Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере
Исследуется обобщенное преобразование Минковского, ставящее в соответствие функциям на сфере их интегралы с заданным весом по замкнутым геодезическим. Показано, что нетривиальная часть ядра указанного преобразования содержит непрерывные функции с весьма сложной структурой. В частности, эти функции м...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124206 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 27-35. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124206 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242062017-09-23T03:03:17Z Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Савостьянова, И.М. Исследуется обобщенное преобразование Минковского, ставящее в соответствие функциям на сфере их интегралы с заданным весом по замкнутым геодезическим. Показано, что нетривиальная часть ядра указанного преобразования содержит непрерывные функции с весьма сложной структурой. В частности, эти функции могут быть не дифференцируемы на всюду плотном множестве области определения. We investigate the generalized Minkowski transform relating functions on a sphere with their weighted integrals over closed geodesics. It is shown that a non-trivial part of the kernel of this transform contains continuous functions with a very intricate structure. In particular, these functions can be nondifferentiable on a dense set. 2014 Article Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 27-35. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124206 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется обобщенное преобразование Минковского, ставящее в соответствие функциям на сфере их интегралы с заданным весом по замкнутым геодезическим. Показано, что нетривиальная часть ядра указанного преобразования содержит непрерывные функции с весьма сложной структурой. В частности, эти функции могут быть не дифференцируемы на всюду плотном множестве области определения. |
| format |
Article |
| author |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Савостьянова, И.М. |
| spellingShingle |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Савостьянова, И.М. Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Савостьянова, И.М. |
| author_sort |
Волчков, В.В. |
| title |
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере |
| title_short |
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере |
| title_full |
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере |
| title_fullStr |
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере |
| title_full_unstemmed |
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере |
| title_sort |
свойства ядра обобщенного преобразования минковского на сфере |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124206 |
| citation_txt |
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 27-35. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovvv svojstvaâdraobobŝennogopreobrazovaniâminkovskogonasfere AT volčkovvitv svojstvaâdraobobŝennogopreobrazovaniâminkovskogonasfere AT savostʹânovaim svojstvaâdraobobŝennogopreobrazovaniâminkovskogonasfere |
| first_indexed |
2025-07-09T01:01:44Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:01:44Z |
| _version_ |
1837129172694073344 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 517.5
c©2014. В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова
СВОЙСТВА ЯДРА ОБОБЩЕННОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МИНКОВСКОГО НА СФЕРЕ
Исследуется обобщенное преобразование Минковского, ставящее в соответствие функциям на сфе-
ре их интегралы с заданным весом по замкнутым геодезическим. Показано, что нетривиальная
часть ядра указанного преобразования содержит непрерывные функции с весьма сложной струк-
турой. В частности, эти функции могут быть не дифференцируемы на всюду плотном множестве
области определения.
Ключевые слова: сферические средние, преобразование Минковского, функции Лежандра.
1. Введение. Основным объектом изучения в интегральной геометрии являют-
ся преобразования, ставящие в соответствие функциям из заданного класса F на
многообразии X их интегралы по подмногообразиям в X из заданного множества
Υ. Для всякого такого преобразования I возникают следующие задачи.
1) Выяснить, является ли I инъективным, и если не является, то найти его ядро.
2) Если I инъективно, то найти обратное к I преобразование на его области
определения.
Первая из этих задач впервые была рассмотрена Г. Минковским в 1904 году [1]
для следующего случая: X = S2 = {ξ ∈ R3 : |ξ| = 1}, F = C(S2), Υ – семейство всех
замкнутых геодезических (больших окружностей) на S2, а
(If)(γ) =
∫
γ
f(ξ)dl(ξ), γ ∈ Υ, (1)
где dl – элемент длины дуги. Г. Минковский установил, что ядро преобразования (1)
совпадает с классом нечетных непрерывных функций на S2 и применил этот резуль-
тат для решения некоторых проблем в теории выпуклых тел (см., например, [2], [3,
часть 3, § 17]). В дальнейшем задачи 1) и 2) для различных случаев исследовались
многими авторами (см. [4]–[8] и библиографию к этим работам). Наиболее изучен-
ными примерами преобразований I являются преобразование Радона (см. [4]–[6]) и
преобразование Помпейю (см. [6]–[8]).
