Групові конгруенції на тріоїдах
Описано всi груповi конгруенцiї на довiльному трiоїдi та представлено найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з iнверсною напiвгрупою, найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з ортодоксальною напiвгрупою та найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з регулярною напiвгрупою....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124190 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Групові конгруенції на тріоїдах / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 148-158. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124190 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241902017-09-23T03:03:42Z Групові конгруенції на тріоїдах Жучок, А.В. Описано всi груповi конгруенцiї на довiльному трiоїдi та представлено найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з iнверсною напiвгрупою, найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з ортодоксальною напiвгрупою та найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з регулярною напiвгрупою. Описаны все групповые конгруэнции на произвольном триоиде и представлены наименьшая групповая конгруэнция на триоиде с инверсной полугруппой, наименьшая групповая конгруэнция на триоиде с ортодоксальной полугруппой и наименьшая групповая конгруэнция на триоиде с регулярной полугруппой. We describe all group congruences on an arbitrary trioid and present the least group congruence on a trioid with an inverse semigroup, the least group congruence on a trioid with an orthodox semigroup and the least group congruence on a trioid with a regular semigroup. 2013 Article Групові конгруенції на тріоїдах / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 148-158. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124190 512.579 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Описано всi груповi конгруенцiї на довiльному трiоїдi та представлено найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з iнверсною напiвгрупою, найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з ортодоксальною напiвгрупою та найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з регулярною напiвгрупою. |
| format |
Article |
| author |
Жучок, А.В. |
| spellingShingle |
Жучок, А.В. Групові конгруенції на тріоїдах Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Жучок, А.В. |
| author_sort |
Жучок, А.В. |
| title |
Групові конгруенції на тріоїдах |
| title_short |
Групові конгруенції на тріоїдах |
| title_full |
Групові конгруенції на тріоїдах |
| title_fullStr |
Групові конгруенції на тріоїдах |
| title_full_unstemmed |
Групові конгруенції на тріоїдах |
| title_sort |
групові конгруенції на тріоїдах |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124190 |
| citation_txt |
Групові конгруенції на тріоїдах / А.В. Жучок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 148-158. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT žučokav grupovíkongruencíínatríoídah |
| first_indexed |
2025-07-09T01:00:01Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:00:01Z |
| _version_ |
1837129067294359552 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 512.579
c©2013. А.В. Жучок
ГРУПОВI КОНГРУЕНЦIЇ НА ТРIОЇДАХ
Описано всi груповi конгруенцiї на довiльному трiоїдi та представлено найменшу групову конгруен-
цiю на трiоїдi з iнверсною напiвгрупою, найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з ортодоксальною
напiвгрупою та найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з регулярною напiвгрупою.
Ключовi слова: трiоїд, дiмоноїд, напiвгрупа, групова конгруенцiя.
1. Вступ. Поняття триалгебри та трiоїда були введенiЖ.-Л. Лоде та М.О. Ронко
[1] при вивченнi тернарних планарних дерев. Трiоїдом називається алгебра з трьо-
ма бiнарними асоцiативними операцiями, якi задовольняють деякi вiсiм аксiом (див.
нижче). Триалгебра, яка є лiнiйним аналогом трiоїда, узагальнює поняття дiалгеб-
ри, введенеЖ.-Л. Лоде [2] як унiверсальну обгортуючу для алгебри Лейбнiца. Якщо
всi три (вiдповiдно, певнi двi) операцiї трiоїда збiгаються, то вiн перетворюється в
напiвгрупу (вiдповiдно, дiмоноїд [2–4]). З iншого боку, будь-який трiоїд є дiмоноїдом
з бiнарною асоцiативною операцiєю, яка задовольняє деякi додатковi аксiоми. Пер-
шим результатом про трiоїди є опис Ж.-Л. Лоде та M.О. Ронко [1] вiльного трiоїда,
породженого заданою множиною. Трiоїди вивчалися також у [5–7]. Поняття трiоїда
в наш час є маловивченим i потребує рiзноманiтних дослiджень. При цьому резуль-
тати, отриманi для трiоїдiв, можуть бути застосованi й до триалгебр.
