Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий

В работе рассмотрен класс нелинейных систем дифференциальных уравнений со случайными воздействиями, которые имеют инвариантные многообразия произвольной размерности. Исследован вопрос об устойчивости таких многообразий для почти всех начальных значений фазового пространства. Доказана теорема о доста...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2014
Hauptverfasser:	Васильева, И.Г., Зуев, А.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124205
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий / И.Г. Васильева, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 20-26. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124205
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242052017-09-23T03:03:21Z Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий Васильева, И.Г. Зуев, А.Л. В работе рассмотрен класс нелинейных систем дифференциальных уравнений со случайными воздействиями, которые имеют инвариантные многообразия произвольной размерности. Исследован вопрос об устойчивости таких многообразий для почти всех начальных значений фазового пространства. Доказана теорема о достаточных условиях притяжения к инвариантному множеству в терминах функции плотности меры, которая обладает свойством монотонности на фазовом потоке. Рассмотрен пример нелинейной системы, для которой функция плотности построена в явном виде. We consider a class of nonlinear differential equations with random actions that admit invariant manifolds of an arbitrary dimension. We study the problem of stability for such manifolds for almost all initial values of the phase space. Sufficient conditions for the attraction to the invariant set in terms of the density function of a measure that has the property of monotonicity on the phase flow are proved. As an illustration, we consider an example of a nonlinear system for which the density function is constructed explicitly. 2014 Article Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий / И.Г. Васильева, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 20-26. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124205 531.36; 519.21 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе рассмотрен класс нелинейных систем дифференциальных уравнений со случайными воздействиями, которые имеют инвариантные многообразия произвольной размерности. Исследован вопрос об устойчивости таких многообразий для почти всех начальных значений фазового пространства. Доказана теорема о достаточных условиях притяжения к инвариантному множеству в терминах функции плотности меры, которая обладает свойством монотонности на фазовом потоке. Рассмотрен пример нелинейной системы, для которой функция плотности построена в явном виде.
format	Article
author	Васильева, И.Г. Зуев, А.Л.
spellingShingle	Васильева, И.Г. Зуев, А.Л. Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Васильева, И.Г. Зуев, А.Л.
author_sort	Васильева, И.Г.
title	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий
title_short	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий
title_full	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий
title_fullStr	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий
title_full_unstemmed	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий
title_sort	анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124205