В современных исследованиях особое внимание уделяется различным обобщени-
ям интегрально-геометрических преобразований, в которых рассматривается инте-
грирование функций с некоторым весом (см. [8]–[11]). Аналоги сформулированных
выше задач для таких преобразований имеют важное значение для многочисленных
приложений в ряде вопросов анализа (см. [6]–[8]). Как правило, при их исследовании
возникают дополнительные трудности, преодоление которых требует новых идей и
методов. Например, при изучении преобразования Радона с весом потребовалось, в
отличие от классической ситуации, привлечение техники микролокального анализа
(см. [9], [10]).
27
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова
Начиная с середины шестидесятых годов прошлого века, во многих работах изу-
чался вопрос о точных условиях, при выполнении которых функция из ядра пре-
образования I обязана быть нулевой (см. [4]–[8]). В частности, для преобразования
Минковского была получена следующая теорема единственности (см. [5, гл. 3, тео-
рема 1.25], [12], [13]).
Теорема А. Пусть δ < π
2 и
Kδ = {ξ ∈ S2 : δ < d(o, ξ) < π − δ},
где d(·, ·) – внутренняя метрика на S2, o = (0, 0, 1). Пусть также f – непрерывная
четная функция на Kδ, удовлетворяющая следующим условиям:
(i) f имеет нулевые интегралы по всем замкнутым геодезическим, лежащим
в Kδ;
(ii) f ∈ C∞ в некоторой окрестности экватора
Eo =
{
ξ ∈ S2 : d(o, ξ) =
π
2
}
и все производные от f равны нулю на Eo.
Тогда f = 0.
Отметим, что при δ < 0 множество Kδ совпадает с S2 и теорема А вытекает
из результата Г. Минковского. В этом случае требование на функцию f из пункта
(ii) является лишним. В данной работе построены примеры, показывающие что при
δ < π
2 условие (ii) в теореме А не может быть опущено (см. теорему 1). Более того, мы
покажем, что при 0 < δ < π
2 нетривиальная часть ядра обобщенного преобразования
Минковского содержит непрерывные функции с весьма сложной структурой (см.
теорему 2 ниже). В частности, эти функции могут быть не дифференцируемы на
всюду плотном в Kδ множестве.
2. Формулировки основных результатов. Как обычно, символами N, Z, Z+
будем обозначать соответственно множества натуральных, целых и целых неотри-
цательных чисел.
Пусть ξ1, ξ2, ξ3 – декартовы координаты точки ξ ∈ S2, PM (ξ) = (ξ1 + iξ2)M (M ∈
Z+), O(3) – ортогональная группа в R3. Введем следующий класс функций:
MM (Kδ) =
{
f ∈ C(Kδ) :
∫
Eo
f(τξ)PM (ξ)dl(ξ) = 0 ∀τ ∈ O(3) : τEo ⊂ Kδ
}
.
При δ < 0 имеем
MM (Kδ) = MM (S2) =
{
f ∈ C(S2) :
∫
Eo
f(τξ)PM (ξ)dl(ξ) = 0 ∀τ ∈ O(3)
}
.
Кроме того, по теореме Минковского
M0(S2) = {f ∈ C(S2) : f(−ξ) = −f(ξ) ∀ξ ∈ S2}.
28
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере
Отметим также, что выбор веса PM в интегралах мотивирован естественными обоб-
щениями уравнений свертки на S2 с радиальными распределениями, теория которых
активно развивается в последнее время (см. [6]–[8]).
Рассмотрим теперь случай 0 ≤ δ < π
2 . Введем сферические координаты ϕ, θ на
S2 следующим образом:
ξ1 = sin θ sinϕ, ξ2 = sin θ cosϕ, ξ3 = cos θ, ϕ ∈ (0, 2π), θ ∈ (0, π).
Теорема 1. Пусть k ≥ M + 2, k + M – четно и 0 ≤ j ≤ k−M−2
2 . Тогда
(cos θ)2j
(sin θ)k
eikϕ ∈ MM (K0). (2)
Теорема 2. Пусть M ∈ Z+, M – четно, 0 < δ < π
2 . Пусть также W ∈
C[δ, π−δ], W > 0 на [δ, π−δ] и функция W (θ− π
2 ) является четной на [−π
2 +δ, π
2−δ].
Тогда существует четная в Kδ функция f = f(θ, ϕ) ∈ MM (Kδ) такая, что для
любого рационального числа α ∈ [0, 1) функция f(θ, 2πα) представима в виде
f(θ, 2πα) = W (θ) + P
( 1
sin θ
)
, θ ∈ [δ, π − δ], (3)
где P – алгебраический многочлен, зависящий от α.
