Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом
В работе рассмотрена модель Самуэльсона, в которой динамику тренда описывает интеграл от обобщенной телеграфной волны. Изучены свойства самой модели, а также свойства базовой последовательности измерений значений процесса....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124199 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом / А.А. Хархота // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 231-239. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124199 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241992017-09-23T03:03:19Z Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом Хархота, А.А. В работе рассмотрена модель Самуэльсона, в которой динамику тренда описывает интеграл от обобщенной телеграфной волны. Изучены свойства самой модели, а также свойства базовой последовательности измерений значений процесса. У роботi розглянуто модель Самуельсона, в якiй динамiку тренда описує iнтеграл вiд узагальненої телеграфної хвилi. Вивчено властивостi самої моделi, а також властивостi базової послiдовностi вимiрювань значень процесу. In this paper we study the Samuelson model, in which the trend dynamics is described by the integral of the generalized telegraph wave. The model properties, as well as the properties of the basic sequence of process values have been studied. 2013 Article Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом / А.А. Хархота // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 231-239. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124199 519.21 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассмотрена модель Самуэльсона, в которой динамику тренда описывает интеграл от обобщенной телеграфной волны. Изучены свойства самой модели, а также свойства базовой последовательности измерений значений процесса. |
| format |
Article |
| author |
Хархота, А.А. |
| spellingShingle |
Хархота, А.А. Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Хархота, А.А. |
| author_sort |
Хархота, А.А. |
| title |
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_short |
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_full |
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_fullStr |
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_full_unstemmed |
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом |
| title_sort |
свойства модели самуэльсона с телеграфным трендом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124199 |
| citation_txt |
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом / А.А. Хархота // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 231-239. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT harhotaaa svojstvamodelisamuélʹsonastelegrafnymtrendom |
| first_indexed |
2025-07-09T01:00:58Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:00:58Z |
| _version_ |
1837129126766444544 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 519.21
c©2013. А.А. Хархота
СВОЙСТВА МОДЕЛИ САМУЭЛЬСОНА
С ТЕЛЕГРАФНЫМ ТРЕНДОМ
В работе рассмотрена модель Самуэльсона, в которой динамику тренда описывает интеграл от
обобщенной телеграфной волны. Изучены свойства самой модели, а также свойства базовой после-
довательности измерений значений процесса.
Ключевые слова: модель Самуэльсона, телеграфная волна, стационарный процесс, эргодический
процесс.
1. Постановка задачи. Одна из первых попыток описать динамику стоимо-
сти финансового актива с помощью стохастических уравнений была предпринята
П. Самуэльсоном в 1965г. В работе [1] он рассмотрел процесс
S(t) = S0e
(
µ−σ2
2
)
t+σW (t)
,
который является решением задачи
dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dW (t), t ≥ 0, S(0) = S0 > 0. (1)
Здесь W (t) – стандартный винеровский процесс со значениями в R1; µ называют
коэффициентом роста, а σ – коэффициентом волатильности. Простота и наличие
хороших свойств сделали эту модель популярным объектом исследования. Так, в
90-х годах ХХ-го века А.Н. Ширяев и его ученики разработали теорию опционов
для финансовых активов, описываемых моделью Самуэльсона (см. [2]).
Статистика модели Самуэльсона не представляет трудностей. Пусть tk = kh
и Sk = S(kh), k = 0, 1, 2, . . . и h > 0. Таким образом, измерения производятся с
фиксированным шагом h по времени, что типично для биржевых торгов. Тогда
ln
Sk+1
Sk
=
(
µ− σ2
2
)
h + σ(W (k + 1)h−W (kh)), k = 0, 1, . . . .
Последовательность
{
ln Sk+1
Sk
}∞
k=0
является последовательностью независимых гаус-
совских величин с параметрами
((
µ− σ2
2
)
h; σ2h
)
и оценки параметров µ и σ2 мо-
гут быть построены и исследованы классическими методами математической стати-
стики. Однако, модель Самуэльсона не нашла широкого применения на практике.