У цiй роботi описано всi груповi конгруенцiї на довiльному трiоїдi (теорема 1)
та представлено найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з iнверсною напiвгрупою,
найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з ортодоксальною напiвгрупою та наймен-
шу групову конгруенцiю на трiоїдi з регулярною напiвгрупою (теорема 2). Резуль-
тати, якi при цьому отримано, узагальнюють вiдповiднi описи [8–12]. Крiм цього, у
роботi встановлено достатнi умови, за якими операцiї довiльного трiоїда збiгаються
(лема 4).
Деякi з отриманих результатiв були анонсованi в [13].
2. Попереднi вiдомостi. Нагадаємо, що непорожня множина T з трьома бi-
нарними асоцiативними операцiями a, ` та ⊥, якi задовольняють такi аксiоми:
(x a y) a z = x a (y ` z), (T1)
(x ` y) a z = x ` (y a z), (T2)
(x a y) ` z = x ` (y ` z), (T3)
(x a y) a z = x a (y ⊥ z), (T4)
(x ⊥ y) a z = x ⊥ (y a z), (T5)
(x a y) ⊥ z = x ⊥ (y ` z), (T6)
148
Груповi конгруенцiї на трiоїдах
(x ` y) ⊥ z = x ` (y ⊥ z), (T7)
(x ⊥ y) ` z = x ` (y ` z) (T8)
для всiх x, y, z ∈ T, називається трiоїдом.
Наведемо еквiвалентне визначення трiоїда. Для цього нагадаємо визначення дi-
моноїда.
Непорожня множина T з двома бiнарними асоцiативними операцiями a та `,
якi задовольняють аксiоми (T1) − (T3), називається дiмоноїдом [2–4]. Дiмоноїд
(T, a,`) з бiнарною асоцiативною операцiєю ⊥, яка задовольняє аксiоми (T4)−(T8),
називається трiоїдом.
Приклади трiоїдiв можна знайти в [1], [5–7].
Якщо операцiї a, ` та ⊥ (вiдповiдно, ` та ⊥ або a та ⊥) трiоїда (T,a,`,⊥)
збiгаються, то вiн перетворюється в напiвгрупу (вiдповiдно, дiмоноїд). Таким чи-
ном, кожну напiвгрупу та кожний дiмоноїд можна розглядати як трiоїд. Приклади
дiмоноїдiв розглядалися в [2–4].
Як зазвичай, символом N позначаємо множину додатних цiлих чисел.
Нехай (T,a,`,⊥) – трiоїд та a ∈ T , n ∈ N. Через an (вiдповiдно, na) позначати-
мемо n-степiнь елемента a вiдносно операцiї a (вiдповiдно, `).
Лема 1 ([6], лема 3). Нехай (T,a,`,⊥) – трiоїд з комутативною операцiєю a.
Для всiх b, c ∈ T , m ∈ N, m > 1, маємо
(b a c)m = bm⊥cm = (b⊥c)m.
Лема 2. Нехай (T,a,`,⊥) – трiоїд з комутативною операцiєю `. Для всiх
b, c ∈ T , m ∈ N, m > 1, маємо
m(b ` c) = mb⊥mc = m(b⊥c) = m(b a c).
Доведення. Для будь-яких b, c ∈ T маємо
m(b ` c) = mb ` mc = b ` (m− 1)b ` mc =
= (m− 1)b ` (mc ` b) = ((m− 1)b ⊥ mc) ` b =
= b ` ((m− 1)b ⊥ mc) = (b ` (m− 1)b) ⊥ mc = mb ⊥ mc
згiдно з комутативнiстю та асоцiативнiстю операцiї ` й аксiомами трiоїда.
Доведемо, що m(b ` c) = m(b ⊥ c) для m > 1, використовуючи iндукцiю за m.
Для m = 2 маємо
2(b ` c) = (b ` c) ` (b ` c) = (b ⊥ c) ` (b ` c) =
= (b ` c) ` (b ⊥ c) = (b ⊥ c) ` (b ⊥ c) = 2(b ⊥ c)
згiдно з асоцiативнiстю й комутативнiстю операцiї ` та аксiомою трiоїда.
149
А.В. Жучок
Нехай k(b ` c) = k(b ⊥ c) для m = k. Тодi для m = k + 1 отримуємо
(k + 1)(b ` c) = (b ` c) ` k(b ` c) = (b ⊥ c) ` k(b ` c) =
= (b ⊥ c) ` k(b ⊥ c) = (k + 1)(b ⊥ c)
згiдно з асоцiативнiстю операцiї `, аксiомою трiоїда та припущенням.