Теорема 3. Пусть M ∈ Z+, M – четно, 0 < δ < π
2 . Тогда существует четная
в Kδ функция f = f(θ, ϕ) ∈ MM (Kδ) такая, что для любого рационального числа
α ∈ [0, 1) функция f(θ, 2πα) не дифференцируема по θ ни в одной точке интервала
(δ, π − δ).
3. Вспомогательные утверждения. Будем использовать следующие стан-
дартные обозначения (см., например, [14]):
(
m
n
)
– биномиальные коэффициенты, Γ –
гамма-функция, ψ – логарифмическая производная гамма-функции, (z)k = Γ(z+k)
Γ(z) –
символ Похгаммера, F (a, b; c; z) – гипергеометрическая функция Гаусса, pFq – обоб-
щенная гипергеометрическая функция порядка (p, q).
Лемма 1. Пусть m, p ∈ Z+, m ≥ p + 1, a 6= p, p− 1, p− 2, ... и | arg(1− z)| < π.
Тогда
F (a,m− p; a− p; z) =
1
(1− z)m
m−1∑
j=0
(−1)j(a−m)j(−p)j
(1−m)j(a− p)j
(
m− 1
j
)
zj . (4)
Доказательство. При A,B 6= 0,−1,−2, ... и N ∈ N имеет место следующая фор-
мула для аналитического продолжения гипергеометрического ряда (см. [14, гл. 2, п.
2.10 (11)]):
F (A,B; A + B −N ; z)
Γ(A + B −N)
=
Γ(N)(1− z)−N
Γ(A)Γ(B)
N−1∑
n=0
(A−N)n(B −N)n
(1−N)nn!
(1− z)n+
29
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова
+
(−1)N
Γ(A−N)Γ(B −N)
∞∑
n=0
(A)n(B)n
(n + N)!n!
(1− z)n×
×(
ψ(1 + n) + ψ(1 + n + N)− ψ(A + n)− ψ(B + n)− ln(1− z)
)
,
| arg(1− z)| < π, |1− z| < 1.
Полагая здесь A = a, B = m− p, N = m, получаем
F (a,m− p; a− p; z)
Γ(a− p)
=
Γ(m)(1− z)−m
Γ(a)Γ(m− p)
m−1∑
n=0
(a−m)n(−p)n
(1−m)nn!
(1− z)n =
=
Γ(m)(1− z)−m
Γ(a)Γ(m− p)
m−1∑
j=0
m−1∑
n=j
(a−m)n(−p)n
(1−m)nn!
(
n
j
)
(−1)jzj . (5)
Поскольку (ζ)n+j = (ζ)j(ζ + j)n, внутренняя сумма в (5) преобразуется к виду
m−1∑
n=j
(a−m)n(−p)n
(1−m)nn!
(
n
j
)
=
m−j−1∑
n=0
(a−m)n+j(−p)n+j
(1−m)n+jj!n!
=
=
(a−m)j(−p)j
(1−m)jj!
m−j−1∑
n=0
(a−m + j)n(−p + j)n
(1−m + j)nn!
. (6)
Усеченный гипергеометрический ряд Гаусса выражается через обобщенную гипер-
геометрическую функцию 3F2 по формуле
N1∑
n=0
(A1)n(B1)n
(C1)nn!
=
Γ(A1 + N1 + 1)Γ(B1 + N1 + 1)
(N1)!Γ(A1 + B1 + N1 + 1) 3F2
(
A1, B1, C1 + N1; 1
C1, A1 + B1 + N1 + 1
)
(см. [14, гл. 4, п. 4.5]).
В частности,
N1∑
n=0
(A1)n(B1)n
(−N1)nn!
=
Γ(A1 + N1 + 1)Γ(B1 + N1 + 1)
(N1)!Γ(A1 + B1 + N1 + 1)
и
m−j−1∑
n=0
(a−m + j)n(−p + j)n
(1−m + j)nn!
=
Γ(a)Γ(m− p)
(m− j − 1)!Γ(a− p + j)
. (7)
Комбинируя (5), (6) и (7), приходим к (4). ¤
Для λ, α, β ∈ C, α 6= −1,−2, . . . положим
Φλ,α,β(θ) = F
(
α + β + 1 + λ
2
,
α + β + 1− λ
2
;α + 1; sin2 θ
2
)
. (8)
30
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере
При β = ±α функции Φλ,α,β(θ) выражаются через функции Лежандра первого
рода на (−1, 1), т. е.
