К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах

Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Бурский, В.П., Мирошникова, А.A.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124204
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах / В.П. Бурский, А.A. Мирошникова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 10-19. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124204
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242042017-09-23T03:03:29Z К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах Бурский, В.П. Мирошникова, А.A. Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1. Well-known scheme of the construction for general theory of boundary value problems by means of studying partial differential operators expansions in Hilbert space is transferred to the case of Banach spaces of Lp-type, p > 1. 2014 Article К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах / В.П. Бурский, А.A. Мирошникова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 10-19. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124204 517.95 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1.
format	Article
author	Бурский, В.П. Мирошникова, А.A.
spellingShingle	Бурский, В.П. Мирошникова, А.A. К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Бурский, В.П. Мирошникова, А.A.
author_sort	Бурский, В.П.
title	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах
title_short	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах
title_full	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах
title_fullStr	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах
title_full_unstemmed	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах
title_sort	к теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124204
citation_txt	К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах / В.П. Бурский, А.A. Мирошникова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 10-19. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT burskijvp kteoriirasširenijdifferencialʹnyhoperatorovsčastnymiproizvodnymivbanahovyhprostranstvah AT mirošnikovaaa kteoriirasširenijdifferencialʹnyhoperatorovsčastnymiproizvodnymivbanahovyhprostranstvah
first_indexed	2025-07-09T01:01:31Z
last_indexed	2025-07-09T01:01:31Z
_version_	1837129160226504704
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28 УДК 517.95 c©2014. В.П. Бурский, А.A. Мирошникова К ТЕОРИИ РАСШИРЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ СЧАСТНЫМИПРОИЗВОДНЫМИВБАНАХОВЫХПРОСТРАНСТВАХ Известная гильбертова схема построения общей теории граничных задач посредством изучения расширений дифференциального оператора в области переносится на случай банаховых пространств типа Lp, p > 1. Ключевые слова: расширения дифференциальных операторов, банаховы пространства. 1. Введение. Основные положения общей теории граничных задач для диф- ференциальных уравнений с частными производными были заложены в работах М.