Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию
Рассмотрена бесконечная система дифференциальных уравнений, которая описывает колебания пластины Кирхгофа. Для данной системы построены функционалы управления с обратной связью, зависящие от обобщенных скоростей. Доказана теорема о частичной асимптотической устойчивости положения равновесия системы...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124210 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 62-75. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124210 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242102017-09-23T03:03:14Z Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Рассмотрена бесконечная система дифференциальных уравнений, которая описывает колебания пластины Кирхгофа. Для данной системы построены функционалы управления с обратной связью, зависящие от обобщенных скоростей. Доказана теорема о частичной асимптотической устойчивости положения равновесия системы с обратной связью. An infinite system of differential equations that describes the vibrations of the Kirchhoff plate is considered. Feedback control functionals, depending on the generalized velocities, are constructed for the system considered. A theorem on the partial asymptotic stability of the equilibrium of the closed-loop system is proved. 2014 Article Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 62-75. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124210 531.39, 517.977 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена бесконечная система дифференциальных уравнений, которая описывает колебания пластины Кирхгофа. Для данной системы построены функционалы управления с обратной связью, зависящие от обобщенных скоростей. Доказана теорема о частичной асимптотической устойчивости положения равновесия системы с обратной связью. |
| format |
Article |
| author |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| spellingShingle |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| author_sort |
Зуев, А.Л. |
| title |
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию |
| title_short |
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию |
| title_full |
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию |
| title_fullStr |
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию |
| title_full_unstemmed |
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию |
| title_sort |
стабилизация колебаний пластины кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124210 |
| citation_txt |
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи по состоянию / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 62-75. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zueval stabilizaciâkolebanijplastinykirhgofaspomoŝʹûobratnojsvâziposostoâniû AT novikovaûv stabilizaciâkolebanijplastinykirhgofaspomoŝʹûobratnojsvâziposostoâniû |
| first_indexed |
2025-07-09T01:02:11Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:02:11Z |
| _version_ |
1837129251060449280 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 531.39, 517.977
c©2014. А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА
С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ
Рассмотрена бесконечная система дифференциальных уравнений, которая описывает колебания
пластины Кирхгофа. Для данной системы построены функционалы управления с обратной связью,
зависящие от обобщенных скоростей. Доказана теорема о частичной асимптотической устойчивости
положения равновесия системы с обратной связью.
Ключевые слова: асимптотическая устойчивость, пластина Кирхгофа, управление с обратной
связью.
1. Введение. В современной теории управления системами с распределенны-
ми параметрами важное место занимают задачи стабилизации движения упругих
механических объектов [1]. Прикладной интерес к этой проблеме вызван необходи-
мостью синтеза законов управления для космических систем с деформируемыми
элементами [2, 3] и роботов-манипуляторов с упругими звеньями [4].
Целью данной работы является синтез управления с обратной связью для модели
колебаний упругой пластины, а также доказательство асимптотической устойчиво-
сти тривиального решения соответствующей линейной системы с использованием
построенного управления.
2. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную систему дифференциальных
уравнений, которая описывает колебания упругой пластины Кирхгофа, прикреплен-
ной к вращающемуся твердому телу [5, 6]:
{
ξ̇kj = βkjηkj ,
η̇kj = −βkjξkj + ϕkju1 + gkju2,
(k, j) ∈ N2, (1)
где ξkj(t) и ηkj(t) – модальная координата и скорость, соответствующие моде ко-
лебаний с индексами (k, j), u1(t) и u2(t) – управления, соответствующие угловому
ускорению тела-носителя. Коэффициенты уравнений (1) связаны с параметрами ме-
ханической системы посредством соотношений:
βkj = α
((
πk
l1
)2
+
(
πj
l2
)2
)
, (2)
ϕkj =
0, для четного k ,
2l2
√
l1l2
π2kj
, для нечетного k, четного j ,
2
√
l1l2(2a2 − l2)
π2kj
, для нечетного k, нечетного j ,
62
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
gkj =
−2l1
√
l1l2
π2kj
, для четного k, нечетного j ,
0, для четного j ,
2
√
l1l2(l1 − 2a1)
π2kj
, для нечетного k, нечетного j .
