Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника
Найдены значения наименьшего радиуса круга, в котором данные множества являются множествами Помпейю. В качестве множеств рассматриваются невыпуклые четырехугольники определенного вида....
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124211 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника / Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 76-83. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124211 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242112017-09-23T03:03:07Z Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника Иванисенко, Н.С. Машаров, П.А. Найдены значения наименьшего радиуса круга, в котором данные множества являются множествами Помпейю. В качестве множеств рассматриваются невыпуклые четырехугольники определенного вида. The exact values for the smallest radius of the ball in which the given sets are the Pompeiu sets are obtained in the paper. The considered sets are nonconvex quadrangles of certain type. 2014 Article Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника / Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 76-83. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124211 517.988.28 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдены значения наименьшего радиуса круга, в котором данные множества являются множествами Помпейю. В качестве множеств рассматриваются невыпуклые четырехугольники определенного вида. |
| format |
Article |
| author |
Иванисенко, Н.С. Машаров, П.А. |
| spellingShingle |
Иванисенко, Н.С. Машаров, П.А. Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Иванисенко, Н.С. Машаров, П.А. |
| author_sort |
Иванисенко, Н.С. |
| title |
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника |
| title_short |
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника |
| title_full |
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника |
| title_fullStr |
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника |
| title_full_unstemmed |
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника |
| title_sort |
локальный вариант проблемы помпейю для невыпуклого четырехугольника |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124211 |
| citation_txt |
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника / Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 76-83. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT ivanisenkons lokalʹnyjvariantproblemypompejûdlânevypuklogočetyrehugolʹnika AT mašarovpa lokalʹnyjvariantproblemypompejûdlânevypuklogočetyrehugolʹnika |
| first_indexed |
2025-07-09T01:02:19Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:02:19Z |
| _version_ |
1837129252467638272 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 517.988.28
c©2014. Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров
ЛОКАЛЬНЫЙ ВАРИАНТ ПРОБЛЕМЫ ПОМПЕЙЮ
ДЛЯ НЕВЫПУКЛОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Найдены значения наименьшего радиуса круга, в котором данные множества являются множества-
ми Помпейю. В качестве множеств рассматриваются невыпуклые четырехугольники определенного
вида.
Ключевые слова: множество Помпейю, экстремальный вариант проблемы Помпейю, радиус
Помпейю, невыпуклый четырехугольник.
Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство размерности n > 2
с евклидовой нормой |·|, M(n) – группа движений Rn, Mot(A,B) = {λ ∈ M(n) : λA ⊂
B} – часть группы движений, оставляющая A внутри B. BR = {x ∈ Rn : |x| < R} –
шар радиуса R.
Компактное множество A ⊂ Rn называется множеством Помпейю в Rn, если
всякая локально суммируемая функция f : Rn → C, для которой
∫
λA f(x) dx = 0
при всех λ ∈ M(n), равна нулю почти всюду. Классическая проблема Помпейю
состоит в описании класса Pomp(Rn) таких множеств A.
Приведем одну из возможных постановок локального варианта указанной про-
блемы. Пусть функция f локально суммируема в шаре BR и равенство
∫
λA f(x) dx = 0
выполняется при всех λ ∈ Mot(A,BR). Если из этого условия следует, что f = 0 в
BR почти всюду, будем говорить, что A является множеством Помпейю в BR и обо-
значать A ∈ Pomp(BR). Для любого A ∈ Pomp(Rn) это имеет место, если размеры
BR достаточно велики по сравнению с A, см. [1], [2]. В связи с этим в работе [3]
поставлена следующая
Проблема (4.1.1 из [3], локальный вариант проблемы Помпейю). Для данного A
найти R(A) = inf{R > 0 : A ∈ Pomp(BR)}.
Величину R(A) естественно называть экстремальным радиусом Помпейю (или
просто радиусом Помпейю) для множества A.