Й. Вишика [4] и Л. Хёрмандера [5]. Важно заметить, что построения Вишика, Хёр- мандера и их последователей проводились в гильбертовых пространствах. В книге [2] была предложена функциональная гильбертова схема дальнейшего построения теории и была намечена структура развития теории для случая банаховых про- странств. В работе авторов [1] были сделаны некоторые шаги по осуществлению намеченных построений. Настоящая работа содержит доработанную схему постро- ения основ теории расширений в банаховых пространствах. В работе сформулиро- ваны теоремы, которые естественно вытекают из предлагаемой схемы, полные до- казательства которых, однако, занимают большой объем и будут опубликованы в соответствующей большой работе. 2. Определения и обозначения. В этой статье речь пойдет об изучении гра- ничных задач для дифференциального уравнения L(x,D)u = f, (2.1) где L(x,D) = ∑ \|α\|≤m aα(x)Dα, Dα = (−i)\|α\| ·∂\|α\|/∂xα1 1 · ... ·∂xαn n – общая дифференци- альная операция с гладкими комплекснозначными коэффициентами aα ∈ C∞(Ω̄) в ограниченной области Ω ⊂ Rn, находящейся с одной стороны от её гладкой (n− 1)- мерной границы ∂Ω. Представляется удобным сформулировать абстрактную схему, в рамках которой будут производиться построения. Пусть p > 1, q = p/(p− 1) и нам даны: I1) два рефлексивных банаховых пространства Bp и Bq, которые будем назы- вать центральными. При этом Bp = (Bq)∗, где ∗ – обычное банаховское сопряже- ние; два рефлексивных банаховых пространства ◦ Bl p ⊂ Bp , ◦ Bl q ⊂ Bq (с некото- рым l ∈ N), которые будем называть финитными, причем выполнено условие: вложения ◦ Bl p ⊂ Bp, ◦ Bl q ⊂ Bq – плотны. 10 К банаховой теории расширений I2) четыре линейных непрерывных операторов Lp : ◦ Bl p → Bp, L+ p : ◦ Bl p → Bp, Lq : ◦ Bl q → Bq, L+ q : ◦ Bl q → Bq, связанных соотношениями < Lpu, v >=< u,L+ q v >, u ∈ Bl p , v ∈ Bq, < Lqu, v >=< u,L+ p v >, u ∈ Bl q , v ∈ Bp, где хотя бы один из элементов u или v финитен. В изложенной схеме мы подразумеваем, что пространства выбираются как ука- зано ниже, но ничто не мешает любому другому выбору, лишь бы выполнялись опи- санные предположения. Итак, можно считать, что: Bp = Lp(Ω), ◦ Bl p = ◦ W l p(Ω), Bl p = W l p(Ω), Bp = Lp(Ω), ◦ Bl p = ◦ W l p(Ω), Bl p = W l p(Ω). Мы будем понимать пространство ◦ W l p(Ω) как замыкание C∞ 0 (Ω) в соболевской норме, а пространство W l p(Ω), скажем, как замыкание пространства C∞(Ω̄) = {u\|Ω ∣∣u ∈ C∞(Rn)} в этой же норме. Анало- гично вводятся пространства с индексом q = p/(p− 1). Операция L порождает формально сопряжённую по Лагранжу операцию L+· =∑ \|α\|≤l Dα(a∗α(x) ·), где a∗α(x) – сопряжённое число. Операция L порождает операторы Lp и Lq, а операция L+ порождает операторы L+ p и L+ q из пункта I2). Равенства пункта (I2) теперь есть формулы Грина, где граничные члены исчезли из-за фи- нитности. Мы видим из этих определений, что предположения пунктов I1) и I2) выполнены. 3. Основные положения общей теории граничных задач. Далее будем строить теорию расширений дифференциальных операторов. Введём две нормы графика: ‖ u ‖2 Lp =‖ u ‖2 Bp + ‖ Lu ‖2 Bp , ‖ u ‖2 Lq =‖ u ‖2 Bq + ‖ Lu ‖2 Bq , конечные на элементах из пространств Bl p и Bl q. Обозначим пополнение простран- ства ◦ Bl p по норме ‖ · ‖2 Lp и пополнение пространства ◦ Bl q по норме ‖ · ‖2 Lq , соот- ветственно, D(Lp0), D(Lq0). Оператор L при этом допускает продолжения Lp, Lq по непрерывности, соответственно, на пространства D(Lp0) и D(Lq0) в силу оценок ‖Lu‖Bp ≤ ‖u‖Lp и ‖Lu‖Bq ≤ ‖u‖Lq . Так