Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса
Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124191 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 159-162. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124191 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241912017-09-23T03:03:36Z Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса Зарайский, Д.А. Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной. Нехай f – визначена на крузi радiуса R у комплекснiй площинi функцiя, що має нульовi контурнi iнтеграли по колах радiуса r < R. У роботi дослiджується наступне питання: якi додатковi умови на функцiю f гарантують її голоморфнiсть. Let f be a function on disk of radius R in the complex plane, which has vanishing contour integrals over circles of radius r < R. The following question is investigated: under what additional conditions the function f is necessarily holomorphic. 2013 Article Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 159-162. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124191 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной. |
| format |
Article |
| author |
Зарайский, Д.А. |
| spellingShingle |
Зарайский, Д.А. Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зарайский, Д.А. |
| author_sort |
Зарайский, Д.А. |
| title |
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_short |
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_full |
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_fullStr |
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_full_unstemmed |
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_sort |
теоремы типа мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124191 |
| citation_txt |
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 159-162. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zarajskijda teoremytipamorerydlâkonturnyhintegralovpookružnostâmfiksirovannogoradiusa |
| first_indexed |
2025-07-09T01:00:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:00:08Z |
| _version_ |
1837129074782240768 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 517.5
c©2013. Д.А. Зарайский
ТЕОРЕМЫ ТИПА МОРЕРЫ ДЛЯ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПО ОКРУЖНОСТЯМ ФИКСИРОВАННОГО РАДИУСА
Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые
контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос:
при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной.
Ключевые слова: теоремы типа Мореры.
1. Введение. Классическая теорема Мореры утверждает, что непрерывная
функция, имеющая нулевые интегралы по произвольному замкнутому контуру,
необходимо является комплексно-аналитической. Естественно спросить, можно ли
уменьшить семейство рассматриваемых контуров в такого рода утверждениях. Как
доказывается в большинстве курсов комплексного анализа, можно ограничиться ин-
тегралами по произвольно малому треугольнику. Более сложным, однако, является
соответствующий вопрос для семейств контуров, диаметры которых не могут быть
выбраны произвольно малыми. Если контуры являются границами фигур, конгру-
энтной данной, лежащих в области определения рассматриваемой функции, то, как
впервые замечено в [1], имеется связь с тем, имеет ли фигура свойство Помпейю. По-
следнее состоит в том, что функция однозначно определяется своими интегралами
по фигурам, конгруэнтной данной. По поводу различных работ в этом направлении
см. обзоры [2, 3], монографию [4] (§ 5.4), а также статью [5].
Будем обозначать BR(x) – открытый круг радиуса R с центром в x в комплекс-
ной плоскости C, BR = BR(0). В работе рассматривается следующий вопрос: при
каких дополнительных условиях на функцию f , определённую на круге BR и голо-
морфную в круге Br, из равенства нулю контурного интеграла
∫
|z−z0|=r
f(z) dz
для всех z ∈ BR−r следует голоморфность f на всём BR. Результаты работы явля-
ются приложениями теорем единственности для функций с нулевыми интегралами
по шарам, полученных в [6, 7].
Отметим, что в требовании голоморфности функции f в круге Br радиус r явля-
ется критическим. С одной стороны, существуют не голоморфные в BR бесконечно
дифференцируемые функции f , голоморфные в круге Br−ε. С другой стороны, если
функция f голоморфна в Br+ε, по теореме 2, не требуется более никаких условий
для голоморфности f во всём BR.
2. Формулировки основных результатов. Если функция f SO(2)-финитна,
т. е. f(λz) = λkf(z) для |λ| = 1, имеет место следующая теорема.
159
Д.А. Зарайский
Теорема 1. Пусть f ∈ L1
loc(BR), R > r > 0, функция f голоморфна в круге Br,
и для почти всех z0 ∈ BR−r выполнено равенство
∫
|z−z0|=r
f(z) dz = 0. (1)
Пусть, кроме того, для некоторого k ∈ Z выполнено равенство
f(λz) = λkf(z) для λ ∈ C, |λ| = 1. (2)
Тогда:
(1) Если f ∈ Cm(BR), m > |k + 1| − 2, то f голоморфна во всём круге BR.
(2) Если m 6 |k + 1| − 3, то существует удовлетворяющая условиям теоремы
функция f ∈ Cm(BR), не голоморфная в BR.
Для функций f общего вида имеет место следующий результат.
Теорема 2. Пусть f ∈ L1
loc(BR), R > r > 0, функция f голоморфна в круге Br,
и для почти всех z0 ∈ BR−r выполнено равенство
∫
|z−z0|=r
f(z) dz = 0.
Тогда, если ограничение f на U принадлежит C∞(U) для некоторого открытого
множества U ⊂ BR такого, что U ∪ −U ⊃ {z ∈ C : |z| = r}, то f голоморфна во
всём круге BR.
3. Доказательства результатов. Доказательству теорем предпошлём две лем-
мы
Лемма 1. Для f ∈ Lloc(BR) выполнение равенства
∫
|z−z0|=r
f(z) dz = 0
для п. в. z эквивалентно тому, что свёртка распределений ∂χBr
∂z ∗ f равна нулю на
своей области определения BR−r.
Доказательство. Как легко следует из теоремы Фубини, для комплекснозначной
меры µ ограниченной вариации с компактным носителем (т.е. распределения µ ∈
E ′(Rn) порядка 0) и функции f ∈ Lloc(U) их свёртка как распределений, µ ∗ f ,
является локально интегрируемой на открытом множестве
{x ∈ Rn : x− suppµ ⊂ U}
функцией, и
(µ ∗ f)(x) =
∫
supp µ
f(x− y) dµ(y) для п. в. x.