Ряд результатов, содержащих оценки сверху для величины R(A), получены
К.А. Беренстейном и Р. Гэем (см. [1], [2]), а также В.В. Волчковым (см. [3], Глава
4, §1–2). Наиболее полный библиографический обзор по проблеме Помпейю и близ-
ким к ней вопросам, включающими локальные варианты этой проблемы, состоит
из [3–8].
Рассмотрим некоторые примеры множеств A, для которых известно точное зна-
чение R(A).
1. Пусть A – правильный треугольник со стороной a. Тогда R(A) = a
√
3
2 ([9],
В.В. Волчков, 1996).
76
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника
2. Пусть A – правильный m-угольник со стороной длины l. Тогда
R(A) =
{
l ctg(π/2m)/2, если m – нечетно;
l
√
1 + 4ctg2(π/m)/2 если m – четно
([3], В.В. Волчков, 2000–2003).
3. Пусть A – треугольник Рело ширины 1 в R
2. Тогда R(A) = 1 ([10], П.А. Ма-
шаров, 2001).
4. Пусть A – куб в R
n с ребром длины 1. Тогда R(A) =
√
n + 3/2 ([11], В.В. Волч-
ков, 1996).
5. Пусть A – полушар в R
n радиуса 1. Тогда R(A) =
√
5/2 ([3], В.В. Волчков,
1996).
6. Пусть A(h) – сегмент шара единичного радиуса высоты h в R
n. Тогда
R(A(h)) =
{√
8h − 3h2 /2, 1 < h � 8/7;
h, 8/7 < h < 2
([12], П.А. Машаров, 2011).
Известны также значения величины R(A) для случаев, когда A – круговой сек-
тор ([13], П.А. Машаров, 2000), параллелепипед в R
n ([11], В.В. Волчков, 1998–2000),
эллипсоид в R
n ([3], В.В. Волчков, 2001), половина кругового конуса в R
3 ([14],
Л.В. Елец, П.А. Машаров, 2009), другие множества.
1. Основные результаты. Всюду далее будем считать h ∈ (0;
√
3/2) фиксиро-
ванным числом. Рассмотрим точки z1(0; 0), z2(
√
3/2;−1/2), z3(
√
3/2 − h; 0),
z4(
√
3/2; 1/2). В данной работе рассмотрен невыпуклый четырехугольник A(h) –
замыкание внутренности ломаной z1z2z3z4z1 (см. рис. 1). Для каждого h ∈ (0;
√
3/2)
получено точное значение R(A(h)). Кроме того, показаны применения полученного
результата в различных областях математики.
z1 z3
z4
z2
1
1
h
1
Рис. 1. Множество A(h) – четырехугольник z1z2z3z4
Основным результатом работы является следующее утверждение.
77
Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров
Теорема 1. Для каждого h ∈ (0;
√
3/2) верно равенство
R(A(h)) = R(h)
опр
=
{√
3/2− h, если h ∈ (0;
√
3/6);√
h2 + 1/4, если h ∈ [
√
3/6,
√
3/2).
2. Вспомогательные конструкции. Для непустого открытого множества B ⊂
Rn под Lloc(B) будем понимать класс функций f : B → C, для которых для любого
компактного множества A ⊂ B интеграл
∫
A f(x) dx < +∞. Здесь и далее под dx
понимается мера Лебега. Для p ∈ [1, +∞) обозначение Lp(B) будем использовать
для класса функций, для которых ‖f‖Lp(B) =
(∫
B |f(x)|p dx
)1/p
< +∞. Для m ∈ N
и открытого непустого множества B под Cm(B) будем понимать класс функций,
все частные производные порядка m которых (включая смешанные) непрерывны,
C(B) – класс непрерывных на B функций, C∞(B) = ∩∞m=1C
m(B). Под P(A,B)
будем понимать класс функций из Lloc(B), для которых равенство
∫
λA f(x) dx =
0 верно для всех λ ∈ Mot(A,B). Добавляя гладкость, получим классы функций
Pm = P(A,B) ∩ Cm(B),m ∈ N, P∞(A,B) = P(A,B) ∩ C∞(B); P∞
0 (A,B) – класс
радиальных функций из P∞(A,B).
