О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях
В работе устанавливаются критерии существования многозначных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в областях, ограниченных конечным числом взаимно непересекающихся жордановых кривых, с ограниченными граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек р...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124193 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 172-181. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124193 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241932017-09-23T03:03:44Z О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. В работе устанавливаются критерии существования многозначных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в областях, ограниченных конечным числом взаимно непересекающихся жордановых кривых, с ограниченными граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек разрыва. В частности, установлено существование многозначных решений для произвольных граничных функций ограниченной вариации. У роботi встановлено критерiї iснування багатозначних розв’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених рiвнянь Бельтрамi першого роду в областях, якi обмеженi скiнченним числом взаємно неперетинних жорданових кривих, з обмеженими межовими функцiями, що допускають не бiльш нiж злiчену кiлькiсть точок розриву. Зокрема, встановлено iснування багатозначних розв’язкiв для довiльних межових функцiй обмеженої варiацiї. In the work, it is established criteria of existence of multi-valued solutions for the Dirichlet problem to the degenerate Beltrami equations of the first kind in the domains bounded by a finite collection of mutually disjoint Jordan curves with bounded boundary functions admitting not more than a countable number of points of discontinuity. In particular, it is established the existence of multi-valued solutions for boundary functions of bounded variation. 2013 Article О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 172-181. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124193 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе устанавливаются критерии существования многозначных решений задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в областях, ограниченных конечным числом взаимно непересекающихся жордановых кривых, с ограниченными граничными функциями, допускающими не более счетного числа точек разрыва. В частности, установлено существование многозначных решений для произвольных граничных функций ограниченной вариации. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| spellingShingle |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. Петков, И.В. Рязанов, В.И. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях |
| title_short |
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях |
| title_full |
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях |
| title_fullStr |
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях |
| title_full_unstemmed |
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях |
| title_sort |
о многозначных решениях задачи дирихле для уравнений бельтрами в конечносвязных областях |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124193 |
| citation_txt |
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами в конечносвязных областях / Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 172-181. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda omnogoznačnyhrešeniâhzadačidirihledlâuravnenijbelʹtramivkonečnosvâznyhoblastâh AT petkoviv omnogoznačnyhrešeniâhzadačidirihledlâuravnenijbelʹtramivkonečnosvâznyhoblastâh AT râzanovvi omnogoznačnyhrešeniâhzadačidirihledlâuravnenijbelʹtramivkonečnosvâznyhoblastâh |
| first_indexed |
2025-07-09T01:00:21Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:00:21Z |
| _version_ |
1837129087718522880 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 517.5
c©2013. Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
О МНОГОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ В КОНЕЧНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ
В работе устанавливаются критерии существования многозначных решений задачи Дирихле для
вырожденных уравнений Бельтрами первого рода в областях, ограниченных конечным числом
взаимно непересекающихся жордановых кривых, с ограниченными граничными функциями, до-
пускающими не более счетного числа точек разрыва. В частности, установлено существование
многозначных решений для произвольных граничных функций ограниченной вариации.
Ключевые слова: уравнение Бельтрами, задача Дирихле, многозначные решения, конечносвяз-
ные жордановы области, функции ограниченной вариации.
1. Введение. Данная статья является естественным продолжением наших ста-
тей [15]–[18], где можно найти историю вопроса и решение задачи Дирихле для
случая непрерывных граничных функций, см. также [5], [11] и [12].
Пусть D – область в комплексной плоскости C, µ : D → C – измеримая функция
с |µ(z)| < 1 п.в. Уравнением Бельтрами называется уравнение вида
fz̄ = µ(z)fz , (1)
где fz̄ = ∂̄f = (fx + ify)/2, fz = ∂f = (fx − ify)/2, z = x + iy, fx и fy – част-
ные производные отображения f по x и y, соответственно. Функция µ называется
комплексным коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
– дилатационным отношением уравнения (1). Уравнение (1) называется вы-
рожденным, если дилатация Kµ является существенно неограниченной, т.е.
Kµ /∈ L∞(D).