Физический смысл фазовых переменных и положительных параметров α, l1, l2, a1,
a2 поясняется в статьях [5, 6]. Предположим, что 2a1 6= l1 и 2a2 6= l2.
Пусть задано взаимно-однозначное соответствие (k, j) 7−→ n(k, j) между множе-
ствами N2 и N. Всюду в дальнейшем будем отождествлять обозначения величин с
двойным индексом (k, j) и соответствующим одинарным индексом n, т.е. ξn = ξkj ,
ηn = ηkj , βn = βkj , ϕn = ϕkj , gn = gkj при n = n(k, j).
Запишем систему (1) в операторном виде:
ẋ = Ax + Bu, x ∈ `2, u ∈ R2, (3)
где
x =
ξ1
η1
ξ2
η2
...
, A =
A1 0 . . .
0 A2 . . .
...
...
. . .
, B =
B1
B2
...
, u(t) =
(
u1(t)
u2(t)
)
,
An =
(
0 βn
−βn 0
)
, Bn =
(
0 0
ϕn gn
)
, n = 1, 2, ... .
В гильбертовом пространстве `2 для векторов x =
(
ξ1, η1, ξ2, η2, . . .
)T и x =(
ξ1, η1, ξ2, η2, . . .
)T вводится скалярное произведение стандартным образом:
〈x, x〉`2 =
∞∑
n=1
(
ξnξn + ηnηn
)
.
Построим для системы (3) управление с обратной связью u = v(x), которое
обеспечивает частичную асимптотическую устойчивость ее тривиального решения.
Для этого рассмотрим функционал V : `2 −→ R :
V (x) =
∞∑
n=1
n/∈S
(
ξ2
n + η2
n
)
, (4)
где S = {n | ϕ2
n + g2
n = 0}.
Запишем производную функционала V в силу системы (3):
V̇ = 2
∞∑
n=1
n/∈S
(
ξnξ̇n + ηnη̇n
)
= 2u1
∞∑
n=1
n/∈S
ηnϕn
+ 2u2
∞∑
n=1
n/∈S
ηngn
.
63
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Определим функции управления с обратной связью следующим образом:
v1(x) = −k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕnηn, v2(x) = −k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
gnηn, (k1 ≥ 0, k2 ≥ 0). (5)
Тогда производная V в силу системы (3) с u1 = v1(x), u2 = v2(x) запишется в виде
V̇ = −k1
∞∑
n=1
n/∈S
ϕnηn
2
− k2
∞∑
n=1
n/∈S
gnηn
2
≤ 0.
3. Теорема об асимптотической устойчивости. Запишем систему (3) с управ-
лением u = v(x) в виде
ẋ = Fx, x(0) = x0 ∈ `2, (6)
где F = A + BK с K = −1
2
(
0 k1ϕ1 0 k1ϕ2 . . .
0 k2g1 0 k2g2 . . .
)
.
Оператор F является инфинитезимальным генератором C0-полугруппы линей-
ных ограниченных операторов {etF }t≥0 в `2 на основании теоремы Люмера–Филлипса
[7].
Рассмотрим непрерывный функционал
y(x) =
∞∑
n=1
n/∈S
(
ξ2
n + η2
n
)
1/2
(7)
в пространстве `2.
Приведем определение об асимптотической устойчивости особой точки по отно-
шению к функционалу y из [8].
Определение. Решение x = 0 уравнения (6) называется асимптотически устой-
чивым по отношению к функционалу y, если для произвольного ε > 0 существует
такое δ(ε) > 0, что для всякого решения x(t) задачи (6) с ‖x0‖ < δ выполнены
свойства:
y(x(t)) < ε при всех t ≥ 0, (8)
lim
t→+∞ y(x(t)) = 0. (9)
Сформулируем теорему 2 из [8] для случая частичной асимптотической устой-
чивости C0-полугруппы линейных операторов следующим образом.