Из [3, предложение 1.5.6] следует, что дифференциальные операторы ∂
∂x ,
∂
∂y
оставляют функцию в классе P∞(A,B). Поэтому их самих и всевозможные их про-
изведения и линейные комбинации будем называть допустимыми дифференциаль-
ными операторами.
Обозначим x0 =
√
3/2− h, k = 1/(2h). Рассмотрим следующие дифференциаль-
ные операторы: ∆ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 , p1 =
√
3 ∂
∂x + ∂
∂y , p2 =
√
3 ∂
∂x − ∂
∂y , q1 = 2h ∂
∂x + ∂
∂y ,
q2 = 2h ∂
∂x − ∂
∂y , Q0 = p1p2q1, Q1 = 2
√
3q1, Q2 =
(−2h −√3
)
p1, Q4 =
(−2h +
√
3
)
p2,
P0 = p1p2q1q2, P1 = 2
√
3q1q2, P2 =
(√
3− 2h
)
p1q1, P3 = −4hp1p2, P4 =
(√
3− 2h
)
p2q2.
Следующая лемма содержит информацию о том, каким допустимым диффе-
ренциальным оператором следует подействовать на достаточно гладкую функцию
f , чтобы интеграл по A(h) от результирующей функции выражался через значения
некоторых дифференциальных операторов от функции f в вершинах четырехуголь-
ника A(h).
Лемма 1. Пусть A(h) ⊂ B для некоторого открытого выпуклого множества
B, f ∈ C4(B). Тогда
∫
A(h)
(Q0f)(x, y) dx dy = 2
∫ h
0
(p1p2f)(x0 + t,−kt) dt +
∑
j∈{1,2,4}
Qjf(zj), (1)
∫
A(h)
(P0f)(x, y) dx dy =
4∑
j=1
Pjf(zj). (2)
Доказательство. Четырехугольник A(h) можно представить в виде z1z2z3z4 =
4z1z2z4 \ 4z3z2z4 = 4z1z2z3 ∪ 4z1z3z4, причем соответствующие треугольники не
78
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника
имеют общих внутренних точек. Используя аддитивность интеграла, получаем
∫
A(h)
f(x, y) dx dy =
∫ √
3/2
0
dx
∫ x/
√
3
−x/
√
3
f(x, y) dy −
∫ √
3
2
x0
dx
∫ k(x−x0)
−k(x−x0)
f(x, y) dy =
=
∫ 0
−1/2
dy
∫ −y/k+x0
−√3y
f(x, y) dx +
∫ 1/2
0
dy
∫ y/k+x0
√
3y
f(x, y) dx.
Выбирая тот порядок интегрирования, который позволяет вычислить внутрен-
ний интеграл, имеем
∫
A(h)
q1f dx dy = 2h
(∫ 0
−1/2
dy
∫ −y/k+x0
−√3y
∂f
∂x
dx +
∫ 1/2
0
dy
∫ y/k+x0
√
3y
∂f
∂x
dx
)
+
+
∫ √
3/2
0
dx
∫ x/
√
3
−x/
√
3
∂f
∂y
dy −
∫ √
3/2
x0
dx
∫ k(x−x0)
−k(x−x0)
∂f
∂y
dy =
= 2h
∫ 0
−1/2
f
(
−y
k
+ x0, y
)
dy − 2h
∫ 0
−1/2
f(−
√
3y, y) dy + 2h
∫ 1/2
0
f
(y
k
+ x0, y
)
dy−
−2h
∫ 1/2
0
f(
√
3y, y) dy +
∫ √
3/2
0
f(x, x/
√
3) dx−
∫ √
3/2
0
f(x,−x/
√
3) dx−
−
∫ √
3/2
x0
f(x, k(x− x0)) dx +
∫ √
3/2
x0
f(x,−k(x− x0)) dx.
