Задача оптимальной фильтрации
В статье рассмотрена задача построения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки гауссовского частично наблюдаемого случайного процесса по наблюдениям, содержащим запаздывание. Показано, что решение задачи фильтрации можно свести к решению разностного уравнения типа Винера-Хопфа, называемого...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124151 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Задача оптимальной фильтрации / Н.В. Брадул // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 21-30. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124151 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241512017-09-22T03:02:43Z Задача оптимальной фильтрации Брадул, Н.В. В статье рассмотрена задача построения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки гауссовского частично наблюдаемого случайного процесса по наблюдениям, содержащим запаздывание. Показано, что решение задачи фильтрации можно свести к решению разностного уравнения типа Винера-Хопфа, называемого основным уравнением фильтрации. Рассмотрены частные случаи основного уравнения фильтрации, в которых его решение можно получить в явном виде. Исследована зависимость ошибки оценивания от величины запаздывания в наблюдениях. У статтi розглянуто задачу побудови оптимальної в середньоквадратичному розумiннi оцiнки гауссiвського частково спостережуваного випадкового процесу за спостереженнями, що мiстять запiзнення. Показано, що розв’язок задачi фiльтрацiї можна звести до розв’язку рiзницевого рiвняння типу Вiнера-Хопфа, якiй називається основним рiвнянням фiльтрацiї. Розглянуто окремi випадки основного рiвняння фiльтрацiї, в яких його розв’язок можна отримати в явному виглядi. Дослiджено залежнiсть помилки оцiнювання вiд величини запiзнення в спостереженнях. In this paper we consider the problem of constructing an optimal mean-square estimation of a Gaussian partially observable random process observed with delay. It is shown that the solution of filtration problem can be reduced to the solution of the difference equation of the type of Wiener-Hopf, called the fundamental equation of filtration. Special cases of the fundamental equation of filtration, in which his solution can be obtained explicitly are considered. The dependence of the error of estimation of the time lag in the observations is investigated. 2013 Задача оптимальной фильтрации / Н.В. Брадул // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 21-30. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124151 517.977.1 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье рассмотрена задача построения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки гауссовского частично наблюдаемого случайного процесса по наблюдениям, содержащим запаздывание. Показано, что решение задачи фильтрации можно свести к решению разностного уравнения типа Винера-Хопфа, называемого основным уравнением фильтрации. Рассмотрены частные случаи основного уравнения фильтрации, в которых его решение можно получить в явном виде. Исследована зависимость ошибки оценивания от величины запаздывания в наблюдениях. |
| author |
Брадул, Н.В. |
| spellingShingle |
Брадул, Н.В. Задача оптимальной фильтрации Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Брадул, Н.В. |
| author_sort |
Брадул, Н.В. |
| title |
Задача оптимальной фильтрации |
| title_short |
Задача оптимальной фильтрации |
| title_full |
Задача оптимальной фильтрации |
| title_fullStr |
Задача оптимальной фильтрации |
| title_full_unstemmed |
Задача оптимальной фильтрации |
| title_sort |
задача оптимальной фильтрации |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124151 |
| citation_txt |
Задача оптимальной фильтрации / Н.В. Брадул // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 21-30. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT bradulnv zadačaoptimalʹnojfilʹtracii |
| first_indexed |
2025-07-09T00:54:37Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:54:37Z |
| _version_ |
1837128724023083008 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 26
УДК 517.977.1
c©2013. Н.В. Брадул
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
В статье рассмотрена задача построения оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки гаус-
совского частично наблюдаемого случайного процесса по наблюдениям, содержащим запаздывание.
Показано, что решение задачи фильтрации можно свести к решению разностного уравнения ти-
па Винера-Хопфа, называемого основным уравнением фильтрации. Рассмотрены частные случаи
основного уравнения фильтрации, в которых его решение можно получить в явном виде. Исследо-
вана зависимость ошибки оценивания от величины запаздывания в наблюдениях.
Ключевые слова: оптимальная оценка, задача фильтрации, ошибка оценивания.
1. Введение. Задача фильтрации поставлена и решена А.Н. Колмогоровым для
стационарных случайных последовательностей и Н. Винером для систем с непрерыв-
ным временем. Н. Винер свел решение поставленной задачи к решению так назы-
ваемого интегрального уравнения Винера-Хопфа. В статье доказано, что решение
задачи фильтрации частично наблюдаемым гауссовским случайным процессом по
результатам наблюдений, содержащих запаздывание, сводится к решению уравне-
ния типа Винера-Хопфа.