Теорема 1. [8] Пусть F – инфинитезимальный генератор непрерывной C0-
полугруппы {etF }t≥0 линейных ограниченных операторов в `2 и пусть
y : `2 −→ R+ – непрерывный функционал. Предположим, что существует диф-
ференцируемый по Фреше функционал V : `2 −→ R, удовлетворяющий следующим
64
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
условиям:
1) для некоторых функций α1(·), α2(·) ∈ K выполнено неравенство
α1(y(x)) ≤ V (x) ≤ α2(‖x‖) для всех x ∈ `2,
где класс K состоит из всех непрерывных строго возрастающих функций
α : R+ −→ R+, обладающих свойством α(0) = 0;
2) V̇ (x) ≤ 0 при всех x ∈ D(F );
3) существует такое δ > 0, что при любом ‖x0‖ < δ соответствующее множе-
ство ⋃
t≥0
{etF x0}
предкомпактно в `2;
4) множество Ker y = {x ∈ `2 | y(x) = 0} инвариантно для (6), т.е. если
y(eτF x0) = 0, τ ≥ 0, то y(etF x0) = 0 для всех t ∈ R+;
5) множество
M = {x ∈ D(F ) | V̇ (x) = 0}\Ker y
не содержит целых полутраекторий системы (6), определенных для t ∈ R+.
Тогда особая точка x = 0 дифференциального уравнения (6) асимптотически устой-
чива по отношению к y.
Основным результатом статьи является следующая теорема.
Теорема 2. Пусть k1 > 0 и k2 > 0. Тогда управления с обратной связью u1 =
= v1(x) и u2 = v2(x), представленные в виде (5), обеспечивают асимптотическую
устойчивость тривиального решения системы (3) по отношению к функционалу
y вида (7).
Доказательство. Для доказательства воспользуемся Теоремой 1.
Условие 1) выполнено, поскольку
y(x) ≤ V (x) = ‖x‖2, ∀x ∈ `2.
Условие 2) следует из того, что V̇ = −k1
∞∑
n=1
n/∈S
ϕnηn
2
− k2
∞∑
n=1
n/∈S
gnηn
2
≤ 0 при
k1 > 0 и k2 > 0, для всех x ∈ D(A), где D(A) = {x ∈ `2 |
∞∑
n=1
n/∈S
β2
n
(
ξ2
n + η2
n
)
< ∞}.
Для проверки условия 3) Теоремы 1 докажем предкомпактность полутраекторий
линейного дифференциального уравнения (6) с помощью теоремы из работы [9]. Для
этого докажем компактность оператора (λF + I)−1 : `2 −→ `2 при некотором λ > 0.
Рассмотрим уравнение Ix + λAx + λBu = x̄ относительно x, где λ = const. В
покомпонентном виде оно примет вид:
(I + λA)
(
ξn
ηn
)
=
(
ξn
ηn − λϕnu1 − λgnu2
)
.
65
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Решая уравнение методом обратной матрицы, получим
(
ξn
ηn
)
=
1
1 + (λβn)2
(
1 −λβn
λβn 1
)(
ξn
ηn − λϕnu1 − λgnu2
)
. (10)
Подставим выражение (10) в выражение для u = v(x) вида (5):
(
v1(x)
v2(x)
)
=
−k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕn
1 + (λβn)2
(
λβnξn + ηn − λϕnu1 − λgnu2
)
−k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
gn
1 + (λβn)2
(
λβnξn + ηn − λϕnu1 − λgnu2
)
. (11)
Преобразуем (11) следующим образом:
v1
1− k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕ2
n
1 + (λβn)2
− v2
k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕngn
1 + (λβn)2
= −k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
,
v1
−k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕngn
1 + (λβn)2
+ v2
1− k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
λg2
n
1 + (λβn)2
= −k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
gn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
.