Прежде всего это связано с тем, что модель предполагает постоянство коэффи-
циентов волатильности σ и роста µ, что трудно встретить в реальности. Поэтому
многими авторами предлагались различные усовершенствования модели Самуэль-
сона. Так, Б. Дюпири [3] была предложена модель типа (1), где коэффициентом
волатильности является детерминированная функция σ(S, t). Другое усложнение
модели Самуэльсона представлено моделями стохастической волатильности, одной
из которых является модель Гестона [4]. Эта модель состоит из двух нелинейных
231
А.А. Хархота
стохастических уравнений. Одно описывает динамику курса финансового актива и
имеет вид (1), но со случайной переменной волатильностью σ = σ(t). Второе уравне-
ние описывает динамику квадрата волатильности σ2(t). В работе [5] Г.Л. Бухбиндер
и К.М. Чистилин построили оценки неизвестных параметров модели Гестона и при-
менили полученные результаты к мониторингу реальных курсов акций российских
компаний на ММВБ. Еще одной альтернативой классической модели служат мо-
дели диффузии со скачками. В модели такого типа, предложенной Р. Мертоном
[6], динамика логарифма цены актива описывается суммой броуновского движения
со сносом и сложного процесса Пуассона с нормально распределенными размерами
скачков. Однако, в указанных моделях коэффициент роста µ оставался постоянным,
что существенно снижало адекватность модели по отношению к реальным процес-
сам, протекающим на финансовых рынках. Поэтому актуальной является задача
построения модели, допускающей тренды, которые меняют свое направление в слу-
чайные моменты времени и имеют различные коэффициенты роста. В данной работе
построена модель типа модели Самуэльсона, у которой волатильность постоянна, а
динамику тренда описывает интеграл от обобщенной телеграфной волны.
2. Обобщенная модель Самуэльсона. Пусть на стохастическом базисе
(Ω,=, {=t}t≥0,P) заданы независимые процесс Пуассона ν(t) с параметром λ > 0
и винеровский процесс W (t), а также последовательность независимых случайных
величин {ηk}∞k=0, имеющих нормальное распределение с параметрами (0; σ2
0). Слу-
чайный процесс ην(t) называют обобщенной телеграфной волной.
Определим процесс µ(t) равенством
µ(t) =
t∫
0
ην(s)ds, (2)
правую часть которого будем понимать как интеграл Лебега в смысле сходимости
в среднем квадратическом.
Определение 1. Будем говорить, что процесс S(t) является моделью Самуэль-
сона с телеграфным трендом, если
S(t) = S0e
µ(t)−σ2t
2
+σW (t), t ∈ [0;T ].
Таким образом, в предлагаемой модели, в отличие от модели Самуэльсона, ко-
эффициент роста является случайным процессом µ(t) и описывает динамику тренда
курса S(t).
Прежде всего, покажем, что процесс µ(t) определен корректно и является непре-
рывным процессом.
Теорема 1. Процесс µ(t) существует и непрерывен в среднем квадратическом
по t ∈ (0;T ).
Доказательство. Для сходимости интеграла из (2) в указанном смысле доста-
точно, чтобы корреляционная функция Rη(t, s) процесса ην(t) была интегрируема по
Риману на [0;T ]× [0;T ]. Имеем
Rη(t, s) = Eην(t)ην(s) = E{ην(t)ην(s)|ν(t) 6= ν(s)}P{ν(t) 6= ν(s)}+
232
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом
+ E{η2
ν(t)|ν(t) = ν(s)}P{ν(t) = ν(s)} = σ2
0e
−λ|t−s|.
Значит, процесс µ(t) существует.
По теореме Фубини
Eµ(t) =
t∫
0
Eην(s)ds = 0,
Rµ(t, s) = Eµ(t)µ(s) = σ2
0
t∫
0
s∫
0
e−λ|z2−z1|dz1dz2 =
=
σ2
0
λ2
(
2λmin(s; t)− 1− e−λ|t−s| + e−λ max(s;t) + e−λ min(s;t)
)
.