citation_txt	Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий / И.Г. Васильева, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 20-26. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT vasilʹevaig analizpredelʹnogomnožestvatraektorijnelinejnojsistemysoslučajnymivozdejstviâmidlâpočtivsehnačalʹnyhuslovij AT zueval analizpredelʹnogomnožestvatraektorijnelinejnojsistemysoslučajnymivozdejstviâmidlâpočtivsehnačalʹnyhuslovij
first_indexed	2025-07-09T01:01:38Z
last_indexed	2025-07-09T01:01:38Z
_version_	1837129165786054656
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28 УДК 531.36; 519.21 c©2014. И.Г. Васильева, А.Л. Зуев АНАЛИЗ ПРЕДЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ ДЛЯ ПОЧТИ ВСЕХ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ В работе рассмотрен класс нелинейных систем дифференциальных уравнений со случайными воз- действиями, которые имеют инвариантные многообразия произвольной размерности. Исследован вопрос об устойчивости таких многообразий для почти всех начальных значений фазового про- странства. Доказана теорема о достаточных условиях притяжения к инвариантному множеству в терминах функции плотности меры, которая обладает свойством монотонности на фазовом потоке. Рассмотрен пример нелинейной системы, для которой функция плотности построена в явном виде. Ключевые слова: притягивающее множество, функция плотности, стохастическое уравнение Ито. 1. Введение. Теория устойчивости систем дифференциальных уравнений со случайными воздействиями получила развитие в 60-х годах XX века в работах И.Я. Каца, Н.Н. Красовского [3], Дж. Кушнера [4], Р.З. Хасьминского [7]. Основным методом исследования задач устойчивости траекторий и инвариантных множеств является прямой метод Ляпунова. Однако для систем со случайными воздействи- ями, когда состояние системы не может быть предсказано с вероятностью 1, воз- никает задача о притяжении траекторий для почти всех начальных условий. Для детерминированных систем достаточное условие притяжения траекторий к особой точке получил шведский математик А. Rantzer [10] для всюду плотного множества начальных данных. Стохастический аналог этих условий получен в работе R. Van Handel [9]. В то же время остается открытым вопрос о применимости этого метода для описания притягивающих множеств более общего вида. В данной работе рассматривается задача об описании притягивающего множе- ства произвольной структуры для системы стохастических дифференциальных урав- нений относительно почти всех начальных условий. 2. Основной результат. В данной статье (Ω,F, P ) обозначает каноническое ви- неровское пространство. Будем рассматривать стохастические дифференциальные уравнения Ито в виде dx = X0(x)dt + m∑ k=1 Xk(x)dW k, x ∈ Rn, (1) где Xk : Rn → Rn, функции класса C2, k = 0, ...,m, W (t, ω) = (W 1(t), ..., Wm(t)) – m- мерный винеровский процесс. Обозначим через ξs,t(p, ω) (или просто ξs,t(p)) решение уравнения (1), определенное при t > s, которое удовлетворяет начальному условию ξs,s(p, ω) = p. Пусть L∗ – оператор, который действует на функцию f ∈ C2(Rn) 20 Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы следующим образом: L∗f(x) = 1 2 m∑ k=1 n∑ i,j=1 ∂2 ∂xi∂xj (Xi k(x)Xj k(x)f(x))− n∑ i=1 ∂ ∂xi (Xi 0(x)f(x)). Напомним [5], что непустое множество M ⊂ Rn называется инвариантным для системы (1), если для всяких x ∈ M, s ∈ R выполнено свойство ξs,t(x) ∈ M при всех t ≥ s P -почти наверное. Введем расстояние ρ(p, M) от точки p ∈ Rn до множества M ⊂ Rn стандартным образом: ρ(p,M) = inf x∈M \|x− p\|. Для ε > 0 обозначим ε-окрестность множества M через Bε(M). Сформулируем основной результат данной работы. Теорема. Пусть M ⊂ Rn− инвариантное множество для системы (1) и пусть D ∈ C2(Rn\M) – функция с неотрицательными значениями. Предположим, что выполнены следующие условия: 1) функции Xk, k = 0, ..., m удовлетворяют глобальному условию Липшица; 2) функция D ∈ L1(Rn\Bε(M)) при любом ε > 0; 3) L∗D < 0 для почти всех x ∈ Rn\M ; 4) существуют δ > 0 и функция α ∈ C(R+,R+), α(0) = 0 : ρ(ξs,t(p),M) 6 α(ρ(p,M)), P -почти наверное ∀p ∈ Bδ(M), ∀s ∈ R, ∀t ∈ [s, s + 1]. Тогда для произвольного s ≥ 0 и для µ-почти каждого p ∈ Rn выполнено свой- ство ρ(ξs,t(p),M) → 0 при t → +∞ P -почти наверное. Прежде чем перейти к доказательству теоремы, докажем одну вспомогательную лемму. Лемма. Пусть в системе (1) функции Xk удовлетворяют условию \|Xk(x)\| ≤ c̃k + ckρ(x,M), ∀x ∈ Rn, c̃k ≥ 0, ck ≥ 0, λ > 0, k = 0, ..., m. Тогда P [ sup 06δ6∆ \|ξs,s+δ(x)− x\| > λ] 6 8∆ λ2 [c̃0 2∆ + c̃k 2m] + 16c̃kckαm λ2 ∆ρ(x,M)+ + [ 8c2 0α 2∆ λ2 + 8c2 kα 2m λ2 ] ∆ρ2(x,M). 21 И.Г. Васильева, А.Л. Зуев Доказательство. Решение уравнения (1) можно представить в виде ξs,t(x) = x + ∫ t s X0(ξs,τ (x))dτ + m∑ k=1 ∫ t s Xk(ξs,τ (x))dW k τ . (2) Тогда P [ sup 06δ6∆ \|ξs,s+δ(x)− x\| > λ] 6 E[sup06δ6∆ \|ξs,s+δ − x\|2] λ2 6 4 λ2 sup 06δ6∆ E\|ξs,s+δ(x)− x\|2. Подставляя ξs,s+δ(x) из (2) и выполняя вспомогательные преобразования, получим 4 λ2 sup 06δ6∆ E\|ξs,s+δ(x)−x\|2 = 4 λ2 sup 06δ6∆ E[\| ∫ t s X0(ξs,τ (x))dτ+ m∑ k=1 ∫ t s Xk(ξs,τ (x))dW k τ )\|2] 6 6 8 λ2 sup 06δ6∆ E[ ∫ t s X0(ξs,τ (x))dτ ]2 + m sup 06δ6∆ E m∑ k=1 [ ∫ t s Xk(ξs,τ (x))dW k τ )]2]. Из последнего неравенства в силу того, что \|Xk(x)\| ≤ c̃k + ckρ(x,M), следует 8 λ2 sup 06δ6∆ E[ ∫ t s X0(ξs,τ (x))dτ ]2 + m sup 06δ6∆ E m∑ k=1 [ ∫ t s Xk(ξs,τ (x))dW k τ )]2] 6 6 8 λ2 ∆[c̃0 2∆ + 2c̃0c0 sup 06δ6∆ Eα ∫ t s ρ(x,M)dτ + c2 0α 2 sup 06δ6∆ E ∫ t s ρ2(x, M)dτ ]+ + 8m λ2 [c̃k 2∆ + 2c̃kckα sup 06δ6∆ Eα ∫ t s ρ(x,M)dτ + c2 kα 2 sup 06δ6∆ E ∫ t s ρ2(x,M)dτ ] 6 6 8∆ λ2 [c̃0 2∆ + c̃k 2m] + 16c̃kckαm λ2 ]∆ρ(x,M) + [ 8c2 0α 2∆ λ2 + 8c2 kα 2m λ2 ]∆ρ2(x,M). ¤ Перейдем к доказательству теоремы. Доказательство. Пусть ε > 0 и Z = {x ∈ Rn : \|x\| > ε}. Начнем с применения Леммы 5.2 [9]. Определим Sl = {x ∈ Rn : ρ(x, M) > l−1}, S = ⋃ l Sl = Rn\M, τl = sup{s < t : ξ−1 s,t (x) /∈ Sl}. Тогда D интегрируема на Z; зададим Dl = { D, x ∈ Sl, 0, x /∈ Sl. При таком определении Dl ∈ C2(Rn\M,R+). Нужно проверить, что τl → −∞. Вос- пользуемся рассуждением от противного. Пусть τl 9 −∞, тогда с положительной вероятностью выполняется условие ξ−1 s,t (x) ∈ M для некоторого x ∈ S,−∞ < s < t. 22 Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы Но ξ−1 s,t (x) ∈ M для всех x ∈ M, значит S ⊆ M, что невозможно. Следовательно, τl → −∞. Все условия Леммы 5.2 [9] выполнены, следовательно, 0 ≤ ∫ Z D(x)dx + ∫ t s E ∫ ξ−1 τ,t (Z) L∗D(x)dxdτ. (3) Выражение (3) не возрастает при убывающем s, так как L∗D ≤ 0, и является ко- нечным, так как D интегрируема на Z. Из монотонной сходимости следует, что существует конечный lims→−∞. Отсюда ∫ t −∞ D(ξ−1 τ,t (Z))dτ < ∞, D(A) = − ∫ A L∗D(x)(P (dω)× µ(dx)), D(ξ−1 τ,t (Z)) = D({(x, ω) ∈ Ω× S : ξ−1 τ,t (x, ω) ∈ Z}). Заметим, что L∗D ≤ 0 означает, что D задает меру на Ω × S, и D является τ -конечной, так как D(Ω× {x ∈ S : 1 l < ρ(x,M) < l}) < ∞,∀l > 1 и⋃∞ 2 (Ω× {x ∈ S : 1 l < ρ(x,M) < l}) = Ω× S. Зафиксируем теперь m ∈ N и зададим Sm k = {(k − 1)2−m, k2−m}, k ∈ N. Из каждого Sm k выбираем время tmk : D(ξ−1 t−tmk ,t(Z)) ≤ inf s∈Sm k D(ξ−1 t−s,t(Z)) + 2−k. Обозначим Tm = {tmk : k ∈ N} для фиксированного m. Имеем 2−m ∞∑ k=1 D(ξ−1 t−tmk ,t(Z)) ≤ 2−m + ∫ t −∞ D(ξ−1 τ,t (Z))dτ < ∞. Так как D – плотность τ -конечной меры, то применим лемму Бореля–Кантелли: D( lim k→∞ sup ξs,s+tmk (Z)) = (P × µ)( lim k→∞ sup ξs,s+tmk (Z)) = 0. Мы показали, что для всех начальных состояний x, кроме множества N ⊂ Rn ме- ры 0, P -почти наверное для всех m существует только конечное число моментов времени t ∈ Tm : ξs,s+t(x) ∈ Z. Пусть теперь x /∈ N. Из доказанного свойства следует, что lim sup t→∞ [ρ(ξs,s+t(x),M)] ≤ ε, P -почти наверное. Пусть lim supt→∞[ρ(ξs,s+t,M)] = δ > 0. Из монотонной сходимости имеем E[χ lim sup ρ(ξs,t(x),M) > ε′] → δ при ε → ε′, следовательно, существует ε′ > ε : P{ω : lim supt→∞ ρ(ξs,t(x),M) > ε′} > 0. Мы уже показали, что почти наверное 23 И.Г. Васильева, А.Л. Зуев ρ(ξs,t(x),M) ≤ ε для бесконечного числа tn →∞. Значит из утверждения P{ω : lim supt→∞ ρ(ξs,t(x),M) > ε′} > 0 следует P{ω : ξs,t(x) пересекает Sε и S′ε бесконечно много раз } > 0, где Sε = {x : ρ(x,M) = ε}, S′ε = {x : ρ(x, M) = ε′}. Как только докажем последнее утверждение, доказательство теоремы будет за- вершено. Для этого введем следующую последовательность моментов остановки. Пусть σ0 = inf{t > s : ρ(ξs,t(x),M) ≤ ε}, τ0 = inf{t > σ0 : ρ(ξs,t(x),M) ≤ ε′}, и для каждого n > 0 положим σn = inf{t > τn−1 : ρ(ξs,t(x),M) ≤ ε}, τn = inf{t > σn : ρ(ξs,t(x),M) ≤ ε′}. Определим Ωn(∆) = {ω ∈ Ω : τn < ∞, ρ(ξs,τn+δ(x),M) > ε,∀0 ≤ δ ≤ ∆}. Для каждого ∆ > 0, множество ω ∈ Ω таких, что ω ∈ Ωn(∆) для бесконечно мно- гих n, должно быть P -меры ноль. Мы можем выбрать m достаточно большое так, что каждый временной интервал длины ∆ содержит по меньшей мере одну точ- ку из Tm, и для точек t ∈ Tm имеем ρ(ξs,t(x),M) > ε только конечное число раз P -почти наверное. Таким образом, ∑ n χΩn(∆) < ∞ P -почти наверное. Для продол- жения доказательства используем следующее построение [8]. Введем дискретную фильтрацию Bk = F τk+1 s и определим Zk = Xk − Yk с Xk = k∑ n=1 χΩn(∆), Yk = k∑ n=1 E[χΩn(∆)\|Bn−1]. Так как Ωn(∆) ∈ Bn для всех k ≤ n, то Zk является Bk-мартингалом. Определим для a > 0 момент остановки κ(a) = inf{n : Zn > a}. Так как \|Zk − Zk−1\| ≤ 1 почти наверное, то остановленный процесс Z ′k = Zk∧κ(a) является мартингалом, ограничен- ным сверху, и по теореме сходимости для мартингалов Z ′k сходится почти наверное при k →∞ к конечной случайной переменной Z ′∞. Но, так как Z ′k и Zk совпадает на {ω : supn Zn < a}, и a было выбрано случайно, Zk → Z∞ < ∞ на {ω : supn Zn < ∞}. Заметим, что Xn и Yn положительные возрастающие процессы и ранее установле- но, что supn Xn < ∞ P -почти наверное, значит, supn Zn < ∞ P -почти наверное. Но это означает, что Zk и, следовательно, Yk, сходятся к конечному значению P -почти наверное. Итак, установлено, что ∞∑ n=1 E[χΩn(∆)\|F τn s ] < ∞ P -почти наверное ∀∆ > 0. 24 Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы Заметим, что в силу непрерывности траекторий ρ(ξs,τn(x), M) = ε′ при τn < ∞. По Лемме 1, мы можем выбрать ∆̄ достаточно маленьким, чтобы выполнялось P (y) = P [ sup 0≤δ≤∆̄ \|ξs,s+δ(y)− y\| < ε′ − ε 2 ] ≥ 1 2 для всех \|y\| = ε′. Используя строгую марковость, можем записать ∞ > ∞∑ n=1 E[χΩn(∆̄)\|F τn s ] ≥ ∞∑ n=1 P (ξs,τn)χτn<∞ ≥ 1 2 ∞∑ n=1 χτn<∞ P -почти наверное. Но это означает, что τn < ∞ конечное число раз P -почти навер- ное, что противоречит утверждению P{ω : ξs,t(x) пересекает Sε и S′ε бесконечно много раз } > 0. Мы показали, что для µ-почти всех x ∈ Rn, P -почти наверное выполнено свой- ство lim t→∞ sup ρ(ξs,t,M) ≤ ε, т.