(12)
Из (12) с помощью метода Крамера найдем представление функций v1(x) и v2(x):
v1(x) =
∆1
∆
, v2(x) =
∆2
∆
, (13)
где
∆ = 1− k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
λg2
n
1 + (λβn)2
− k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕ2
n
1 + (λβn)2
+
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
λϕ2
n
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
λg2
n
1 + (λβn)2
− k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
λϕngn
1 + (λβn)2
2
,
∆1 = −k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
ϕn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
λg2
n
1 + (λβn)2
−
− k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
gn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕngn
1 + (λβn)2
,
66
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
∆2 = −k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
gn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
gn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕ2
n
1 + (λβn)2
−
− k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
ϕn
(
λβnξn + ηn
)
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
λϕngn
1 + (λβn)2
.
Формулы (13) определяют линейный функционал v(x) в `2. Покажем, что v(x)
ограничен для произвольного λ > 0, для этого оценим v1(x) и v2(x). Так как |v1(x)| =∣∣∣∣
∆1
∆
∣∣∣∣ =
|∆1|
|∆| , а |v2(x)| =
∣∣∣∣
∆2
∆
∣∣∣∣ =
|∆2|
|∆| , то оценим отдельно числитель и знаменатель
|∆1| ≤ k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ϕn||λβnξn|
1 + (λβn)2
+
k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ϕn||ηn|
1 + (λβn)2
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
λg2
n
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
|ϕn||λβnξn|
1 + (λβn)2
+
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
λg2
n
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
|ϕn||ηn|
1 + (λβn)2
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
λ|ϕngn|
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
|gn||λβnξn|
1 + (λβn)2
+
+
k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
λ|ϕngn|
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
|gn||ηn|
1 + (λβn)2
. (14)
Для произвольного β0 > 0 запишем суммы в (14) отдельно при βn < β0 и βn ≥ β0:
|∆1| ≤ λk1
2
∞∑
n=1
n/∈S
βn<β0
ϕ2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
+
∞∑
n=1
n/∈S
βn≥β0
ϕ2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ξn|2
1
2
+
+
k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ϕn|2
(1 + (λβn)2)2
1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ηn|2
1
2
+
+
λ2k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
βn<β0
ϕ2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
+
∞∑
n=1
n/∈S
βn≥β0
ϕ2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
1
2
×
×
∞∑
n=1
n/∈S
|ξn|2
1
2
+
λk1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
(1 + (λβn)2)2
1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ηn|2
1
2
+
67
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
+
λ2k1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
(1 + (λβn)2)2
1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
1
2
×
×
∞∑
n=1
n/∈S
βn<β0
g2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
+
∞∑
n=1
n/∈S
βn≥β0
g2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ξn|2
1
2
+
+
λk1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
(1 + (λβn)2)2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
1
2
∞∑
n=1
n/∈S
|ηn|2
1
2
. (15)
В выражении (15) использовано неравенство Гельдера. С учетом неравенств
∞∑
n=1
n/∈S
|ξn|2
1
2
= ‖ξ‖`2 ≤ ‖x‖,
∞∑
n=1
n/∈S
|ηn|2
1
2
= ‖η‖`2 ≤ ‖x‖,
∞∑
n=1
n/∈S
βn<β0
ϕ2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
+
∞∑
n=1
n/∈S
βn≥β0
ϕ2
nβ2
n
(1 + (λβn)2)2
1
2
≤ ‖ϕ‖
(
β0 +
1
λ4β2
0
) 1
2
,
выражение (15) примет вид:
|∆1| ≤ ‖x‖
(
‖ϕ‖
((
λk1
2
+
λ2k1k2
2
‖g‖2
)(
β0 +
1
λ4β2
0
) 1
2
+
k1
2
+
λk1k2
2
‖g‖2
))
=
= M1(λ)‖x‖. (16)
Применяя аналогичные рассуждения, получим, что
|∆2| ≤ ‖x‖
(
‖g‖
((
λk2
2
+
λ2k1k2
2
‖ϕ‖2
)(
β0 +
1
λ4β2
0
) 1
2
+
k2
2
+
λk1k2
2
‖ϕ‖2
))
=
= M2(λ)‖x‖. (17)
Оценим определитель ∆ снизу, для чего воспользуемся представлением
∆ = 1 + λr(λ), (18)
где
68
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
r(λ) = −k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
1 + (λβn)2
− k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
1 + (λβn)2
+
+
λk1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
1 + (βn)2
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
1 + (λβn)2
− λk1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
ϕngn
1 + (λβn)2
2
.