При s → t имеем
E (µ(s)− µ(t))2 = E (µ(s))2 − 2Eµ(s)µ(t) + E (µ(t))2 =
=
2σ2
0
λ2
(
λs− 1 + e−λs − 2λmax(s; t) + 1 + e−λ|t−s| − e−λ max(s;t)−
−e−λ min(s;t) + λt− 1 + e−λt
)
→ 0,
значит, процесс µ(t) непрерывен в среднем квадратическом на интервале (0;T ). Тео-
рема 1 доказана. ¤
Примеры траекторий процессов µ(t) и S(t) приведены на рис. 1.
Рис. 1. Траектории процессов µ(t) (слева) и S(t) (справа) для значений
параметров λ = 0, 5, σ0 = 0, 3, σ = 0, 1, T = 108
Произведем классификацию процесса µ(t). Очевидно, что µ(t) не является гаус-
совским. Так как Rµ(t, s) 6= Rµ(t− s), то µ(t) не является стационарным процессом.
233
А.А. Хархота
Покажем, что µ(t) не является процессом с независимыми приращениями. Действи-
тельно, для любых t1, t2, t3, t4 таких, что 0 < t1 < t2 < t3 < t4 < T , имеем
E[µ(t2)− µ(t1)][µ(t4)− µ(t3)] = σ2
0
t4∫
t3
t2∫
t1
e−λ(z2−z1)dz1dz2 =
=
σ2
0
λ2
(
eλt2 − eλt1
)(
e−λt3 − e−λt4
)
6= 0,
то есть приращения µ(t) коррелированны, а значит, зависимы.
3. Корреляционный анализ базовой последовательности измерений
для модели Самуэльсона с телеграфным трендом. Для решения задач стати-
стики (например, задачи оценивания параметров) необходимо определить порядок
формирования выборки значений изучаемого процесса и выяснить свойства этой
выборки.
Пусть ось времени разбита с постоянным шагом h > 0 точками tk = kh,
k = 0, 1, . . .. Обозначим
∆kµ = µ(tk+1)− µ(tk) =
(k+1)h∫
kh
ην(s)ds,
∆kW = W ((k + 1)h)−W (kh),
zk = z(tk+1)− z(tk) = ∆kµ− σ2h
2
+ σ∆kW.
Последовательность {zk}∞k=0 будем называть базовой последовательностью измере-
ний (БПИ).
Изучим свойства последовательностей {∆kµ}∞k=0 и {zk}∞k=0. Вначале рассмотрим
{∆kµ}∞k=0.
Теорема 2. Последовательность {∆kµ}∞k=0 является стационарной в широком
смысле.
Доказательство. Имеем
E∆kµ =
(k+1)h∫
kh
Eην(s)ds = 0.
Построим корреляционную функцию R∆µ(k, m). Если k = m, то
R∆µ(k, k) = D∆kµ = E(∆kµ)2 =
2σ2
0
λ2
(
λh− 1 + e−λh
)
> 0.
Если k 6= m, то
R∆µ(k,m) = E∆kµ∆mµ =
σ2
0
λ2
(
eλh − 1
)2
e−λhe−λh|m−k|. (3)
Так как R∆µ(k, m) = R∆µ(|m− k|), то последовательность {∆kµ}∞k=0 является ста-
ционарной в широком смысле. Теорема 2 доказана. ¤
234
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом
Теорема 3. Последовательность {∆kµ}∞k=0 является стационарной в узком
смысле.
Доказательство. Построим доказательство следующим образом: вначале дока-
жем стационарность в узком смысле процесса ην(s), а затем – последовательности
{∆kµ}∞k=0.
По определению процесс ην(s), s ∈ [0;T ] стационарен в узком смысле, если
P{ην(t1) < x1, ην(t2) < x2, . . . , ην(tn) < xn} =
= P{ην(t1+τ) < x1, ην(t2+τ) < x2, . . . , ην(tn+τ) < xn},
(4)
для любых τ , tk ∈ [0;T ], k = 1, 2, . . . , n, n ∈ N таких, что t1+τ, t2+τ, . . . , tn+τ ∈ [0;T ].