полученные операторы Lp0 : D(Lp0) → Bp и Lq0 : D(Lq0) → Bq будем называть минимальными расширениями операторов L∣∣ ◦ Bl p и L∣∣ ◦ Bl q , соответственно, или просто минимальными операторами и, соответствен- но, обозначать Lp0 и Lq0. Так же введём нормы графика: ‖ u ‖2 L+ p =‖ u ‖2 Bp + ‖ L+u ‖2 Bp , ‖ u ‖2 L+ q =‖ u ‖2 Bq + ‖ L+u ‖2 Bq , 11 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова пространства D(L+ p0), D(L+ q0) и операторы L+ p0, L + q0. Мы вводим максимальные расширения Lp и Lq или просто максимальные опе- раторы формулами Lp = (L+ q0) ∗ и Lq = (L+ p0) ∗. Аналогично определение максималь- ных операторов L+ p = L∗q0 и L+ q = L∗p0. Введём теперь граничные пространства C(Lp), C(Lq), C(L+ p ), C(L+ q ) опера- торов Lp, Lq, L+ p , L+ q как фактор-пространства C(Lp) = D(Lp)/D(Lp0), C(Lq) = D(Lq)/D(Lq0),C(L+ p ) = D(L+ p )/D(L+ p0), C(L+ p ) = D(L+ p )/D(L+ p0), а также фактор- отображения Γp : D(Lp) → C(Lp), Γq : D(Lq) → C(Lq), Γ+ p : D(L+ p ) → C(L+ p ), Γ+ q : D(L+ q ) → C(L+ q ). Замечание 3.1. Пусть нам дан замкнутый оператор T : D(T ) → B2, D(T ) ⊂ B1 c плотной областью определения, действующий в банаховых пространствах. Напом- ним [7], что оператор T называется корректно разрешимым, если выполнена априорная оценка ∃C > 0,∀u ∈ D(T ), ‖u‖B1 ≤ C‖Tu‖B2 . Очевидно, это равносильно тому, что ядро kerT тривиально, а образ ImT замкнут, и равносильно тому, что оператор T− : ImT → D(L), заданный как TT− = 1ImT , является изоморфизмом (в линейном пространстве ImT вводится индуцированная из B2 топология). Заметим, что замкнутое подпространство ImT i⊂ B2 не обя- зано быть прямым слагаемым, но разложение в прямую сумму B2 = ImT ⊕ N с некоторым замкнутым подпространством N равносильно существованию непре- рывной проекции B2 π→ ImT такой, что πi = 1ImT (см. ниже утверждение 4.1). Тогда, если еще оператор T корректно разрешим, то можно построить непрерыв- ный левый обратный T−1 : B2 → D(T ), T−1 = T−π. Наоборот, если существу- ет непрерывный левый обратный T−1 : B2 → D(T ) к оператору T , то выпол- нена оценка ‖u‖B1 ≤ C‖Tu‖B2 и оператор TT−1 расщепляет последовательность 0 → ImT → B2 → N = B2/ImT → 0, т.е. ImT является прямым слагаемым в пространстве B2. Ниже мы будем рассматривать следующие условия: оператор Lp0 : D(Lp0) → B+ p корректно разрешим; (3.1)p оператор Lq0 : D(Lq0) → B+ q корректно разрешим; (3.1)q оператор L+ p0 : D(L+ p0) → Bp корректно разрешим; (3.2)p оператор L+ q0 : D(L+ q0) → Bq корректно разрешим; (3.2)q оператор Lp0 : D(Lp0) → B+ p имеет непрерывный левый обратный L−1 p0 ; (3.3)p оператор Lq0 : D(Lq0) → B+ q имеет непрерывный левый обратный L−1 q0 ; (3.3)q оператор L+ p0 : D(L+ p0) → Bp имеет непрерывный левый обратный(L+ p0) −1; (3.4)p оператор L+ q0 : D(L+ q0) → Bq имеет непрерывный левый обратный(L+ q0) −1; (3.4)q 12 К банаховой теории расширений Введем понятие общей граничной задачи. Рассмотрим подходы М.Й. Вишика и Л. Хёрмандера, одновременно вводя необходимые ниже определения. Следуя М.