Краевые задачи для уравнений Бельтрами впервые изучались в известной дис-
сертации Римана, который рассматривал частный случай аналитических функций,
когда µ(z) ≡ 0, и работах Гильберта (1904, 1924), который исследовал соответству-
ющую систему Коши–Римана для действительной и мнимой части аналитических
функций f = u + iv, а также работе Пуанкаре (1910) по приливам. Задача Дирихле
хорошо изучена для равномерно эллиптических систем уравнений, см., например,
[1] и [7].
Недавние результаты о существовании сильных кольцевых решений для вырож-
денных уравнений Бельтрами в [22], [24] и [25], а также развитие теории граничного
поведения кольцевых гомеоморфизмов, см., например, [11], [17] и [19], позволяют
получить дальнейшие продвижения.
172
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами ...
Напомним, что любая аналитическая функция f в области D удовлетворяет про-
стейшему уравнению Бельтрами
fz̄ = 0 ,
когда µ(z) ≡ 0. Если аналитическая функция f задана в единичном круге
D = {z ∈ C : |z| < 1} и непрерывна в его замыкании, то по формуле Шварца, см.,
например, § 8, глава III, часть 3 в [10], стр. 346,
f(z) = i Im f(0) +
1
2πi
∫
|ζ|=1
Re f(ζ) · ζ + z
ζ − z
· dζ
ζ
и, таким образом, аналитическая функция f в единичном круге D определяется с
точностью до чисто мнимого числа ic, c = Im f(0), её реальной частью ϕ(ζ) = Re f(ζ)
на границе единичного круга.
Классическая задача Дирихле для уравнений Бельтрами (1) в ограниченной об-
ласти D комплексной плоскости C состояла в нахождении непрерывной функции
f : D → C, имеющей частные производные первого порядка п.в. и удовлетворяю-
щей уравнению (1) п.в., а также граничному условию
lim
z→ζ
Re f(z) = ϕ(ζ) ∀ ζ ∈ ∂D (2)
для предписанной непрерывной функции ϕ : ∂D → R. Однако, в случае наличия
точек разрыва у функции ϕ, естественно требовать, чтобы условие выполнялось
только в точках непрерывности ϕ. Очевидно, что, если f – решение задачи Дирихле,
то и функция F (z) = f(z) + ic для любой постоянной c ∈ R также является ее
решением.
При ϕ (ζ) 6≡ const регулярное решение такой задачи есть непрерывное в C, дис-
кретное и открытое отображение f : D → C класса Соболева W 1,1
loc с якобианом
Jf (z) = |fz|2 − |fz̄|2 6= 0 п.в., удовлетворяющее условию (2) и п.в. (1). Напом-
ним, что отображение f : D → C дискретно, если прообраз f−1 (y) каждой точки
y ∈ C состоит из изолированных точек, и открыто, если образ любого открытого
множества U ⊆ D является открытым множеством в C. В случае ϕ(ζ) ≡ c, ζ ∈ ∂D,
под регулярным решением задачи Дирихле (2) для уравнения Бельтрами (1) пони-
мается любая постоянная функция f(z) = c + ic′, c′ ∈ R.
Как впервые заметил Боярский, см., например, § 6 главы 4 в [7], в случае мно-
госвязных областей задача Дирихле для уравнений Бельтрами, вообще говоря, не
имеет решений в классе непрерывных (однозначных) в C функций. Поэтому есте-
ственно возникает вопрос: нельзя ли в этом случае существование решения задачи
Дирихле получить в более широком классе? Оказывается можно, если решение за-
дачи будем искать в классе функций, имеющих некоторое количество заранее фик-
сированных изолированных полюсов внутри области D. Точнее, при ϕ (ζ) 6≡ const,
псевдорегулярное решение такой задачи есть непрерывное в C, дискретное и от-
крытое отображение f : D → C класса Соболева W 1,1
loc вне полюсов с якобианом
173
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
Jf (z) = |fz|2 − |fz̄|2 6= 0 п.в., удовлетворяющее уравнению (1) п.в. и граничному
условию (2).