Производя в полученных интегралах следующие замены: в первом: y = −kt, в
восьмом: x = x0 + t, во втором: y = −t, в шестом: x = t
√
3, в третьем: y = kt, в
седьмом: x = t + x0, в четвертом: y = t, в пятом: x = t
√
3, и складывая попарно эти
интегралы, получаем
∫
A(h)
q1f dx dy = 2
∫ h
0
f(x0 + t,−kt) dt+
+
(
−2h−
√
3
)∫ 1/2
0
f(
√
3t,−t) dt +
(
−2h +
√
3
)∫ 1/2
0
f(
√
3t, t) dt.
(3)
Подставляя в (3) p1p2f вместо f и учитывая перестановочность операторов с
постоянными коэффициентами, получаем
∫
A(h)
(q1p1p2f)(x, y) dx dy = 2
∫ h
0
(p1p2f)(x0 + t,−kt) dt+
+
(−2h−
√
3
)(
p1f(z2)− p1f(z1)
)
+
(−2h +
√
3
)(
p2f(z4)− p2f(z1)
)
.
Приводя подобные слагаемые и используя введенные перед леммой обозначения,
получаем (1). Для доказательства равенства (2) подставим q2f вместо f в (1)
∫
A(h)
(P0f)(x, y) dx dy = 4h
(
p1p2f(x2)− p1p2f(z3)
)
+
+ Q1q2f(z1) + Q2q2f(z2) + Q4q2f(z4).
79
Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров
Приводя подобные и учитывая введенные обозначения, получаем (2). ¤
Для фиксированного ε > 0 рассмотрим функции, заданные на (0; ε) формулами
g1,ε(ρ) = exp
(
1/(ρ2 − ερ)
)
, g2,ε(ρ) = exp
(
ρ2/(ρ − ε)
)
и нулем в остальных случаях.
Обозначим Cj =
∫
Bε
gj,ε(
√
x2 + y2) dx dy, j = 1, 2. Тогда не тождественно равная
нулю функция
Φε(x, y) = C2g1,ε(
√
x2 + y2)− C1g2,ε(
√
x2 + y2) (4)
обладает следующими свойствами: она радиальная, бесконечно дифференцируемая,
имеет носитель в Bε, и для нее
∫
Bε
Φε(x, y) dx dy = 0.
Для R >
√
3/3 положим U(h,R) = {z = λzj : λ ∈ Mot(A(h),BR), j = 1, 4};
отрезок, соединяющий точки z3 и z2, обозначим lh = {(x0 + t;−kt) ∈ R2 : 0 6 t 6 h};
Sh(A,B) = {w ∈ R2 : A + w ⊂ B}; Ba,b = {x ∈ R2 : a < |x| < b} – кольцо с радиусами
a и b. Используя теорему 4.3.2 из [3] и равенство (2) леммы 1, получаем
Лемма 2. Пусть R >
√
3/3 и f ∈ P∞
0 (A(h),BR). Тогда существует ненулевой
многочлен q : R→ C такой, что q(∆)f = 0 в U(h,R).
Используя равенство (1) леммы 1, лемму 2 и рассуждения из доказательства
леммы 4.5.6 из [3], получаем
Лемма 3. Пусть R >
√
3/3 и f ∈ P∞
0 (A(h),BR). Тогда существует ненулевой
многочлен q : R→ C такой, что
∫
lh
(
q(∆)f
)
(x + u; y + v) ds = 0 для любого вектора
(u, v) ∈ Sh(A(h),BR).
Используя рассуждения, подобные тем, что применяются при доказательстве
леммы 4.1.1 из [3], получаем
Лемма 4. Пусть P∞
0 (A,BR) = {0} для некоторого R >
√
3/3. Тогда R(A) 6 R.
Лемма 5. Пусть 0 6 a < b < d < R, f ∈ L(0; R), f = 0 в (a; b) ∪ (d; R), и при
некоторых a1, a2 таких, что a < a1 < a2 < b,
∫ √d2−x2
0 f(
√
x2 + y2) dy = 0 для всех
x ∈ (a1, a2). Тогда f = 0 почти всюду в Ba,R.
