Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений

В статье выясняется связь между обобщенным порядком и обобщенным типом целой функции бесконечного порядка и скоростью ее наилучшей полиномиальной аппроксимации для большого семейства банаховых пространств функций, аналитических в единичном круге. Найдены соотношения, определяющие обобщенные порядок...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Authors:	Двейрин, М.З., Левадная, А.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Series:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124208
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений / М.З. Двейрин, А.С. Левадная // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 43-53. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124208
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1242082017-09-23T03:03:21Z Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений Двейрин, М.З. Левадная, А.С. В статье выясняется связь между обобщенным порядком и обобщенным типом целой функции бесконечного порядка и скоростью ее наилучшей полиномиальной аппроксимации для большого семейства банаховых пространств функций, аналитических в единичном круге. Найдены соотношения, определяющие обобщенные порядок и тип целой функции через последовательность ее наилучших приближений. Полученные результаты являются обобщением более ранних результатов Редди, Д. Сато, И.И. Ибрагимова и Н.И. Шихалиева, С.Б. Вакарчука, Р. Мамадова. The paper explores connection between the generalized order and the generalized type of an entire function and the speed of the best polynomial approximation in the unit disk. The relations which define the generalized order and the generalized type of an entire function through the sequence of its best approximations, have been found. The results were obtained by generalization previous results of A.R. Reddy, D. Sato, I.I. Ibragimov and N.I. Shyhaliev, S.B. Vakarchyk, R. Mamadov. 2014 Article Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений / М.З. Двейрин, А.С. Левадная // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 43-53. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124208 517.547 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В статье выясняется связь между обобщенным порядком и обобщенным типом целой функции бесконечного порядка и скоростью ее наилучшей полиномиальной аппроксимации для большого семейства банаховых пространств функций, аналитических в единичном круге. Найдены соотношения, определяющие обобщенные порядок и тип целой функции через последовательность ее наилучших приближений. Полученные результаты являются обобщением более ранних результатов Редди, Д. Сато, И.И. Ибрагимова и Н.И. Шихалиева, С.Б. Вакарчука, Р. Мамадова.
format	Article
author	Двейрин, М.З. Левадная, А.С.
spellingShingle	Двейрин, М.З. Левадная, А.С. Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Двейрин, М.З. Левадная, А.С.
author_sort	Двейрин, М.З.
title	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений
title_short	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений
title_full	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений
title_fullStr	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений
title_full_unstemmed	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений
title_sort	обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124208