Пусть |r(λ)| ≤ M при M > 0 для любого λ ∈ [0, λ0]. Выберем λ = min
{
λ0,
1
M
}
.
Тогда из (18) следует, что4 > 0. Для оценки |r(λ)| применим неравенство треуголь-
ника и неравенство Гельдера:
|r(λ)| ≤ k2
2
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
1 + (λβn)2
+
k1
2
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
1 + (λβn)2
+
+
λk1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
ϕ2
n
1 + (βn)2
∞∑
n=1
n/∈S
g2
n
1 + (λβn)2
+
λk1k2
4
∞∑
n=1
n/∈S
ϕngn
1 + (λβn)2
2
≤
≤ k2
2
‖g‖2 +
k1
2
‖ϕ‖2 +
λk1k2
2
‖g‖2‖ϕ‖2.
Выберем λ0 = 1, тогда
|r(λ0)| ≤ k2
2
‖g‖2 +
k1
2
‖ϕ‖2 +
k1k2
2
‖g‖2‖ϕ‖2 = M,
а ∆ ≥ 1− λ
(
k2
2
‖g‖2 +
k1
2
‖ϕ‖2 +
k1k2
2
‖g‖2‖ϕ‖2
)
= M3(λ).
Таким образом показано, что для всякого λ ∈ (0, 1) найдутся такие числа M4(λ) >
0 и M5(λ) > 0, что
|v1(x)| ≤ M1(λ)
M3(λ)
‖x‖ = M4(λ)‖x‖, |v2(x)| ≤ M2(λ)
M3(λ)
‖x‖ = M5(λ)‖x‖
в формуле (13) при всех x ∈ `2. Формулы (10) и (13) определяют x = (λF + I)−1x
при всех x ∈ `2 для λ > 0. Отсюда следует, что
‖(λF + I)−1x‖2 ≤ 2
∞∑
n=1
n/∈S
1
1 + (λβn)2
∞∑
n=1
n/∈S
(
ξ
2
n + (ηn − λϕnv1(x)− λgnv2(x))2
)
≤
≤ 2‖x‖2
∞∑
n=1
n/∈S
1
1 + (λβn)2
(
1 + λ2M2
4 ‖ϕ‖2 + λ2M2
5 ‖g‖2 + 2λ2M4M
2
5 ‖ϕ‖‖g‖−
−2λM4‖ϕ‖ − 2λM5‖g‖) . (19)
69
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Покажем, что ряд
∞∑
n=1
n/∈S
1
1 + (λβn)2
в (19) сходится. Для этого перейдем к суммирова-
нию по двум индексам с учетом представления (2):
∞∑
n=1
n/∈S
1
1 + (λβn)2
≤
∞∑
k,j=1
1
1 + (λβkj)2
≤ (l1l2)4
λ2α2
∞∑
k,j=1
1
((πkl2)2 + (πjl1)2)
2 .