Таким чином, m(b ` c) = m(b ⊥ c) для m > 1.
Нарештi, доведемо iндукцiєю за m, що m(b a c) = m(b ⊥ c), m > 1.
Для m = 2 маємо
2(b a c) = (b a c) ` (b a c) =
= b ` (c ` (b a c)) = (b ⊥ c) ` (b a c) =
= (b a c) ` (b ⊥ c) = b ` (c ` (b ⊥ c)) =
= (b ⊥ c) ` (b ⊥ c) = 2(b ⊥ c)
згiдно з аксiомами трiоїда та комутативнiстю операцiї `.
Нехай k(b a c) = k(b ⊥ c) для m = k. Тодi для m = k + 1 отримуємо
(k + 1)(b a c) = (b a c) ` k(b a c) = b ` (c ` k(b a c)) =
= (b ⊥ c) ` k(b a c) = (b ⊥ c) ` k(b ⊥ c) = (k + 1)(b ⊥ c)
згiдно з аксiомами трiоїда та припущенням.
Таким чином, m(b a c) = m(b ⊥ c) для m > 1.
Лему доведено.
Комутативна напiвгрупа iдемпотентiв називається напiвструктурою. Комутатив-
на напiвгрупа S є сепаративною, якщо для будь-яких s, t ∈ S з s2 = st = t2 випливає
s = t. Напiвгрупа S називається глобально iдемпотентною, якщо S2 = S.
Лема 3 ([4], лема 3). Операцiї дiмоноїда (D, a, `) збiгаються, якщо виконуєть-
ся одна з наступних умов:
(i) (D,a) – напiвструктура;
(ii) (D,a) – напiвгрупа з лiвим (двобiчним) скороченням;
(iii) (D,a) – комутативна сепаративна напiвгрупа;
(iv) (D,a) – комутативна глобально iдемпотентна напiвгрупа.
Напiвгрупа, яка задовольняє двi тотожностi:
x2 = xy, y2 = yx ⇒ x = y,
x2 = yx, y2 = xy ⇒ x = y,
називається слабко скороченою.
Наступна лема встановлює достатнi умови, за якими операцiї трiоїда збiгаються.
Лема 4. Операцiї трiоїда (T,a,`,⊥) збiгаються, якщо виконується одна з на-
ступних умов:
(i) (T,a) – слабко скорочена напiвгрупа;
(ii) (T,`) – слабко скорочена напiвгрупа;
150
Груповi конгруенцiї на трiоїдах
(iii) (T,a) – напiвгрупа з лiвим (двобiчним) скороченням;
(iv) (T,`) – напiвгрупа з правим (двобiчним) скороченням;
(v) (T,a) – комутативна сепаративна напiвгрупа;
(vi) (T,`) – комутативна сепаративна напiвгрупа;
(vii) (T,a) – комутативна глобально iдемпотентна напiвгрупа;
(viii) (T,`) – комутативна глобально iдемпотентна напiвгрупа;
(ix) (T,a) – моноїд;
(x) (T,`) – моноїд;
(xi) (T,`) – напiвструктура.
Доведення. Для довiльних елементiв x, y ∈ T покладемо
a = xay, b = x`y, c = x⊥y.
Елементи a, b та c будемо використовувати при доведеннi тверджень (i), (ii), (v)
та (vi).
(i) Для елементiв a, b, c ∈ T маємо
a2 = (xay)a (xay) = (xay)2 ,
aab = (xay)a (x`y) = (xay)a (xay) = (xay)2 ,
baa = (x`y)a (xay) = (x`y)a (x`y) = (x`y)2 ,
b2 = (x`y)a (x`y) = (x`y)2 ,
aac = (xay)a (x⊥y) = (xay)a (xay) = (xay)2 ,
caa = (x⊥y)a (x a y) = (x⊥y)a (x ⊥ y) = (x⊥y)2 ,
c2 = (x⊥y)a (x⊥y) = (x⊥y)2
згiдно з аксiомами трiоїда та асоцiативнiстю операцiї a. У силу слабкої скороченостi
напiвгрупи (T,a) з a2 = aab, b2 = baa випливає a = b та з a2 = aac, c2 = caa випливає
a = c.
Отже, a = b = c, тобто a = ` = ⊥.