citation_txt	Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений / М.З. Двейрин, А.С. Левадная // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 43-53. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT dvejrinmz obobŝennyjporâdokiobobŝennyjtipcelojfunkciivterminaheenailučšihpribliženij AT levadnaâas obobŝennyjporâdokiobobŝennyjtipcelojfunkciivterminaheenailučšihpribliženij
first_indexed	2025-07-09T01:01:56Z
last_indexed	2025-07-09T01:01:56Z
_version_	1837129187550298112
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28 УДК 517.547 c©2014. М.З. Двейрин, А.С. Левадная ОБОБЩЕННЫЙ ПОРЯДОК И ОБОБЩЕННЫЙ ТИП ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ В ТЕРМИНАХ ЕЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ В статье выясняется связь между обобщенным порядком и обобщенным типом целой функции бесконечного порядка и скоростью ее наилучшей полиномиальной аппроксимации для большого семейства банаховых пространств функций, аналитических в единичном круге. Найдены соотно- шения, определяющие обобщенные порядок и тип целой функции через последовательность ее наилучших приближений. Полученные результаты являются обобщением более ранних результа- тов Редди, Д. Сато, И.И. Ибрагимова и Н.И. Шихалиева, С.Б. Вакарчука, Р. Мамадова. Ключевые слова: целая функция, наилучшее приближение, обобщенный порядок целой функции, обобщенный тип целой функции. 1. Введение. В данной работе в качестве X рассматривается линейное норми- рованное пространство, образованное аналитическими в единичном круге D функ- циями, имеющими конечную норму ‖ · ‖. При этом будем предполагать, что ‖ · ‖ помимо обычных свойств нормы удовлетворяет также условиям: i) ‖f(·eit)‖ ≡ ‖f(·)‖ (1) для всех t ∈ R и f ∈ X; ii) ‖f(·)‖ < ∞ (2) для любой целой функции (т.е. пространство X содержит все целые функции); iii) ‖ 1 2π 2π∫ 0 f(zeit)g(t) dt‖ ≤ 1 2π 2π∫ 0 \|g(t)\| dt ‖f(·)‖ (3) для любых функций f ∈ X и g ∈ L[0; 2π] (иначе говоря, для любых f ∈ X и g ∈ L[0; 2π] ‖f ∗ g‖ ≤ ‖f‖ ‖g‖L[0;2π]). Этим требованиям удовлетворяет норма в целом ряде функциональных про- странств, являющихся объектом многочисленных исследований (авторам неизвест- ны примеры пространств, в которых выполняются условия i), ii) и при этом не выполняется условие iii) ). Приведем некоторые из них. 1) Пространство B функций, аналитических в единичном круге D и непрерывных на его замыкании D с нормой ‖f‖ = max z∈D \|f(z)\| < ∞ . 2) Пространства Харди Hp (p ≥ 1) функций, аналитических в круге D с нормой ‖f‖ = sup 0<r<1 Mp (f, r), Mp (f, r) :=   1 2π 2π∫ 0 \|f(reit)\|p dt   1 p , p ∈ [1;∞); 43 М.З. Двейрин, А.С. Левадная ‖f‖ = sup z∈D \|f(z)\| , p = ∞. 3) Пространства Бергмана H ′ p функций, аналитических в круге D при p ∈ [1;∞) с нормой ‖f‖ =   1 π ∫ z∈D ∫ \|f(x + iy)\|p dxdy   1 p , и обобщенные (весовые) пространства Бергмана H ′ p, ρ функций, аналитических в круге D при p ∈ [1;∞) с нормой ‖f‖ =   1 π ∫ z∈D ∫ \|f(x + iy)\|p ρ(\|z\|)dxdy   1 p и радиальным весом ρ(\|z\|). 4) Пространства Ap, p ∈ (0; 1) функций, аналитических в круге D с нормой ‖f‖ = 1∫ 0 (1− r) 1 p −2 M1 (f, r) dr , впервые изучавшиеся Харди и Литллвудом [1] и позднее Ромбергом, Дюреном и Шилдсом [2]. 5) Пространства Bp, q, λ , 0 < p < q ≤ ∞, λ > 0, функций, аналитических в круге D с нормой ‖f‖ =    1∫ 0 (1− r)λ(1/p−1/q)−1 Mλ q (f, r) dr    1 λ , λ < ∞, ‖f‖ = sup 0<r<1 { (1− r)(1/p−1/q) Mq (f, r) } , λ = ∞, введенные Харди и Литллвудом в работе [1] (см. также [3]). Известно [3], что в случае min(q, λ) ≥ 1 пространства Bp, q, λ являются банаховыми. 