Для оценки суммы ряда применим интегральный признак сходимости:
(l1l2)4
λ2α2
∞∑
k=1
∞∑
j=1
1
((πkl2)2 + (πjl1)2)
2 ≤
(l1l2)4
λ2α2
∞∑
k=1
∞∫
0
dj
((πkl2)2 + (πjl1)2)
2 =
=
(l1l2)4
λ2α2
∞∑
k=1
(
1
4π3l2k3l31
)
≤ (l1l2)4
λ2α2
1
4π3l2l31
+
∞∫
1
(
1
4π3l2k3l31
)
=
3l1l
3
2
8π3λ2α2
. (20)
Из (19) и (20) следует, что
‖(λF + I)−1x‖2 ≤ M6(λ)‖x‖2.
Таким образом, определен линейный ограниченный оператор
(λF + I)−1 : `2 −→ `2
при каждом λ > 0. Для доказательства его компактности рассмотрим оператор
проектирования PN : `2 −→ `2, который переводит элементы x ∈ `2 в конечномерное
подпространство с ξn = ηn = 0 при n < N :
PN :
ξ1
...
ηN−1
ξN
ηN
ξN+1
ηN+1
...
7−→
0
...
0
ξN
ηN
ξN+1
ηN+1
...
.
Рассмотрим линейный ограниченный оператор в `2:
UN = (I − PN )(λF + I)−1.
Каждый оператор UN компактен (вполне непрерывен), поскольку его образ имеет
конечную размерность. Покажем, что оператор (λF + I)−1 является пределом по
норме компактных операторов:
lim
N−→∞
‖(λF + I)−1 − UN‖ = lim
N−→∞
‖PN (λF + I)−1‖ = 0. (21)
70
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
Имеем
‖PN (λF + I)−1x‖ ≤ 2
∞∑
n=N
n/∈S
1
1 + (λβn)2
∞∑
n=N
n/∈S
(
ξ
2
n + (ηn − λϕnv1(x)− λgnv2(x))2
)
≤
≤ 2‖x‖2
∞∑
n=N
n/∈S
1
1 + (λβn)2
(
1 + λ2M2
4 ‖ϕ‖2 + λ2M2
5 ‖g‖2 + 2λ2M4M5‖ϕ‖‖g‖−
−2λM4‖ϕ‖ − 2λM5‖g‖) . (22)
Из формулы (20) следует, что
∞∑
n=N
n/∈S
1
1 + (λβn)2
−→ 0 при N −→∞.
Таким образом, из оценки (22) вытекает свойство (21). Следовательно, оператор
(λF + I)−1 : `2 −→ `2 компактен, поскольку он является пределом конечномерных
операторов.
Из компактности линейного оператора (λF +I)−1 следует предкомпактность всех
положительных полутраекторий линейного дифференциального уравнения (6) в `2
по теореме из [9].
Проверим условие 4) Теоремы 1. Пусть x(t), t ≥ 0 – решение системы (3) с
управлением u = v(x(t)) вида (5), и пусть y(x(τ)) = 0 при некотором τ ≥ 0.
Обозначим x̃0 = x(τ) ∈ `2 и определим x̃(t) = (ξ̃1(t), η̃1(t), ξ̃2(t), η̃2(t), ...)T как
решение задачи Коши:
{ ˙̃
ξn(t) = βnη̃n(t),
˙̃ηn(t) = −βnξ̃n(t),
x̃(0) = x̃0. (23)
Поскольку y(x̃0) = 0, то ξ̃n(0) = η̃n(0) = 0 при всех n ∈ N\S. Тогда
ξ̃n(t) = η̃n(t) = 0, ∀n ∈ N\S, ∀t ≥ 0. (24)
Это означает, что
y(x̃(t)) ≡ 0. (25)
Покажем, что x̃(t) является решением системы (3) с обратной связью (5).
Непосредственной подстановкой соотношений (24) в функционал обратной связи
(5) приходим к выводу, что u = v(x̃(t)) ≡ 0, т.е. подстановка x̃(t) обращает диффе-
ренциальные уравнения (3) с управлением (5) в тождество на основании системы
(23).