P−α
λ (cos θ) =
(sin θ)α
2αΓ(α + 1)
Φ2λ+1,α,α(θ) =
(
tg θ
2
)α
Γ(α + 1)
Φ2λ+1,α,−α(θ) (9)
(см. [14, гл. 3, п. 3.4 (6), п. 3.5 (8)]). Из [14, гл. 3, п. 3.4 (11)] нетрудно получить
равенство
Pµ
ν (x) cos(π(ν + µ))− Pµ
ν (−x) =
2µ+2√π cos2
(
π
2 (ν + µ)
)
Γ
(
1+ν−µ
2
)
Γ
(−ν+µ
2
) ×
×
xF
(
1−ν−µ
2 , ν−µ
2 + 1; 3
2 ; x2
)
(1− x2)
µ
2
− 2µ+1√π sin2
(
π
2 (ν + µ)
)
Γ
(
1−ν−µ
2
)
Γ
(
1 + ν−µ
2
)
F
(
−ν+µ
2 , 1+ν−µ
2 ; 1
2 ; x2
)
(1− x2)
µ
2
. (10)
Еще один частный случай определения (8) приводит к функциям P l
mn, кото-
рые были введены и детально изучены И.М. Гельфандом и З.Я. Шапиро в связи
с теорией представлений группы вращений трехмерного пространства (см. [15, гл.
3]). Нас будет интересовать случай, когда l ∈ Z+, а m и n пробегают значения
−l,−l + 1, . . . l − 1, l. В терминах функций (8) имеем
P l
mn(cos θ) =
im−n
(m− n)!
√
(l + m)!(l − n)!
(l + n)!(l −m)!
×
×
(
sin
θ
2
)m−n (
cos
θ
2
)m+n
Φ2l+1,m−n,m+n(θ), m ≥ n, (11)
P l
mn = P l
nm, m < n.
Если m = n = 0, то P l
mn(cos θ) совпадают с зональными сферическими функциями
Pl(cos θ) на S2. Кроме того,
P l
m0(x) =
1
im
√
(l −m)!
(l + m)!
Pm
l (x). (12)
При фиксированном l матрица с элементами P l
mn(cos θ) унитарна. В частности,
|P l
mn(cos θ)| ≤ 1. (13)
Имеют место соотношения ортогональности
∫ π
0
P l
mn(cos θ)P s
mn(cos θ) sin θdθ =
0, l 6= s
2
2l + 1
, l = s.
(14)
31
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова
Далее, для функций P l
mn справедлива следующая формула умножения:
P l
mk(cos θ1)P l
kn(cos θ2) =
1
2π
∫ π
−π
ei(kα−mϕ−nψ)P l
mn(cos θ)dα, (15)
где
cos θ = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 cosα,
eiϕ sin θ = sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 cosα + i sin θ2 sinα,
e
i(ϕ+ψ)
2 cos
θ
2
= cos
θ1
2
cos
θ2
2
e
iα
2 − sin
θ1
2
sin
θ2
2
e
−iα
2 .
Она позволяет вычислять интегралы по окружностям на S2 от сферических функ-
ций и их обобщений. Мы приведем соответствующие формулы для больших окруж-
ностей сферы. Положим
Sλ,k(ξ) = P
−|k|
λ (cos θ)eikϕ, λ ∈ C, k ∈ Z.
Обозначим через τα, κβ , at ортогональные преобразования в R3, определяемые ра-
венствами:
ταξ = (ξ1 cosα− ξ2 sinα, ξ1 sinα + ξ2 cosα, ξ3). (16)
κβξ = (ξ1 cosβ + ξ2 sinβ, ξ1 sinβ − ξ2 cosβ, ξ3), (17)
atξ = (ξ1, ξ2 cos t + ξ3 sin t,−ξ2 sin t + ξ3 cos t). (18)
Лемма 2. Пусть λ ∈ C, k ≥ M , α, β ∈ R и |t| < π
2 . Тогда
∫
Eo
Sλ,k(τβatταξ)PM (ξ)dl(ξ) =
21−M√π
(k −M)!
iMe−iMαe−ikβ cos
(π
2
(λ−M)
)
×
× Γ(1+λ−M
2 )
Γ(1 + λ+M
2 )
(
sin
t
2
)k−M (
cos
t
2
)k+M
Φ2λ+1,k−M,k+M (t), (19)
∫
Eo
Sλ,k(κβatταξ)PM (ξ)dl(ξ) =
21+M√π
(k + M)!