В многосвязных областях D в C помимо псевдорегулярных решений задача Ди-
рихле (2) для уравнений Бельтрами (1) допускает многозначные решения в духе
теории многозначных аналитических функций. Говорим, что непрерывное, дискрет-
ное и открытое (или постоянное) отображение f : B(z0, ε0) → C, где B(z0, ε0) ⊂ D,
является локальным регулярным решением уравнения (1), если f ∈ W 1,1
loc , Jf 6= 0
и f удовлетворяет (2) п.в. Два локальных регулярных решения f0 : B(z0, ε0) → C
и f∗ : B(z∗, ε∗) → C уравнения (1) будем называть продолжением друг друга, если
существует конечная цепь таких решений fi : B(zi, εi) → C, i = 1, . . . , m, что f1 = f0,
fm = f∗ и fi(z) ≡ fi+1(z) для z ∈ Ei := B(zi, εi) ∩B(zi+1, εi+1) 6= ∅, i = 1, . . . , m− 1.
Совокупность локальных регулярных решений fj : B(zj , εj) → C, j ∈ J , будем на-
зывать многозначным решением уравнения (1) в D, если круги B(zj , εj) накрывают
всю область D и fj попарно являются продолжениями друг друга в этой совокуп-
ности. Многозначное решение (1) будем называть многозначным решением задачи
Дирихле (2), если u(z) = Re f(z) = Re fj(z), z ∈ B(zj , εj), j ∈ J , является однознач-
ной функцией в D, которая удовлетворяет условию (2).
Здесь мы приводим соответствующие теоремы о существовании многозначных
решений задачи Дирихле (2) для уравнения Бельтрами (1) в произвольных конечно-
связных жордановых областях, когда граничная функция ограничена и допускает не
более счетного числа точек разрыва. Необходимо заметить, что существование таких
решений соответствующей задачи Дирихле для вырожденных уравнений Бельтрами
с двумя характеристиками
fz̄ = µ(z)fz + ν(z)fz
остаётся открытой, хотя соответствующие теоремы существования регулярных го-
меоморфных решений (1) класса W 1,1
loc были установлены в ряде недавних статей
[2]–[4]. Это – важная проблема, поскольку уравнения Бельтрами второго рода
fz̄ = ν(z)fz
играют важную роль во многих задачах математической физики, см., например,
[14]. Однако, решение этой проблемы потребует существенной модификации нашего
подхода, сравни [5] и [6].
2. Определения и предварительные замечания. Пусть задано семейство
Γ кривых γ в комплексной плоскости C. Борелевскую функцию % : C → [0,∞]
называют допустимой для Γ, пишут % ∈ admΓ, если
∫
γ
%(z) |dz| > 1 ∀ γ ∈ Γ .
Конформным модулем семейства Γ называется величина
M(Γ) = inf
%∈admΓ
∫
C
%2(z) dm(z) ,
174
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами ...
где dm(z) отвечает мере Лебега в C.
Пусть D – область в C, z0 ∈ D, d0 = dist(z0, ∂D), и пусть Q : D → [0,∞] –
измеримая по Лебегу функция. Положим
A(z0, r1, r2) = {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2} ,
Si = S(z0, ri) = {z ∈ C : |z − z0| = ri}, i = 1, 2.
Далее, как обычно, ∆(E, F ; D) обозначает семейство всех кривых γ : [a, b] → C,
которые соединяют E и F в D, т.е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F , и γ(t) ∈ D при a < t < b.
Следующее понятие мотивировано кольцевым определением квазиконформно-
сти по Герингу, см., напр., [8], и тесно связано с изучением вырожденных уравнений
Бельтрами (1) на плоскости. Следуя работе [21], см. также монографию [20], гово-
рим, что гомеоморфизм f из области D в C является кольцевым Q-гомеоморфизмом
в точке z0 ∈ D, если соотношение
M (∆ (fS1, fS2; fD)) 6
∫
A
Q(z) · η2(|z − z0|) dm(z) (3)
выполнено для любого кольца A = A(z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0, и для любой
измеримой (по Лебегу) функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1 . (4)
Говорят, что гомеоморфизм f : D → C является кольцевым Q-гомеоморфизмом в
D, если условие (3) выполнено для всех точек z0 ∈ D.