(ii) Для елементiв a, b, c ∈ T маємо
2a = (xay)` (xay) = 2 (xay) ,
a`b = (xay)` (x`y) = (x`y)` (x`y) = 2 (x`y) ,
b`a = (x`y)` (xay) = (xay) ` (xay) = 2 (xay) ,
2b = (x`y)` (x`y) = 2 (x`y) ,
a`c = (xay)` (x⊥y) = x ` (y ` (x⊥y)) = (x⊥y)` (x⊥y) = 2 (x⊥y) ,
c`a = (x⊥y)` (xay) = x ` (y ` (x a y)) = (xay)` (xay) = 2 (xay) ,
2c = (x⊥y)` (x⊥y) = 2 (x⊥y)
151
А.В. Жучок
згiдно з аксiомами трiоїда та асоцiативнiстю операцiї `. У силу слабкої скороченостi
напiвгрупи (T,`) з 2a = b`a, 2b = a`b випливає a = b та з 2a = c`a, 2c = a`c
випливає a = c.
Отже, a = b = c, тобто a = ` = ⊥.
(iii) За твердженням (ii) леми 3 a=`. Для всiх x, y, z ∈ T згiдно з асоцiативнiстю
операцiї a та аксiомою трiоїда маємо
(x a y) a z = x a (y a z) = x a (y⊥z),
звiдки завдяки лiвiй скороченостi отримуємо y a z = y⊥z для всiх y, z ∈ T . Таким
чином, a=`= ⊥. Аналогiчно можна довести випадок двобiчної скороченостi.
(iv) Для всiх x, y, z ∈ T згiдно з асоцiативнiстю операцiї ` та аксiомами трiоїда
маємо
x ` (y ` z) = (x ` y) ` z = (x a y) ` z = (x⊥y) ` z,
звiдки завдяки правiй скороченостi отримуємо x ` y = x a y = x⊥y для всiх x, y ∈ T .
Таким чином, `=a= ⊥. Аналогiчно можна довести випадок двобiчної скороченостi.
(v) За твердженням (iii) леми 3 a=`. Для елементiв a, b, c ∈ T маємо
a2 = (x a y) a (x a y) = (x a y)2,
a a c = (x a y) a (x⊥y) = (x a y) a (x a y) = (x a y)2,
c2 = (x⊥y) a (x⊥y) = (x⊥y)2 = (x a y)2
згiдно з аксiомою трiоїда, асоцiативнiстю операцiї a та лемою 1. У силу сепаратив-
ностi комутативної напiвгрупи (T,a) з a2 = a a c = c2 випливає a = c. Отже,
a=`= ⊥.
(vi) Вiзьмемо елементи a, b, c ∈ T . За лемою 2 маємо
2a = (xay)`(xay) = 2(x a y) = 2(x`y) = 2(x ⊥ y).
Згiдно з викладками, зробленими в (ii), отримуємо
a`b = 2 (x`y) , 2b = 2 (x`y) ,
a`c = 2 (x⊥y) , 2c = 2 (x⊥y) .
У силу сепаративностi комутативної напiвгрупи (T,`) з 2a = a`b = 2b випливає
a = b та з 2a = a`c = 2c випливає a = c.
Отже, a = b = c, тобто a = ` = ⊥.
(vii) За твердженням (iv) леми 3 a=`. Нехай x, y ∈ T та y = y1 a y2, y1, y2 ∈ T .
Тодi
x a y = x a (y1 a y2) = (y2 a x) a y1 =
= y2 a (x⊥y1) = (x⊥y1) a y2 = x⊥(y1 a y2) = x⊥y
згiдно з комутативнiстю та асоцiативнiстю операцiї a й аксiомами трiоїда. Отже,
a=`= ⊥.
152
Груповi конгруенцiї на трiоїдах
(viii) Нехай x, y – довiльнi елементи T та x = x1`x2, x1, x2 ∈ T . Тодi
x`y = (x1`x2)`y = x2` (y`x1) = (x2ay)`x1 =
= x1` (x2ay) = (x1`x2)ay = xay,
x`y = x2` (y`x1) = (x2⊥y)`x1 =
= x1` (x2⊥y) = (x1`x2)⊥y = x⊥y
згiдно з комутативнiстю та асоцiативнiстю операцiї ` й аксiомами трiоїда. Отже,
` = a = ⊥.