2. Основное уравнение фильтрации. Пусть задано вероятностное простран-
ство {Ω, S,P} с потоком σ-алгебр Fi ⊂ S, i ∈ Z = {0, 1, . . . , N}. Обозначим через(
x(i), y(i)
)
частично наблюдаемый Fi-измеримый случайный процесс, x(i) – нена-
блюдаемая, y(i) – наблюдаемая компоненты, x(i) ∈ Rn, y(i) ∈ Rk.
Рассмотрим задачу фильтрации, состоящую в построении оптимальной в средне-
квадратическом смысле оценки m0(N) величины x(N) по результатам наблюдений
y(i), 0 ≤ i ≤ N . Если E
∣∣x(N)
∣∣2 < ∞, то такой оценкой является условное математи-
ческое ожидание [1]
m0(N) = E
(
x(N)/F
y
N
)
. (1)
Здесь F
y
i – минимальная σ-алгебра, порожденная процессом y(j), 0 ≤ j ≤ i.
Предположим, что x(i) – гауссовский случайный процесс, y(i) определяется со-
отношением
y(i + 1) = A(i)x(i− h) + ξ(i + 1), x(j) = 0, −h ≤ j < 0, y(0) = 0. (2)
Здесь ξ(i) ∈ Rk Fi-измеримые гауссовские случайные величины с независимыми
значениями, Eξ(i) = 0, Eξ(i)ξ′(j) = 0, i 6= j, Eξ(i)ξ′(i) = S(i), матрица S(i) рав-
номерно положительно определена, неслучайная матрица A(i) размерности k × n,
Ex(i) = 0, Ex(i)x′(j) = R(i, j), Ex(i)ξ′(j) = Q(i, j), Q(i, j) = 0, при i < j, матрицы
S(i), R(i, j), Q(i, j) имеют соответствующие размерности.
Лемма 1. Существует неслучайная матрица u0(j), j ∈ Z, размерности n× k
21
Н.В. Брадул
такая, что для оценки (1) справедливо представление
m0(N) =
N−1∑
j=0
u0(j)y(j + 1). (3)
Доказательство леммы является следствием из теоремы о нормальной корреля-
ции [1].
Из Леммы 1 следует, что построение оптимальной в среднеквадратическом смыс-
ле оценки (1) сводится к построению некоторой неслучайной матрицы.
Теорема 1. Матрица u0(j), определяющая оценку (3), является единственным
решением уравнения типа Винера-Хопфа
u0(j)S(j + 1) +
N−1∑
i=0
u0(i)Z(i, j) = P (j), j = 0, 1, . . . , N − 1. (4)
Здесь
P (j) = R(N, j − h)A′(j) + Q(N, j + 1), (5)
Z(i, j) = A(i)R(i− h, j − h)A′(j) + Q′(j − h, i + 1)A′(j) + A(i)Q(i− h, j + 1). (6)
Доказательство. Пусть m0(N) – оптимальная в среднеквадратическом смысле
оценка величины x(N), определяемая соотношением (3), а m(N) – оценка вида (3)
с произвольной функцией u(j). Легко видеть, что
E
(
x(N)−m0(N)
)
m′(N) = E
[
E
(
x(N)−m0(N)
)
/F
y
N
]
m′(N) =
= E
[
E
(
x(N)/F
y
N
)−m0(N)
]
m′(N) = 0. (7)
Используя для оценок m0(N) и m(N) представления вида (3), получим на основании
(7)
N−1∑
j=0
[
Ex(N)y′(j + 1)−
N−1∑
i=0
u0(i)Ey(i + 1)y′(j + 1)
]
u′(j) = 0. (8)
Tак как функция u(j) произвольна, то выражение в квадратных скобках в (8) долж-
но равняться нулю при каждом j = 0, . . . , N − 1. Tаким образом, уравнение для
определения функции u0(i) имеет вид
Ex(N)y′(j + 1) =
N−1∑
i=0
u0(i)Ey(i + 1)y′(j + 1). (9)
Используя (2), получим
Ex(N)y′(j + 1) = Ex(N)x′(j − h)A′(j) + Ex(N)ξ′(j + 1) =
22
Задача оптимальной фильтрации
= R(N, j − h)A′(j) + Q(N, j + 1) = P (j), (10)
N−1∑
i=0
u0(i)Ey(i + 1)y′(j + 1) =
=
N−1∑
i=0
u0(i)E
(
A(i)x(i− h) + ξ(i + 1)
)(
A(j)x(j − h) + ξ(j + 1)
)′
.