В работе [22] впервые рассматривались кольцевые Q-гомеоморфизмы в гранич-
ных точках областей D, см. также работы [19], [24], [25] и монографию [11]. Гомео-
морфизм f из области D в C называется кольцевым Q-гомеоморфизмом в граничной
точке z0 ∈ ∂D, если
M (∆ (fC1, fC2; fD)) 6
∫
A∩D
Q(z) · η2(|z − z0|) dm(z) (5)
для любого кольца A = A(z0, r1, r2) и произвольных континуумов C1 и C2 в D, кото-
рые принадлежат различным компонентам дополнения кольца A в C, содержащим
z0 и∞, соответственно, и для любой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞], удовле-
творяющей условию (4). Говорим, что гомеоморфизм f из D в C является кольцевым
Q-гомеоморфизмом в D, если условие (5) выполнено для всех точек z0 ∈ D.
Напомним также следующие топологические понятия. Область D ⊂ C называ-
ется локально связной в точке z0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки z0,
существует окрестность V ⊆ U точки z0 такая, что V ∩ D связно. Заметим, что
каждая жорданова область D в C является локально связной в любой точке ∂D,
см., например, [27], стр. 66.
175
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
Говорим, что ∂D – слабо плоская в точке z0 ∈ ∂D, если для любой окрестности
U точки z0 и любого числа P > 0, найдется окрестность V ⊂ U точки z0, такие, что
M(∆(E, F ; D)) > P
для всех континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V . Границу ∂D будем на-
зывать слабо плоской, если она слабо плоская в каждой точке из ∂D.
Замечание 1. Известно, что многие регулярные области, такие как выпуклые,
гладкие, липшицевы, равномерные, области квазиэкстремальной длины по Герингу–
Мартио, имеют слабо плоские границы, см., например, [20].
Напомним также, что функция ψ : D → R, ψ ∈ L1
loc(D), называется функцией
ограниченного среднего колебания по Джону-Ниренбергу, сокр. ψ ∈ BMO, если
‖ψ‖∗ = sup
B⊂D
1
|B|
∫
B
|ψ(z)− ψB| dm(z) < ∞ ,
где точная верхняя грань берётся по всем кругам B ⊂ D, а ψB – среднее значение
функции ψ в круге B. Пишем ψ ∈ BMO(D), если ψ ∈ BMO(G), где G – область в
C, содержащая D.
Следуя работе [13], говорим, что функция ψ : D → R имеет конечное среднее
колебание в точке z0 ∈ D, пишем ψ ∈ FMO(z0), если
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ψ(z)− ψ̃ε| dm(z) < ∞ , (6)
где B(z0, ε) = {z ∈ C : |z − z0| < ε}, а ψ̃ε – среднее значение ψ в круге B(z0, ε).
Пишем ψ ∈ FMO(D), если (6) выполнено для каждой точки z0 ∈ D. Также пишем
ψ ∈ FMO(D), если ψ задана в некоторой области G в C, содержащей D, и ψ ∈
FMO(z0) для всех z0 ∈ D.
Как известно, L∞(D) ⊂ BMO(D) ⊂ Lp
loc(D) для всех p ∈ [1,∞). Однако, FMO(D)
не является подклассом Lp
loc(D) ни для какого p > 1, хотя FMO(D) ⊂ L1
loc(D), см.,
например, [20], с. 211. Таким образом, класс FMO существенно шире класса BMOloc.
Как очевидно из неравенства треугольника, если для некоторого набора чисел
ψε ∈ R, ε ∈ [0, ε0], выполнено условие
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ψ(z)− ψε| dm(z) < ∞,
то ψ имеет конечное среднее колебание в точке z0.
В частности, если для точки z0 ∈ D выполнено условие
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ψ(z)| dm(z) < ∞,
то ψ имеет конечное среднее колебание в точке z0.
176
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами ...
Напомним, что точка z0 ∈ D называется точкой Лебега функции ψ : D → R,
если ψ интегрируема в окрестности z0 и
lim
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
|ψ(z)− ψ(z0)| dm(z) = 0.
Известно, что для функции ψ ∈ L1
loc(D) почти все точки D являются ее точками
Лебега. Таким образом, функции ψ ∈ L1
loc(D) имеют конечное среднее колебание в
почти всех точках области D, т.е. условие FMO является весьма естественным.
Замечание 2. Если неотрицательная функция ψ : D → R имеет конечное среднее
колебание в точке z0 ∈ D, то для некоторого ε0 > 0 выполнено условие
∫
ε<|z−z0|<ε0
ψ(z) dm(z)(
|z − z0| log 1
|z−z0|
)2 = O
(
log log
1
ε
)
при ε → 0 ,
см. следствие 2.3 в [13].