Й. Вишику [4], будем считать, что задание граничного условия прояв- ляется посредством указания области определения D(LpB) некоторого оператора LpB , который является расширением минимального Lp0 и сужением максимального Lp операторов: D(Lp0) ⊂ D(LpB) ⊂ D(Lp). Такие операторы принято называть рас- ширениями (оператора Lp0), при этом расширение LpB : D(LpB) → B+ p называет- ся разрешимым, если существует непрерывный двусторонний обратный оператор L−1 pB : B+ p → D(LpB), LpBL−1 pB =idB+ p , L−1 pBLpB =idD(LpB). Очевидно, что такой опера- тор разрешает граничную задачу u ∈ D(LpB) для уравнения Lpu = f с любой правой частью f ∈ B+ p . Оператор U : D(U) → B+ p , являющийся сужением оператора Lp, назовём разрешимым сужением, если у него имеется непрерывный двусторонний обратный. Этот обратный оператор является непрерывным правым обратным к опе- ратору Lp и наоборот, каждый непрерывный правый обратный Mp к оператору Lp порождает некоторое разрешимое сужение с областью определения D(U) =ImMp, которое является разрешимым расширением (оператора Lp0), если D(Lp0) ⊂ImMp. Расширение LpB называется вполне разрешимым, если оно разрешимо и компо- зиция обратного оператора L−1 pB с вложением iD(Lp) : D(Lp) ⊂ Bp вполне непрерывна, то есть если вполне непрерывен оператор L−1 pB, понимаемый как действующий из B+ p в Bp. Мы будем также называть расширение LpB : D(LpB) → B+ p нормально раз- решимым, если образ ImLpB – замкнут. Подобным образом вводим определения разрешимого, вполне разрешимого и нормально разрешимого расширения операто- ров L+ p0, Lq0, L+ q0. Следуя Л. Хёрмандеру [5], назовём однородной граничной задачей соотно- шения Lpu = f, Γpu ∈ B, (3.5)p где B ⊂ C(Lp) – линейное подпространство в граничном пространстве, определяю- щее граничную задачу. Нетрудно видеть, что граничное условие типа u ∈ D(LpB) порождает условие Γpu ∈ B, где B = D(LpB)/D(Lp0), и наоборот, подпространство B ⊂ C(Lp) порождает некоторый оператор LpB с областью определения D(LpB) = Γ−1 p (B), являющийся сужением оператора Lp на пространство D(LpB) и расширени- ем оператора Lp0, и который замкнут, если и только если пространство B замкнуто в C(Lp), или, что то же, если пространство D(LpB) замкнуто в D(Lp). Граничная задача (3.5)p называется корректно поставленной или просто корректной, если ею порождённый оператор LpB является разрешимым расширением оператора Lp0, т.е. если оператор LpB : D(LpB) → Bp имеет непрерывный двусторонний обратный. Аналогично с q. Сформулируем теперь основные утверждения общей теории граничных задач (доказательства утверждений 3.1–3.4 см. в разделе 4). Теорема 3.1p. У операторa Lp0 существует разрешимое расширение и для опе- ратора Lp существует корректная граничная задача тогда и только тогда, когда выполнены условия (3.3)p и (3.4)q. 13 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова Теорема 3.1q. У операторa Lq0 существует разрешимое расширение и для опе- ратора Lq существует корректная граничная задача тогда и только тогда, когда выполнены условия (3.3)q и (3.4)p. Справедливы аналогичные утверждения для операторов с индексом «+». Строение области определения максимального оператора Lp описывает Теорема 3.2p. В условиях (3.3)p и (3.4)q имеет место разложение в прямую сумму (здесь и ниже в этом пункте прямая сумма понимается в категории ба- наховых пространств, т.