6) Пространства со смешанной нормой Hp, q, α, (p, q ≥ 1, α > 0), образованные функциями, аналитическими в круге D с конечной нормой ‖f‖ =    1∫ 0 (1− r)qα−1M q p (f, r) dr    1 q , q < ∞, ‖f‖ = sup 0<r<1 {(1− r)αMp (f, r)} , q = ∞, 44 Обобщенные порядок и тип целой функции в терминах ее наилучших приближений введенные Харди и Литллвудом в работе [1]. Заметим, что пространства Hp, q, α и Bp, q, λ отличаются лишь способом введения параметров. 7) Пространство BMOA [4], состоящее из функций f ∈ H1 с нормой ‖f‖ = sup I ∫ I \|f(ζ)− fI \|dσ(ζ) , где f(ζ) – граничные значения функции f(z) на единичной окружности, а fI – среднее арифметическое значение функции f(ζ) на дуге I. 8) Пространства типа Блоха Bα , α ∈ (0,∞), состоящие из функций, аналитиче- ских в D с конечной нормой ‖f‖ = \|f(0)\|+ sup z∈D (1− \|z\|2)α\|f ′(z)\| . Пространства Bα являются банаховыми [5], при α = 1 Bα совпадает с пространством Блоха B. 9) Введенные Е.М. Дынькиным [6] пространства As p,q(D) функций, являющиеся аналогами классов О.В. Бесова Bs p,q[−1; 1] . Эти пространства образованы функци- ями f ∈ Hp, p ∈ [1;∞] с нормой ‖f‖ =    1∫ 0 ( ωm(f, t)p ts )q dt t    1 q + sup 0<r<1 Mp (f, r). Здесь q ∈ [1;∞], s > 0, m > s – натуральное число, ωm(f, t)p – m-ый модуль гладкости в пространстве Lp функции f(ei·), представляющей собой радиальные предельные значения f . Случай q = ∞ трактуется традиционно. 10) Обобщенные пространства Дирихле Dp(α) функций, аналитических в D, с нормой ‖f(z)‖ = ( ∞∑ k=0 \|ck\|p αk )1/p , где ck = ck(f) – коэффициенты Тейлора функции f , p ≥ 1, α = {αk} – фиксирован- ная последовательность положительных чисел с условиями lim sup k→∞ (αk) 1 k < ∞, lim inf k→∞ (αk) 1 k ≥ 1. Отметим, что приведенные выше примеры функциональных пространств со свой- ствами i), ii) и iii) не исчерпывают их многообразия. Напомним общепринятые определения основных характеристик целой функции. В дальнейшем будем использовать функцию ln ln .. ln x, где x логарифмируется q раз. Введем для нее обозначение: ln(q) x := ln ln .. lnx, ln(0) x := x. Будем также обозначать M(f, r) := sup 0<\|z\|<r \|f(z)\|. 45 М.З. Двейрин, А.С. Левадная Определение. Порядок роста целой функции равен ρ := lim sup r→∞ ln lnM(f, r) ln r . Определение. Тип целой функции равен (если 0 < ρ < ∞) σ := lim sup r→∞ ln M(f, r) rρ . Определение. Обобщенный порядок роста ρq индекса q (q-порядок) целой функ- ции равен (в случае, когда ρ = ∞) ρq := lim sup r→∞ ln(q) M(f, r) ln r , где q – натуральное число, удовлетворяющее условиям ρq−1 = ∞, ρq < ∞. Определение. Обобщенный тип σq индекса q (q-порядок) целой функции равен (для 0 < ρq < ∞) σq := lim sup r→∞ ln(q−1) M(f, r) rρq . Данные определения обобщенного порядка и обобщенного типа введены Сато Д. в [7] и Редди А.Р. в [8] (в случае q = 2 мы будем использовать обозна- чения ρ вместо ρ2 и σ вместо σ2). Введение q-порядка и q-типа позволяет различать скорость роста целой функции в случае, когда ρ = ∞. В частности, в статье Сато Д. [7] были получены формулы, которые связыва- ют величины ρq и σq с тейлоровскими коэффициентами cn целой трансцендентной функции f : ρq = lim sup n→∞ n ln(q−1) n − ln \|cn\| , если q = 2, 3, ... и σq = { 1 eρq lim supn→∞ n\|cn\| ρq n , если q = 2; lim supn→∞ ln(q−2) n · \|cn\| ρq n , если q = 3, 4, .. . Связи между ростом максимума модуля целых функций или функций, анали- тических в круге, и наилучшим приближением изучались в работах Редди А.