Таким образом, x̃(t) – решение системы (3), (5), и с использованием свойства
единственности решений задачи Коши получаем, что
x(t) = x̃(t + τ), ∀ t ≥ 0.
71
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Отсюда, с учетом тождества (24), следует, что y(x(t)) ≡ 0. Следовательно, усло-
вие 4) выполнено.
Осталось проверить условие 5). Для этого покажем, что всякая полутраектория
{x(t)}t≥0 системы (3) с управлением (5) на множестве
M = {x ∈ `2| V̇ (x) = 0}
обладает свойством y(x(t)) ≡ 0.
Пусть x(t) ∈ M при всех t ≥ 0, т.е.
V̇ (x(t)) = −k1
∞∑
n=1
n/∈S
ϕnηn(t)
2
− k2
∞∑
n=1
n/∈S
gnηn(t)
2
≡ 0.
Отсюда с учетом неравенств k1 > 0, k2 > 0 следует, что
v1(x(t)) = v2(x(t)) = 0. (26)
Подстановка управления u = v(x(t)) вида (26) в (3) приводит к системе:
{
ξ̇n(t) = βnηn(t),
η̇n(t) = −βnξn(t),
n ∈ N. (27)
Запишем решение системы дифференциальных уравнений (27):
{
ξn(t) = ξn(0) cos(βnt) + ηn(0) sin(βnt),
ηn(t) = −ξn(0) sin(βnt) + ηn(0) cos(βnt),
n ∈ N. (28)
Подставляя (28) в (26), получим:
∞∑
n=1
n/∈S
(ϕnηn(0) cos(βnt)− ϕnξn(0) sin(βnt)) ≡ 0,
∞∑
n=1
n/∈S
(gnηn(0) cos(βnt)− gnξn(0) sin(βnt)) ≡ 0,
∀t ≥ 0. (29)
Отметим, что если система функций
{cos(βnt), sin(βnt) | n ∈ N \ S} (30)
линейно-независима на полуоси t ∈ [0,∞), то тождества (29) выполнены только при
ξn(0) = ηn(0) = 0, ∀ n ∈ N \ S. (31)
Из соотношений (31) в силу формул (28) следует свойство y(x(t)) ≡ 0, что обес-
печивает выполнение условия 5) Теоремы 1.
72
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
Итак, остается доказать линейную независимость системы (30). Для этого пока-
жем, что система функций
{cos(βnt), sin(βnt) | n ∈ N} (32)
линейно-независима на полуоси t ∈ [0,∞).
Для доказательства линейной независимости функций (32) воспользуемся Тео-
ремой 1.2.17 из [10], которая формулируется следующим образом: если
lim
a→∞ lim
z→∞
m[a, a + z)
z
<
τ
2π
, (33)
то система (32) минимальна в L2(0; τ). В (33) выражение m[a, b) обозначает мощ-
ность множества [a, b) ∩K, где
K = {βn| n ∈ N}.
Для доказательства (33) заметим, что
βn = βkj = απ2
(
k2
l21
+
j2
l22
)
=
απ2
l22
(
j2 + k2χ
)
, где χ =
l22
l21
> 0.
Обозначим β̃kj = j2 + k2χ. Рассмотрим сначала случай χ ≥ 1.
Пусть Γ+ : j2 + k2χ = b и Γ− : j2 + k2χ = a – границы области Ω, в которую
попадают целочисленные точки вида (j, k), для которых βkj ∈ [a, b). Область Ω
определена следующим образом:
Ω = {(j, k) | a ≤ j2 + k2χ < b, k ≥ 1, j ≥ 1}.
Таким образом, оценка числа m[a, b) сводится к нахождению мощности множе-
ства Ω ∩ N2. Рассмотрим два квадрата, один из которых (B+) содержит область Ω,
а второй (B−) имеет не более одной общей точки с Ω, как показано на рис. 1.