Отсюда с помощью (5), (6) следует
N−1∑
i=0
u0(i)Ey(i + 1)y′(j + 1) =
N−1∑
i=0
u0(i)
[
A(i)R(i− h, j − h)A′(j)+
+Q′(j − h, i + 1)A′(j) + A(i)Q(i− h, j + 1)
]
+ u0(j)S(j + 1) =
=
N−1∑
i=0
u0(i)Z(i, j) + u0(j)S(j + 1). (11)
Из (9)-(11) следует, что функция u0(i), определяющая оптимальную в среднеквад-
ратическом смысле оценку (3), является решением уравнения (4).
Докажем, что полученное решение задачи фильтрации единственно. Предпо-
ложим, что существует два различных решения задачи (4) u1(j) и u2(j). Пусть
∆u(j) = u1(j) − u2(j). Подставляя u1(j) и u2(j) в (9) и вычитая одно равенство
из другого, имеем
N−1∑
i=0
∆u(i)Ey(i + 1)y′(j + 1) = 0. Умножая полученное выражение
справа на ∆u′(j) и суммируя по 0 ≤ j ≤ N − 1, получим
N−1∑
j=0
N−1∑
i=0
∆u(i)Ey(i + 1)y′(j + 1)∆u′(j) = 0,
откуда,
E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)y(i + 1)
∣∣∣∣∣
2
= 0.
Обозначим
x0(i) =
N−1∑
j=0
α(i, j + 1)ξ(j + 1), α(i, j) = Q(i, j)S−1(j),
β(j) = ∆u(j) +
N−1∑
i=j+h+1
∆u(i)A(i)α(i− h, j + 1).
Tак как
E[x(i)− x0(i)]ξ′(j + 1) = Q(i, j + 1)−E
N−1∑
l=0
α(i, l + 1)ξ(l + 1)ξ′(j + 1) =
23
Н.В. Брадул
= Q(i, j + 1)−Q(i, j + 1)S−1(j + 1)S(j + 1) = 0,
то, используя (2), получим
E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)y(i + 1)
∣∣∣∣∣
2
= E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)
[
A(i)x(i− h) + ξ(i + 1)
]∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)
[
A(i)
(
x(i− h)− x0(i− h)
)
+ A(i)x0(i− h) + ξ(i + 1)
]∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
[
∆u(i)A(i)
[
x(i− h)− x0(i− h)
]
+
+∆u(i)A(i)
N−1∑
j=0
α(i− h, j + 1)ξ(j + 1) + ∆u(i)ξ(i + 1)
]∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)A(i)
[
x(i− h)− x0(i− h)
]
+
+
N−1∑
i=0
∆u(i)A(i)
N−1∑
j=0
α(i− h, j + 1)ξ(j + 1) +
N−1∑
i=0
∆u(i)ξ(i + 1)
∣∣∣∣∣
2
.
Используя то, что α(i− h, j) = 0 при i− h < j, преобразуем две последние суммы в
этом выражении следующим образом:
N−1∑
i=h
∆u(i)A(i)
i−h−1∑
j=0
α(i− h, j + 1)ξ(j + 1) +
N−1∑
i=0
∆u(i)ξ(i + 1) =
=
N−h−2∑
j=0
N−1∑
i=j+h+1
∆u(i)A(i)α(i− h, j + 1)ξ(j + 1) +
N−1∑
i=0
∆u(i)ξ(i + 1) =
=
N−1∑
j=0
[
∆u(j) +
N−1∑
i=j+h+1
∆u(i)A(i)α(i− h, j + 1)
]
ξ(j + 1) =
N−1∑
j=0
β(j)ξ(j + 1).
В результате получаем
E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)y(i + 1)
∣∣∣∣∣
2
= E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)A(i)
[
x(i− h)− x0(i− h)
]
+
N−1∑
j=0
β(j)ξ(j + 1)
∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣
N−1∑
i=0
∆u(i)A(i)
[
x(i− h)− x0(i− h)
]∣∣∣∣∣
2
+ Tr
[
N−1∑
j=0
β(j)S(j + 1)β′(j)
]
= 0.