(ix) Нехай e – одиниця моноїда (T,a). Для всiх x, y, z ∈ T маємо
(x a y) a z = x a (y a z) = x a (y ` z) = x a (y⊥z)
згiдно з асоцiативнiстю операцiї a та аксiомами трiоїда. Пiдставляючи x = e в остан-
нiй вираз, отримуємо y a z = y ` z = y⊥z для всiх y, z ∈ T .
(x) Нехай e – одиниця моноїда (T,`). Для всiх x, y, z ∈ T маємо
x` (y`z) = (x`y)`z = (xay)`z = (x⊥y)`z
згiдно з асоцiативнiстю операцiї ` та аксiомами трiоїда. Пiдставляючи z = e в остан-
нiй вираз, отримуємо x`y = xay = x⊥y для всiх x, y ∈ T .
(xi) Для всiх x, y, z ∈ T маємо
x ` (y a z) = (y a z) ` x =
= y ` (z ` x) = (x ` y) ` z = (x ` y) a z,
x ` (y⊥z) = (y⊥z) ` x =
= y ` (z ` x) = (x ` y) ` z = (x ` y)⊥z
згiдно з комутативнiстю й асоцiативнiстю операцiї ` та аксiомами трiоїда. Пiдстав-
ляючи y = x в останнi вирази i використовуючи iдемпотентнiсть операцiї `, отри-
муємо x ` z = x a z = x ⊥ z.
Лему доведено.
Вiдзначимо, що згiдно з лемою 1 [6] операцiї трiоїда (T,a,`,⊥) збiгаються, якщо
(T,a) – напiвструктура.
3. Груповi конгруенцiї на довiльному трiоїдi. У [8] описано всi груповi
конгруенцiї на довiльнiй напiвгрупi за допомогою деяких пiднапiвгруп цiєї напiв-
групи. У цьому пунктi ми поширимо цей результат на трiоїди.
Якщо ρ – така конгруенцiя на трiоїдi (T,a,`,⊥), що операцiї фактор-трiоїда
(T,a,`,⊥)/ρ збiгаються та вiн є групою, то будемо говорити, що ρ є груповою кон-
груенцiєю.
Нехай (T,a,`,⊥) – довiльний трiоїд. Для кожної пiднапiвгрупи H напiвгрупи
(T,a) i будь-якого a ∈ T розглянемо множину пар
a : Ha = {(x, y) ∈ T × T |x a a a y ∈ H}.
153
А.В. Жучок
Основним результатом роботи є наступна теорема.
Теорема 1. Нехай (T,a,`,⊥) – довiльний трiоїд та H ⊆ (T,a) – пiднапiвгрупа
така, що
(i) a : Ha 6= ∅ для всiх a ∈ T ;
(ii) a : Ha
⋂
b : Ha 6= ∅ (a, b ∈ T ) ⇒ a : Ha = b : Ha.
Тодi вiдношення ρHa, визначене на (T,a,`,⊥) за правилом:
aρHab ⇔ a : Ha = b : Ha,
є груповою конгруенцiєю. Навпаки, якщо ρ – довiльна групова конгруенцiя на трiоїдi
(T,a,`,⊥), то одиничний клас E групи (T,a)/ρ є пiднапiвгрупою напiвгрупи (T,a),
яка задовольняє умови (i), (ii), та ρ = ρEa.
Доведення. Той факт, що вiдношення ρHa є груповою конгруенцiєю на напiвгрупi
(T,a), доведено в [8]. Покажемо, що ρHa є стабiльним вiдносно операцiй ` та ⊥.
Нехай aρHab, a, b, c ∈ T . Оскiльки a a cρHab a c, то
(a a c) : Ha = {(x, y) |x a (a a c) a y ∈ H} =
= {(x, y) |x a (b a c) a y ∈ H} = (b a c) : Ha.
Згiдно з асоцiативнiстю операцiї a та аксiомами трiоїда отримуємо
x a (a a c) a y = ((x a a) a c) a y =
= (x a (a ` c)) a y = x a (a ` c) a y =
= (x a (a⊥c)) a y = x a (a⊥c) a y,
x a (b a c) a y = ((x a b) a c) a y =
= (x a (b ` c)) a y = x a (b ` c) a y =
= (x a (b⊥c)) a y = x a (b⊥c) a y.