е. с непрерывными операторами вложения и проекции, с категориями связан и наш выбор обозначения ⊕ для прямой суммы банаховых пространств) D(Lp) = D(Lp0)⊕ kerLp ⊕Wp, (3.6)p где Wp – некоторое подпространство в D(Lp) такое, что Lp\|Wp : Wp → (kerL+ q )∗ – изоморфизм. Верно следующее аналогичное утверждение для максимального оператора Lq: Теорема 3.2q. В условиях (3.3)q и (3.4)p имеет место разложение в прямую сумму D(Lq) = D(Lq0)⊕ kerLq ⊕Wq, (3.6)q где Wq – некоторое подпространство в D(Lq) такое, что Lq\|Wq : Wq → (kerL+ p )∗ – изоморфизм. Справедливы аналогичные утверждения с оператором с индексом «+». Следуя М.Й. Вишику, сформулируем теперь критерий разрешимости расшире- ния. Теорема 3.3p. Пусть выполнены условия (3.3)p, (3.4)q. Для того, чтобы рас- ширение LpB было бы разрешимым (а задача (3.5)p – корректна в пространстве Bp), необходимо и достаточно, чтобы существовал такой непрерывный оператор Vp : kerL−1 p0 → kerLp, что D(LpB) = D(Lp0)⊕G(VpLp\|Wp), (3.7)p где G(VpLp\|Wp) = {w + VpLpw\|w ∈ Wp} – график оператора VpLp\|Wp , вложенный в D(Lp). При этом D(Lp) = D(LpB)⊕ kerLp. Оператор Vp будем называть оператором Вишика граничной задачи (3.5)p. Следуя Л. Хёрмандеру, сформулируем теперь критерий корректности граничной задачи. Теорема 3.4p. Пусть выполнены условия (3.3)p, (3.4)q. Для того, чтобы задача (3.5)p была корректна, необходимо и достаточно, чтобы имело место разложение в прямую сумму C(Lp) = C(kerLp) ⊕ B, где C(kerLp) = Γp kerLp – граничное про- странство ядра kerLp. Прямое слагаемое B в последнем разложении будем называть слагаемым Хёр- мандера. Ясно, что в этом случае B – график оператора Γp ker Vp, вложенный в C(Lp), где мы обозначили Γp ker = Γ\|ker Lp . 14 К банаховой теории расширений Теоремы 3.3p и 3.4p, очевидно, имеют аналоги с оператором с индексом «+», а также и аналоги с индексом q. Доказательства утверждений вида 3.1–3.4 будут предоставлены в разделе 4. На- ряду с условиями вида (3.1)–(3.4) будут использоваться также следующие условия: оператор Lp : D(Lp) → Bp сюрьективен; (3.8)p оператор Lq : D(Lq) → Bq сюрьективен; (3.8)q оператор L+ p : D(L+ p ) → Bp сюрьективен; (3.9)p оператор L+ q : D(L+ q ) → Bq сюрьективен; (3.9)q оператор Lp0 нормально разрешим; (3.10)p оператор Lq0 нормально разрешим; (3.10)q оператор L+ p0 нормально разрешим; (3.11)p оператор L+ q0 нормально разрешим. (3.11)q Замечание 3.2. По определению максимального оператора условие (3.8)p экви- валентно условию (3.2)q, а условие (3.8)q эквивалентно условию (3.2)p ([7], п.3). Рассматривая основной пример из п.2, отметим, что, например, условие (3.1)p означает выполнение неравенства ‖Lϕ‖Lp(Ω) ≥ C‖ϕ‖Lp(Ω) (3.12) для финитных бесконечно дифференцируемых функций. Хорошо известно неравен- ство Хёрмандера ‖Lϕ‖L2(Ω) ≥ C‖ϕ‖L2(Ω) для функций из C∞ 0 (Ω) и скалярных диф- ференциальных операторов с постоянными коэффициентами в ограниченной обла- сти. Однако в пространстве Lp(Ω) с p 6= 2 такое неравенство не доказано для более или менее широких классов операторов. Тем не менее, можно указать некоторые операторы, где неравенство (3.12) имеет место. Замечание 3.3. Для скалярной дифференциальной операции ¤ = ∂2/∂x1∂x2 в плоской ограниченной области Ω неравенство (3.12) выполняется из-за возможности разложения оператора в произведение операторов первого порядка и неравенства такого вида ‖u‖Lp(Ω) ≤ C‖uxk ‖Lp(Ω), k = 1, 2, 1 ≤ p < ∞. Действительно, для одномерного x, p ≥ 1 и финитной гладкой на (0, 1) функции по неравенству Гельдера имеем ∫ 1 0 \|u(x)\|p dx = ∫ 1 0 \|u(x)− u(0)\|p dx = ∫ 1 0 ∣∣∣∣ ∫ x 0 u′(t)dt ∣∣∣∣ p dx ≤ ∫ 1 0 ∫ x 0 ∣∣u′(t)∣∣p dtdx ≤ ≤ ∫ 1 0 dx ∫ 1 0 ∣∣u′(t)∣∣p dt = ∫ 1 0 ∣∣u′(t)∣∣p dt. Тот же вывод мы делаем для произвольной операции первого порядка с постоянны- ми вещественными коэффициентами L = a1∂/∂x1 + a2∂/∂x2, поскольку линейным преобразованием координат мы можем свести ее к ∂/∂y1. 15 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова 4. Коммутативная диаграмма. Приступим к доказательству теорем 3.1–3.4, анонсированных в п.3. Напомним, что в предабелевой категории (то есть аддитивной с ядром и коядром у каждого морфизма) последовательность объектов и морфизмов 0 → A i−→ B M−→ C → 0 (4.1) называется точной, если образ предыдущего оператора равен ядру последующего, и говорят, что такая последовательность расщепляется, если B = A ⊕ C. Общеиз- вестным ([6]) является следующее утверждение. Утверждение 4.1. Для расщепления последовательности (4.1) достаточно су- ществования правого обратного морфизма к M или существования левого обрат- ного морфизма к i. Предабелевой является категория LC линейных пространств и линейных опера- торов (которая, сверх того, является абелевой), категория B банаховых пространств и непрерывных линейных операторов и ее подкатегория Bcl im банаховых пространств и непрерывных линейных операторов с замкнутыми образами (т.е. нормально раз- решимых). Для этих категорий, в частности, точность в члене A означает инъек- тивность оператора i, а точность в члене C означает сюрьективность оператора M . Пусть вначале мы находимся в условиях категории LC линейных пространств. Для максимального оператора Lp тогда мы имеем точную последовательность 0 → kerLp → D(Lp) → ImLp → 0. Имеется похожая последовательность для мини- мального оператора Lp0 , а кроме того, точные последовательности факторизации 0 → ImLp0 → Im(Lp) ΓIm−→ ImLp/ImLp0 → 0, 0 → D(Lp0) → D(Lp) Γp−→ C(Lp) → 0, где мы использовали определение граничного пространства C(Lp). Введем еще фактор-пространство C(kerLp) := kerLp/ kerLp0 с фактор-отображением Γp ker и будем использовать соответствующую короткую точную последовательность. Со- брав это вместе, получим диаграмму, в которой введены обозначения для вложений и для упрощения записи записано L0 := Lp0, L := Lp, Γ := Γp ,Γker := Γp ker : 0 0 0 ↓ ↓ ↓ 0 → kerL0 iL0−→ D(L0) L0−→ Im L0 → 0 ↓ iker ↓ i0 ↓ iIm 0 → kerL iL−→ D(L) L−→ Im L → 0 (4.2) ↓ Γker ↓ Γ ↓ ΓIm 0 → C(kerL) iC−→ C(L) LC−→ Im L/ Im L0 → 0 ↓ ↓ ↓ 0 0 0 Здесь операторы iC и LC определены формулами iC(u + kerL0) = u + D(L0) , LC(u + D(L0)) = Lu + Im (L0). Коммутативность всех квадратов очевидна. Таким образом, диаграмма (4.2) коммутативна, все столбцы и две верхние строки точны. Из алгебраической 3×3-леммы (см. [6]) получаем точность нижней строки. Доказано 16 К банаховой теории расширений Утверждение 4.2. Диаграмма (4.2) коммутативна, её строки и столбцы точ- ны. Ниже мы также будем использовать следующий частный случай диаграммы (4.2). Замечание 4.1. Для случая kerLp0 = 0, Im Lp = Bp =: B имеем диаграмму 0 0 ↓ ↓ 0 −→ D(L0) L0−→ Im L0 → 0 ↓ ↓ i0 ↓ iIm 0 → kerL iL−→ D(L) L−→ B → 0 (4.3) ↓ Γker ↓ Γ ↓ ΓIm 0 → C(kerL) iC−→ C(L) LC−→ B/ Im L0 → 0 ↓ ↓ ↓ 0 0 0 Замечание 4.2. Напомним, что диаграмма (4.2) записана для случая L0 = Lp0, L = Lp. Но точно такую же диаграмму мы можем построить для случая L0 = Lq0 L = Lq. Если к тому же kerLq0 = 0, ImLq = Bq = B, то имеет место диаграмма (4.3) в этих обозначениях. Теперь перейдем в категорию банаховых пространств B. Для определенности будем рассматривать случай L0 = Lp0, L = Lp. Пространство D(L) является ба- наховым пространством с нормой графика, D(L) – его замкнутое подпространство. Операторы L и L0 непрерывны по определению, поэтому их ядра замкнуты в то- пологии D(L). В их образах введем фактор-норму, поэтому объекты, входящие в диаграмму (4.2), кроме B/ Im L0, являются банаховыми пространствами. Диаграм- ма (4.2) (как и (4.3)) станет диаграммой категории B, если операторы ΓIm и LC будут непрерывны, другими словами, если их ядра ImL0 и C(kerL) замкнуты. Непрерывность одного из двух операторов ΓIm и LC влечёт непрерывность дру- гого. В самом деле, пусть, к примеру, непрерывен оператор ΓIm и пусть последова- тельность классов vk сходится к нулю в фактор-пространстве C(L) = D(L)/D(L0). Оператор Γ−1 существует в категории LC, но он не обязательно непрерывен, обо- значим Γ−1vk = yk ∈ D(L). Тогда то, что vk = yk + D(L0) сходится к нулю в C(L), влечет, что ∃ak ∈ D(L0), yk + ak → 0 в D(L), и для оператора LCv = ΓImLΓ−1v име- ем: LCvk = ΓIm Lyk = ΓIm L(yk +ak−ak) = L(yk +ak)+ ImL0 → 0 в ImL/ ImL0, что и требовалось. Аналогично доказывается непрерывность оператора ΓIm при данной непрерывности оператора LC . Здесь и ниже обозначение A−1 для какого-нибудь оператора A из диаграммы (4.2) означает какой-нибудь правый или левый обратный к A линейный оператор, расщепляющий соответствующую последовательность диаграммы в смысле катего- рии LC комплексных линейных пространств. Замечание 4.3. Условие (3.3)q влечет разложения Bp = kerL+ p ⊕ Im∗Lq0 и Bq = 17 В.П. Бурский, А.A. Мирошникова ker∗ L+ p ⊕ ImLq0. Условие (3.3)p влечет разложения Bq = kerL+ q ⊕ Im∗Lp0 и Bp = ker∗ L+ q ⊕ ImLp0. В работе [2] были доказаны следующие утверждения: Теорема 4.1p. В категории B существование разрешимого расширения LpB рав- носильно паре: свойству (3.10)p и разложению в прямую сумму D(Lp) = D(Lp0)⊕ kerLp ⊕Wp, (3.6)′p где Lp\|Wp : Wp → Bp/ ImLp0 – изоморфизм (отметим, что разложение (3.6)′p – то же, что и (3.6)p, но с другим образом у оператора Lp\|Wp). Теорема 4.2p. В категории B свойство (3.3)p и вместе с ним свойство оператор Lp : D(Lp) → Bp имеет непрерывный правый обратный; (4.4)p равносильны паре: свойству (3.10)p и разложению в прямую сумму (3.6)p, где Lp\|Wp : Wp → ker∗ L+ q – изоморфизм. Аналогичны утверждения с индексом q. Доказательства теорем вида 3.1−3.3 получим из теорем вида 4.1, 4.2, принимая во внимание, что равенство LpMp = idB+ p после сопряжения перейдёт в M∗ p L+ p0 = idD(L+ q0), и наоборот. Аналогично с индексом q. Мы здесь пользуемся сопряжением в смысле банаховых пространств для операторов с плотной областью определения [7]. Доказательства теорем вида 3.4 сразу следуют из теорем вида 3.3, причем, не привлекая структуру гильбертова пространства. 