(−1)kiMe−iMαe−ikβ cos
(π
2
(λ + M)
)
×
× Γ(1+λ+M
2 )
Γ(1 + λ−M
2 )
(
sin
t
2
)k+M (
cos
t
2
)k−M
Φ2λ+1,k+M,k−M (t). (20)
Доказательство. При λ ∈ Z+, λ ≥ k из (15), (12) и (11) имеем
∫
Eo
Sλ,k(τβatταξ)PM (ξ)dl(ξ) =
2π
(k −M)!
iMe−iMαe−ikβP−M
λ (0)×
×
(
sin
t
2
)k−M (
cos
t
2
)k+M
Φ2λ+1,k−M,k+M (t). (21)
32
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере
Обе части в (21) являются целыми функциями переменной λ экспоненциального
типа |t| + π
2 (см. [14, гл. 3, п. 3.7 (27)] и [7, гл. 7, §4, следствие 7.2]). Поскольку
|t| < π
2 , то теорема Карлсона о единственности аналитической функции с заданными
значениями в целых точках (см., например, [16, гл. 5]) влечет справедливость (21)
для любого λ ∈ C. Учитывая теперь, что
P−M
λ (0) =
2−M
√
π
cos
(π
2
(λ−M)
) Γ(1+λ−M
2 )
Γ(1 + λ+M
2 )
(22)
(см. [14, гл. 3, п. 3.4 (20)]), получаем (19). Равенство (20) доказывается аналогично.
¤
Лемма 3. Пусть [a, b] ⊂ (0, +∞). Пусть также U ∈ C[a, b] и U > 0 на [a, b].
Тогда существует последовательность {Pn(x)}∞n=0 четных алгебраических много-
членов, удовлетворяющих условиям:
1) deg Pn(x) ≤ n;
2) Pn ≥ 0 на [a, b];
3) имеет место равенство
U(x) =
∞∑
n=0
Pn(x),
в котором ряд сходится равномерно на [a, b].
Доказательство этой леммы легко получается с помощью классической аппрок-
симационной теоремы Вейерштрасса, примененной к четному продолжению функ-
ции U на [−b, b].
4. Доказательство основных результатов.
Доказательство теоремы 1. При n ∈ Z+ имеем (см. (10) и лемму 1)
P−k
M+2n+1(cos θ) + P−k
M+2n+1(− cos θ) =
21−k√π
Γ
(
M+2n+k+3
2
)
Γ
(
k−M−2n
2
)(sin θ)k×
×F
(
k −M − 2n− 1
2
,
k + M + 2n + 2
2
;
1
2
; cos2 θ
)
=
=
21−k√π
Γ
(
M+2n+k+3
2
)
Γ
(
k−M−2n
2
)(sin θ)−k×
×
k−1∑
j=0
(−1)j
(−k+M+2n+1
2
)
j
(
M+2n−k+2
2
)
j
(1− k)j
(
1
2
)
j
(
k − 1
j
)
(cos θ)2j . (23)
По лемме 2 функция P−k
M+2n+1(cos θ)eikϕ, а поэтому и левая часть в (23), умноженная
на eikϕ, принадлежат классу MM (K0). Полагая в (23)
n =
k −M − 2
2
,
k −M − 2
2
− 1, ..., 0,
33
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков, И.М. Савостьянова
получаем (2). ¤
Доказательство теоремы 2. Пусть a = 1, b = 1
sin δ . По лемме 3 имеем равенство
W
(
arcsin
1
x
)(
1
x
)M+2
=
∞∑
n=0
Pn(x), (24)
где Pn – неотрицательный четный алгебраический многочлен степени не выше n и
ряд (24) сходится равномерно на [a, b]. Полагая x = 1
sin θ , из (24) имеем
W (θ) =
∞∑
n=0
Pn
(
1
sin θ
)
1
(sin θ)M+2
(25)
при всех θ ∈ [δ, π/2]. Из четности функции W (θ − π
2 ) следует, что ряд в правой
части (25) сходится к W (θ) равномерно на [δ, π − δ]. Теперь положим
f(θ, ϕ) =
∞∑
n=0
Pn
(
1
sin θ
)
exp(i(n + M + 2)!ϕ)
(sin θ)M+2
. (26)
В силу вышесказанного и неотрицательности Pn ряд в (26) сходится равномерно в Kδ
(это следует из критерия Коши). Отсюда и из теоремы 1 получаем, что f является
четной функцией из MM (Kδ). Пусть α – рациональное число на [0, 1). Тогда α = p/q,
где p ∈ Z+, q ∈ N. Учитывая, что (n+M +2)!/q ∈ N при n > q, из (25) и (26) находим
f(θ, 2πα) = f
(
θ, 2π
p
q
)
=
∞∑
n=0
Pn
(
1
sin θ
) exp
(
i(n + M + 2)!2π p
q
)
(sin θ)M+2
=
q∑
n=0
Pn
(
1
sin θ
) exp
(
i(n + M + 2)!2π p
q
)
(sin θ)M+2
+
∞∑
n=q+1
Pn
(
1
sin θ
) exp
(
i(n + M + 2)!2π p
q
)
(sin θ)M+2
=
q∑
n=0
Pn
(
1
sin θ
) exp
(
i(n + M + 2)!2π p
q
)
(sin θ)M+2
+ W (θ)−
q∑
n=0
Pn
(
1
sin θ
)
1
(sin θ)M+2
.