Отже, з (a a c) : Ha = (b a c) : Ha випливає, що
(a ` c) : Ha = (b ` c) : Ha = (a⊥c) : Ha = (b⊥c) : Ha,
i таким чином, a ` cρHab ` c, a⊥cρHab⊥c. Аналогiчно можна показати, що c `
aρHac ` b, c⊥aρHac⊥b. Отже, ρHa є конгруенцiєю на (T,a,`,⊥).
Оскiльки (T,a)/ρHa
є групою, то згiдно з твердженням (ix) леми 4 операцiї
фактор-трiоїда (T,a,`,⊥)/ρHa
збiгаються i, таким чином, вiн є групою.
Обернене твердження випливає з [8].
Теорему доведено.
Остання теорема узагальнює теорему [8] про будову всiх групових конгруенцiй
на довiльнiй напiвгрупi.
З теореми 1 для дiмоноїдiв отримуємо такий наслiдок.
154
Груповi конгруенцiї на трiоїдах
Наслiдок 1. Нехай (T,a,`) – довiльний дiмоноїд та H ⊆ (T,a) – пiднапiвгрупа
така, що
(i) a : Ha 6= ∅ для всiх a ∈ T ;
(ii) a : Ha
⋂
b : Ha 6= ∅ (a, b ∈ T ) ⇒ a : Ha = b : Ha.
Тодi вiдношення ρHa, визначене на (T,a,`) за правилом:
aρHab ⇔ a : Ha = b : Ha,
є груповою конгруенцiєю. Навпаки, якщо ρ – довiльна групова конгруенцiя на дi-
моноїдi (T,a,`), то одиничний клас E групи (T,a)/ρ є пiднапiвгрупою напiвгрупи
(T,a), яка задовольняє умови (i), (ii), та ρ = ρEa.
4. Найменшi груповi конгруенцiї на деяких трiоїдах. У цьому пунктi пред-
ставлено найменшу групову конгруенцiю на трiоїдi з iнверсною напiвгрупою, най-
меншу групову конгруенцiю на трiоїдi з ортодоксальною напiвгрупою та найменшу
групову конгруенцiю на трiоїдi з регулярною напiвгрупою.
Iнверсною напiвгрупою S є напiвгрупа, у якiй кожний елемент x ∈ S має єдиний
iнверсний y ∈ S у тому сенсi, що x = xyx i y = yxy. Напiвгрупа S називаєть-
ся регулярною, якщо для кожного x ∈ S iснує деякий елемент a ∈ S такий, що
xax = x. Регулярна напiвгрупа S називається ортодоксальною, якщо в S множина
iдемпотентiв утворює пiднапiвгрупу.
На трiоїдi (T,a,`,⊥) з iнверсною напiвгрупою (T,a) визначимо вiдношення σa,
поклавши
aσab тодi й тiльки тодi, коли iснує iдемпотент
e напiвгрупи (T,a) такий, що e a a = e a b,
та на трiоїдi (T,a,`,⊥) з ортодоксальною напiвгрупою (T,a) визначимо вiдношення
δa за правилом:
aδa b тодi й тiльки тодi, коли e a a a e = e a b a e
для деякого iдемпотента e напiвгрупи (T,a).
Через ES позначатимемо множину iдемпотентiв напiвгрупи S. Пiдмножина P
напiвгрупи S називається рефлексивною, якщо для будь-яких a, b ∈ S з того, що
ab ∈ P випливає, що ba ∈ P .
Нехай (T,a,`,⊥) – довiльний трiоїд з регулярною напiвгрупою (T,a),
H ⊆ (T,a) – рефлексивна пiднапiвгрупа, яка породжена множиною E(T,a), та
H(a) = {x ∈ T |h a x ∈ H для деякого h ∈ H}.
Визначимо вiдношення µH(a) на (T,a,`,⊥) за правилом:
aµH(a)b ⇔ x a a, x a b ∈ H(a) для деякого x ∈ T .
Має мiсце теорема.
Теорема 2. Нехай (T,a,`,⊥) – довiльний трiоїд. Тодi
155
А.В. Жучок
(i) σa на (T,a,`,⊥) з iнверсною напiвгрупою (T,a) є найменшою груповою кон-
груенцiєю;
(ii) δa на (T,a,`,⊥) з ортодоксальною напiвгрупою (T,a) є найменшою груповою
конгруенцiєю;
(iii) µH(a) на (T,a,`,⊥) з регулярною напiвгрупою (T,a) є найменшою груповою
конгруенцiєю.