Найдем количество целочисленных точек в квадратах B+ и B−. Определим ко-
ординаты вершин, которые лежат на границе Ω:
b+ : b2
+ + χ12 = b, b− : b2
− + χb2
− = a. (34)
Из равенств (34) следует, что b+ =
√
b− χ, а b− =
√
a
1 + χ
.
Таким образом, оценка количества целочисленных точек в Ω будет иметь вид:
m[a; b) ≤ |B+ ∩ N2| − |B− ∩ N2|+ 1 = b2
+ − b2
− + 1 = b− χ− a
1 + χ
+ 1. (35)
Пусть b = a + z, тогда
lim
a→∞ lim
z→∞
m[a, a + z)
z
≤ lim
a→∞ lim
z→∞
a
(
1− 1
1 + χ
)
+ z − χ + 1
z
= 1. (36)
73
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Рис. 1. Множества Ω, B+, B−.
Случай χ < 1 рассматривается аналогично, при этом
lim
a→∞ lim
z→∞
m[a, a + z)
z
≤ lim
a→∞ lim
z→∞
a
(
1
χ
− 1
1 + χ
)
+
z − 1
χ
+ 1
z
=
1
χ
. (37)
Из оценок (36), (37) следует, что система функций (32) – линейно-независима на
[0; τ) при τ > 2π max
{
1,
1
χ
}
.
Таким образом, особая точка x = 0 системы (3) с управлением u = v(x) асимп-
тотически устойчива по Теореме 2. ¤
4. Заключение. В работе рассмотрена бесконечномерная система дифферен-
циальных уравнений, которая описывает колебания упругой пластины Кирхгофа.
Для данной системы построено управление с обратной связью u = v(x), а также
доказана теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения системы (3)
по отношению к функционалу y вида (5). Представляет дальнейший интерес ис-
следование задачи стабилизации с использованием обратной связи по выходу для
системы с неполными измерениями фазового вектора.
1. Luo Z.-H., Guo B.-Z., Morgül O. Stability and stabilization of infinite dimensional systems with
applications. – London: Springer-Verlag, 1999. – 403 p.
2. Гуляев В.И. Динамика упругих систем при сложном движении// Прикладная механика. –
2003. – Т. 39, № 5. – С. 28–51.
3. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими
космическими аппаратами – М.: Машиностроение, 1986. – 214 с.
4. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г.Манипуляционные роботы: динамика, управ-
ление, оптимизация – М.: Наука, 1989. – 368 с. – (Научные основы робототехники).
5. Зуев А.Л., Новикова Ю.В. Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управлением
// Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 187–198.
74
Стабилизация колебаний пластины Кирхгофа с помощью обратной связи
6. Зуев А.Л., Новикова Ю.В. Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа // Механи-
ка твердого тела. – 2012. – Вып. 42. – С. 163–176.
7. Phillips R.S. Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential equations // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1959. – Vol. 90. – P. 193–254.
8. Зуев А.Л. Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных дифференциальных урав-
нений// Український математичний журнал. – 2006. – Т. 58, № 5. – С. 629–637.
9. Dafermos C.M., Slemrod M. Asymptotic behavior of nonlinear contraction semigroups// Journal of
Functional Analysis. – 1973. – Vol. 13. – P. 97–106.
10. Krabs W. On moment theory and controllability of one-dimensional vibrating systems and heating
processes // Lecture Notes in Control and Information Sciences. – Vol. 173. – Berlin: Springer-
Verlag, 1992. – 174 p.
A.L. Zuyev, Yu.V. Novikova
Stabilization of vibrations of the Kirchhoff plate by using a state feedback.
An infinite system of differential equations that describes the vibrations of the Kirchhoff plate is considered.
Feedback control functionals, depending on the generalized velocities, are constructed for the system
considered. A theorem on the partial asymptotic stability of the equilibrium of the closed-loop system
is proved.
Keywords: asymptotic stability, Kirchhoff plate, feedback control.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
al_zv@mail.ru
yuliya.novikova.88@mail.ru
Получено 03.04.14
75
|