24
Задача оптимальной фильтрации
Tак как это выражение равно нулю, то, для любого 0 ≤ j ≤ N − 1,
Tr
[
β(j)S(j + 1)β′(j)
]
=
m∑
l=1
[
βl(j)S(j + 1)β′l(j)
]
= 0,
где βl(j), 1 ≤ l ≤ m – строки матрицы β(j). Из положительной определенности
матрицы S(j) вытекает βl(j) = 0, для любого 1 ≤ l ≤ m, следовательно, β(j) = 0,
то есть,
∆u(j) +
N−1∑
i=j+h+1
∆u(i)A(i)α(i− h, j + 1) = 0. (12)
Из уравнения (12) вытекает, что ∆u(j) = 0 при N − h − 1 ≤ j ≤ N − 1. Пусть
j = N − h− 2, тогда (12) представимо в виде
∆u(N − h− 2) + ∆u(N − 1)A(N − 1)α(N − h− 1, N − h− 1) = 0.
Отсюда ∆u(N − h− 2) = 0. Аналогично, при j = N − h− 3 (12) имеет вид
∆u(N − h− 3) +
N−1∑
i=N−2
∆u(i)A(i)α(i− h,N − h− 2) = 0,
то есть, ∆u(N−h−3) = 0. Проводя аналогичные рассуждения, получим, что ∆u(j) =
0 при 0 ≤ j ≤ N−1. Следовательно, два решения u1(j) и u2(j) совпадают для любого
j, то есть, решение задачи фильтрации единственно. ¤
Вычислим ошибку оценивания J(u0) величины x(N). С учетом (3), (5)
J(u0) = E
∣∣x(N)−m0(N)
∣∣2 = ETr
[
x(N)
(
x(N)−m0(N)
)′] =
= Tr
[
R(N, N)−
N−1∑
j=0
P (j)u′0(j)
]
. (13)
3. Частные случаи. В некоторых случаях решение уравнения (4) можно по-
лучить в явном виде. В частности, если h ≥ N , то R(N, j − h) = 0 и из (4)–(6), (13)
следует
u0(j) = Q(N, j + 1)S−1(j + 1),
J(u0) = Tr
[
R(N, N)−
N−1∑
j=0
Q(N, j + 1)S−1(j + 1)Q′(N, j + 1)
]
.
Пусть теперь h < N , ненаблюдаемый процесс x(i) = ψ(i)x0, где ψ(i) – неслучай-
ная матрица, ψ(0) = I, x0 – не зависящая от ξ(i) гауссовская случайная величина,
Ex0 = 0, Ex0x
′
0 = D0. Tогда Q(i, j) = 0, а корреляционная матрица R(i, j) имеет
вид
R(i, j) = ψ(i)D0ψ
′(j). (14)
25
Н.В. Брадул
В этом случае матрица u0(j) ≡ 0 при 0 ≤ j < h, а при h ≤ j ≤ N определяется
уравнением
u0(j)S(j + 1) +
N−1∑
i=h
u0(i)A(i)ψ(i− h)D0ψ
′(j − h)A′(j) = ψ(N)D0ψ
′(j − h)A′(j),
которое можно переписать в виде уравнения Фредгольма
u0(j) =
[
ψ(N)−
N−1∑
i=h
u0(i)A(i)ψ(i− h)
]
D0ψ
′(j − h)A′(j)S−1(j + 1). (15)
Решение уравнения (15) будем искать в виде
u0(j) = ψ(N)Fψ′(j − h)A′(j)S−1(j + 1), (16)
где матрица F подлежит определению. Подставив (16) в (15) и положив
G =
N−1∑
i=h
ψ′(i− h)A1(i)ψ(i− h) =
N−h−1∑
i=0
ψ′(i)A1(i + h)ψ(i),
A1(i) = A′(i)S−1(i + 1)A(i), (17)
получим F = (I − FG)D0 = D0 − FGD0 или
F =
(
D−1
0 + G
)−1
. (18)
Tаким образом, при указанных предположениях оптимальная оценка определяется
формулами (3), (16)-(18). Из (13), (14), (16)-(18) вытекает, что соответствующая
ошибка оценивания равна
J(u0) = Tr
[
R(N, N)−
N−1∑
j=0
P (j)u′0(j)
]
= Tr
[
ψ(N)D0ψ
′(N)−
−
N−1∑
j=0
ψ(N)D0ψ
′(j − h)A′(j)
(
ψ(N)Fψ′(j − h)A′(j)S−1(j + 1)
)′]
=
= Tr
[
ψ(N)D0ψ
′(N)−
−
N−1∑
j=0
ψ(N)D0ψ
′(j − h)A′(j)
(
S−1(j + 1)
)′
A(j)ψ(j − h)F ′ψ′(N)
]
=
= Tr
ψ(N)
D0 −
N−1∑
j=0
D0ψ
′(j − h)A′(j)
(
S−1(j + 1)
)′
A(j)ψ(j − h)F ′
ψ′(N)
.
