-
14
Метод гармонического баланса для построения бифуркационных диаграмм
Рис. 1. АЧХ (а), ФЧХ (б) и области притяжения (в) для µω0 = 0.1, β = 0, γ = 0.5, P = 10, где
A
(m)
k , ϕ
(m)
k – амплитуда и начальная фаза k-ой гармоники m-ого режима
тичны относительно сдвига и совпадают при замене переменной τ := τ + 2πm/ω,
где m = 0, 1, ..., (n − 1). Или, что то же самое, фазы их гармоник отличаются на
2πkm/n, где k – номер гармоники, m – номер режима.
Области притяжения (см. рис. 1в) свидетельствуют о существенном запасе устой-
чивости режимов порядка 1 : 3. Это, в частности, проявляется в том, что размеры
ядер сечений τ = 0 их областей притяжения лежат в диапазоне 0.5 .. 0.6 и вполне
сравнимы с ядром основного режима. В силу сделанного выше заключения, их мож-
но рассматривать как сечения τ = τ0+2π/n области притяжения любого из режимов
устойчивой группы.
На рис. 2 представлены бифуркационные диаграммы для резонанса 1 : 3. Из чис-
ла особенностей отметим его обострение при введении асимметрии β характеристики
(рис. 2а), а также экстремальный характер зависимости при изменении P (рис. 2б).
15
В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков
Рис. 2. Бифуркационные кривые для режимов порядка 1 : 3 при варьировании: а) β; б) P
После снижения сопротивления в системе были обнаружены и субгармонические
режимы порядка 1 : 2 (см. рис. 3). Их число и характер подтверждают сформули-
рованную выше гипотезу.
Асимметрию упругой характеристики (рис. 4а) и асимметрию возбуждения (рис.
4б) можно рассматривать как факторы, которые способствуют появлению резонанса
1 : 2. Последний рисунок свидетельствует, что даже незначительное дополнительное
возмущение на частоте субгармоники может оказаться достаточным для формиро-
вания интенсивных режимов порядка 1 : 2.
Отметим ”энергетические“ особенности субгармонических режимов. Выполним
следующий умозрительный эксперимент. Рассмотрим, например, значение η = 3.65
(рис. 3). Ему соответствуют A1/2 ≈ 2.16, A2/2 ≈ 1.08. Положив в (1) β = γ = 0, мы
получим линейную вибромашину. Используем для определения ее амплитуды коле-
баний расчетное соотношение A ≈ P/(η2 − 1), справедливое при η À 1. Получим,
что для обеспечения полигармонического состава колебаний в линейной виброма-
шине, сформированной таким образом, необходимо бигармоническое возбуждение
со значениями его силовых составляющих равных P1/2 ≈ 5.03, P1 ≈ 13.31. Та-
ким образом, их суммарная величина составляет 18.34 единиц, против 10 единиц
в нелинейной. Данное обстоятельство позволяет надеяться и на ощутимое снижение
энергоемкости вибромашин, работающих в режиме субгармонических резонансов.
Дополнительное упрощение конструкции, которое сопровождает использование од-
ного вибровозбудителя вместо двух, представляется очевидным.
Рис. 5 демонстрирует возможности МГБ в исследовании более тонких особен-
ностей в поведении нелинейных динамических систем. На рис. 5а представлены ре-
зультаты, любезно предоставленные нам автором [16], полученные путем реализации
отображения Пуанкаре. На рис. 5б представлены бифуркационные диаграммы, по-
лученные с использованием МГБ, при этом общее число учитываемых гармоник в
разложениях (2) составляло 12. Оба расчета выполнены для значений параметров
µω0 = 0.05, β = 0, γ = 0.5, P = 10, q = 12.