Р. [8], Ибрагимова И.И. и Шихалиева Н.И. [11], [12], Вакарчука С.Б. [10], Мамадова Р. [13] и Двейрина М.З. [9]. Ими были получены соотношения, выражающие порядок и тип целой функции через последовательность ее наилучших приближений En(f) для ап- проксимации по различным нормам. Более полное изложение истории исследований по данной теме можно найти в [14]. 46 Обобщенные порядок и тип целой функции в терминах ее наилучших приближений Напомним, что En(f) ≡ En(f, Ln) – наилучшее приближение функции f ∈ X элементами линейного подпространства Ln определяется следующим образом: En(f) := inf p∈Ln ‖f − p‖ . В качестве аппроксимирующего подпространства будем использовать Pn – совокуп- ность алгебраических полиномов комплексной переменной степени не выше (n− 1). Приведем некоторые нужные для дальнейшего факты из статьи [9]: Теорема 1. Пусть f ∈ X. Тогда условие lim n→∞ (En(f)) 1 n = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f была целой. Лемма 1. Пусть f ∈ X и f(z) = ∑∞ k=0 ckz k при z ∈ D. Тогда \|cn\| · ‖zn‖ ≤ ≤ En(f) ≤ ‖f‖. Лемма 2. Пусть f ∈ X и µ1 := lim inf n→∞ (‖zn‖) 1 n , µ2 := lim sup n→∞ (‖zn‖) 1 n . Тогда µ1 ≥ 1, µ2 < ∞. Теорема 2. Для того, чтобы функция f ∈ X была целой конечного порядка ρ ∈ (0;+∞) необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный положительный предел lim sup n→∞ n lnn ln ‖zn‖ En(f) = α. (4) При этом справедливо равенство α = ρ. Теорема 3. Пусть существует конечный предел lim infn→∞ (‖zn‖) 1 n = µ > 0. Для того, чтобы функция f ∈ X была целой конечного порядка ρ ∈ (0; +∞) и нормального типа σ ∈ (0;+∞), необходимо и достаточно, чтобы σ = 1 eρ lim sup n→∞ n ( En(f) ‖zn‖ ) ρ n . (5) В настоящей статье будут получены аналоги теорем 1–3, устанавливающие связи между наилучшими полиномиальными приближениями функции и ее обобщенным порядком ρq и обобщенным типом σq в случае q > 2 (случай q = 2 соответствует результатам, полученным ранее в [9]). Всюду в дальнейшем будем обозначать µ1 := lim inf n→∞ (‖zn‖) 1 n , µ2 := lim sup n→∞ (‖zn‖) 1 n . (6) 47 М.З. Двейрин, А.С. Левадная 2. Формулировка результатов. Теорема 4. Для того, чтобы функция f ∈ X была целой обобщенного порядка ρq ∈ (0;+∞) (q ∈ N, q ≥ 2) необходимо и достаточно, чтобы lim sup n→∞ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) = α (7) был конечным и положительным. При этом α = ρq. Теорема 5. Пусть существует конечный предел lim n→∝(‖zn‖) 1 n = µ. Для то- го, чтобы функция f ∈ X была целой конечного порядка ρq ∈ (0;+∞) и типа σq ∈ (0,∞), необходимо и достаточно, чтобы σq =    1 eρq lim supn→∞ n ( En(f) ‖zn‖ ) ρq n , если q = 2; lim supn→∞ ln(q−2) n · ( En(f) ‖zn‖ ) ρq n , если q = 3, 4, ... . (8) Следствие 1. Условие lim n→∞ ( En(f) ‖zn‖ ) 1 n ln(q−2) n = 0 (9) является необходимым и достаточным для того, чтобы функция f была целой некоторого обобщенного порядка ρq с ρq ∈ (0; 1). Чтобы сформулировать следующее следствие, нам понадобится ввести некото- рые обозначения. Пусть Ω – ограниченный континуум со связным дополнением в комплексной плоскости, 0 ∈ Ω – его внутренняя точка, r и R – радиусы кругов Dr и DR с центром в точке z = 0 и таких, что Dr ⊂ Ω ⊂ DR; для целой функции f положим fr(z) := f(rz) и ‖f‖Ω :=   ∫ ∫ Ω \|f(x + iy)\|pdxdy   1 p , p ≥ 1, (‖f‖Ω – норма функции f в пространстве E ′ p(Ω), которое в случае, когда Ω есть замыкание области, представляет собой хорошо известное пространство В.