е. для µ-почти всех x ∈ Rn, P -почти наверное ∃te > ε : ρ(ξs,t(x), M) ≤ ε при t ≥ te. Но, так как это выполняется ∀ε > 0, поток ξs,t(x) должен сходиться к множеству M. ¤ 3. Пример. Рассмотрим уравнение Ито: { dx = (x(x2 − y2 − a2 + b2)− 2y(xy − ab))dt + xdWt, dy = (y(x2 − y2 − a2 + b2)− 2x(xy − ab))dt + ydWt. (4) Заметим, что одноточечное множество M = {(x, y) : x = 0, y = 0} является инва- риантным для системы (4) для любых значений параметров (a, b) ∈ R2. В качестве искомой плотности меры рассмотрим D(x, y) = 1 (x2+y2)β . Вычислим L∗D(x, y): L∗D(x, y) = (x2 + y2)−β[2(−β + 1)(a2− b2)− 2(−β + 3)(x2− y2) + (−β + 1)(−2β + 3)]. При β = 3 и параметрах (a, b) удовлетворяющих условию a2 − b2 > 3 2 , выражение для L∗D примет вид: L∗D(x, y) = (x2 + y2)−3[−4(a2 − b2) + 6] < 0. Тогда, применив следствие 6.2 из статьи [9] и теорему 1, приходим к выводу, что почти все траектории системы (4) притягиваются к началу координат. Т.е. для почти всех начальных условий соответствующее решение системы (4) обладает свойством (xt, yt) → (0, 0) почти наверное при t →∞. 4. Выводы. В работе получены достаточные условия сходимости решений си- стемы нелинейных стохастических дифференциальных уравнений к инвариантному 25 И.Г. Васильева, А.Л. Зуев множеству для почти всех начальных условий из фазового пространства. При ис- следовании асимптотического поведения решений использована функция плотности меры, обладающая свойством монотонности на потоке. Представляет дальнейший интерес поиск функций плотности для классов механических систем со случайными воздействиями. 1. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. – К.: Наук. думка, 1968. – 354 с. 2. Грушковская В.В., Зуев А.Л. Условия устойчивости нелинейных динамических систем с моно- тонной мерой на фазовом потоке // Труды ИПММ НАН Украины. – 2011. – Т. 22. – С. 62–70. 3. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикл. математ. и мех. – 1960. – Т. 24. – Вып. 5. – С. 809–823. 4. Кушнер Дж. Стохастическая устойчивость и управление. – М.: Мир, 1969. – 199 с. 5. Леваков A.A. Стохастические дифференциальные уравнения. – Минск: БГУ, 2009. – 231 с. 6. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 2003. – 408 с. 7. Хасьминский Р.З Устойчивость систем дифференциальых уравнений при случайных возмуще- ниях их параметров. – М.: Наука, 1969. – 367 с. 8. Loeve M. Probability theory. 3rd ed. – Van Nostrand, 1963. – 405 p. 9. Van Handel R. Almost global stochastic stability // SIAM Journal on Control and Optimization. – 2006. – Vol. 45. – P. 1297–1313. 10. Rantzer A. A dual to Lyapunov’s stability theorem // Systems and Control Letters. – 2001. – Vol. 42. – P. 161–168. I.G. Vasylieva, A. L. Zuyev Analysis of limit set for trajectories of nonlinear system with random actions for almost all initial conditions. We consider a class of nonlinear differential equations with random actions that admit invariant manifolds of an arbitrary dimension. We study the problem of stability for such manifolds for almost all initial values of the phase space. Sufficient conditions for the attraction to the invariant set in terms of the density function of a measure that has the property of monotonicity on the phase flow are proved. As an illustration, we consider an example of a nonlinear system for which the density function is constructed explicitly. Keywords: density function, attractive set, Ito stochastic equation. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк Донецкий национальный ун-т al_zv@mail.ru shurko-irina@mail.ru Получено 13.06.14 26 содержание Том 28 Донецк, 2014 Основан в 1997г.

Анализ предельного множества траекторий нелинейной системы со случайными воздействиями для почти всех начальных условий

Institution

Ähnliche Einträge