Доказательство. Сделаем в данном интеграле замену t =
√
x2 + y2. Тогда для
всех перечисленных условий на входящие в интеграл параметры получим для всех
x ∈ (a1; a2) равенство
∫ d
x
f(t)t√
t2−x2
dt = 0. Так как функция f(t) = 0 при t ∈ (a; b), то
для любого x ∈ (a1; a2) верно
∫ d
b
f(t)t√
t2−x2
dt = 0.
Разложим в ряд Лорана t√
t2−x2
= (1 − (x/t)2)−1/2 = 1 +
∑∞
j=1
(2j−1)!!
(2j)!! · (x/t)2j ,
|t| > x. Подставив разложение в предыдущее равенство, получаем
0 =
∞∑
j=0
(∫ d
b
f(t)
t2j
dt
)
(2j − 1)!!x2j
(2j)!!
, ∀x ∈ (a1; a2).
Таким образом,
∫ d
b
f(t)
t2j dt = 0 для всех j ∈ Z+. Сделаем в полученном интеграле
замену z = 1/t2. Получим
∫ 1/b2
1/d2 zj−1 f(1/
√
z)√
z
dz = 0.
Так как система многочленов {1, z, z2, ...} замкнута в пространстве C(1/d2; 1/b2),
то f(1/
√
z)/
√
z = 0 в (1/d2; 1/b2), откуда следует f(t) = 0 в (b; d). Учитывая равен-
ство нулю функции f в (a; b) ∪ (d;R), получаем требуемое утверждение леммы. ¤
80
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника
Учитывая, что A(h) ∈ Pomp(R2), используя лемму 4.1.3 из [3], получаем
Лемма 6. Пусть R >
√
3/3, для некоторой функции f ∈ P(A,BR) и для неко-
торого многочлена q : R→ C выполняется q(∆)f = 0 в BR. Тогда f = 0 в BR.
3. Доказательство основного результата.
Доказательство теоремы 1. Считаем h ∈ (0;
√
3/2), R > R(h), ε ∈ (0, R−R(h))
фиксированными числами. Необходимо доказать, что P
(
A(h),BR
)
= {0}. Используя
стандартный метод сглаживания (см, например, §1.3.3 в [3]), видим, что достаточно
доказать, что P∞(
A(h),BR−ε
)
= {0}. Учитывая лемму 4, видим, что достаточно
доказать равенство P∞
0
(
A(h),BR−ε
)
= {0}.
Рассмотрим произвольную f ∈ P∞
0
(
A(h),BR−ε
)
. Тогда по лемме 2 существует
ненулевой многочлен q : R → C такой, что F
опр
= q(∆)f = 0 в U(h,R − ε). Отметим,
что при различных h множество U(h,R− ε) может быть кругом BR−ε или объедине-
нием круга Ba(h,R−ε) и кольца Bb(h,R−ε),R−ε для некоторых a(h,R−ε) и b(h,R−ε). Во
втором случае, применяя к функции F ∈ P∞
0
(
A(h),BR−ε
)
леммы 3 и 5, получаем,
что существует такой ненулевой многочлен q̃ : R→ C, что F̃
опр
= q̃(∆)F = 0 в BR−ε.
Учитывая, что произведением многочленов является многочлен, применяя к
функции f лемму 6, в которой многочленами являются q в первом и q̃ · q – во
втором случаях, получаем f = 0 в BR−ε, что и требовалось.
Рассмотрим теперь R < R(h). В этом случае найдется такое число ε > 0, что
∀λ ∈ Mot(A(h),BR) выполняется включение Bε ⊂ λA(h). Тогда определенная равен-
ством (4) ненулевая функция Φε(x; y) ∈ P∞(A(h),BR), что завершает доказатель-
ство теоремы 1. ¤
4. Применения. Решение локального варианта проблемы Помпейю имеет при-
менения в различных областях математики. Рассмотрим некоторые из них.