26
Задача оптимальной фильтрации
Tак как
D0 −
N−1∑
j=0
D0ψ
′(j − h)A′(j)
(
S−1(j + 1)
)′
A(j)ψ(j − h)F ′ = D0 −D0G
′F ′ = F,
то окончательно получаем
J(u0) = Tr
[
ψ(N)Fψ′(N)
]
. (19)
4. Зависимость ошибки оценивания от величины запаздывания. Tак как
x(i) и ξ(i) независимы и x(j) = 0 при j ≤ 0, то наблюдения (2) до момента h не несут
никакой информации о процессе x(i). Поэтому, общее время наблюдения за процес-
сом x(i) равно N − h и убывает с ростом h. Рассмотрим два скалярных примера,
показывающих, что увеличение запаздывания может приводить как к увеличению
ошибки оценивания, так и к ее уменьшению.
Покажем, сначала, что при постоянном A1, определенном в (17), ошибка оцени-
вания, как функция от h не убывает с ростом h при 0 ≤ h < N и постоянна по h
при h ≥ N . Рассматривая J(u0) как функцию от h, при 0 ≤ h < N из (19), получим
J(h + 1)− J(h) = ψ2(N)
(
F (h + 1)− F (h)
)
. Из (18) следует, что
F (h + 1)− F (h) =
(
D−1
0 + G(h + 1)
)−1 − (
D−1
0 + G(h)
)−1 =
=
G(h)−G(h + 1)(
D−1
0 + G(h + 1)
)(
D−1
0 + G(h)
) . (20)
Учитывая (17),
G(h)−G(h + 1) =
N−h−1∑
i=0
ψ2(i)A1 −
N−h−2∑
i=0
ψ2(i)A1 = ψ2(N − h− 1)A1 > 0.
То есть, ошибка оценивания, как функция от h, увеличивается с ростом запаздыва-
ния.
Рассмотрим теперь случай, когда увеличение запаздывания h в канале наблюде-
ния может привести к уменьшению J(u0), то есть, к увеличению точности оценива-
ния. Пусть ненаблюдаемый процесс x(i) имеет вид
x(i) = ψ(i)x0, ψ(0) = 1, (21)
где x0 – гауссовская случайная величина, Ex0 = 0, Ex2
0 = σ2
0. Наблюдаемый процесс
y(i) задан соотношениями
y(i + 1) = A(i)x(i− h) + ξ(i + 1), x(j) = 0, −h ≤ j < 0, y(0) = 0. (22)
Здесь ξ(i) – гауссовский случайный процесс с независимыми значениями, не зави-
сящими от x0, Eξ(i) = 0, Eξ2(i) = σ2(i). Tребуется по результатам наблюдений (22)
оценить величину x(N).
27
Н.В. Брадул
Решение этой задачи имеет вид
m(N) =
N−1∑
j=h
u0(j)y(j + 1).
Здесь, учитывая (16)-(19),
u0(j) = ψ(N)F (h)ψ′(j − h)
A(j)
σ2(j + 1)
, F (h) =
(
σ−2
0 + G(h)
)−1
,
G(h) =
N−h−1∑
i=0
ψ2(i)A1(i + h), A1(i) =
A2(i)
σ2(i + 1)
,
а ошибка оценивания как функция от h имеет вид J(h) = ψ2(N)F (h). Из (20) сле-
дует, что для того, чтобы J(h + 1)− J(h) < 0, необходимо и достаточно, чтобы
G(h)−G(h + 1) =
N−h−1∑
i=0
ψ2(i)A1(i + h)−
N−h−2∑
i=0
ψ2(i)A1(i + h + 1) =
= ψ2(N − h− 1)A1(N − 1) +
N−h−2∑
i=0
ψ2(i)
[
A1(i + h)−A1(i + h + 1)
]
< 0. (23)
Замечание 1. Если предположить, что матрица A1 постоянна, то очевидно, что
неравенство (23) не выполнено, то есть, J(h + 1) − J(h) > 0 и J(h) возрастает с
ростом h.