Докажем это при помощи метода математической индукции. Покажем, что
P{ην(t1) < x1, ην(t2) < x2} = P{ην(t1+τ) < x1, ην(t2+τ) < x2}. (5)
По формуле полной вероятности
P{ην(t1) < x1, ην(t2) < x2} =
= P{ην(t1) < x1, ην(t2) < x2|ν(t1) = ν(t2)}P{ν(t1) = ν(t2)}+
+ P{ην(t1) < x1, ην(t2) < x2|ν(t1) 6= ν(t2)}P{ν(t1) 6= ν(t2)} =
= P{ην(t1) < min(x1, x2)}e−λ|t2−t1| + P{ην(t1) < x1}P{ην(t2) < x2}
(
1− e−λ|t2−t1|
)
,
(6)
где последнее равенство имеет место в силу независимости величин ηk, k = 0, 1, . . ..
Аналогичный вид имеет и правая часть (5):
P{ην(t1+τ) < x1, ην(t2+τ) < x2} =
= P{ην(t1+τ) < min(x1, x2)}e−λ|t2−t1|+
+ P{ην(t1+τ) < x1}P{ην(t2+τ) < x2}
(
1− e−λ|t2−t1|
)
.
(7)
Заметим, что распределение ηk совпадает с распределением ην(t). Действительно,
P{ην(t) < x} =
∞∑
k=0
P{ηk < x}P{ν(t) = k} = P{ηk < x}
∞∑
k=0
(λt)k
k!
e−λt = P{ηk < x}.
Значит, соответствующие вероятности в правых частях выражений (6) и (7) равны,
то есть имеет место (5).
Далее, предположим, что (4) верно для некоторого n = N − 1. При n = N имеем
P{ην(t1) < x1, . . . , ην(tN−1) < xN−1, ην(tN ) < xN} =
= P{ην(t1) < x1, . . . , ην(tN ) < xN |ν(tN−1) = ν(tN )}P{ν(tN−1) = ν(tN )}+
+ P{ην(t1) < x1, ην(tN ) < xN |ν(tN−1) 6= ν(tN )}P{ν(tN−1) 6= ν(tN )} =
235
А.А. Хархота
= P{ην(t1) < x1, . . . , ην(tN−1) < min(xN−1, xN )}e−λ|tN−tN−1|+
+ P{ην(t1) < x1, . . . , ην(tN−1) < xN−1}P{ην(tN ) < xN}
(
1− e−λ|tN−tN−1|
)
=
= P{ην(t1+τ) < x1, . . . , ην(tN−1+τ) < min(xN−1, xN )}e−λ|tN−tN−1|+
+ P{ην(t1+τ) < x1, . . . , ην(tN−1+τ) < xN−1}P{ην(tN+τ) < xN}
(
1− e−λ|tN−tN−1|
)
=
= P{ην(t1+τ) < x1, . . . , ην(tN−1+τ) < xN−1, ην(tN+τ) < xN}
в силу предположения индукции. Таким образом, (4) доказано.
Теперь рассмотрим последовательность {∆kµ}∞k=0. Нужно доказать равенство:
P{∆k1µ < x1, . . . ,∆knµ < xn} = P{∆k1+lµ < x1, . . . ,∆kn+lµ < xn} (8)
для любых ki = 0, 1, 2, . . ., i = 1, 2, . . . , n, n ∈ N и l ∈ Z. Рассмотрим правую часть
(8):
P{∆k1+lµ < x1, . . . , ∆kn+lµ < xn} =
= P
(k1+l+1)h∫
(k1+l)h
ην(s)ds < x1, . . . ,
(kn+l+1)h∫
(kn+l)h
ην(s)ds < xn
=
= P
(k1+1)h∫
k1h
ην(s̃+lh)ds̃ < x1, . . . ,
(kn+1)h∫
knh
ην(s̃+lh)ds̃ < xn
.