И. Смир- нова), En(f)Ω – наилучшее приближение функции f алгебраическими полиномами комплексной переменной степени не выше (n− 1) в пространстве E ′ p(Ω). Следствие 2. Пусть функция f ∈ E ′ p(Ω), p ≥ 1. Для того, чтобы f была целой обобщенного порядка ρq ∈ (0;∞), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие lim sup n→∞ n ln(q−1) n − ln En(f)Ω = ρq. (10) 48 Обобщенные порядок и тип целой функции в терминах ее наилучших приближений Отметим, что полученные результаты в частных случаях пространств BMOA, Bα , As p,q(D) , Dp(α) являются новыми. Утверждение следствия 2 при существенных ограничениях на Ω было получено ранее в [14]. 3. Доказательства. Докажем теорему 4: Доказательство. Достаточность.Из условия (7) теоремы 4 следует равенство limn→∞ ( En(f) ‖zn‖ ) 1 n = 0, т.е. выполнение условия теоремы 1. Следовательно, f – целая функция с ρ = ∞. Обозначим ее q-порядок ρq и положим αq := lim supn→∞ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) . Тогда ввиду лем- мы 1 имеем неравенство: ρq = lim sup n→∞ n ln(q−1) n − ln \|cn\| ≤ lim sup n→∞ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) = αq. (11) Покажем, что в условиях теоремы ρq > 0. Предположим противное, т.е. что lim supn→∞ n ln(q−1) n − ln \|cn\| = 0. Тогда для произволь- ного положительного ε ∈ (0, µ1) найдется Nε такое, что при n > Nε выполняется неравенство n ln(q−1) n < −ε ln \|cn\|. Последнее неравенство равносильно следующе- му: \|cn\| < (ln(q−2) n)− n ε . Пользуясь им, оценим En(f) при n > Nε. Будем считать Nε столь большим, чтобы выполнялись неравенства: ‖zn‖ ≤ (µ2 + ε)n, ‖zn‖ ≥ (µ1 − ε)n и µ2 + ε < (ln(q−2) n) 1 ε при n > Nε, где µ1 и µ2 определяются соотношениями (6). Тогда En(f) ≤ ‖ ∞∑ k=n ckz k‖ ≤ ∞∑ k=n \|ck\| · ‖zk‖ ≤ ∞∑ k=n \|ck\| · (µ2 + ε)k ≤ ≤ ∞∑ k=n [ µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε ]k ≤ 1 1− µ2+ε (ln(q−2) n) 1 ε · [ µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε ]n . Следовательно, ‖zn‖ En(f) ≥ (µ1 − ε)n · [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε ] · [ µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε ]−n , ln ( ‖zn‖ En(f) ) 1 n ≥ ln µ1 − ε µ2 + ε + 1 n ln [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε ] + 1 ε ln(q−1) n , ln ( ‖zn‖ En(f) ) n ln(q−1) n ≥ 1 ln(q−1) n · ln µ1 − ε µ2 + ε + 1 nln(q−1) n ln [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε ] + 1 ε . (12) Отсюда lim inf n→∞ ln ( ‖zn‖ En(f) ) n ln(q−1) n ≥ 1 ε и, следовательно, αq = lim sup n→∞ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) ≤ ε, 49 М.З. Двейрин, А.С. Левадная что противоречит условию теоремы, значит ρq > 0. Выберем ε ∈ (0, µ1) ∩ (0, ρq). Из того, что ρq = lim sup n→∞ n ln(q−1) n − ln \|cn\| , следует, что существует Nε ∈ N такое, что при n > Nε выполняется неравенство \|cn\| < (ln(q−2) n)− n ε+ρq . Будем считать Nε столь большим, чтобы выполнялись нера- венства: ‖zn‖ ≤ (µ2 + ε)n, ‖zn‖ ≥ (µ1 − ε)n и µ2 + ε < (ln(q−2) n) 1 ε+ρq при n > Nε. Тогда при n > Nε En(f) ≤ ‖ ∞∑ k=n ckz k‖ ≤ ∞∑ k=n \|ck\| · ‖zk‖ ≤ ∞∑ k=n \|ck\| · (µ2 + ε)k ≤ ≤ ∞∑ k=n [ µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ]k = 1 1− µ2+ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq · [ µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ]n . (13) Следовательно, ‖zn‖ En(f) ≥ (µ1 − ε)n · ( 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ) · [ µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ]−n , ln ( ‖zn‖ En(f) ) 1 n ≥ ln µ1 − ε µ2 + ε + 1 n ln [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ] + 1 ε + ρq ln(q−1) n , ln ( ‖zn‖ En(f) ) n ln(q−1) n ≥ 1 ln(q−1) n · ln µ1 − ε µ2 + ε + 1 nln(q−1) n ln [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ] + 1 ε + ρq . (14) Отсюда ρq + ε ≥ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) · ( 1 + ε + ρq ln(q−1) n · ln µ1 − ε µ2 + ε + ε + ρq n ln(q−1) n · ln [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ]) . (15) Устремляя n → ∞, получим, что ρq + ε ≥ αq. Ввиду произвольности выбора ε > 0 получаем ρq ≥ αq. Учитывая это и неравенство (3), имеем, что ρq = αq. Таким образом, достаточность доказана. Необходимость. Пусть f ∈ X целая функция конечного порядка ρq, т.е. ρq = lim sup n→∞ n ln(q−1) n − ln \|cn\| . Положим α = lim sup n→∞ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) . 50 Обобщенные порядок и тип целой функции в терминах ее наилучших приближений Из леммы 1 следует, что α ≥ ρq. Рассуждая, как и при доказательстве достаточ- ности, можем утверждать, что для произвольного ε ∈ (0, µ1) найдется Nε : \|cn\| < < (ln(q−2) n)− n ε+ρq , (µ1− ε)n ≤ ‖zn‖ ≤ (µ2 + ε)n и µ2 + ε < (ln(q−2) n) 1 ε+ρq при n > Nε. Рассуждая, как при доказательстве (13) и (4), получим ρq + ε ≥ n ln(q−1) n ln ‖zn‖ En(f) × × ( 1 + ε + ρq ln(q−1) n · ln µ1 − ε µ2 + ε + ε + ρq n ln(q−1) n · ln [ 1− µ2 + ε (ln(q−2) n) 1 ε+ρq ]) . После предельного перехода при n → ∞ в силу произвольности выбора ε > 0 получаем ρq ≥ α. Учитывая обратное неравенство ρq ≤ α, имеем ρq = α. Таким образом, необходимость доказана. ¤ Докажем теорему 5: Доказательство. В случае q = 2 наша теорема совпадает с теоремой 3, доказан- ной в [9]. Достаточность. Рассмотрим случай q = 3, 4... . Пусть f ∈ X удовлетворяет условию (2) теоремы 5, где ρq и σq некоторые положительные числа. Тогда из (2) следует справедливость условия (7) теоремы 4, следовательно, f – целая функция порядка ρq. Пусть тип f равен α. Докажем, что α = σq. Из формулы для определения типа целой функции через тейлоровские коэффициенты α = lim sup n→∞ ln(q−2) n · \|cn\| ρq n , q = 3, 4, ... . (16) С учетом леммы 1 имеем α ≤ σq. Докажем обратное неравенство. Из (5) следует, что для произвольного ε > 0 существует Nε ∈ N, для которого выполняются неравенства \|cn\| < ( ε+α ln(q−2) n ) n ρq и ( ε+α ln(q−2) n ) 1 ρq · (µ + ε) < 1 при всех n > Nε . Оценим наилучшее приближение функции f сверху: En(f) ≤ ∥∥∥∥∥ ∞∑ k=n ckz k ∥∥∥∥∥ ≤ ∞∑ k=n ( ε + α ln(q−2) k ) k ρq · (µ + ε)k ≤ ≤ ∞∑ k=n (( ε + α ln(q−2) n ) 1 ρq · (µ + ε) )k ≤ ≤ ( 1− C (ln(q−2) n) 1 ρq )−1 · ( ε + α ln(q−2) n ) n ρq · (µ + ε)n, (17) 51 М.З. Двейрин, А.С. Левадная где C = (µ + ε)(ε + α) 1 ρq . Из (17) находим ε + α ≥ ( En(f) ‖zn‖ ) ρq n · ln(q−2) n · ( 1− C (ln(q−2) n) 1 ρq ) ρq n · ‖zn‖ ρq n · (µ + ε)−ρq . Последовательно устремив n →∞ и ε → 0, получим ε + α ≥ σq · ( µ µ + ε )ρq , α ≥ σq, что завершает доказательство достаточности. Необходимость. Пусть f ∈ X – целая функция обобщенного порядка ρq, ρq ∈ (0;∞). Обозначим ее обобщенный тип α. Аналогично доказательству достаточности, используя лемму 1 и теорему 2, можно показать справедливость неравенства α ≥ σq. Чтобы доказать обратное неравенство α ≤ σq нужно повторить соответствующие рассуждения из доказательства достаточности. ¤ Доказательство следствия 1 может быть получено применением соответствую- щих рассуждений на стр. 1132 работы [15]. Справедливость следствия 2 вытекает из того, что при любом r > 0 ρq(f) = = ρq(fr), r 2 p ‖fr‖ ≤ ‖f‖Ω ≤ R 2 p ‖fR‖ , и теоремы 5. 1. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some properties of fractional integrals II. – Math. Z., 1931. – 34, № 3. – P. 403–439. 2. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals in Hp spaces with 0 < p < 1 // J. reine und angew. Math. – 1969. – 238. – P. 4–60. 3. Гварадзе М. И. Об одном классе пространств аналитических функций. Мат. заметки // 1977. – 21, № 2. – С. 141–150. 4. Шведенко С. В. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге и шаре // Итоги науки и техники. Сер. мат. анализ, Москва, ВИНИТИ. – 1985. – 23. – С. 3–124. 5. K. Zhu Bloch type spaces of analytic functions // Rocky mountain J. Math. – 1993. – 23, № 3. – P. 1143–1177. 6. Дынькин Е. М. Конструктивная характеристика классов С.Л. Соболева и О.В. Бесова // Тру- ды мат. ин-та АН СССР. – 1981. – 155. – С. 41–76. 7. Sato D. On the rate of growth of entire functions of fast growth // Bulletin of Amer. Math. Soc. – 1963. – 69, № 3. – P. 411–414. 8. Reddy A.R. A Contribution to best approximation in the L2 norm // J. Approxim. Theory. – 1974. – 11, № 11. – P. 110–117. 9. Двейрин М.З. О скорости полиномиальной аппроксимации целых функций и их свойствах // ArXiv:1402.3218 [math.CV] 13 Feb 2014. 10. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении в некоторых банаховых простран- ствах аналитических функций // ДАН УССР, сер. физ.-мат. и техн. науки. – 1990. – № 1. – С. 9–11. 11. Ибрагимов И.И., Шихалиев Н.И. О наилучшем полиномиальном приближении в одном про- странстве аналитических функций // ДАН СССР. – 1976. – 227, № 2 – С. 280–283. 12. Ибрагимов И.И., Шихалиев Н.И. О наилучшем приближении в среднем аналитических функ- ций в пространстве Ap(\|z\| < 1) // Спец. вопросы теории функций. – Баку: ЭЛМ, 1977. – № 1. – С. 84–96. 52 Обобщенные порядок и тип целой функции в терминах ее наилучших приближений 13. Мамадов Р. Некоторые вопросы приближения целыми функциями. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, спец. 01.01.01 – мате- матический анализ. – Душанбе, 2009. – 14 с. 14. Вакарчук С.Б., Жир С.I. Найкращi полiномiальнi наближення цiлих трансцендентних функцiй узагальненого порядку зростання в банахових просторах E ′p(G) та Ep(G), p ≥ 1 // Укр. матем. вестник. – 2011. – 8, № 2. – С. 255–291. 15. Вакарчук С.Б. О наилучшем полиномиальном приближении целых трансцендентных функций в некоторых банаховых пространствах. I // Укр. мат. журн. – 1994. – 46, № 9. – С. 1123–1133. M.Z. Dveyrin, A. S. Levadnaya The generalized order and the generalized type of an entire function in terms of the best approximation. The paper explores connection between the generalized order and the generalized type of an entire function and the speed of the best polynomial approximation in the unit disk. The relations which define the generalized order and the generalized type of an entire function through the sequence of its best approximations, have been found. The results were obtained by generalization previous results of A.R. Reddy, D. Sato, I.I. Ibragimov and N.I. Shyhaliev, S.B. Vakarchyk, R. Mamadov. Keywords: entire function, best approximation, generalized order of entire function, generalized type of entire function. Донецкий национальный ун-т matem47@mail.ru last.dris@mail.ru Получено 17.06.14 53 содержание Том 28 Донецк, 2014 Основан в 1997г.

Обобщенный порядок и обобщенный тип целой функции в терминах ее наилучших приближений

Institution

Similar Items