Доведення. (i) Той факт, що вiдношення σa є найменшою груповою конгруен-
цiєю на дiмоноїдi (T,a,`), доведено в [10]. Покажемо, що σa є стабiльним вiдносно
операцiї ⊥.
Нехай a σa b, a, b, c ∈ T . Тодi a a cσab a c. Це означає, що iснує iдемпотент ε
напiвгрупи (T,a) такий, що ε a (a a c) = ε a (b a c). Звiдси
ε a (a a c) = (ε a a) a c = ε a (a⊥c) =
= ε a (b a c) = (ε a b) a c = ε a (b⊥c)
згiдно з асоцiативнiстю операцiї a та аксiомою трiоїда. Таким чином, a⊥cσa b⊥c.
Двоїстим чином можна довести лiву стабiльнiсть вiдношення σa вiдносно опера-
цiї ⊥. Таким чином, σa є конгруенцiєю на (T,a,`,⊥).
Оскiльки (T,a)/σa є групою, то згiдно з твердженням (ix) леми 4 операцiї фактор-
трiоїда (T,a,`,⊥)/σa збiгаються i, таким чином, вiн є групою.
З [9] (див. також [10]) випливає, що σa є найменшою груповою конгруенцiєю.
(ii) Той факт, що вiдношення δa є найменшою груповою конгруенцiєю на дiмо-
ноїдi (T,a,`), доведено в [10]. Покажемо, що δa є стабiльним вiдносно операцiї ⊥.
Нехай aδab, a, b, c ∈ T . Тодi a a cδab a c. Це означає, що iснує iдемпотент ε
напiвгрупи (T,a) такий, що ε a (a a c) a ε = ε a (b a c) a ε. Звiдси
ε a (a a c) a ε = ((ε a a) a c) a ε =
= ε a (a⊥c) a ε = ε a (b a c) a ε =
= ((ε a b) a c) a ε = ε a (b⊥c) a ε
згiдно з асоцiативнiстю операцiї a та аксiомою трiоїда. Таким чином, a⊥cδab⊥c.
Двоїстим чином можна довести лiву стабiльнiсть вiдношення δa вiдносно операцiї
⊥. Таким чином, δa є конгруенцiєю на (T,a,`,⊥).
Оскiльки (T,a)/δa є групою, то згiдно з твердженням (ix) леми 4 операцiї фактор-
трiоїда (T,a,`,⊥)/δa збiгаються та вiн є групою.
З [11] (див. також [10]) випливає, що δa є найменшою груповою конгруенцiєю.
(iii) Той факт, що вiдношення µH(a) є найменшою груповою конгруенцiєю на
напiвгрупi (T,a), доведено в [12]. Покажемо, що µH(a) є стабiльним вiдносно опера-
цiй ` та ⊥.
Нехай aµH(a)b, a, b, c ∈ T . Оскiльки a a cµH(a)b a c, то
y a (a a c), y a (b a c) ∈ H(a) для деякого y ∈ T .
156
Груповi конгруенцiї на трiоїдах
Згiдно з асоцiативнiстю операцiї a та аксiомами трiоїда отримуємо
y a (a a c) = (y a a) a c = y a (a ` c) = y a (a⊥c),
y a (b a c) = (y a b) a c = y a (b ` c) = y a (b⊥c).
Отже,
y a (a ` c), y a (b ` c), y a (a⊥c), y a (b⊥c) ∈ H(a)
для деякого y ∈ T , i таким чином, a ` cµH(a)b ` c, a⊥cµH(a)b⊥c. Аналогiчно мож-
на показати, що c ` aµH(a)c ` b, c⊥aµH(a)c⊥b. Отже, µH(a) є конгруенцiєю на
(T,a,`,⊥).
Оскiльки (T,a)/
µH(a)
є групою, то згiдно з твердженням (ix) леми 4 операцiї
фактор-трiоїда (T,a,`,⊥)/
µH(a)
збiгаються i, таким чином, вiн є групою.
З [12] випливає, що µH(a) є найменшою груповою конгруенцiєю.
Теорему доведено.