3. О критериях существования многозначных решений.
Лемма 1. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состо-
ит из конечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть
µ : D → C – измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., такая, что
∫
ε<|z−z0|<ε0
Kµ(z) · ψ2
z0,ε(|z − z0|) dm(z) = o
(
I2
z0
(ε)
)
при ε → 0 ∀ z0 ∈ D (7)
для некоторого ε0 < sup
z∈D
|z − z0|, где ψz0,ε(t) – двупараметрическое семейство
измеримых на (0,∞) функций с условием
0 < Iz0(ε) :=
ε0∫
ε
ψz0,ε(t) dt < ∞ ∀ε ∈ (0, ε0) .
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет многозначное решение задачи Дирихле (2)
для любой ограниченной функции ϕ : ∂D → R с не более чем счетным числом точек
разрыва.
Здесь и далее подразумевается, что Kµ продолжено нулем вне области D.
Доказательство. Пусть F – регулярное гомеоморфное решение уравнения Бель-
трами (1) класса W 1,1
loc , которое является кольцевым Q-гомеоморфизмом в D c
Q = Kµ и которое существует по лемме 4.1 из [24] в силу условия (7). Рассмот-
рим D∗ = F (D). Заметим, что ∂D∗ имеет n компонент связности Γi, i = 1, . . . , n,
которые находятся в естественном взаимнооднозначном соответствии с компонента-
ми связности ∂D, жордановыми кривыми γi, i = 1, . . . , n, см., например, лемму 5.3
в [13] или лемму 6.5 в [20].
Область D∗ допускает конформное отображение R на круговую область D∗, гра-
ница которой состоит из n окружностей с возможным вырождением в точку, см.,
177
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
например, теорему V.6.2 в [9]. Заметим, что D∗ имеет слабо плоскую границу, а D
является локально связной на границе. Отображение g = R ◦ F : D → D∗ также
является регулярным гомеоморфным решением уравнения Бельтрами, которое яв-
ляется кольцевым Q-гомеоморфизмом в D c Q = Kµ, и по леммам 6.6 и 6.7 в [11] или
по лемме 1 и теореме 3 в [19] g допускает гомеоморфное продолжение g∗ : D → D∗.
Таким образом, компоненты границы D∗ не могут вырождаться в точку, так как
компоненты границы области D являются жордановыми кривыми.
Будем искать решение исходной задачи Дирихле (2) в виде f = h ◦ g, где h –
аналитическая (вообще говоря, многозначная) функция в D∗ с граничным условием
lim
w→ζ
Reh(w) = ϕ(g−1
∗ (ζ))
для всех точек ζ ∈ ∂D∗ за исключением быть может (счетного) множества точек
разрыва функции ϕ(g−1∗ (ζ)). Известно, что в области D∗ найдется решение задачи
Дирихле для гармонических функций u, удовлетворяющее граничному условию
lim
w→ζ
u(w) = ϕ(g−1
∗ (ζ))
для всех точек ζ ∈ ∂D∗, за исключением быть может (счетного) множества точек
разрыва функции ϕ(g−1∗ (ζ)), см., например, § 3 главы VI в [9].
Пусть z0 ∈ D, B0 = B(z0, ε0) ⊂ D для некоторого ε0 > 0, и пусть w0 = g(z0).
Тогда область G0 := g(B0) односвязна, и поэтому найдется гармоническая функция
v(w) такая, что h(w) = u(w) + iv(w) – голоморфная функция. Заметим, что f0 =
h◦g|B0 – локально регулярное решение уравнения Бельтрами (1). Функция h может
быть продолжена до, вообще говоря, многозначной аналитической функции H в
области D∗ и, таким образом, H ◦ g дает искомое многозначное решение задачи
Дирихле (2) для уравнения Бельтрами (1).
Теорема 1. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит
из n > 2 попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C –
измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., такая, что
Kµ(z) 6 Q(z) п.в. (8)
для некоторой функции Q : C → [0,∞] класса FMO(D). Тогда уравнение Бельтра-
ми (1) имеет многозначное решение задачи Дирихле (2) для любой ограниченной
функции ϕ : ∂D → R с не более чем счетным числом точек разрыва.