На рис. 5б показаны режимы порядков 1 : 1, 1 : 2, 1 : 3, 1 : 6, 1 : 12 и не указаны –
16
Метод гармонического баланса для построения бифуркационных диаграмм
Рис. 3. АЧХ (а), ФЧХ (б) и области притяжения (в) для режимов порядка 1 : 2 и µω0 = 0.05
1 : 3, существующие при η > 3.7, и 1 : 5. В зоне субгармонического резонанса 1 : 3
присутствует хаотический аттрактор, на рис. 5а он обозначен как UPI-3, Unstable
Periodic Infinitium, отражающий факт бесконечного удвоения периодов режимов,
кратных 3, на рис. 5б процесс удвоения периода колебаний отражен путем постро-
ения режимов 1 : 3, 1 : 6 и 1 : 12. Кроме этого, в диапазоне 3.075 ≤ η ≤ 3.325
с помощью МГБ были определены дополнительные 48 режимов, они показаны на
рис. 5б пунктиром.
Заключение. На примере одномерной динамической системы продемонстриро-
ваны возможности метода гармонического баланса в части исследования стационар-
ных движений динамических систем с полиномиальной нелинейностью. В данном
случае его использование помогло обратить внимание и вскрыть некоторые новые
особенности в возбуждении комбинационных резонансов. Концептуальное обобще-
ние изложенного подхода для анализа динамических систем более высокой размер-
ности, в принципиальном плане, представляется вполне очевидным.
С точки зрения практических приложений, представленные результаты демон-
17
В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков
Рис. 4. АЧХ и ФЧХ для режимов порядка 1 : 2 при введении: а) асимметрии характеристики
β = 0.1; б) асимметрии возбуждения P1/2 cos (0.5ητ), где P1/2 = 0.5
стрируют полигармонические возможности комбинационных резонансов и некото-
рые резервы их управления при реальных значениях силовых и диссипативных
факторов. К числу очередных вопросов на пути к практическому их использова-
нию можно отнести проблему выхода вибрационных машин на проектный режим в
условиях его ограниченной устойчивости. Идеальным выходом из этого положения
представляется вариант упругой характеристики, для которой выбранный комби-
национный режим является глобально устойчивым.
В части использования МГБ для глобального анализа динамических систем та-
кого типа одна из проблем заключается в отделении комплексно сопряженных реше-
ний полиномиальных систем уравнений. Дело в том, что движениям динамической
системы, в данном случае, – решениям уравнения (1), соответствуют лишь сопря-
женные решения системы (3), в то время, как теорема Бернштейна, по существу,
предлагает метод определения их общего числа. Насколько это может оказаться су-
щественным, приведем следующий пример. При трех учитываемых гармониках в
разложениях (2) и η = 4.0 общее число решений системы (3), определенное с помо-
щью программы MixedVol [17], реализующей расчет смешанных объемов многогран-
ников Ньютона, равно 414, в то время как число комплексно-сопряженных решений
18
Метод гармонического баланса для построения бифуркационных диаграмм
Рис. 5. Бифуркационные диаграммы вынужденных колебаний, полученные: а) в [16]; б) МГБ
при q = 3, определенное с помощью метода мультистарта, оказалось равным всего
6.
1. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат, 1956. – 600 с.
2. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах: пер. с англ. / Т. Хаяси. – М.: Мир,
1968. – 432 с.
3. Ueda Y. The Road to Chaos (Cover, Preface, Technical Comments). – Aerial Press. Kyoto University
Research Information Repository, Kyoto, 1992. – 224 p.
4. Zakrzhevsky M.V. Bifurcation Theory of Nonlinear Dynamics and Chaos. Periodic Skeletons and
Rare Attractors // Rare Attractors and Rare Phenomena in Nonlinear Dynamics. Proceeding of
the 2nd International Symposium RA’11. – Riga, RTU, 2011. – P. 1-10.
5. Thompson J.M.T. Nonlinear Dynamics and Chaos. Second Edition. – John Willey & Sons, Ltd,
2002. – 438 p.
6. Хованский А.Г. Многогранники Ньютона и род полных пересечений // Функциональный ана-
лиз и его приложения, 12:1, 1978. – С. 51-61.