По формуле Стокса для пробной функции g ∈ D(C) имеем
160
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса
〈
∂χBr
∂z
, g
〉
= −
〈
χBr ,
∂g
∂z
〉
= −
∫
Br
∂g
∂z
(x + iy) dx dy =
=
i
2
∫
Br
∂g
∂z
(z) dz ∧ dz =
1
2i
∫
Br
d(g(z) dz) =
1
2i
∫
∂Br
g(z) dz.
Таким образом,
∂χBr
∂z
(z) =
z
2r
ωr(z),
где ωr – поверхностная мера евклидова на окружности |z| = 1. Поэтому ∂χBr
∂z явля-
ется мерой ограниченной вариации, что и доказывает лемму. ¤
Лемма 2. Распределение f ∈ D ′(BR \ {0}) удовлетворяет (2) тогда и только
тогда, когда она имеет вид
f(z) = (z/|z|)kF (|z|), F ∈ D ′(0, R), (3)
где F (|z|) понимается как обратный образ ρ∗F распределения F при отображении
ρ(z) = |z|, причём F определяется по f однозначно. Отображение
f 7→ ∂f
∂z
задаёт взаимно-однозначное линейное отображение пространства распределений
f ∈ D ′(BR), удовлетворяющих (2) и равных нулю в круге Br, на пространство
распределений f ∈ D ′(BR), также равных нулю на Br и таких, что для λ ∈ C,
|λ| = 1, f(λz) = λk+1f(z).
Доказательство. Очевидно, f ∈ D ′(BR \ {0}) удовлетворяет (2) с k = l тогда и
только тогда, когда (z/|z|)m удовлетворяет (2) с k = l + m, поэтому первое утвер-
ждение леммы вытекает из частного случая k = 0, где оно соответствует общему
виду радиальных распределений.
В полярных координатах z = ρeiϕ имеем
∂
∂z
f(z) =
∂
∂z
(
F (|z|)(z/|z|)k
)
=
∂
∂z
(
zk|z|−kF (|z|)
)
= zk ∂
∂z
(
|z|−kF (|z|)
)
=
= ρkeikϕ ∂
∂z
(
ρ−kF (ρ)
)
= ρkeikϕ
(
1
2
∂
∂ρ
(
ρ−kF (ρ)
))
eiϕ =
=
1
2
ρk
(
ρ−kF (ρ)
)′
ei(k+1)ϕ. (4)
Поэтому второе утверждение леммы вытекает из того факта, что распределение
u ∈ D ′(0, R) имеет определённую однозначно с точностью до аддитивной константы
первообразную U ∈ D ′(0, R), U ′ = u. ¤
Доказательство теоремы 1. Заметим прежде всего, что из разложения функ-
ции f в ряд Тейлора в Br и его единственности следует, что f = czk на Br при
k ∈ Z+ и f = 0 на Br при k < 0. Заменяя, если нужно, f на f − czk, что не нарушит
выполнимости условий теоремы, будем считать далее, что f = 0 на Br и в случае
k ∈ Z+.
161
Д.А. Зарайский
Рассмотрим распределение g = ∂f/∂z.
Имеем
χBr ∗ g = χBr ∗
∂f
∂z
=
∂χBr
∂z
∗ f.
Таким образом, (1) выполнено для п. в. z ∈ BR−r тогда и только тогда, когда χBr∗g =
0 (если g ∈ Lloc(BR), это эквивалентно тому, что g имеет нулевые интегралы по
кругам радиуса r).
Теорема вытекает теперь из общего вида SO(2)-финитных решений уравнения
свёртки χBr ∗ g = 0, установленного в [6], и тождества (4). ¤
Аналогичным образом, с учётом леммы 1, теорема 2 получается применением
теоремы 1 работы [7] к функции g = ∂f/∂z.
1. Zalcman L. Analyticity and the Pompeiu problem // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1972. –
Vol. 47. – P. 237–254.
2. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Fuglede B., et al. (eds.) Approx-
imation by Solutions of Partial Differential Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic, 1992. –
P. 185–194.
3. Zalcman L. Supplementary bibliography to “A bibliographic survey of the Pompeiu problem” //
Radon Transforms and Tomography. Contemp. Math. – Providence: Am. Math. Soc., 2001. –
Vol. 278. – P. 69–74.
4. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Academic, 2003.
– 454 p.
5. Волчков В.В. Теоремы типа Мореры в областях со слабым условием конуса. // Изв. вузов.
Математика. – 1993. – № 10. – С. 15–20.
6. Зарайский Д.А. Уточнение теоремы единственности для решений уравнения свёртки // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2006. – Т. 12. – С. 69–75.
7. Зарайский Д.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам //
Труды ИПММ НАН Украины. – 2012. – Т. 25. – C.77–83.
8. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.
Том 1. – М.: Мир, 1986. – 464 с.
D.A. Zaraisky
Morera type theorems for contour integrals over circles of fixed radius.
Let f be a function on disk of radius R in the complex plane, which has vanishing contour integrals
over circles of radius r < R. The following question is investigated: under what additional conditions the
function f is necessarily holomorphic.
Keywords: Morea type theorems.
Д.А. Зарайський
Теореми типу Морери для контурних iнтегралiв по колах фiксованого радiуса.
Нехай f – визначена на крузi радiуса R у комплекснiй площинi функцiя, що має нульовi контурнi
iнтеграли по колах радiуса r < R. У роботi дослiджується наступне питання: якi додатковi умови
на функцiю f гарантують її голоморфнiсть.
Ключовi слова: теореми типу Морери.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
d.zaraisky@gmail.com
Получено 17.12.13
162
|