Замечание 2. Пусть ψ(i) ≡ 1, то есть, x(i) ≡ x0. Tогда, при 0 ≤ h ≤ N , J(h)
возрастает по h, так как
G(h)−G(h + 1) =
N−h−1∑
i=0
A1(i + h)−
N−h−2∑
i=0
A1(i + h + 1) = A1(h) > 0.
5. Примеры. Приведем примеры, в которых при помощи неравенства (23) най-
дены интервалы убывания функционала J(h).
Пример 1. Рассмотрим задачу фильтрации (21), (22) при
ψ(i) = e−αi, A(i) = eβi, β > α > 1/2N, σ2(i) = σ2
0 = 1.
Tогда
A1(i) = A2(i)σ−2(i + 1) = e2βi,
J(h) = ψ2(N)
(
1 + G(h)
)−1 = e2αN
(
1 + e2βh
N−h−1∑
i=0
e2(β−α)i
)−1
=
28
Задача оптимальной фильтрации
= e2αN
(
1 + e2βh e2(N−h)(β−α) − 1
e2(β−α) − 1
)−1
.
Неравенство (23) принимает вид
e2(N−h)(β−α)
(
1− e2α
)
< 1− e2β.
Решая это неравенство относительно h, получим
0 ≤ h < h0, где h0 = N − 1
2(β − α)
ln
e2β − 1
e2α − 1
.
Tаким образом, на интервале [0, h0) функционал J(h) как функция от h убывает.
Пример 2. Рассмотрим задачу фильтрации (21), (22) при
ψ(i) =
√
1− α
i
N − 1
,
A(i) =
√
i, σ2(i) = σ2
0 = 1, 0 < α < 1− 1
N
, A1(i) = i.
При помощи неравенства (23) найдем интервал, в котором функционал
J(h) =
(
1− αN
N − 1
)(
1 +
N−h−1∑
i=0
(
1− αi
N − 1
)
(i + h)
)−1
убывает по h.
Неравенство (23) в рассматриваемом случае принимает вид
αh2 + h
(
α + 2(N − 1)
)− αN(N − 1) < 0.
Следовательно, при
0 ≤ h < h0, где h0 =
1
2α
(
−α− 2(N − 1) +
√(
α + 2(N − 1)
)2 + 4α2N(N − 1)
)
функционал J(h) убывает как функция от h.
1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. – М.: Наука, 1974. – 696 с.
2. Kolmanovskii V. B.,Shaikhet L.E. Control of Systems with Aftereffect: Translations of mathematical
monographs. – Providence (RI): American Mathematical Society, 1996. – Vol. 157. – 336 p.
N.V. Bradul
The optimal filtering problem.
In this paper we consider the problem of constructing an optimal mean-square estimation of a Gaussian
partially observable random process observed with delay. It is shown that the solution of filtration
problem can be reduced to the solution of the difference equation of the type of Wiener-Hopf, called the
29
Н.В. Брадул
fundamental equation of filtration. Special cases of the fundamental equation of filtration, in which his
solution can be obtained explicitly are considered. The dependence of the error of estimation of the time
lag in the observations is investigated.
Keywords: optimal estimate, filtering problem, estimation error.
Н.В. Брадул
Задача оптимальної фiльтрацiї.
У статтi розглянуто задачу побудови оптимальної в середньоквадратичному розумiннi оцiнки гаус-
сiвського частково спостережуваного випадкового процесу за спостереженнями, що мiстять запiз-
нення. Показано, що розв’язок задачi фiльтрацiї можна звести до розв’язку рiзницевого рiвняння
типу Вiнера-Хопфа, якiй називається основним рiвнянням фiльтрацiї. Розглянуто окремi випадки
основного рiвняння фiльтрацiї, в яких його розв’язок можна отримати в явному виглядi. Дослiд-
жено залежнiсть помилки оцiнювання вiд величини запiзнення в спостереженнях.
Ключовi слова: оптимальна оцiнка, задача фiльтрацiї, помилка оцiнювання.
Донецкий государственный ун-т управления
bradnv@ukr.net
Получено 29.10.12
30
|