(9)
Выберем разбиения: kih = ri0 < ri1 < . . . < rimi−1 < rimi
= (ki + 1)h, i = 1, 2, . . . , n и
представим интегралы из (9) в виде среднеквадратических пределов интегральных
сумм:
(ki+1)h∫
kih
ην(s̃+lh)ds̃ = l.i.m.max∆rij
→0
mi−1∑
j=0
ην(sij
+lh)∆rij , i = 1, 2, . . . , n. (10)
Из (10) следует сходимость распределений интегральных сумм к распределениям
интегралов, поэтому (9) можно записать в виде:
P
(k1+1)h∫
k1h
ην(s̃+lh)ds̃ < x1, . . . ,
(kn+1)h∫
knh
ην(s̃+lh)ds̃ < xn
=
= lim
max∆rij
→0
P
m1−1∑
j=0
ην(s1j
+lh)∆r1j < x1, . . . ,
mn−1∑
j=0
ην(snj +lh)∆rnj < xn
=
= lim
max∆rij
→0
∫
· · ·
∫
G
fην(s10
+lh),...,ην(snmn−1+lh)
(y10 , . . . ynmn−1)dy10 . . . dynmn−1 ,
236
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом
где область G =
{
m1−1∑
j=0
y1j∆r1j < x1
}
⋂
. . .
⋂
{
mn−1∑
j=0
ynj∆rnj < xn
}
и
fη1,...,ηn(y1, . . . , yn) – совместная плотность величин η1, . . . , ηn.
В силу стационарности в узком смысле процесса ην(s) имеем
lim
max∆rij
→0
∫
· · ·
∫
G
fην(s10
+lh),...,ην(snmn−1+lh)
(y10 , . . . , ynmn−1)dy10 . . . dynmn−1 =
= P
(k1+1)h∫
k1h
ην(s̃)ds̃ < x1, . . . ,
(kn+1)h∫
knh
ην(s̃)ds̃ < xn
,
то есть мы получили левую часть (8). Теорема 3 доказана. ¤
При решении задач статистики случайных процессов вaжную роль играет эрго-
дичность процесса. Наличие у стационарной последовательности таких свойств как
эргодичность по математическому ожиданию и эргодичность по корреляционной
функции позволяет решать задачи статистики, основываясь на одной достаточно
длинной траектории процесса.
Определение 2. Говорят, что процесс {∆kµ}∞k=0 является эргодическим (по ма-
тематическому ожиданию), если
lim
n→∞
1
n
n−1∑
k=0
∆kµ = E∆kµ
с вероятностью 1.
Определение 3. Если последовательность {∆kµ∆k+lµ}∞k=0, l > 0 эргодична в
смысле определения 1, то будем говорить, что {∆kµ}∞k=0 эргодична по корреляци-
онной функции (см., напр., [7, с. 252]).
Теорема 4. Последовательность {∆kµ}∞k=0 эргодична по математическому
ожиданию и по корреляционной функции.
Доказательство. Из (3) следует, что R∆µ(l) = O(|l|−β), при любом β > 0. Значит,
согласно [8, c. 101], последовательность {∆kµ}∞k=0 эргодична по математическому
ожиданию. Рассмотрим последовательность {Mk(p)}∞k=0 = {∆kµ∆k+pµ}∞k=0, p > 0.
Найдем E∆kµ∆k+pµ∆k+lµ∆k+p+lµ при l > p:
E∆kµ∆k+pµ∆k+lµ∆k+p+lµ =
=
(k+p+l+1)h∫
(k+p+l)h
(k+l+1)h∫
(k+l)h
(k+p+1)h∫
(k+p)h
(k+1)h∫
kh
E
4∏
j=1
ην(rj)dr1dr2dr3dr4,
где
Eην(r1)ην(r2)ην(r3)ην(r4) =
237
А.А. Хархота
= 3σ4
0P{ν(r1) = ν(r2) = ν(r3) = ν(r4)}+
+ σ4
0P{ν(r1) = ν(r2), ν(r2) 6= ν(r3), ν(r3) = ν(r4)} =
= 3σ4
0e
−λ(r4−r1) + σ4
0e
−λ(r2−r1)e−λ(r4−r3)
(
1− e−λ(r3−r2)
)
.