5. О проверке корректности граничной задачи. Здесь мы покажем, как может быть использована диаграмма (4.3) при доказательстве корректности гра- ничной задачи (эти теоремы для случая гильбертового пространства получены в [2]). Теорема 5.1p. В условиях (3.3)p и (3.4)q каждое разрешимое расширение LpB раскладывается в прямую сумму LpB = Lp0⊕L∂ pB, где L∂ pB : B → ker∗ L+ q – некото- рый изоморфизм. Доказательство. Из коммутативности диаграммы (4.3) с ImLp = Bp следует, что Lp = Lp0 ⊕ LC , но C(Lp) = kerLC ⊕ B, kerLC = C(kerLp), поэтому оператор L∂ pB = LC \|B – изоморфизм. ¤ Таким же образом доказывается Теорема 5.1q. В условиях (3.3)q и (3.4)p каждое разрешимое расширение LqB раскладывается в прямую сумму LqB = Lq0⊕L∂ qB, где L∂ qB : B → ker∗ L+ q – некото- рый изоморфизм. Теорема 5.2p. В условиях (3.3)p и (3.4)q всякое линейное подпространство B ⊂ C(Lp) такое, что 1) Γ−1 p B ∩ kerLp = 0, 2) существует оператор Mp : ker∗ L+ q → D(Lp) со свойствами: a) LpMp =id\|ker L−1 p 0 , b) ImMp ⊂ Γ−1 p B, 18 К банаховой теории расширений порождает корректную граничную задачу (3.5)p. Доказательство. Отметим сперва, что из свойств 1) и 2a) следует линейность оператора Mp, а также его непрерывность по теореме Банаха. Заметим затем, что сумма Mp⊕L−1 p0 : Bp = kerL−1 p0 ⊕ ImLp0 → D(Lp) – некоторый непрерывный правый обратный к оператору Lp, а оператор ΓpMp – непрерывный правый обратный к оператору LC . Из свойств прямой суммы вытекает разложение в прямую сумму C(Lp) = C(kerLp)⊕B1, где B1 = ImΓpMp. Ясно, что B ⊃ B1 и B∩C(kerLp) = 0. Но это влечёт равенство B = B1, поскольку, ес- ли элемент b ∈ B такой, что b /∈ B1, то после факторизации Γp1 : C(Lp) → C(kerLp) вдоль B1 мы получим элемент Γp1b ∈ C(kerLp), принадлежащий B, приходим к противоречию. ¤ Справедливо и аналогичное утверждение с индексом q. 1. Бурский В.П., Мирошникова А.А. О расширениях общих дифференциальных операторов в банаховых пространствах // Нелинейные граничные задачи. – 2009. – 19. – С. 1–11. 2. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравне- ний. – Киев.: Наукова думка, 2002. – 315 c. 3. Боярский Б.В. О задаче Дирихле для системы уравнений эллиптического типа в пространстве. – Бюлл. Польской АН. сер. мат., астр. и физ. наук. – 1960. – 8, № 1. – С. 19–23. 4. Вишик М.Й. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений. – Тр. Моск. мат. о-ва, 1 (1952). – С. 187–246. 5. Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. – М.: ИЛ, 1959. 6. Маклейн С. Гомология. – М.: Мир, 1966. – 543 с. 7. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука, 1971. V.P. Burskii, А.A. Miroshnikova To expansions theory of partial differential operators in Banach spaces. Well-known scheme of the construction for general theory of boundary value problems by means of studying partial differential operators expansions in Hilbert space is transferred to the case of Banach spaces of Lp-type, p > 1. Keywords: expansions of PDO, Banach spaces. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк v30@dn.farlep.net nastya.miroshnikova@gmail.com Получено 19.06.14 19 содержание Том 28 Донецк, 2014 Основан в 1997г.

К теории расширений дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах

Репозитарії

Схожі ресурси