Отсюда следует (3). ¤
Доказательство теоремы 3. Выберем в качестве W непрерывную функцию,
удовлетворяющую условиям теоремы 2, не дифференцируемую ни в одной точке
интервала (δ, π−δ). По теореме 2 существует четная функция f ∈ MM (Kδ), удовле-
творяющая условию (3). Отсюда и из свойств W следует требуемое утверждение.
¤
1. Minkowski H. Über die Körper konstanter Breite // Mat. Sbornik. – 1904. – V. 25. – P. 505–508.
2. Паламодов В.П. Интегральная геометрия и компьютерная томография. – М.: Изд-во МК НМУ,
1997. – 68 с.
3. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. – М.: Наука, 1978. – 343 c.
4. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 c.
34
Свойства ядра обобщенного преобразования Минковского на сфере
5. Helgason S. Integral geometry and Radon transforms. – New York: Springer, 2010. – 301 p.
6. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic Publi-
shers, 2003. – 454 p.
7. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces
and the Heisenberg group. – London: Springer, 2009. – 671 p.
8. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. – Basel: Birkhäuser,
2013. – 592p.
9. Quinto E.T. Pompeiu transforms on geodesic spheres in real analytic manifolds // Israel J. Math.
– 1993. – V. 84. – P. 353–363.
10. Quinto E.T. Radon transforms on curves in the plane // Tomography, Impedance Imaging, and
Integral Geometry (South Hadley, MA), Lectures in Appl. Math. – 1994. – V. 30. – P. 231–244.
11. Zhou Y. Two radius support theorem for the sphere transform // J. Math. Anal. Appl. – 2001. –
V. 254. – P. 120–137.
12. Quinto E.T. The invertibility of rotation invariant Radon transforms // J. Math. Anal. Appl. –
1983. – V. 91. – P. 510–521; erratum, J. Math. Anal. Appl. – 1983. – V. 94. – P. 602–603.
13. Kurusa A. Support theorems for the totally geodesic Radon transform on constant curvature spaces
// Proc. Amer. Math. Soc. – 1994. – V. 122. – P. 429–435.
14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие транcцендентные функции, т. 1. – М.: Наука, 1973. – 296 с.
15. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. 2-е изд. – М.: Наука,
1991. – 576 c.
16. Titchmarsh E.C. The Theory of Functions, 2nd ed. – New York: Oxford University Press, 1939. –
460 p.
V.V. Volchkov, Vit. V. Volchkov, I.M. Savostyanova
Properties of the kernel of generalized Minkowski transform on a sphere.
We investigate the generalized Minkowski transform relating functions on a sphere with their weighted
integrals over closed geodesics. It is shown that a non-trivial part of the kernel of this transform
contains continuous functions with a very intricate structure. In particular, these functions can be non-
differentiable on a dense set.
Keywords: spherical means, Minkowski transform, Legendre functions.
Донецкий национальный ун-т
valeriyvolchkov@gmail.com
v.volchkov@mail.donnu.edu.ua
cavost@mail.ru
Получено 15.05.14
35
содержание
Том 28
Донецк, 2014
Основан в 1997г.
|