Тогда получим
E∆kµ∆k+pµ∆k+lµ∆k+p+lµ =
=
2σ4
0h
2
λ2
e−λh(p−1)e−λhl
(
1− e−λh
)2
+
(
σ2
0
λ2
(
eλh − 1
)2
e−λhe−λhp
)2
и
RM (l) =
2σ4
0h
2
λ2
e−λh(p−1)e−λhl
(
1− e−λh
)2
. (11)
Из (11) следует эргодичность по корреляционной функции последовательности
{∆kµ}∞k=0. Теорема 4 доказана. ¤
Следствие 1. Для последовательности {∆kµ}∞k=0 верно следующее:
lim
n→∞
1
n
n−1∑
k=0
∆kµ = 0,
lim
n→∞
1
n− l
n−l−1∑
k=0
∆kµ∆k+lµ =
2σ2
0
λ2
(
λh− 1 + e−λh
)
, l = 0,
σ2
0
λ2
(
eλh − 1
)2
e−λhe−λhl, l > 0
с вероятностью 1.
Следствие 2. Для последовательности {zk}∞k=0 верно следующее:
lim
n→∞
1
n
n−1∑
k=0
zk = −σ2h
2
,
lim
n→∞
1
n− l
n−l−1∑
k=0
z̊kz̊k+l =
2σ2
0
λ2
(
λh− 1 + e−λh
)
+ σ2h, l = 0,
σ2
0
λ2
(
eλh − 1
)2
e−λhe−λhl, l > 0
с вероятностью 1.
4. Выводы. БПИ {zk}∞k=0 обладает набором важных свойств.
1. Последовательность {zk}∞k=0 стационарна в узком смысле.
2. Последовательность {zk}∞k=0 эргодична по математическому ожиданию, то есть
lim
n→∞
1
n
n−1∑
k=0
zk = Ezk = −σ2h
2
с вероятностью 1.
238
Свойства модели Самуэльсона с телеграфным трендом
3. Последовательность {zk}∞k=0 эргодична по корреляционной функции, то есть
lim
n→∞
1
n− l
n−l−1∑
k=0
z̊kz̊k+l = Rz̊(l) =
2σ2
0
λ2
(
λh− 1 + e−λh
)
+ σ2h, l = 0,
σ2
0
λ2
(
eλh − 1
)2
e−λhe−λh|l|, l 6= 0
с вероятностью 1.
Полученные результаты создают теоретическую основу для построения и изуче-
ния свойств статистических оценок параметров λ, σ2
0 и σ2.
1. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. – 1965. –
Vol. 6 – P. 13–31.
2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов
Европейского и Американского типов. II. Непрерывное время. Теория вероятностей и ее при-
менения. – 1994. – Т. 39, вып. 1. – С. 80–130.
3. Dupire B. Pricing with a smile // RISK-magazin. – 1994. – Vol. 7, No. 1. – P. 18–20.
4. Heston S.L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond
and currency options // Rev. Financial Studies. – 1993. – Vol. 6, No. 2. – P. 327–343.
5. Merton R. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous // J. Financial Economics.
– 1976. – 3. – P. 125–144.
6. Бухбиндер Г.Л., Чистилин К.М. Описание российского фондового рынка в рамках модели
Гестона // Мат. моделирование. – 2005. – Т. 17, № 10. – С. 31–38.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь,
1983. – 416 c.
8. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. – М.: Мир, 1969. – 398 c.
A.A. Kharkhota
Properties of the Samuelson model with a telegraph trend.
In this paper we study the Samuelson model, in which the trend dynamics is described by the integral
of the generalized telegraph wave. The model properties, as well as the properties of the basic sequence
of process values have been studied.
Keywords: Samuelson model, telegraph wave, stationary process, ergodic process.
А.О. Хархота
Властивостi моделi Самуельсона з телеграфним трендом.
У роботi розглянуто модель Самуельсона, в якiй динамiку тренда описує iнтеграл вiд узагальненої
телеграфної хвилi. Вивчено властивостi самої моделi, а також властивостi базової послiдовностi
вимiрювань значень процесу.
Ключовi слова: модель Самуельсона, телеграфна хвиля, стацiонарний процес, ергодичний про-
цес.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
annaharhota@yandex.ru
Получено 25.09.13
239
|