Следствие 1. В частности, заключение теоремы 1 остается в силе, если усло-
вие (8) выполнено для некоторой функции Q ∈ BMO(D).
Следствие 2. Заключение теоремы 1 остается в силе, если в условии (8)
все точки z ∈ D являются точками Лебега локально интегрируемой функции
Q : C→ [0,∞].
Следствие 3. Заключение теоремы 1 также имеет место, если
lim sup
ε→0
−
∫
B(z0,ε)
Kµ(z) dm(z) < ∞ ∀ z0 ∈ D.
178
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами ...
Рассуждая аналогично случаю регулярных решений в односвязных областях,
получаем из этой леммы также следующие результаты, см., например, [16].
Теорема 2. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит из
конечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C
– измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., такая, что Kµ ∈ L1(D), и
δ(z0)∫
0
dr
‖Kµ(z0, r)‖1(r)
= ∞ ∀ z0 ∈ D ,
где ‖Kµ‖1(z0, r) =
∫
γr
Kµ(z)|dz| – нормы в L1 функции Kµ на окружностях
S(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| = r}, 0 < r < δ(z0) < d(z0), d(z0) = supz∈D |z − z0|.
Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет многозначное решение задачи Дирихле (2)
для любой ограниченной функции ϕ : ∂D → R с не более чем счетным числом точек
разрыва.
Следствие 4. В частности, заключение теоремы 2 имеет место, если
kz0(ε) = O
(
log
1
ε
)
ε → 0 ∀ z0 ∈ D,
где kz0(ε) – среднее значение функции Kµ на окружности S(z0, ε).
Теорема 3. Пусть D – ограниченная область в C, граница которой состоит из
конечного числа попарно непересекающихся жордановых кривых, и пусть µ : D → C
– измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в., такая, что
∫
D
Φ(Kµ(z)) dm(z) < ∞,
где Φ : R+ → R+ – неубывающая выпуклая функция с условием
∞∫
δ
dτ
τΦ−1(τ)
= ∞
для некоторого δ > Φ(0). Тогда уравнение Бельтрами (1) имеет многозначное ре-
шение задачи Дирихле (2) для любой ограниченной функции ϕ : ∂D → R с не более
чем счетным числом точек разрыва.
Следствие 5. В частности, заключение теоремы 3 имеет место, если при
некотором α > 0 ∫
D
eαKµ(z) dm(z) < ∞.
Замечание 3. Можно показать, что имеет место аналог известной теоремы о мо-
нодромии для аналитических функций, состоящий в том, что любое многозначное
179
Д.А. Ковтонюк, И.В. Петков, В.И. Рязанов
решение уравнения Бельтрами (1) в односвязной области D является его регуляр-
ным однозначным решением.
Замечание 4. В частности, все результаты работы имеют место для граничных
функций ϕ ограниченной вариации.
1. Боярский Б.В. Обобщённые решения системы дифференциальных уравнений первого порядка
эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем. сб. – 1957. – Т. 43 (85). –
С. 451–503.
2. Боярский Б.В., Гутлянский В.Я., Рязанов В.И. General Beltrami equations and BMO // Укр.
мат. вестник. – 2008. – Т. 5, № 3. – C. 305–326.
3. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On the Beltrami equations with two characteristics //
Complex Var. Elliptic Equ. – 2009. – Vol. 54, No. 10. – P. 935–950.
4. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On integral conditions for the general Beltrami equations
// Complex Anal. Oper. Theory. – 2011. – Vol. 5, No. 3. – P. 835–845.
5. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. Dirichlet problem for general degenerate Beltrami
equation in Jordan domains // Укр. матем. вiсник. – 2012. – Т. 9, № 4. – С. 460–476.
6. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On existence and representation of solutions for general
degenerate Beltrami equations // Complex Var. Elliptic Equ. – 2013. – http://dx.doi.org/10.1080/
17476933.2013.795955.
7. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. – М.: Физматгиз, 1959.
8. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. –
Vol. 103. – P. 353–393.
9. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966.
10. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. – М.: Наука, 1968.
11. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation: A Geometric Approach.
– Developments in Mathematics. – Vol. 26. – New York etc.: Springer, 2012.
12. Dybov Yu. On regular solutions of the Dirichlet problem for the Beltrami equations // Complex
Var. Elliptic Equ. – 2010. – Vol. 55, No. 12. – P. 1099–1116.
13. Игнатьев А. А., Рязанов В. И. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр.
мат. вестник. – 2005. – Т. 2, № 3. – C. 395-417.
14. Крушкаль С.Л., Кюнау Р. Квазиконформные отображения – новые методы и приложения. –
Новосибирск: Наука, 1984.
15. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. К задаче Дирихле для уравнений Бельтрами //
Доповiдi НАНУ. – 2012. – № 6. – C. 30–33.
16. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. О задаче Дирихле для уравнений Бельтрами в
конечносвязных областях // Укр. матем. журн. – 2012. – Т. 64, № 7. – C. 932–944.
17. Kovtonyuk D., Petkov I., Ryazanov V. On the boundary behaviour of solutions to the Beltrami
equations// Complex Var. Elliptic Equ. – 2013. – Vol. 58, No. 5. – P. 647-–663.
18. Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И., Салимов Р.Р. Граничное поведение и задача
Дирихле для уравнений Бельтрами // Алгебра и анализ. – 2013. – Т. 25, № 4. – С. 102–125.
19. Ломако Т.В. О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на
границу // Укр. мат. журн. – 2009. – Т. 61, № 10. – С. 1329–1337.
20. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – Springer
Monographs in Mathematics, New York: Springer, 2009.
21. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. Anal. Math. –
2005. – Vol. 96. – P. 117–150.
22. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. To strong ring solutions of the Beltrami equations // Uzbek.
Math. J. – 2009. – № 1. – P. 127–137.
23. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Integral conditions in the mapping theory // Укр. мат. вестник.
– 2010. – Т. 7, № 1. – С. 524–535.
24. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On strong solutions of the Beltrami equations // Complex Var.
Elliptic Equ. – 2010. – Vol. 55, No. 1–3. – P. 219–236.
180
О многозначных решениях задачи Дирихле для уравнений Бельтрами ...
25. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Integral conditions in the theory of the Beltrami equations //
Complex Var. Elliptic Equ. – 2012. – Vol. 57, No. 12. – P. 1247–1270.
26. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. – М.: Наука,
1964.
27. Wilder R.L. Topology of Manifolds. – AMS, New York, 1949.
D.A. Kovtonyuk, I. V. Petkov, V. I. Ryazanov
On multi-valued solutions of the Dirichlet problem for the Beltrami equations in finitely
connected domains.
In the work, it is established criteria of existence of multi-valued solutions for the Dirichlet problem
to the degenerate Beltrami equations of the first kind in the domains bounded by a finite collection of
mutually disjoint Jordan curves with bounded boundary functions admitting not more than a countable
number of points of discontinuity. In particular, it is established the existence of multi-valued solutions
for boundary functions of bounded variation.
Keywords: the Beltrami equation, the Dirichlet problem, multi-valued solutions, finitely connected
Jordan domains, functions of bounded variation.
Д.О. Ковтонюк, I. В. Пєтков, В. I. Рязанов
Про багатозначнi розв’язки задачi Дiрiхле для рiвнянь Бельтрамi в скiнченнозв’язних
областях.
У роботi встановлено критерiї iснування багатозначних розв’язкiв задачi Дiрiхле для вироджених
рiвнянь Бельтрамi першого роду в областях, якi обмеженi скiнченним числом взаємно неперетинних
жорданових кривих, з обмеженими межовими функцiями, що допускають не бiльш нiж злiчену
кiлькiсть точок розриву. Зокрема, встановлено iснування багатозначних розв’язкiв для довiльних
межових функцiй обмеженої варiацiї.
Ключовi слова: рiвняння Бельтрамi, задача Дiрiхле, багатозначнi розв’язки, скiнченнозв’язнi
жордановi областi, функцiї обмеженої варiацiї.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
denis kovtonyuk@bk.ru
igorpetkov@i.ua
vlryazanov1@rambler.ru
vl.ryazanov1@gmail.com
Получено 31.10.13
181
|