7. Surmefls B. Solving Systems of Polynomial Equations. – Amer. Math. Soc., CBMS Regional Conferen-
ces Series, No. 97. – Providence, Rhode Island, 2002. – 158 p.
8. Кирштейн Б.Х. Деквантование Маслова и метод гомотопий для решения систем нелинейных
алгебраических уравнений // Математические заметки. – Т. 83. – Вып. 2. – 2008. – С. 221-231.
9. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. – Институт вычислительных технологий
СО РАН. – Новосибирск: XYZ, 2012. – 604 с.
10. Крюков Б.И. Динамика вибрационных машин резонансного типа / Б.И. Крюков. – Киев: На-
укова думка, 1967. – 210 с.
11. Аснер В.И. Конструкции и расчеты фильтрующих центрифуг. – М.: Недра, 1976. – 216 с.
12. Беловодский В.Н. Нелинейные вибромашины, супергармонические резонансы и полигармони-
19
В.Н. Беловодский, М.Ю. Сухоруков
ческие вибрации // Прогрессивные технологии и системы машиностроения: Международный
сборник научных трудов. – Вып. 40. – Донецк: ДонНТУ, 2010. – C. 20-26.
13. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. – М.: Наука,
1981. – 110 с.
14. Якубович В.А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами
и их приложения. – М.: Наука, 1972. – 720 с.
15. Богданов О.С. Справочник по обогащению руд. Основные процессы. – М.: Недра, 1983. – 381 с.
16. Zakrzhevsky M.V. Rare Attractors and Typical Bifurcation Groups in Nonlinear Dynamics and
Chaos. – Riga, RTU, 2012 (In print).
17. Li T.Y. Finding mixed cells in the mixed volume computation // Found. Comput. Math, Vol. 1,
2001. – P. 161-181.
V.N. Belovodskiy, M.Y. Sukhorukov
The harmonic balance method for the finding of bifurcation diagrams of oscillatory systems
with polynomial nonlinearity.
Plotting of the bifurcation diagrams is one of the important problems in the analysis of dynamical
systems. In recent decades the main instrument for this purpose is the method of point transformations,
which goes back to Poincare. In paper we develop a traditional for 50’ies approach based on the harmonic
balance method. The conceptual features of its application, taking into account a large number of
harmonics, are considered, the results of its use for analysis of the oscillatory system with one degree of
freedom and polynomial elastic and dissipative characteristics are presented. Oscillations of the system
in areas of sub- and superharmonic resonances are studied, new features in their behavior are discovered.
Keywords: bifurcation, multi-regime, resonance, polyharmonic oscillation, periodic regime, numerical
analysis.
В.М. Бєловодський, М.Ю. Сухоруков
Метод гармонiчного балансу стосовно до побудови бiфуркацiйних дiаграм коливаль-
них систем з полiномiальною нелiнiйнiстю.
Побудова бiфуркацiйних дiаграм є однiєю з основних задач аналiзу динамiчних систем i основним
iнструментом для цих цiлей, в останнi десятилiття, є метод точкових вiдображень, висхiдний до
Пуанкаре. У роботi розвивається традицiйний для 50-х рокiв пiдхiд, заснований на методi гармонiч-
ного балансу. Викладено концептуальнi особливостi його застосування при облiку великої кiлькостi
гармонiк, наводяться результати його використання до аналiзу коливальної системи з одним сту-
пенем свободи i полiномiальною пружною i дисипативною характеристиками. Проведено аналiз
коливань системи в зонах суб- i супергармонiчних резонансiв, вiдзначено деякi новi особливостi в
їх збудженнi.
Ключовi слова: бiфуркацiя, багаторежимнiсть, резонанс, полiгармонiчне коливання, перiодич-
ний режим, чисельний аналiз.
Донецкий национальный технический ун-т
belovodskiy@cs.dgtu.donetsk.ua
Получено 14.11.12
20
|