Твердження (i) останньої теореми узагальнює опис [9] найменшої групової конг-
руенцiї на iнверснiй напiвгрупi та результат [10] про будову найменшої групової кон-
груенцiї на дiмоноїдi з iнверсною напiвгрупою. Твердження (ii) узагальнює опис [11]
найменшої групової конгруенцiї на ортодоксальнiй напiвгрупi та результат [10] про
будову найменшої групової конгруенцiї на дiмоноїдi з ортодоксальною напiвгрупою.
Твердження (iii) узагальнює опис [12] найменшої групової конгруенцiї на регулярнiй
напiвгрупi.
З твердження (iii) теореми 2 для дiмоноїдiв отримуємо такий наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай (T,a,`) – довiльний дiмоноїд з регулярною напiвгрупою (T,a
), H ⊆ (T,a) – рефлексивна пiднапiвгрупа, яка породжена множиною E(T,a), та
H(a) = {x ∈ T |h a x ∈ H для деякого h ∈ H}. Тодi вiдношення µH(a), визначене на
(T,a,`) за правилом:
aµH(a)b ⇔ x a a, x a b ∈ H(a) для деякого x ∈ T ,
є найменшою груповою конгруенцiєю.
1. Loday J.-L., Ronco V.O. Trialgebras and families of polytopes // Contemp. Math. – 2004. – 346.
– P. 369–398.
2. Loday J.-L. Dialgebras // Dialgebras and related operads: Lect. Notes Math. – Springer-Verlag,
Berlin. – 2001. – 1763. – P. 7–66.
3. Жучок А.В. Дiалгебри – K. : Iн-т математики, 2011. – 256 c. – (Математика та її застосування)
(Працi / Iн-т математики НАН України; т. 87).
4. Жучок А.В. Димоноиды // Алгебра и логика. – 2011. – Т. 50, № 4. – C. 471–496.
5. Жучок А.В. Вiльнi трiоїди // Вiсник Київ. нац. ун-ту. Сер.: фiз.-мат. науки. – 2010. – Вип. 4. –
C. 23–26.
6. Zhuchok A.V. Tribands of subtrioids // Proc. Inst. Applied Math. and Mech. – 2010. – Vol. 21. –
P. 98–106.
7. Жучок А.В. Некоторые конгруэнции на триоидах // Фундаментальная и прикладная матема-
тика. – 2011/2012. – Т. 17, № 3. – С. 39–49.
8. Croisot R. Équivalences principales bilatères definies dans un demiroupe // J. Math. Pures Appl. –
1957. – 36. – P. 373–417.
157
А.В. Жучок
9. Munn W.D. A class of irreducible matrix representations of an arbitrary inverse semigroup // Proc.
Glasgow Math. Assoc. – 1961. – 5. – P. 41–48.
10. Zhuchok A.V. Some least congruences on dimonoids // Bulletin of University of Kyiv, Series: Physics
and Mathematics. – 2011. – Vol. 4. – P. 7–10.
11. Meakin J. Congruences on orthodox semigroups II // J. Austral. Math. Soc. – 1972. – 13. – P. 259–
266.
12. Masat F. Right group and group congruences on a regular semigroup // Duke Math. J. – 1973. –
40. – P. 393–402.
13. Zhuchok A.V. Сongruences on trioids // Intern. Conf. on Algebra devoted to the centenary of
S. Chernikov: Abstracts. – Kiev, 2012. – P. 160.
A.V. Zhuchok
Group congruences on trioids.
We describe all group congruences on an arbitrary trioid and present the least group congruence on a
trioid with an inverse semigroup, the least group congruence on a trioid with an orthodox semigroup
and the least group congruence on a trioid with a regular semigroup.
Keywords: trioid, dimonoid, semigroup, group congruence.
А.В. Жучок
Групповые конгруэнции на триоидах.
Описаны все групповые конгруэнции на произвольном триоиде и представлены наименьшая груп-
повая конгруэнция на триоиде с инверсной полугруппой, наименьшая групповая конгруэнция на
триоиде с ортодоксальной полугруппой и наименьшая групповая конгруэнция на триоиде с регу-
лярной полугруппой.
Ключевые слова: триоид, димоноид, полугруппа, групповая конгруэнция.
Луганський нацiональний ун-т iм. Тараса Шевченка
zhuchok_a@mail.ru
Получено 28.03.13
158
|