I. Теория приближений.
Теорема 2. Для фиксированных h ∈ (0;
√
3/2), p : 1 6 p < ∞, R > R(h) лю-
бую функцию f ∈ Lp(BR) можно аппроксимировать с любой точностью в Lp(BR)
линейными комбинациями индикаторов множеств λA(h), λ ∈ Mot(A(h),BR).
Доказательство. Пусть существует функция f ∈ Lp(BR), которую нельзя ап-
проксимировать с произвольной точностью линейными комбинациями индикаторов
множеств λA(h), λ ∈ Mot(A(h),BR). Тогда эта функция ортогональна всем таким
индикаторам. То есть для любого λ ∈ Mot(A(h),BR) верно равенство
∫
BR
f(x, y) · χλA(h)(x, y) dx dy =
∫
λA(h)
f(x, y) dx dy = 0.
Отсюда, применяя теорему 1, получаем f = 0 в BR, а такую функцию можно
приблизить линейными комбинациями каких угодно функций, то есть предположе-
ние не верно, что доказывает теорему. ¤
II. Комплексный анализ.
Следующий результат является теоремой типа Мореры.
81
Н.С. Иванисенко, П.А. Машаров
Теорема 3. Пусть f ∈ C(BR) и выполнено условие
∫
∂(λA(h))
f(z) dz = 0 при всех λ ∈ Mot(A(h),BR). (5)
Тогда верны следующие утверждения:
1) если R > R(h), то f голоморфна в BR;
2) если
√
3/3 < R < R(h), то существуют неголоморфные, бесконечно диффе-
ренцируемые функции в BR с условием (5).
Доказательство. Используя стандартный метод сглаживания, достаточно дока-
зать аналитичность функции f ∈ P∞(∂A(h),BR−ε) для каждого ε ∈ (0;R − R(h)).
Применяя формулу Грина, получаем
∫
∂(λA(h)) f(z) dz = 2i
∫
λA(h)
df
dz dx dy = 0 ∀λ ∈
Mot(A(h),BR−ε). Это означает, что df
dz ∈ P∞(A(h),BR−ε), откуда по теореме 1 сле-
дует ∂f
∂z = 0 в BR−ε, а значит и в BR. Тогда из условий Коши–Римана получаем
первое утверждение теоремы.
Для доказательства второго утверждения, в качестве примера неголоморфной
функции из класса P∞(∂A(h),BR) можно взять Φε(ρ), заданную равенством (4) с
достаточно малым ε > 0. ¤
Получим теперь одно из уточнений теоремы Дзядыка.
Теорема 4. Пусть h ∈ (0;
√
3/2) фиксировано, R > R(h), действительнознач-
ные функции u, v ∈ C(BR). Тогда для того, чтобы одна из функций u+ iv или u− iv
была голоморфной в BR, необходимо и достаточно, чтобы части поверхностей гра-
фиков функций u, v и
√
u2 + v2, расположенные над каждым множеством λA(h),
где λ ∈ Mot(A(h);BR), имели одинаковую площадь.
Доказательство. Необходимость сразу следует из классической теоремы Дзя-
дыка. Действительно, если площади равны над произвольным множеством K, то и
над множествами вида λA при λ ∈ Mot(A,BR).
Для доказательства достаточности рассмотрим функции f1(x, y) =
(
1 + (∂u
∂x)2 +
(∂u
∂y )2
)1/2, f2(x, y) =
(
1+( ∂v
∂x)2+(∂v
∂y )2
)1/2 и f3(x, y) =
(
1+(∂(
√
u2+v2)
∂x )2+(∂(
√
u2+v2)
∂y )2
)1/2.
Тогда для любого λ ∈ Mot(A,BR) из условия теоремы следует
∫
λA(h)f1(x, y) dx dy =∫
λA(h) f2(x, y) dx dy =
∫
λA(h) f3(x, y) dx dy или
∫
λA(h)(fj(x, y)− fk(x, y)) dx dy = 0. От-
сюда по теореме 1 получаем fj − fk = 0 в BR. Значит, для любого подмножества
K ⊂ BR верно равенство
∫
Kf1(x, y) dx dy =
∫
K f2(x, y) dx dy =
∫
K f3(x, y) dx dy. Сле-
довательно, выполняется условие классической теоремы Дзядыка, что влечет за
собой утверждение теоремы. ¤
III. Теория отображений, сохраняющих меру.
Здесь под measE понимается мера Лебега множества E.
Теорема 5. Пусть h ∈ (0;
√
3/2) фиксировано, R > R(h) и f – C1-диффеомор-
физм BR на область Ω ⊂ R2. Тогда, если ∀λ ∈ Mot(A(h),BR), верно равенство
meas f
(
λA(h)
)
= meas λA(h), то meas f(E) = measE для любого измеримого мно-
жества E ⊂ BR.
82
Локальный вариант проблемы Помпейю для невыпуклого четырехугольника
Доказательство. Пусть Jf – якобиан отображения f . По условию
∫
λA(h)
dx dy =
∫
f(λA(h))
dx dy =
∫
λA(h)
|Jf | dx dy для всех λ ∈ Mot(A(h),BR). Отсюда получаем, что
∫
λA(h)
(|Jf | − 1) dx = 0 ∀λ ∈ Mot(A(h),BR). По теореме 1, |Jf | = 1 в BR, откуда
∫
E
dx dy =
∫
E
|Jf | dx dy =
∫
f(E)
dx dy для любого измеримого множества E ⊂ BR, что и
требовалось. ¤
1. Berenstein C.A. Le probleme de Pompeiu locale // J. Anal. Math. – 1989. – V. 52. – P. 133–166.
2. Berenstein C.A. A local version of the two-circles theorem // Israel J. Math. – 1986. – V. 55. –
P. 267–288.
3. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Kluwer Academic Publishers, 2003.
– 454 p.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric
Spaces and the Heisenberg Group. Springer, 2009. – 671 p.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. Birkhäuser, 2013.
– 592 p.
6. Волчков В.В., Волчков Вит.В. Экстремальные задачи интегральной геометрии // Математика
сегодня, – № 1, вып. 12. – Киев, 2001. – С. 51–79.
7. Zalcman L. A bibliographic survey of Pompeiu problem // Approximation dy solutions of partial
differential equations / ed. B. Fuglede et al. – 1992. – P. 185–194.
8. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’. In:
Radon Transforms and Tomography. Contemp. Math., 2001. – № 278. – P. 69–74.
9. Волчков В.В. Об одной экстремальной задаче, связанной с теоремой Мореры // Матем. замет-
ки. – 1996. – Т. 60, № 6. – С. 804–809.
10. Машаров П.А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело //
Вiсник Днiпропетровського унiверситету. Математика, вип. 6. – 2001. – С. 72–81.
11. Волчков В.В. Экстремальные задачи о множествах Помпейю // Матем. сборник. – 1998. –
Т. 189, № 7. – С. 3–22.
12. Машаров П.А. Об экстремальном радиусе Помпейю для шаровых сегментов, содержащих по-
лушар // Труды ИПММ НАН Украины. – 2011. – Т.23. – С. 163–171.
13. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // До-
повiдi НАН України. – 2001. – № 7. – С. 25–29
14. Елец Л.В., Машаров П.А. Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю // УМЖ.
– Т. 61. – 2009. – С. 61–72.
N. S. Ivanisenko, P.A. Masharov
A local version of the Pompeiu problem for a nonconvex quadrangle.
The exact values for the smallest radius of the ball in which the given sets are the Pompeiu sets are
obtained in the paper. The considered sets are nonconvex quadrangles of certain type
Keywords: Pompeiu set, extremal version of the Pompeiu problem, Pompeiu radius, nonconvex quadrangles.
Донецкий национальный ун-т
pavelmasharov@gmail.com
Получено 10.04.14
83
содержание
Том 28
Донецк, 2014
Основан в 1997г.
|